二次函数相等角问题-2025年中考数学几何模型专练

二次函数相等角问题

模型原理

1.等角

等角问题中，目标角等于已知角，角定，则正切值定；角等，则正切值等，继而转化为定角问题.此外，若因等

角出现相似三角形，则可考虑直接利用相似求解.

2.和差角

1.在遇到一些角度如15。、75。、105。时，可以将其看做是某两个特殊角的和差，如1!5。=45。-30。=60。-4

5。,75。=45。+30°,105°=60。+45。等，继而转化为定角问题；

2在遇到更一般的和差角问题时，一般可以通过导角转化为定角或等角问题.

3.倍半角

倍半角问题主要通过等腰三角形、角分线或轴对称将“倍角”和“半角”转化为常规的定角或等角问题.

如图，在等腰△ABC中，AB=AC,贝!]NCAD=2/B.

如图，若BP平分NABC,贝（^ABC=2N4BP=2乙PBC.

真题精炼

1.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C.

备用图

(1)OC=—.

(2)如图,已知点A的坐标是(-1,0).

①当IWxgm,且m>l时，y的最大值和最小值分别是s、t„s-t-2,求m的值；

②连接AC,P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点(点B除外)，过点P作PD±x轴,垂足为D作/D

PQ=/ACO,射线PQ交y轴于点Q，连接DQ、PC.若DQ=PC,求点P的横坐标.

2.如图，在直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点

C(0,3),对称轴为直线x=-1,顶点为点D.

(1)求二次函数的表达式；

⑵连接DA,DC,CB,CA,如图①所示，求证：^DAC=ABCO;

3.如图1在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点.2(-1,0),8(3,0),与y轴交于点C.

⑴求该二次函数的表达式；

⑵连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使Z.PCB=乙4BC?若存在，请求出点P的坐标：若不存在，

请说明理由；

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别交x轴、y轴于A,B两点，经过A,B两点的抛物线y

=-x2+bx+cc与x轴的正半轴相交于点C(1,0).

⑴求抛物线的解析式；

⑵若P为线段AB上一点NAPO=NACB，求AP的长;

5如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+4(a*0)经过点4(-2,0))和点B(4,0).

⑴求这条抛物线所对应的函数表达式.

⑵点P为该抛物线上一点(不与点C重合),直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标.

⑶点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当/OCA=/OCB-NOMA时.

求t的值.

6.抛物线y=ax2+bx+3过点A(-1,O),点B(3,0),顶点为C.

⑴求抛物线的表达式及点C的坐标.

(2)如图1,点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D,连接AC,若△D4c是以AC为底的等腰三角形,

求点P的坐标.

⑶如图2,在(2)的条件下，点E是线段AC上(与点A,C不重合)的动点，连接PE，作乙PEF=4cAs边EF

交x轴于点F,设点F的横坐标为m,求m的取值范围.

2

7如图，抛物线y=ax+bx+cc与两坐标轴相交于点A(-1,O)XB(3,0)、C(0,3),D是抛物线的顶点,E是线

段AB的中点.

⑴求抛物线的解析式，并写出D点的坐标.

(2)F(x,y)是抛物线上的动点：

①当x>l,y>0时，求△BDF的面积的最大值.

②当AAEF=NDBE时，求点F的坐标.

8如图，直线y=-%+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-%2+bx+c经过点B、C与x轴另

⑴求抛物线的解析式.

⑵在x轴上找一点E,使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值.

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得4APB=NOCB?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理

9如图，二次函数y=x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B,抛

物线过点C(1,O),且顶点为D,连接AC、BC、BD、CD.

⑵点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1,直线PC交直线BD于点Q.若ACQD=4ACB,求点P的坐

标.

10如图，二次函数y=—/+2mx+2m+l(m是常数，且6>0)的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B

的左侧)，与g轴交于点C,顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E,与x轴交于点F,连接AC,BD.

⑴求A,B,C三点的坐标(用数字或含m的式子表示)，并求NOBC的度数.

(2)若N4C。=NCBD,求m的值.

(3)若在第四象限内二次函数y=-x2+2mx+2m+l(m是常数，且rn>0)的图象上，始终存在一点P,使

得NACP=75。,请结合函数的图象，直接写出m的取值范围.

1如图，在平面直角坐标系中，直线y=+3与a轴交于点A，与g轴交于点B,抛物线y=|x2+bx

+c经过坐标原点和点A，顶点为点M.

(1)求抛物线的表达式及点M的坐标.

(2)点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB,EA,当4EAB的面积等于g时，求E点的坐标.

⑶将直线AB向下平移，得到过点M的直线y=mx+n,且与x轴负半轴交于点C,取点D(2,0),连接DM,求证:

ZADM-ZACM=45°.

【答案】(l)y=之久2一2居(3，—3).

(2)。，一|)啡—§

⑶证明见解析.

【解析】⑴对于y=-)+3,令y=-jx+3=0,

贝(Ix=6;令x=0,则y=3.

故点A、B的坐标分别为(6,0)、(0,3),

抛物线=|x2+bx+c经过坐标原点，故c=0,

将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=：x36+6。解得b=-2,

故抛物线的表达式为y=|%2-2x,

则抛物线的对称轴为直线x=3，当x=3时，y=[--2乂=-3,

则点M的坐标为(3,-3).

(2)如图1.过点E作EH//y轴交AB于点H,

设点E的坐标为(吗/-2久),则点8(”-六+3),

则小EAB的面积

=S"HB+SAEHA—|XBHXOT!=|X6X(—|X+3—|X2+2x)=y,

解得X=1或|

故点E的坐标为(I-1)-H)$

(3＞、直线AB向下平移后过点M(3,-3).

故直线CM的表达式为y=-|(x-3)-3=-jx-1,

令！=久-1=0解得x=-3,

故点C(-3,0),

过点D作DHLCM于点H.

...直线CM的表达式为y=—之万—|,故tanzMCD=j,

贝!j：sinzMCD=5

则DH=CD-sinzMCZ)=(2+3)X=V5,

由点D、M的坐标得，DM=J(2—3尸+(0+3》=同,

则sin乙HMD=簿=焉=当故

ZHMD=45°=ZDMC=ZADM-ZACM=45°.

・•・ZADM-ZACM=45°.

2如图，抛物线y=#％-3与z轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,直线1与抛物

线交于A,D两点,与y轴交于点E,点D的坐标为(4,-3).

(1)请直接写出A,B两点的坐标及直线1的函数表达式.

(2)若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m(mK)),过点P作PMLz轴,垂足为M,PM与直线1交于点N,

当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标.

⑶若点Q是y轴上的点，且/ADQ=45。,求点Q的坐标.

【答案】(1)A(-2,0),B(6,0),直线1的函数表达式为y=-|x-1.

(2)(0,-3)或(3,-今

⑶(0,9)或(。，一£)

【解析】⑴把y=0代入y=#一x7中，

得_x_3=0,

解得Xi=6,X2=-2,

・・・A(-2,0),B(6,0),

设直线1的函数表达式为y=kx+b(kr0),

把A(-2,0),D(4,-3)代入y=kz+b中,

zg[2k+Z)=0

信+Z)=-3

解得｛k=~\b=-1,

直线1的函数表达式为y=~lx-l.

(2)如图，根据题意可知，点P与点N的坐标分别为

P(mf-m12——1\

i1

PM=|-m7—m—3|=——m7+zn+3,

44

11

MN=\--m-1|=-m+1,

22

NP=—Qm2-zn—3)=—|-m2++2.

分两种情况：

①当PM=3MN时得一(租2+僧+3=36771+1),

解得mi=0,m2=-2(舍去)，

当m=0时-m2—m—3=—3,

4

・••点P的坐标为(0,-3).

②当PM=3NP时得—1租2+m+3=3^m2+：m+2),

解得m】=3,012=2(舍去)

当m=3时.-m2—m—3=

44

•••点P的坐标为(3，-学，

••・当点N是线段PM的三等分点时，点P的坐标为(0,-3)或(3,-^).

⑶•直线y--^x-1与y轴交于点E,

•••点E的坐标为(0,-1),

分两种情况：①如图，当点Q在y轴正半轴上时，记为点Qi.

过点Qi作QiH,直线1,垂足为H,则/QiHE=ZAOE=90°,

•••处EH=NAE。，

QiHE△AOE,

QiHHE

"'AO一'QE'

QTH_HE

2・1，

・•・QiH=2HEf

又@DH=45°/Qi”D=90°,

•••乙HQJ)=@DH=45°,

・•.DH=QrH=2HE,

・''HE=ED,

连接CDJ.•点C的坐标为(0,-3),点D的坐标为(4,-3).

；.CD_Ly轴.

•••ED=VEC2+CD2=7[-l-(-3)]2+42=2V5,

；.HE=2遮QiH=4V5

QiE=J*+Qi"2={(2正)+(4V5)=10,

0Q1=QrE-OE=10-1=9,

；•点Qi的坐标为(0,9).

②如图，当点Q在y轴负半轴上时，记为点Q2,过点Q2作Q2G,直线1,垂足为G，则^Q2GE=乙4。£=9

0°,

Z.Q2EG=Z.AEO,

Q2GE△AOE,

Q3GEG

••~AO-谑

DQ2G_EG

氏---=—■

21

•,・Q?G=2EG,

又：ZQ2DG=45°,ZQ2G£）=90°,

•••乙DQ2G=Z-Q2DG=45°,

DG=Q2G=2EG,

二•ED=EG+DG=3BG.

由①可知,ED=2V5

3EG=26，

I22

・•・EQ2=[EG2+Q2G2=J律）+律）=拳

•••OQ2=OF+E（?2=1+y=y

•••点Q2的坐标为（0,一日）

综上，点Q的坐标为（0,9）或（0,一葭）.

3如图，抛物线y=a/+9+c与z轴交于A(-2,0)、B(6,0)两点与y轴交于点C.直线1与抛物线交于A、D

两点，与y轴交于点E,点D的坐标为(4,3).

⑴求抛物线的解析式与直线1的解析式；

(2)若点P是抛物线上的点且在直线1上方，连接PA、PD,求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大

值；

⑶若点Q是g/轴上的点，且/ADQ=45。,求点Q的坐标.

【答案】⑴抛物线的解析式为y=-；/+%+3,直线1的解析式为y=i%+l;(2)APAD的面积的最大值为

4z

*P(1,[(3)Q的坐标为().(0号)或(0,-9).

【解析】

解：⑴：抛物线y=a/+故+。与x轴交于A(-2,0)、B(6,0)两点，

设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-6),

解得,x=-2,或x=6,

•••D(4,3)在抛物线上，

.-.3=a(4+2)x(4-6),

解得a=，

.,・抛物线的解析式为y=+2)(%-6)=一:/+x+3,

:直线1经过A(-2,0)、D(4,3),

设直线1的解析式为y=kx+m(k#0),

贝！]{-2k+m=04k+m=3,

解得r-2；

b=l

，直线1的解析式为y=|x+1;

⑵如下图1所示中，过点P作PE//y轴交AD于点F.设P+m+3),则F(加加+1).

SAPAD=|­-xA)-PF=3PF,

:.PF的值最大值时，△PAD的面积最大，

•••PF=--m2+m+3—-m—1=—~m2+-m+2=—(m—l)2+-

42424v74

1

:.m=l时，PF的值最大，最大值为［,此时△PAD的面积的最大值为2P(1邛)

⑶如下图2所示，中,将线段AD绕点A逆时针旋转90。得到AT,则T(-5,6),

A.

Jr

1S2

设DT交y轴于点Q厕/ADQ=45。,

VD(4.3),

..•直线DT的解析式为+p

号)，

作点T关于AD的对称点Tv(l,-6),则直线DT/的解析式为y=3x-9,设DQ/交y轴于点Q：则/ADQ，=45。.

.*.Q'(0,-9),

综上所述，满足条件的点Q的坐标为(0,9或(0,-9).

【标注】【知识点】二次函数与几何综合

-x2+bx+3的图象与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C.

⑵如图,已知点A的坐标是(-1,0).

①当iWzWm,且m>l时,y的最大值和最小值分别是s、t,s-t=2,求m的值;

②连接AC,P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点(点B除外)，过点P作PD±x轴,垂足为D.作/DP

Q=/ACO,射线PQ交y轴于点Q,连接DQ、PC.若DQ=PC,求点P的横坐标.

【答案】(1)8

(2)0V2+1

②1或弓手

【解析】⑴当x=0时,y=3,即OC=3.

⑵①将点A坐标代入y=-z2+bx+3,

得,-l-b+3=0,

解得:b=2,

,解析式为：y=-X2+2%+3,

而s=—x2+2%+3=—(%—l)2+4

J对称轴为直线：m=l,

当10xWnv&m>l时，

t/随着x的增大而减小，

・••当x=1,8=-1+2+3=4,当x=m时，t=-m2+2m+3,

由s-t=2得，4+m2—2m—3=2,

解得:m=l+V2m=1-V2(舍)，

：.m=1+V2.

②在RtAACO中,tan/ACO=蔡=$

由题意得・.DP//CQ,DQ=PO.

・•・四边形DPCQ为平行四边形或等腰梯形,

VDP//y轴.

AZ1=ZDPQ,

NDPQ=NACO,

1

tanZ-DPQ=tanZ-ACO=tanzl=

,,OF_FD_1

•OQ~PD~3?

设FD=k,OF=n,则PD=3k,OQ=3n,

3k=3+3n,

n=k-l,

AP(2k-l,3k),

将点P(2/c—L3fc)/tAy=——+2%+3,

得：—(2/c-I)?+2(2fc-1)+3=3k,

解得：k=3班=0(舍).

5cy3

AXp=-X2—1=

产42’

当四边形DPCQ为等腰梯形时，则PC=QD过点P作PE±y轴于点E,

VDP//1轴，

APE=DO,

ARtAPOE^RtADQO,

ACE=QO,

.•.QO+OE=QC+QO,

.,.QE=OO=3,

tanzl=

3

tPE_1

••QE・3，

设PE=p，则QE=3p,

/.3p=3.

即xp=l;

当点P在z轴下方抛物线上时，此时四边形DPCQ是平行四边形，则DP=QC,

1

tanzDPQ=tanZ.ACO=tanz.1=

.OG_DG_1

••OQ-P。-3'

设OG=e,DG=g.

；.OQ=3e,DP=3g=QC,

OQ-OC=CQ,

；.3e-3=3g,

g=e-l,

AP(2e-l,3-3e),

将点P坐标代入y=一/+2%+3,

得：—(2e—1)2+2(2e—1)+3=3-3e,

解得e=H医或=三,

OO

而当e=『时,g=e-l<0,故舍,

o

7+V73

c=2e—1=

P4

综上：点P的横坐标为1或I手.

5如图，在直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点0(0,3),对

称轴为直线x=-l,顶点为点D.

⑴求二次函数的表达式；

⑵连接DA,DC,CB,CA,如图①所示,求证:ZDAC=ZBCO;

【答案】(l)y=-x2-2x+3(2)见解析

【解析】⑴解：通过题意得，上中一,隹二二...二次函数的表达式为：

y=—x2—2%+3;

(2)证明:•.•当x=-l时,y=-l-2x(-1)+3=4,；.D(-1,4),由一久2-2久+3=0

得，zi=-3,X2=1,；.A(-3,0),B(l,0)；.AD2=(-l+3)2+42=20,；C(0,3),，

CD2=(4—3尸+(-1)2=2,AC2=32+32=18,AC2+0D2=AD2,•••

AAOD=90°,tan^DAC=丝=摩=j乙BOC=90。,二

AC3V23

(~ip-1

tan^BCO=—=ADAC=乙BCO;

oc3

【标注】【知识点】二次函数与几何综合

A

6如图1,在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A(-1,O),B(3,O),

⑴求该二次函数的表达式；

(2)连接BC,在该二次函数图象上是否存在点P,使/PCB=NABC?若存在，请求出点P的坐标：若不存在,

请说明理由；

【答案】⑴y=-|/+疑+2⑵P(2,)或(浮-翼)

【解析】【分析】

(1)待定系数法求解析式即可求解；

(2)通过题意，分情况讨论，①过点C作关于z=l的对称点P,即可求P的坐标，②x轴上取一点D,使得DC=

DB,则/DCB=/ABC,设D(d,O),根据勾股定理求得CD,BD,建列方程，解方程求解即可；

⑴解：：由二次函数y=ax2+bx+2,,令z=0,则y=2,C(0,2),\•过点A(-1,O),B(3.O),设二次函数的表达式为

y=a(x+1)(%-3)=a(x2-7.x-3),将点C(0,2)代入得,2=-3a,解得a=-|,；.y=-|x2+|x+2,

(2)二•二次函数(y^ax2+bx+2的图象经过点A(-1,O),B(3,O),.,.抛物线的对称轴为z=l,①如下图所示，过点C

作关于x=l的对称点P,；.CP〃AB,；.NPCB=NABC,；C(0,2),；.P(2,2).

②x轴上取一点D,使得DO=DB很［|NDCB=NABC,设D(d,O),贝UCD=V22+d2,BD=3-d".22+d2=(3

512

—d)?解得d=*，即D(|，0),设直线CD的解析式为丫二依+仇后卜):^^解得广；二1，.直线CD的解析式为

12X+2

y-一

5X-o

立

解得

+2联rr

y--1-2Xtt

52242y-2

y--%+-X+

33

・•.P管，-鬻)，综上所述，P(2,2)或偿,一鬻)

7如图，在平面直角坐标系zOy中，直线y=kx+3分别交z轴、y轴于A,B两点，经过A,B两点的抛物线y

=-％2+b%+c与X轴的正半轴相交于点C(1,0).

⑴求抛物线的解析式;

⑵若P为线段AB上一点NAPO=/ACB,求AP的长；

【答案】(l)y=-x2-2x+3；(2)2V2;

【解析】⑴令x=0,则y=3,.•.点B的坐标为(0.3),抛物线y=-x2+bx+经过点B(0,3),C(l,0),

{_]+°+°=0解得{W..抛物线的解析式为：y=—x2—2x+3;⑵令y=0,则—%2—2%+3=0,解得网=1,z?

=-3,.,.点A的坐标为(-3,0),；.OA=3,OB=3,OC=1,AB=V0A2+OB2=V32+32=3&

ZAPO=ZACB.HZPAO=ZCAB,.*.APAO^ACAB,.,.AO=AB,BP竽=矗AP=2V2；

【标注】【知识点】二次函数与特殊平行四边形

【知识点】二次函数与平行四边形

【知识点】相似三角形的性质与判定综合

【业务题型】运算题

8.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+4(a*0)经过点A(-2,0)和点B(4,0)

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式.

⑵点P为该抛物线上一点(不与点C重合),直线CP将小ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标.

⑶点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当ZOOA=ZOCB-ZOMA时，求t

的值.

【答案】(l)y=-1/+x+4.

(2)P(6,-8).

(3)t=2或10.

【解析】⑴将A(-2,0),B(4,0)代入解析式得•

.4a-2b+4=0解得fa=--

116a+4b+4=0，用'人=1

.抛物线解析式为y=—：/+%+生

(2)取D(2,0),易得霹=2,则1=2,

BD^>ABOD

连接CD,与抛物线的交点即为P点坐标,

如图易得CD直线为y=-2x+4.

y——2»+4

________一{-#+，+/{%=6y=-8,

；.P(6,-8).

(3)VZOCA=ZOCB-ZOMA,

ZOCB=ZOOA+ZOMA=45°.

如图易得/OCA=/OCD,

ZOOB=ZOOD+ZBOD=45°,

ZOMA=ZBCD,

过D作DEJ_BC,

在RtABDE中,NDBE=45。，BD=2,

/.DE=BE=V2

在RtAOBO中,.BC=V2OB=4&,

；.CE=BC-BE=3V2

在RtAODE中，tanzDCF=—=

贝(Itan^OMA=tanzDCf=-=—,

~3OM,

.*.OM=3OA=6,

当M往y轴正半轴运动时t=?=2,

当M往p轴负半轴运动时t=早=10.

9.抛物线y=ax2+bx+33过点A(-l,0),点B(3,0),顶点为C.

⑴求抛物线的表达式及点C的坐标.

(2)如图1,点P在抛物线上，连接CP并延长交：：轴于点D,连接AC,若小DAC是以AC为底的等腰三角

形，求点P的坐标.

(3)如图2,在(2)的条件下，点E是线段AC上(与点A,C不重合)的动点，连接PE,作/PEF=NCAB,边EF

交z轴于点F,设点F的横坐标为m,求m的取值范围.

【答案】(l)y=-/+2X+3,C(1,4).

⑵P(鸿).

(3)—1<m<slant

4

11.如图，抛物线y^ax2+bx+cc与两坐标轴相交于点A(-1,O)、B(3,0)、0(0,3),D是抛物线的顶点，E是线

段AB的中点.

⑴求抛物线的解析式，并写出D点的坐标.

(2)F(x,y)是抛物线上的动点：

①当x>l,y>0时，求△BDF的面积的最大值.

②当ZAEF=ZDBE时.求点F的坐标.

【答案】⑴解析式为y=-x2+2x+3,D的坐标为(1,4).

(2)①当x=2时，SABDP取最大值，最大值为1.

⑦(2-V5-2V5-2)或(-6，-2遮-2).

【解析】⑴将A(-l,0)、B(3,0)、C(0,3)代入yax2+bx+c,

a—b+c=0a=—1

{9a+3b+c=0,解得{b=2

c=3c=3

..•抛物线的解析式为y=-x2+2x+3

y=—%2+2%+3=—(%—I)2+4,

・・・顶点D的坐标为(1,4).

(2)①过点F作FM//y轴，交BD于点M，如图1所示

设直线BD的解析式为y=mx+n(m，O),

将(3,0)、(1,4)代入y=mx+n,

{3m+九=0m+n=4,解得：严一二2

・.・直线BD的解析式为y=-2x+6.

•1点F的坐标为3-％2+2%+3),

・•・点M的坐标为((%，—2%+6),

••・FM——X2+2%+3—(—2%+6)=—X2+4%—3

22

'S^BDF—-(yB—yD)=—%+4z—3=—(%—2)+1

A-l<0,

当X=2时,BDP取最大值，最大值为1.

②方法一：过点E作EN//BD交y轴于点N,交抛物线于点B,在y轴负半轴取ON=ON,连接EN：射线EN,

交抛物线于点F2，如图2所示.

VEFi//BD,

JZABFi=ZDBE.

VON=ON',EO±NN',

•••Z-AEF2=Z-AEF1=Z-DBE.

二是线段AB的中点,A(-1,O),B(3,0),

，点E的坐标为(1,0)

设直线EFi的解析式为y=-2x+瓦,将E(1,O)代入y=-2x+bi,

-2+瓦=0.解彳导:bi=2,

，直线EFi的解析式为y=-2x+2、

联立直线EFi、抛物线解析式成方程组，

Jy--2x+2

-x1+2x+3*

解得：{:1蔡'{"曾求J舍去),

点