二次函数线段和周长最值问题-2025年中考数学几何模型专练

二次函数线段和周长最值问题

模型原理

1构造二次函数求面积、线段最值

方法步骤：

①根据点在图象上满足函数解析式，设出动点坐标；

②根据宽高公式、两点间距离公式等表示出三角形的面积、线段长度等；

③根据表示出的函数关系式和动点范围求出最值.

2.依据几何性质求线段和差、周长最值

常用的几何性质：

①直角三角形斜边大于直角边；

②两点之间线段最短；

③点到直线垂线段最短；

④三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

3.借助几何变换进行线段转化

4.借助相似三角形进行线段转化

5.借助三角函数进行线段转化

真题精炼

1如图，抛物线y=-1/+.+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点A坐标为((-1-0),点B坐

标为(3,0).

(1)求此抛物线的函数解析式.

⑵点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，

垂足为点E,请探究2PD+PE是否有最大值?若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明

理由.

2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=+6%+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,其中B(3,0),

C(0,-3).

(1)求该抛物线的表达式.

(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PDXAC于点D,求PD最大值及点P坐标.

3如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+2过点(1,3),且交x轴于点4(-1，0),B两点，交y轴

于点C.

⑴求抛物线的表达式.

(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作1PD回于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于

点E,求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标.

4如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点.4(-2,0)和点B(6,0)两点,

与y轴交于点C(0,6).点D为线段BC上的一动点.

(1)求二次函数的表达式；

(2)如图1,求仆AOD周长的最小值;

5在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a*0)经过点4(-1-0)和B(0,3),其顶点的横坐标为1.

⑴求抛物线的表达式.

(2)若直线尤=mn与x轴交于点N,在第一象限内与抛物线交于点M,当m取何值时，使得AN+MN有最大

值，并求出最大值.

6如图抛物线过点0(0,0),E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点B在点A的左侧)，点C,D在抛物线上,

设B(t,0),当tt=2=2时，BC=4.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?

7如图，抛物线y=ax2+bx+3(a丰0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标是(-1,0),

抛物线的对称轴是直线：x=l.

备用图

⑴直接写出点B的坐标；(2)在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小.求点P的坐标和PA+PC的最小值；

⑶第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN回%轴，垂足为N,连接BC交MN于点Q.依题意补全图

形，当MQ+鱼CQ的值最大时，求点M的坐标.

8如图一所示,在平面直角坐标中，抛物线y=ax2+2x+c经过点A(-l,0)、B(3,0),与y轴交于点C，顶

点为点D.在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE±B(PE^BCC于点E,作PF//AB交

BC于点F.

⑴求抛物线和直线BC的函数表达式,

(2)当4PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和4PEF的周长.

9如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A(O,-1),B(4,l),直线AB交x轴于点C,点P

是直线AB下方抛物线上的一个动点.过点P作PD团4B,垂足为D,.PE||x轴，交AB于点E.

⑴求抛物线的函数表达式.

⑵当APDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和APDE周长的最大值.

10如图，抛物线y=-12+6久+c与X轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y=-|光+2过B、C

(2)求证LAOCLACB.

⑶点M(3,2)是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过D作OE配轴交直线BC于E

，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值.

1.如图，抛物线y=-#+版+c与z轴交于A,B两点与y轴交于点C点A坐标为(-1,0),点B坐标为(3,0).

⑴求此抛物线的函数解析式.

⑵点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，

垂足为点E,请探究2PD+PE是否有最大值?若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值,请说明

理由.

【答案】(l)y=—1/+打+2(2)2PD+PE的最大值为工，P点的坐标为管，If)

【解析】【分析】

⑴直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式；

(2)先求解C(0,2),及直线BC为y=-|x+2,设P(%，-|x2+亚+2),可得D(x--|%+2)再建立二次函数求

解即可；

【详解】

⑴解:,••抛物线s=-1*2+.+与X轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点A坐标为(-1,0),点B坐标为(3,

0).y=—|(x+l)(x—3)=—|x2+|x+2;

(2)解:当x=0时，y=-|^2+|x+2=2,.,.C(0,2),设直线BC为y=kz+2,.3k+2=0,解得：k=一|,.直线BC为

•y=—|x+2,设P(%，一|%2+gx+2),D(z，一|久+2),2PD+P£,=2^—|z2+|x+2+|x—2^+

“-7+5%；当X=-帚=争寸,有最大值条1止匕时P(代)；

2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=,2+版+c与z轴交于点A,B,与y轴交于点O,其中B(3,0),

C(0,-3).

⑴求该抛物线的表达式.

(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PDXAC于点D,求PD的最大值及此时点P的坐标.

【答案】⑴丫=滓+[*-3

⑵PD的最大值为加时P(-2，-1)

【解析】⑴将点B(3,0),oe，TW%+H+"，

gx32+3b+c=0

'c=-3

解得｛二?

•••抛物线的表达式为y=i%2i%-3,

,4+4

(2)•・・y=i%2+：%-3与x轴交于点A,B,

44

当y=0时.—3=0,

解得：%!=-4,x2=3,

设直线AC的解析式为y=kx-3,

-4k-3=0,

解得：ik=

4

・,・直线AC的解析式为y=—[%—3,

如图所示，过点P作PE_Lx轴于点E,交AC于点Q,

设2(丐/+?_3)则(("*_3),

PQ=-3-(-t2+-t-3)=--t2-t,

“4\4474

angleAQE=anglePQD,Z-AEQ=Z-QDP=90°

angleOAC=angleQPD.

・.・OA=4,OC=3,

・・・AC=5,

7cnnPD4°4

•••cosang/eQPD=而=cos/OAC=-=?

P。=：PQ/(一封—)=一#Y"+2¥+：

.•.当t=-2时,PD取得最大值为=,

i^+it-3=ix(-2)2+lx(-2)-3=-j

3如图,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2过点(1,3),且交a轴于点A(-l,0),B两点，交y轴于点

o.

(1)求抛物线的表达式.

(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD，BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于

点E,求小PDE周长的最大值及此时点P的坐标.

【答案】⑴y=-*+|x+2.

(2)APDE周长的最大值为空上此时点P(2,3).

【解析】(1)把(1,3)、A(—L0)/fcAy=czx2+bx+得｛3=a+b+20=a—b+2,

_1

解得｛=7

b=2

•••抛物线的表达式为y=-]/+弓》+2・

(2)如图延长PE交x轴于F,

*.•PDXBC于点D,PE〃y轴，

ZDEP=ZBCO,ZPDE=ZCOB=90°,

ADPE^AOBC,

2DPE的周长_PE

△OBC的周长BC，

：.ADPB的周长=BC,AOBC周长，

当PE最大时△PDE的周长最大，

•••抛物线的表达式为：y=-|x2+|%+2,

.--B(4.0),C(0,2),

二直线BC的解析式为y=-|x+2,BC=VOC2+OB2=2逐,

P(nv—号7?12+|m+2)则E—+2^,

PE=--m2+-m+2—f—-m+2)=--m2+2m

22I2J2

=-|(m-2)2+2,

当m=2时PE最大，最大值为2,此时P(2,3),

ABOO的周长为OC+OB+BC=6+2V5

...APDE周长的最大值为磊x(6+2V5)=匚受此时P(2,3)即APDE周长的最大值为qE此时点P(2,3).

【标注】【知识点】二次函数与动点问题

4如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=a/+bx+c的图象与x轴交于点A(-2,0)和点B(6,0)两点,

与y轴交于点C(o,6).点D为线段BC上的一动点.

⑴求二次函数的表达式；

(2攻口图1,求4AOD周长的最小值；

【答案】(l)y=+2尤+6(2)12

【解析】(1)解:由题意可知.设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x-6),

将(0,6)代入上式得:6=a(0+2)(0-6).

1

a=——

2

所以抛物线的表达式为y=-ix2+2%+6;

(2)作点O关于直线BC的对称点E,连接BC、EB,

：B(6,0),C(0,6),ZBOO=90°,

.*.OB=OC=6.

；O、B关于直线BO对称，

..四边形OBEC为正方形，

；.E(6,6),连接AE,交BC于点D面对IDE|=|DO\,AE=y/AB2+BE2=V82+62=10

此时|DO|+|DA|有最小值为AE的长，

AAOD的周长为DA+DO+AO,AO=2,DA+DO的最小值为10,

...△AOD的周长的最小值为10+2=12;

5在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)经过点A(-l,0)和B(0,3),其顶点的横坐标为L

(1)求抛物线的表达式.

(2)若直线m=m与m轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M,当m取何值时，使得AN-MN有最大值，

并求出最大值.

【答案】(l)y=—%2+2%+8

⑵彳

【解析】(1)...抛物线的顶点横坐标为1,

•••抛物线的对称轴为直线z=L、

・，点A的坐标为(-1,0),

抛物线与a轴的另一交点坐标为(3,0).

将(-1,0),(3,0),(0,3)代入y=ax2+bx+c

a—b+c=0a=—1

得｛9a+3b+c=0得｛b=2,

c=3c=3

，抛物线的表达式为y=-x2+2%+3;

(2),.•直线x=m与x轴交于点N,在第一象限内与抛物线交于点M,

点M的坐标为((加一血2+2m+3)点N的坐标为(m,0),

・•・MN=-m2+2m+3,AN=m+1

・•.AN+MN=m+1+(—m2+2m+3)=—m2+3m+4=—(m—|)+1

­—1<0,且0<m<3r

.•.当m=田寸,AN+MN有最大值，最大值为Y

6如图，抛物线过点0(0,0),E(10,0)矩形ABCD的边AB在线段OE上(点B在点A的左侧)，点C,D在抛物线上,

设B(t,0),当t=2时,BC=4.

⑴求抛物线的函数表达式；

⑵当t为何值时，知形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?

【答案】⑴y-32Tx⑵当t=l时，矩形ABOD的周长有最大值，最大值为-42【解析】【分析】

4Z

⑴设抛物线的函数表达式为y=az(x-10)(a^0),求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可求出该抛物线的函数

表达式；

⑵由抛物线的对称性得AE=OB=t,则AB=102再得出BC=-［产+|t,根据矩形的周长公式，列出矩形周长的

表达式，并将其化为顶点式，即可求解；

⑶连接AC,BD相交于点P,连接OC,取OC的中点Q,连接PQ,根据矩形的性质和平移的性质推出四边形

OCHG是平行四边形，则PQ=CH,PQ=巳04求出t=2时，点A的坐标为(8,0),则C”==4,即可得出结论.

[详解】(1)解:设抛物线的函数表达式为y=ax(x-10)(a^0).V当t=2时,BC=4,点C的坐标为(2,-4).将点C坐标

代入表达式彳导2a(2-10)=-4.解得«=i抛物线的函数表达式为丫=；/_|久，

44Z

⑵解:由抛物线的对称性得:AE=OB=t,；.AB=10-2t.当x=t时.

BC=—%2+1匕.•.矩形ABCD的周长为：2(48+BC)=2[(10-2t)+(-;t2+|t)]=-|t2+t+20=

-i(t-l)2+y-v-|<0,当t=l时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为2、

7如图，抛物线y=a/+bx+3(a力0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标是(-1,0),抛

物线的对称轴是直线x=L

lo\'\V/TTV

备用用

⑴直接写出点B的坐标；⑵在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小.求点P的坐标和

PA+PC的最小值；(3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN±x轴，垂足为N,连接BC交MN

于点Q.依题意补全图形，当MQ+V2CQ的值最大时，求点M的坐标.

【答案】(1)(3,0)

⑵点P(l,2),PA+PC的最小值为3V2

【解析】⑴解：•点A(-l,0)关于对称轴的对称点为点B,对称轴为直线x=l,

...点B为(3,0);

⑵当x=0时,y=3,；.C(0,3),连接BO,

VB(3,0),

BC=V32+32=3Vx

V点A关于对称轴的对称点为点B,

PA+PC=PB+PO>BC,

•••当P,B,C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长,

设直线BC的解析式为:y=kx+n,

则£：=(>,

解得｛n=3/c=-1,

y=-x+3,

•••点p在抛物线的对称轴上，

，P(1,2);

.•.点P(1,2),PA+PC的最小值为3V2

⑶过点M作MNLz轴,垂足为N,连接BC交MN于点Q,如图所示,

VA(-1,O),B(3,O),

设抛物线的解析式为:y=a(x+l)(x-3),

VC(0,3),

:3=-3a,

'a=-l,

•••y=—(x+1)(%—3)=—%2+2%+3,

2

设M(m1—m+2m+3),

则:N(m,O),

由(2)知直线BC:y=-x+3,

Q(m,〜m+3).

MQ=-m2+2m+3+TH—3=—m2+3m,

VC(0,3),B(3,0).

OO=OB=3,BN=3-m,

.\ZOBC=ZOCB=45O,

・•・ZNQB=ZOBC=45°,

・•・BQ=V2BN=V2(3一m),

•••CQ=BC—BQ=3A/2—3V2+V2m=V2m,

MQ+y/2CQ=—m2+3m+V2•y/2m

=—m2+5m=—(m—+彳,

67'

当巾=泡,MQ+V2CQ有最大值，止匕时M—)—

,24.

8如图一所示，在平面直角坐标中,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(-1,O)、B(3,0)，与y轴交于点C,顶点为

点D在线段CB上方的抛物线上有一动点P,过点P作PB1BC于点E，作PF〃AB交

ffl-备用图

⑴求抛物线和直线B0的函数表达式.

(2)当4PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和4PEF的周长.

【答案】(1)抛物线函数表达式为y=-%2+2%+3直线BC的函数表达式为y=-x+3(2)点P的坐标为(1，?),△

PEF的周长为式虎+1)

【解析】(1解将点A(-1,O),B(3,O)代入y=ax2+2x+c得：｛；*含解得｛a=-1c=3,所以抛物线解析式为

y=-%2+2x+3,C(0,3)设直线BC的函数表达式y=fcx+b,将B(3,0),C(0,3)代入得｛°；3kl匕解得

｛fc=-lb=3,所以直线BC的函数表达式为y=-x+3⑵与抛物线相切时的解析式为y=-x+p,与抛物线联立得：

｛32j：Pj_2整理得%2-3%+p-3=0A=32-4(p-3)=0,解得p=?，将p=?代入x2-3x+p-3

y——x十LX十344

=0,解得X=|,将X=|代入y=-x2+2x+3得y=今即△PEF的周长为最大值时，点P的坐标为(|,手将%=找入

y=-x+3得y=|,则此时PF=^-l=泅为△PEF为等腰直角三角形，PE=FE=：X/=等则△PEF的周长最

9如图，在平面直角坐标系中，抛物线yy=x2+bx+c经过点A(0,-l),B(4,l)直线AB交z轴于点C,点P

是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点P作PDXAB,垂足为D,PE//X轴，交AB于点E.

⑴求抛物线的函数表达式.

⑵当^PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和仆PDE周长的最大值.

【答案】(l)y=x2-1x-1.

(2)点P的坐标为(2,-4),△PDE周长的最大值为8+警.

【解析】⑴：抛物线y=/+"+c经过点A(O,-1),B(4,l),

fc--l

116+3+c=l'

解得(b=一gc=-1,

y=2--7x—1,

・••抛物线的函数表达式为y=/_六_i.

(2)设直线AB的解析式为y=krx+blf

/瓦--i

I他+a=r

解得的=/=一1,

11

•1•y=-x-l,

令y=0,|x-l=0,x=2,

•••C点坐标为(2,0),

.,.OC=2,

又：OA=1,

八八AOA1

td.nZ.OOA=—=—.

OC2

7PE//X轴，

・・・ZPED=ZOCA.

1

・•・tanZ-PED=-

2，

过点P作PH//t/轴交直线AB于点H,

APEXPH,

VPD1AB,

PD_PH_1

DE-PE-2’

APE=2PH,DE=2PD,

：.PE=V5PD,

ACAPDE=PD+DE+PE

=PD+2PD+遮PD

=（3+V5）PD

=^fl-PE

Vs

=（1+言）PE=（2+W）PH

设P点坐标为其中0<m<4,

则H点坐标为

•••PH=|m—1—（m2—1m—1^

27

m+-m+

2

=—m2+4m

=—(m-2)2+4,

・・・当m=2时PH取得最大值为4,

VPH越大,△PDE的周长越大，

当PH=4时,APDE周长的最大值为8+鹏，

此时P点坐标为(2,-4).

2