二次函数与几何图形综合题（含解析）-2025年中考数学基础知识分点练

第十一讲二次函数与几何图形综合题

类型一线段问题(117考)重难

1.(2024德阳)如图抛物线y=/一%。与x轴交于点.71(-1-0)和点B,与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当0<xW2时，求y=x2-x+c的函数值的取值范围；

(3)将抛物线的顶点向下平移:个单位长度得到点M,点P为抛物线的对称轴上一动点，求P4+当PM的最小

45

值.

类型二面积问题(82考)重难

2.(2024扬州)如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0)、B(l,0)两点.

⑴求b、c的值；

⑵若点P在该二次函数的图象上,且△P4B的面积为6,求点P的坐标.

3.(2024福建)如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于AB两点，与y轴交于点C其中4(-2,0),

C(。一2).

(1)求二次函数的表达式；

(2)若P是二次函数图象上的一点，目点P在第二象限，线段PC交x轴于点D,APDB的面积是△CDB的

面积的2倍，求点P的坐标.

第3题图

4.（2024通辽）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-|x+3与x轴,y轴分别交于点C,D,抛物线y=-；

-2尸+fc（k为常数）经过点D且交x轴于A,B两点.

⑴求抛物线表示的函数解析式；

⑵若点P为抛物线的顶点，连接AD,DP,CP,求四边形ACPD的面积.

类型三角度问题(27考)重难

5.(2024连云港)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx-l(a,b为常数,(a>0).

⑴若抛物线与x轴交于A(-l,0),B(4,0)两点,求抛物线对应的函数表达式；

(2)如图，当b=1时，过点C(-l-a),。(1，a+2鱼)分别作y轴的平行线，交抛物线于点M,N,连接MN,M

D.求证：MD平分Z.CMN;

(3)当a=1,6Wslant-2时，过直线y=%-1(1<%<3)上一点C作y轴的平行线，交抛物线于点H.若G

H的最大值为4,求b的值.

第5透图

类型四特殊三角形判定问题(40考)重难

6.(2024遂宁)二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)的图象与x轴分别交于点A(-l,0),B(3,0),与y轴交于点C

(0--3),P,Q为抛物线上的两点.

(1)求二次函数的表达式；

(2)当P,C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标；

(3)设P的横坐标为m,Q的横坐标为m+1,,试探究：△OPQ的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最

小值，若不存在，请说明理由.

类型五特殊四边形判定问题（55考）重难

7.（2023重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y^ax2+bx+2过点（1,3）,且交x轴于点4（-1，0）,B

两点，交y轴于点C.

（1）求抛物线的表达式；

⑵点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD回BC于点D,过点P作y轴的平行线交直线BC于点

E,求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移四个单位长度，点M为平移后

的抛物线的对称轴上一点.在平面内确定一点N，使得以点A,P,M,N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条

件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程.几何画板动态演示

类型六相似三角形判定问题（含全等）（15考）

8.（2024内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数.y=-2x+6的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,

抛物线y^-x2+bx+c经过A.B两点，在第一象限的抛物线上取一点D,过点D作.DC回生轴于点C,交AB于点

E.

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

⑵是否存在点D,使得△BDE和△力CE相似?若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），过点F作x轴的垂线交AB于点G,连接DF,当四边形E

GFD为菱形时，求点D的横坐标.

1.解：(1)：抛物线y=——久+c与X轴交于点A(-l,0),；.l+l+c=0,

解得c=-2,

抛物线的解析式为y=/-久一2;

⑵-：y=x2-x-2的对称轴为直线x=-热=］而0<x<2,

函数最小值为y=1_|_2=_：,

当x=0时,y=-2,

当x=2时,y=4-2-2=0,

：.y=x2-x+c的函数值的取值范围为一JWyW0;

4

(3)解题思路

过点P构造直角三角形，将PA与遮PM联系起来,再结合抛物线的对称性及两点之间线段最短求最值.

y=x2-x—2,

当.x=0时,y=-2,

・・・C(0,-2),

当y=x2—x—2=0时,

解得/=-l,x2=2,

・・・B(2,0),

・・・AB=3,

设直线AC的解析式为y=kx-2,

.\-k-2=0,

：.k=-2,

・,・直线AC的解析式为y=-2x-2,

・・,抛物线的顶点向下平移9个单位长度得到点M,而顶点为。

4\24/

:当x=1时y=-2x|-2=-3,

；.M在直线AC上.

如解图，过点P作PGXAC于点G,连接MB,过点P作PH_LMB于点H,连接AP,AH,

VA(-l,0),C(0,-2),

AC=V5,sinzXCO==y,

:对称轴与y轴平行，

ZAMP=ZACO,

.­.sin乙4Mp,

PM5

PG=yPM,

由抛物线的对称性可得PG=PH,/MAB=ZMBA,

PA+^-PM=PA+PG=PA+PH>slantAH,

当A,P,H三点共线时取等号，

sin^MAB=迫=三=正=sin^ABH=—,

i4CV55AB

.AH_2V5

••3—5，

AH=—,

5

即PA+gPM的最小值为等.

第1题解图

2.解:⑴将点A(-2,0),B(l,0)代入y=-x2+bx+c得=”解得«=]

—1十。十C=U,C—L.

.*.b的值为-l,c的值为2;

(2)由⑴可得，二次函数的解析式为y=-/—%+2,设P(m,n),

•••点P在二次函数的图象上，

n=—m2—m+2.

VA(-2,0),B(l,0),

；.AB=3,

又「△PAB的面积为6,

x|n|=6,解得n=±4,

当n=4时，即-m2-m+2=4,化简得m2+m+2=0,该方程无实数解，不符合题意；

22

当n=-4时，即—m—m+2=—4化简得m+m—6=0,解得=2,m2=—3,

综上所述，点P的坐标为Pi(2,-4)或P2(-3,-4).

易错点拨

点P在二次函数图象上，表示三角形面积时，高需要带绝对值符号，分不同的情况讨论.

3.解:⑴将A(-2,0),C(0,-2)代入y=/+版+c中，得｛4一?+；=。解得｛"=，

c=一乙,c=—Z.

二次函数的表达式为y=x2+x-2-,

(2)

解题思路

由题可知^PDB与ACDB是同底不等高三角形，将SgDB=2SACDB，转化为以BD为底边时，△PDB的高

是4CDB的高的2倍,即点P到x轴的距离是点C到x轴的距离的2倍，即可求出点P的坐标.

设P(m,n),

•.•点P在第二象限，

m<0,n>0.

依题意，得变些=2,1冷=2,

SxCDB-BDCO

—=2,

co

VCO=2,

An=2CO=4.

•••p是二次函数图象上的一点，目点P在第二象限，

22

m+m—2=几即m+m—2=4,解得=-3,m2=2(舍去),

・••点P的坐标为(-3,4).

4.解:⑴把y=0代入函数y=—|x+3中，得—|x+3=0,解得x=2,

，C(2,0),

把x=0代入函数y--|x+3中，得y=3,

•••D(0,3),

V抛物线y=—久式—2¥+k(k为常数)经过点D,

-；x(0-2)2+/c=3,解得k=4,

..•抛物线表示的函数解析式为y=--2)2+4；

⑵•••抛物线的函数解析式为=-i(x-2)2+4,

y4

顶点P的坐标为(2,4),

VC(2,0),

；.PC_Lx轴,PC=4,

如解图，过点D作DEXPC于点E,则DE=2,

11

SACDP=-PC-DE=-x4x2=4;

把y=0代入函数y=-2尸+4中，得-［（久-2/+4=0,

角牟得%i=-2,X2=6,

・・・A(-2,0),B(6,0),

・・・AC=4,

・・・D(0,3),

/.DO=3,

ii

・••S“CD=~AC-DO=-x4x3=6,

S四_边形ACPD=S^ACD+SMDP=6+4=10.

5.⑴解:分别将点A(-l,0),B(4,0)代入y=ax2+bx-l,

_1

［曰,CL—b—1=0,碗［曰ra4，

将｛16a+4b-1=0,用牛后与=_三

4，

・・・抛物线对应的函数表达式为y=：/-1;

44

Vb=l,

•••y=ax2+%—1.

当x=-l时,y=a-2,即M(-l,a-2),当x=l时,y=a，即N(l,a).

VC(-l,a),N(l,a),

・•・CN=2,CM=a-(a-2)=2,CM_LCN,

・••在RtACMN中，MN=yJCM2+CN2=2企.

•・.DN=a+2A/2—a=2V2,

ADN=MN,

ZNDM=ZNMD.

VDN//CM,

ZNDM=ZCMD,

JZNMD=ZCMD,

AMD平分NCMN;

(3)

解题思路

由题可得GH〃y轴，则点G,H的横坐标相等，所以设出点G的坐标，即可表示出点H的坐标，再结合b的

取值范围，确定点G与H的位置关系，即可用含参数的代数式表示线段GH的长，将其转化为二次函数，对二次

函数对称轴的范围进行分类讨论并求解.

解:设G(m,m-1),贝!]H(mfm2+bm—1),1<m<3.

当a=l时，y=x2+bx—1.

2

令x+bx-1=x-1,解得xr=0,x2=1—b.

Vb<-2,

x2=1—b>3,

・•・点G在H的上方（如解图②）.

设GH=t,故t=—m2+（1—b）m,

其对称轴为直线m=瞪,目y>slants

①当j<^<3时，即-5WbW-2.

画出t关于m的二次函数图象如解图③，

由解图③可知：

当爪时，t取得最大值小=4.

解得b=-3或b=5（舍去）：

②当一〉3时，即b<-5,

画出t关于m的二次函数图象如解图④，

由解图④可知：

当m=3时,t取得最大值-9+3-3b=4.

解得b=一胃（舍去）.

综上所述，b的值为-3.

册

6.解:⑴把人(-1,0)以3,0),(2(0,-3)代入y=ax2+bx+c,

a—b+c=0,a=1,

得｛9a+35+c=0,解得｛b=—2,

c=—3,c=—3.

・•・二次函数的表达式为y=/-2%-3;

(2)如解图①，

由y=——2%一3彳导抛物线对称轴为直线x=l,

VP,C两点关于抛物线对称轴对称,C(0,-3),

・・・P(2,-3),

设Q(mfm2—2m—3),

VZOPQ=90°,

...0P2+pQ2=0Q2,

即[(0—2)2+(0+3)2]+[(2—m)2+(—3—m2+2m+3)2]

=(0—m)2-|-(o-m2+2m+3)2,

整理得3m2—8m+4=0,

解得恤=|,啊=2舍去)，

2

・••m=

3

•.山(衿数

第6题解图①

(3)存在，理由如下：由题知点P横坐标为m,点Q横坐标为m+1,则点P(m>m2-2m-3),则点Q(m+1,(m

+1)2-2(m+1)-3),,当点P在y轴左侧,Q在y轴右侧,如解图②,设直线PQ交y轴于点H,

由点P,Q的坐标得，

直线PQ的表达式为：y-(2m—1)(%—m)+m2—2m—3,令x=0,则y=—m2—m—3,则OH=m2+m+

2m

3,S=S^OHQ+S&OHP—|OH(XQ-xP)=|(m+m+3)x1=|(+1)+昔，

­•-->0,

2

.•.当巾=-S存在最小值，S的最小值为2当点P,Q同时在y轴左侧和当点P,Q同时在y轴右侧方法

Zo

同上，经验证均不是仆OPQ面积的最小值.

..•综上所述，S存在最小值为三

O

第6题解图②

解题技巧

求面积最值：利用二次函数性质求最值：设动点的横坐标为m,用含m的代数式表示出所求图形的面积，利用

二次函数的增减性求最值.

类题通法

当所求图形不规则或者不易直接求解时，考虑通过分割法或者补形法将所求图形面积转化为其他规则图形的面

积和差求解.

7.解:⑴将点(1,3),(-1,0)代入瞿勿线y=ax2+bx+2中,

得忆露上得;

..•该抛物线的函数表达式为y=—]/+|x+2；

(2)

解题思路

根据PD，BC,PE〃y轴推导出4PDEs^BOC,得出DE,PE,PD之间的关系是解题的关键.

当x=0时,y=2,

，C(0,2),

当y=0时.-|x2+|x+2=0,解得%]=一1,X2=4,

，B(4,0),

.•.OC=2,OB=4,BC=2V5

•••直线BC过点B(4,0),C(0,2),

..•直线BC的函数表达式为y=-|x+2.

：PD_LBC,PE〃y轴，

ZPDE=ZBOC=90°,ZPED=ZBCO,

APDE^ABOC,

DE_PE_PD

''OC~BC~BOr

：.DE=—PE,PD=—PE.

5'5

设P(mf—|m2+|m+2^

贝!jE（m-—jm+2^（0<m<4）.

•••PF=­|m2+|m+2-|m+2^=—|（m—2）2+2,•；一<0,

当m=2时，PE有最大值，最大值为2,

/.APDE周长的最大值为DE+PD+PE=^-PE+qPE+PE=等+2.

此时，点P的坐标为（2,3）;

（3）点N的坐标为（一|弓）或或（（|一誓）

由⑴得，原抛物线解析式为y=-号（X-1）2+葛将抛物线沿射线CB方向平移近个单位长度，即抛物线向

右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度，易得平移后抛物线的解析式为y=-9—a?+?

Z\Zzo

：M在平移后抛物线的对称轴上，设乂（1,t）,N（n,k）.

2

①当AP为对角线时，由题意得,MA=MP,即（1+I/+产=弓_2）+（t-3产解得t=—*

二nT,T即--|彳）；

②当AP为菱形的边长时，若AP=PM,则（2+I）2+32=（2-1）2+（3-t）2解得t=3士亭

;n=1,/c=土季即N&乎）或N（|，-乎），若，AP=AM,则（2+I）2+32=（1+0+户,无解.

综上所述，满足条件的点N坐标为（-］，），弓手），（3—答）

类题通法

当所求图形为菱形时，通常分两定点构成的线段为菱形的边长和为菱形的对角线两种情况去分类讨论.

8.解:⑴令y=0,则-2x+6=0解得x=3;

令x=0,解得y=6,

.*.A(3,0),B(0,6),

把A(3,0),B(0,6)代入y=-x2+bx+c,

(b=1,

9+3b+c=。，解得lc=6.

c=6,

这条抛物线所对应的函数表达式为y=-/+%+6；

(2)存在点D坐标为(1,6)或(|，m),使得△BDE和△ACE相似.理由如下：

设点D(t--t2+t+6),则E(t,-2t+6),C(t,0)(0<t<3),

EC=-2t+6,AC=3-t,DE=-t2+3t,

VABDE和4ACE相似,NBED=NAEC,

AACE^ABDE或△ACEs/\D