安徽省怀宁县某中学2024-2025学年高二年级下册4月月考数学试题（解析）

2025年春高河中学高二第一次月考数学试题

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)

1"(/2)一/(/)-

1.已知函数在处的导数为4,则—°2Ax()

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】A

【解析】

【分析】由导数的定义变形求解可得.

【详解】由函数在x=/处的导数为%

则lim〃x°)=Um勺…生)

—。2Ax以一。-2(x0-Ax-x0)

=-1/，Uo)=-1x4=-2-

故选：A.

2.下列求导运算不正确的是()

A.(e*.sinx)=(cosx+sinx)e*B.[4]=--L

C.(3x+ln3y=3lln3+-D.[ln(2x)]f=-

3x

【答案】C

【解析】

【分析】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误.

【详解】A：(e*,sinx)=(e^)'-sinx+ex-(sinx)r=ex-sinx+e%-cosx=(cosx+sinx)e%，对;

B：f—=-%"2二一"y，对；

yxJx

C：(3'+ln3j=(3"y+(ln3y=31n3,错；

D：[ln(2x)J=工.(2X)'=L对.

2xx

故选：C

3.已知等比数列｛%｝是递增数列，其前〃项和为3，%%=3，/+。6=4,则3=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】根据下标和性质求出。3。6=3,即可求出。3、4,即可求出再由求和公式计算可得.

【详解】因为等比数列｛%｝单调递增，。4。5=3，贝=〃4〃5=3，又。3+。6=4,

见=1［仇=3

（舍去）,所以八女=3,

解得,或1

4=3［。6=1

%(1-1)

所以,=:=1+=4

S3%(1-4)i-q

i-q

故选：D.

4.已知尸是椭圆氏二+*.=1（。〉6〉0）上异于点4（—q,0）,B（a,O）的一点，£的离心率为走，则

a~b2

直线4户与外的斜率之积为（）

1

C.D.

44

【答案】C

【解析】

【分析】利用点户与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积的不等式，建立等式，考查椭圆的方程，即可确定a,

6的关系，从而通过椭圆的离心率，求解即可.

2C22、

Xa-x

【详解】设F（羽y）,点A（—a,o）,B（a,o）,椭圆反£-1,/=b-

b2~

椭圆的离心率为走,

2

222

c6c°3„,a-b3SF-rlb1

•.—=—，—r=-，则——；—=一，所以一r=一

a24a-4矿4

点户与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为：」——匕==-^=--

x+ax-ax-aa4

故选C.

【点睛】本题考查斜率的计算，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题.

5.已知函数y=/(x)为连续可导函数，y=(d+4x+3)/'(x)的图像如图所示，以下命题正确的是

()

%

/~3-2-1。1x

A./(-3)是函数的极大值B.是函数的极小值

C./(%)在区间(—3,1)上单调递增D.7(%)的零点是—3和—1

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意结合导数判断了(%)的单调性，进而逐项分析判断.

【详解】因为y=(尤2+4尤+3)r(x)=(x+3)(x+l)r(x),

由图可知：x<-3,(x+3)(x+l)/,(x)<0；一3<%<-1或x>-l,(x+3)(x+l)/,(x)>0；

且x<-3或x>-1,(x+3)(x+l)>0；-3<x<-L(x+3)(x+l)<0；

可得x<-3或-3<x<-l,/,(x)<0；x>-l,/,(x)>0；

且函数y=/(x)为连续可导函数，

则V=/(九)在(―8,T)内单调递减，在(—L+8)内单调递增,

可知丁=/(无)有且仅有一个极小值/(-1)，无极大值，故AC错误，B正确；

由于不知y=/(x)的解析式，故不能确定y=/(x)的零点，故D错误；

故选：B.

6.一个矩形铁皮的长为16cm,宽为10cm,在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒

子，若记小正方形的边长为x(cm),小盒子的容积为V(cm),则()

A.当x=2时，V有极小值B.当x=2时，V有极大值

2020

C.当％=一时，V有极小值D.当％=——时，V有极大值

33

【答案】B

【解析】

【分析】

求出小盒子的容积，通过求导判断函数的极值情况可得答案.

【详解】小盒子的容积为V=x(16-2x)(10-2x)=4x3-52x2+160x(0<x<5),

20

所以丫'=12/—104X+160,令V'=0得x=2,或％=可舍去，

当0〈尤<2时，V'>0,V(x)单调递增，当2〈尤<5时，V'<0,V(x)单调递减，

所以当尤=2时V(x)有极大值为144.

故选：B.

7.已知等差数列{%}(neN+)的前〃项和为5“，公差d<0,—<-1,则使得5“>0的最大整数〃

为()

A.9B,10C.17D.18

【答案】C

【解析】

【分析】根据仇<一1，可得％0，为异号，根据d<0可知的>°，60<0,且即)+。9<0,所以

%+47>0,4+%8<0，利用等差数列的前，7项和公式即可得出结果.

【详解】解：因为9则<—1<0,所以异号，

。9

因为d<0,所以%>。，。10<。，

又有」"<一1,所以［。〈一的，即。1()+。9<0，

因为力=17(。；%)=17%〉0,九J8.；阳)=9&+40)<0,

所以S“>0的最大整数〃为17.

故选：C

8.函数/(x)=lnx与函数g(x)=/m：2+g有两个不同的交点，则机的取值范围是()

【答案】D

【解析】

Inx——

【分析】利用参变分类可得丁=加和的图象有两个交点，结合导数讨论后者的性质后可得

/z(x)=2

参数的取值范围.

[1_1

【详解】由7^2+—=inx(x>0)得2

~厂

,InV--1

则问题转化为y=机和/?(X)=2的图象有两个交点，

12"

—­%-2x\\nx——

而"~~22(l-lnx)

令〃(X)>0,解得0<x<e,令"(x)<0,解得％>e,

故/z(x)在(O,e)上单调递增，

在(e,+8)单调递减，贝l]/z(x)max=Me)=Ty

当Xf+00时，入⑴-0的图象有两个交点；

当XfO时，〃(尤)f—8的图象有两个交点;

h(x)大致图象如右所示:

故选：D

二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.(多选题)已知函数/(x)=gx3-4x+4(xe［0,3］),则()

A.函数/(x)在区间。2］上单调递减

B.函数/(%)在区间［0,3］上的最大值为1

C.函数/(%)在点(1,/(1))处的切线方程为y=-3x+y

D.若关于x的方程f(x)=a在区间［。,3］上有两解，则(4］

【答案】AC

【解析】

【分析】利用导数分析函数/(%)的单调性，进而判断AB选项；结合导数的几何意义可判断C选项；画

出函数/(幻大致图象，结合图象即可判断D选项.

1,

【详解】因为/"(x)=§x3—4X+4,xe［0,3］,

所以1(x)=-4=(x+2)(x—2),

令r(x)>0,即无>2；令/'(x)<0,即0«x<2,

所以函数/(x)在区间［0,2］上单调递减，在［2,3］上单调递增，故A正确；

因为/(0)=4,/(3)=1,

所以函数/(%)在区间［0,3］上的最大值为4,故B错误；

因为广⑴=—3,/⑴二；，

所以函数/(x)在点(1,/(1))处切线方程为y-^=-3(x-1),

即y=-3xH—，故C正确；

3

4

因为/(2)=—函数/(x)大致图象如图，

要使方程y（x）=。在区间［0,3］上有两解，

4

则——<a《l,故D错误.

3

故选：AC.

10.已知抛物线C：俨=4尤的焦点为尸，过尸的直线/交抛物线于A（XI,Ji）,B（X2,>2）两点，且A,8

在其准线上的射影分别为4,Bi,则下列结论正确的是（）

A.若直线/_Lx轴，则|A8|=2B.中々=3C.»y2=-4D.ZAiFBi=

71

I

【答案】CD

【解析】

【分析】选项A,求解A,8点的坐标，从而求出的长；选项BC,设出直线/的方程，联立直线/与抛

物线C的方程组，消元得一元二次方程，得到两根之积；D选项，由抛物线定义得到/A必产NAiFO=g

ZAFO,ZBFB!=ZBIFO=^ZBFO,从而得到答案.

【详解】抛物线C的焦点尸（1,0）,准线方程x=-l,显然/不垂直于y轴，设/的方程为x=my+l,由

x=my+1

2

<2得：y-4my-4=0,yi,”是此方程的二根，

y=4x

选项A,直线/_Lx轴，m=0,yi=2,"=2则|A5|=4,即选项A错误；

选项B,注第=-4,则％%=K./=（%%）=i，即选项B错误；

-1-4416

选项C,yi-y2=-4,即选项C正确；

选项D,如图中，由抛物线的定义知，\AF］=\AiA\,：.ZAAiF=ZAFAif

又A4i〃x轴，/.ZAAiF=ZAiFO,：.ZAFAl=ZAiFO=^ZAFO,同理可得，ZBFBl=ZBlFO=^ZBFO,

：.ZAlFBl=ZAiFO+ZBlFO=^-CZAFO+ZBFO)=-,即选项D正确.

22

故选：CD

11.已知函数/(x)=(x—l)2(x—4)+机的导函数为/'(x)()

A.若〃尤)有三个零点，则0(机＜4B./,(4-x)=/,(x)

C.x=l是/(x)的极小值点D.当x»0,/(九丝0时，贝心心4

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用导数判断出单调性并求出了(%)极大值、"x)极小值，结合零点定义逐项判断可得答案.

【详解】因为函数y(x)=(x—l)2(x—4)+加，所以/'(x)=3f—12X+9,

令/'(%)=0,解得x=l,或x=3,

当x>3,或x<l,/'(x)>0,当1<%<3,//(%)<0,

所以了(%)在(3,+8),(-8,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减,

〃龙)极大值=7⑴=7〃，”尤)极小值="3)=-4+加，

m>0

对于A,得0<加<4,

-4+m<0

即/(1)=根＞0，/(3)=^4+m＜0,

因为“X)在(1,3)上单调递减，所以“X)在(1,3)上只有一个零点,

因为/（—1）=（—1—1）2（—1—4）+m=m—20<0,〃龙）在（—8,1）上单调递增,

可得了（%）（—8,1）上只有一个零点，

因为〃5）=（5—1）2（5—4）+m=16+加>0,〃龙）在（3,母）上单调递增，

可得了（九）在（3,+8）上只有一个零点，

综上，/（%）有三个零点，故A正确；

对于B,/'（%）=3%2-12x+9,

f（4-x）=3（4-x）2-12（4-x）+9=3x2+12x+9,

所以/'（4—£）=/'（£）,故B正确;

对于C,x=l是的极大值点，故C错误；

对于D,当“时,则”小值"⑶一+…,

'）[/（0）=-4+m>0

解得7”之4,故D正确.

故选：ABD.

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.己知函数/（》）=/'[2卜05%-5111%,则/■《）=.

［答案］_更##—

33

【解析】

JT兀71

【分析】对函数求导，代入x=：,求出了',得到函数解析式，可求/

6

171

【详解】函数〃力=,S1ILX,贝Jr(x)=-/sinx-COSX

母-符吟哈

所以屯T则f(X)---^-COSX-

sinx，

故答案为：一空.

3

13.己知曲线y=lnx+2与y=ln(尤+。)公切线为y=Ax+l—ln2,则实数a=.

【答案】1

【解析】

【分析】设切点坐标为«,In7+2),求得切线方程y=[x+lnf+l,根据题意，求得♦=工,得到切线方

t2

程为y=2x+l—ln2,再设切点为(m,ln(m+a)),结合切点在切线上和-----=2,列出方程组，即可

m+a

求解.

【详解】由函数y=hw+2,可得y'=」，

设切点坐标为«,lnt+2),可得了忆尸；，则切线方程为y—(hu+2)=：(xT),

即y=1九+ln/+l,与公切线y=Ax+l—ln2重合，可得ln/+l=l—ln2,

t

可得/二工，所以切线方程为y=2x+l—ln2,

2

对于函数y=ln(x+a),可得y=」一，设切点为O,ln(s+a)),贝仃'|9=--一

x+am+a

ln(m+Q)=2m+1-In2

则11,解得m=——,a=l.

-------=22

^m+a

故答案为：1

14.已知左＞0,对任意的—,+x),不等式e"(A%—1)2exluv恒成立，则上的取值范围是

【答案】[1,+。)

【解析】

求出叵担

【分析】构造函数〃x)=xeX(xeR),利用单调性得到质—INlux,分离参数,g(x)=

X

xe：，+s］，的最大值即可

【详解】由条件得(fct-l)>xlnx=e1nx•lux,

构造函数/⑺=*(X€R),对其求导得/■'(%)=(x+l)e"令/'(力=0得x=_i,

于是当％<—1时，/'(x)<0,函数/(%)单调递减；当x>—1时，/'(力>0,函数/(%)单调递增.

因为兀>0,xe|,+oo,所以质—1>—1,lax>-l,根据/(依—1)2/(lux),得到米—121m:,

］nY+1

分离参数得左2上一对VxeJ恒成立,

x

lr,ln%+1

只需左2(Z-----)max

-1、_1

构造函数g(x)=nnr

1%+1xe-,+<»,对其求导得/(力=——)

_e)x

令g'(x)=0得x=l,于是当』<x<l时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增;

e

当%>1时，g'(X)<0,函数g(x)单调递减，

所以gCOmax=g(l)=L于是左上1，因此％的取值范围是

故答案为：［1,+8)

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.设函数/(x)=lnx+ox,aeR.

(1)讨论函数/(x)的单调性;

(2)若/(九)^尤+1恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)|—oo,l---

【解析】

【分析】(1)求出函数/(九)的导数，讨论。的范围确定导数正负可得出单调性;

(2)由已知得aVx+1—1nx恒成立,x+1-lnx

令g(x)=,x>0,利用导数求得g(x)的最小值即可.

xX

【小问1详解】

由/(x)=lnx+依,则/'(%)=，+〃,无>()

当让0时，/'(力>0恒成立，则“力在(0,+8)上单调递增；

当a<0时，令/'(%)=0,解得x=—

x《0,-/时，/(%)>0,则“X)在£|上单调递增；

时，/(%)<0,则/(%)在］一十,+8］上单调递减.

【小问2详解】

由题意lnx+dr4％+1恒成立，

x+1-luxJx+1-lnx^l

因为x>0,即得---------恒成立，即----------，x>0,

%\X7min

、―/、x+1-lnx八.I”、lnx-2

i己g(x)=--------,x>0,贝|Jg(x)=---2-，

XX

令g'(x)=0,得Me?,令g'(x)<0,得0<无<—即g(x)在(Od)上单调递减,

令g'(x)>0可得x>e2,即g(x)在卜2,+句上单调递增，

所以8⑴血=g(e?)=l—

所以一-豆,即实数。的取值范围为/.

16.已知函数/（无）=卜2-2%+4）6”,461^.

(1)若。=1,求函数/(幻在xe［0,3］上的最大值和最小值;

(2)讨论函数/(%)的单调性.

【答案】(1)最大值为4e3,最小值为0；

(2)答案见解析.

【解析】

【分析】(1)求导，利用导数研究函数/(幻在XG［0,3］的单调性，求极值和区间端点函数值，即可求解;

(2)对函数求导，根据未知数。的不同范围，分别求出函数单调性.

【小问1详解】

当〃=1时，/(x)=(x2-2x+l)e\则广(x)=(d—1)^,

令/'(X)=(%2-1)9'=。，得x=l或％=—1,

由于xe[0,3],

所以当XG(0,1),r(x)<0,/(x)在(0,1)单调递减，

所以当XG(1,3),r(x)>0,/(X)在(1,3)单调递增，

所以/(幻在龙=1时取到极小值，且/(1)=0,

又因为/(0)=1,/⑶=4e3,

综上，函数/(%)在xe[0,3]上的最大值为4e3,最小值为0.

小问2详解】

因为/(%)=(£—2x+ajex,aeR,所以f'(x)=(%?+a-2)e*,aGR,

当a—220,即a22时，/f(x)=(x2+«-2)ex>0,

/(x)在(-oo,+oo)单调递增，

当〃一2<0,即〃<2时，

令/'(x)=(%2+Q_2)e*=0,则i=±J2-a，

所以当xeb”,—J=),/'(x)>0,/(x)在卜厅£)单调递增，

当xe卜\/2-a,J'2-a),/'(%)<0,/(x)在卜丁2-a,,2-a)单调递减,

当xe(、2-a,+e)f'(x)>0,/(x)在(,2—a,+”)单调递增.

综上所述，当aN2时，/(幻在(—8,+。)单调递增，

当a<2时，/(x)在—J2—ab(J2—a,+”)单调递增,在(―,2—a,/2—a)单调递减.

17.如图1,在矩形A3CD中，3。=243=2,£是">中点，将ACDE沿直线CE翻折到的位

置，使得PB=6,如图2.

图2

（1）求证：面PCE_L面ABCE；

（2）求PC与面A3P所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）2叵.

11

【解析】

【分析】（1）连结8E,可得BELEC,结合两图，可得BE1EC,BE±PE,又ECcQEuE，根据

线面垂直的判定定理证得面PEC,再利用面面垂直的判定定理证得结果；

（2）以点A为原点，分别以A3,AE直线为x轴，y轴，以经过点A且垂直于平面A6CE的直线为z轴建

立直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值得到结果.

【详解】（1）证明：连结助,

由图1可得BE_LEC

在图2中BE=J2,PE=1,PB=73,/.BE1PE

又,.,ECc尸石二足二5石上面PEC

：.BEczffiABCE；.面PCE_\_面ABCE

(2)以点A为原点，分别以A3,A石直线为不轴，V轴，以经过点A且垂直于平面ABCE的直线为z轴建

立直角坐标系.

(13^/2]

由题意可知，B(1,0,0),C(1,2,0),E(0,l,0),P

AP=PE，通=(1,0,0)

设面ABP法向量为：=(%,%z)

n-AP=0令〉="得2=-3,所以尢=(0,"—3)

n-AB=0

’11

PC=

2,2,

2^/22

sin6)=|cos^PC,n

/|PC|X|«|11

所以直线PC与面的尸所成角的正弦值为拽2.

11

【点睛】方法点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题方法如下:

(1)结合平面几何的知识得到线线垂直，利用线面垂直的判定定理证得线面垂直;

(2)建立适当的坐标系，求得平面的法向量和直线的方向向量，求得其所成角的余弦值，进而得到线面

角的正弦值.

18.已知正项数列｛4｝的前〃项和为S”，且满足%=9,45〃=%+2%+机.

(1)证明：｛4｝为等差数列.

(2)求加的值和｛4｝的通项公式.

(3)若数列出｝满足"=」三，其前〃项和为T“，证明：7；,<4.

【答案】(1)证明过程见解析；

(2)m=-15»a”=2〃+3；

(3)证明过程见解析

【解析】

【分析】(1)根据〃22时，q,=S〃—S,i得到a“—=2,证明出｛可｝为等差数列；

(2)利用等差数列性质及%=9得到4=5,结合2%+根=0求出爪=—15,并得到通项公式；

⑶勿=〃.(",利用错位相减法求和,得到<=4—(〃+2)g)<4.

【小问1详解】

4S.=a；+2a“+根①，

当〃22时，4s“_]=+2a0T+m②，

式子①-②得4an=a；+2an-2%,

故a1-2an-a；--2an_x=0,故(%+-an_x-2)=0,

｛■为正项数列，故a“+%>0,所以。“一。"_1-2=0,

即a,,-a,i=2,｛a“｝为公差为2的等差数列；

【小问2详解】

由(1)知，｛%｝为公差为2的等差数列，

%=9,故％=。3—2x2=5,

45〃=4+2%+相中，令〃=1得4%=a；+24+加，

即如一2%+根=0,

将。1=5代入上式得25—10+根=0,解得加二—15,

｛，〃｝的通项公式为an=q+2(H—1)=5+2〃—2=2〃+3；

【小问3详解】

an一32n+3-3(1

b〃=-----=n・—

1=1+2义；+3义[3]

故H+2x[)+3x[)+...+喂)

式子③-④得

-*=2-(n+2)

故北=4一(〃+2)<4.

19.己知函数〃x)=2at+(2-a)lnx+L

(1)当a<0时，讨论了(%)的单调性;

(2)若a=0,g(x)=em—f+g+L讨论方程=。的根的个数.

x

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析.

【解析】

【分析】(1)应用分类讨论及导数研究函数的单调区间即可；

nalnr2

(2)根据已知有Q+mx-e-+ln%;构造/z(x)=x+e\xe(0,+“)并应用导数研究函数的单调性,

C1

得到〃Z利用导数研究右侧的单调性和最值，即可得参数范围.

X

【小问1详解】

f(x)=lax+(2-a)ln%+—的定义域为(0,+"),则/(x)=⑶1),依+1)