第六章 平行四边形B卷压轴题模拟训练（解析版）

第六章平行四边形B卷压轴题模拟训练

一、填空题

1.如图所示，直线/绕平行四边形ABCD顶点A转动，分别过点8,C,。作/的垂线段,

垂足分别为M，N,P.己知NABC=60。，AB=6,BC=5,则3M+CV+DP的最大值

为-,

【答案】2而

【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，梯形的中位线定理，全等三角形的判定

和性质，勾股定理等，连接AC,BD交于点0,过点。作OTJL直线/于T,在OT的延长线

上截取77?=。7,连接RN,ON,过点C作CE1AB于E,先证四边形为直角梯形，

再证OT为梯形a叱D的中位线，则3Af+DP=2OT=OR,然后证！。4T和ARVT全等得

ZAOT=ZR,进而得。4〃秋，据此可证得四边形为平行四边形，则

CN=OR=BM+DP,BM+CN+DP=2CN,要求3M+CN+DP的最大值，只需求出CN

的最大值即可，根据"垂线段最短"可知：CN<CA,故得OVWC4的最大值为线段。1的长，

最后在Rt^CBE中可求出，BE=2.5,CE=2.5后，进而得AE=3.5,在Rt^ACE中由勾股

定理得C4=商，据此可得出BM+CN+DP的最大值，熟练掌握平行四边形的判定和性质，

梯形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，理解垂线段最短，灵活运用勾股定理进行计

算是解题的关键.

【详解】解：连接AC,交于点0,过点。作07,直线/于T,在OT的延长线上截取

TR=OT,连接RN,ON,过点C作CE，AB于E,如图所示：

回£>P_L直线/,1直线/,

回四边形由小。为直角梯形，

回四边形ABCD为平行四边形，

回点。为3D,AC的中点，

国。直线/,

SOT//BM//DP,

EOT为梯形BMPD的中位线，

^\BM+DP=2OT,

STR=OT,

SOR=2OT=BM+DP,

EICN_L直线/,

在RtA4CN中，点。为斜边AC的中点，

^\ON=OA=OC,

回AQ4N为等腰三角形，

^OTLAN,

SAT=NT,

在EIOAT和EIRNT中，

AT=NT

<ZOTA=ZRTN,

TR=OT

回AOAT四△RVT(SAS),

ZAOT=ZR,

SOA//RN,

即OC〃㈤V,

团CN_L直线/,OT_L直线/,

SOR//CN,

国四边形OVR9为平行四边形，

®CN=OR=BM+DP,

©BM+CN+DP=2CN,

要求BM+OV+DP的最大值，只需求出CN的最大值即可,

根据"垂线段最短”可知：CN<CA,

fflCN的最大值为线段C4的长，

BZABC=60°,BC=5,CE1AB,

在RtACBE中，/BCE=90°-ZABC=30°,

SBE=-BC=2.5,

2

由勾股定理得：CE=y/BC2-CE2=2,573>

团AB=6,BE=2.5,

^\AE=AB-BE=6-2.5=3.5.

在RSACE中，由勾股定理得：C4=j5+小二如，

回CN的最大值为"[,

SiBM+CN+DP的最大值为2历.

故答案为：2如

2.如图，在平面直角坐标系中，A（-2,0）,尸为y轴上一动点，连接相并延长至点。，使

DP=AP,取y轴负半轴上一点8,使得。4=03,以AB,为边作YABCD.

（2）设点P坐标为则点。的坐标为（用含加的代数式表示），连接0C,则OC

长度的取值范围为.

【答案】（0,-2）（2,2m）OC>4

【分析】（1）由点的坐标得到的长，再根据04=03即可求解；

（2）过点。作x轴的平行线交y轴于点/，过点c作y轴的平行线交产。于点E,易证明

△OPb名AAPOIAAS）,得到。产=49=2,FP=OP,即可求得点。的坐标；由四边形ABCD

为平行四边形可证明到ACDE丝JAaAAS）,得至IJDE=AO=2,FE=4,根据C点始终在平

行于y轴的直线上运动，并且这条直线与y轴的距离为4,即可得到oc的取值范围；

本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，判断出点C

始终在平行于y轴的直线上运动是解题的关键.

【详解】（1）0A（-2,O）,

EOA=2,

又®OA=OB,

0OB=2,

05（0,-2）,

故答案为(o,-2)；

(2)如图，过点。作无轴的平行线交y轴于点尸，过点。作y轴的平行线交FD于点E,

贝UZDFP=ZDEC=ZAOB=ZAOP=90°,

ZDFP=ZAOP=90°

^<ZDPF=ZAPO,

DP=AP

0A£>PF^AAPO（AAS）,

^\DF=AO=2fFP=OP,

0P（O,m）,

团OP=|m|,

[?]FP=|m|,

0OF=2|m|=|2m|,

回点D的坐标为（2,2m）,

故答案为：（2,2m）；

回四边形ABCQ为平行四边形，

回AB=CD,AB//CD,

^ZDAB-^ZADC=180°,

0AFDP+AADC+ACDE=180°,

国/DAB=/FDP+/CDE,

团ZDAO+ZBAO=NFDP+NCDE,

团所〃龙轴，

0/DAO=/FDP,

⑦/BAO=/CDE,

在和△BAO中，

ZCED=ZAOB=90°

<ZCDE=ZBAO,

CD=AB

团ACDE均540（AAS）,

0DE=AO=2,

0FE=2+2=4,

SCE1.EF,CE〃y轴，

0c点始终在平行于y轴的直线上运动,并且这条直线与y轴的距离为4,

国点。到这条直线的距离为4,

团OC长度的取值范围为OC24,

故答案为：OC>4.

3.如图，在YABCD中，A8=A£>=g+l,N8AD=60。，取对角线AC上两点M、N,使

AM=CN,BM〃EN,点,E在BC上,若/BMC=75°,则加衣+瓦已=.

【答案】10-4^/-4>/3+10

【分析】作于H,EF/AC于尸，由于YABCD,钻=AD,可判断四边形ABCD

为菱形，再由菱形的性质可得NB4c=NBG4=30。，利用等腰三角形对角对等边的性质可得

HM=HB,设HM=HB=x,在RtAAMB中，则4Vf=2x,AH=6x,因为A2=6+l,

可解得x=l,从而得到AM,的值，再利用三角形内角和定理，得到CN=CE,可得CE

的长，在RbCFE中和在RtZXE/W中，分别利用勾股定理得到EN,的长，即可得到答案.

【详解】解：作于H，EF1AC于/，如图所示：

团在YABCD中，AB=AD,

回四边形ABCD为菱形，

0ZS4Z)=6O°,

SZBAC=ZBCA=30°,

0ZBMC=75°=ABAC+/MBA,

SZMBA=45°,

SZMHB=90°,

SZHMB=ZHBM=45°,

RHM=HB,

设HM=HB=x,则AM=2x,AH=^x,

团AB=5/3+1»

Sy/3x+x—y/3+1，

0x=l,

团AM=2,BM=血，

⑦BM〃EN,/BMC=75。,

团NC7VE=75。，

团ZCEN=180°-ACNE-ZC=180°-75°-30°=75°,

出CN=CE,

^\AM=CN=2,

0CE=2,

在RSCFE中，由勾股定理得：EF=1,CF=△,

自NF=2-6,

在RtZXEFN中，由勾股定理得：硒2=(2-否丫+1=8-46,

SBM2+EN2=(&『+8-46=10-4月，

故答案为：10-4G.

【点睛】

本题考查菱形的性质与判定，平行线的性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握菱形

的性质：对角线平分一组对角；平行线的性质和勾股定理是解题的关键.

4.如图，等边三角形A8C中，AB=4,E、/分别是边A3、AC上的动点，且庞=gcF,

则^BF+CE的最小值为.

【答案】2币

【分析】取中点G,3C中点“，GH=|BF,在座的外侧作丝AHCG,出的长

度即为所求，本题考查了求线段和最小值问题，勾股定理解三角形，等边三角形的性质，全

等三角形的判定和性质，三角形中位线，30。角的直角三角形，解题的关键是通过构造中位

线和全等三角形，将;3尸+CE进行转化.

【详解】解：取FC中点G,8C中点a,作NAB/=60。，使由=C"，作交CB

延长线于点J,

・.・点G是尸C中点，点H是BC中点，

:.GH=-BF,CG=-CF,CH=-BC

222

BE=-CF,

2

:.BE=CG,

又•••等边三角形ABC,

.-.ZBC4=60o,

:.ZABI=ZBCA,

5L-.-BI=CH,

.".AIBE=^HCG,

:.IE=HG=-BF,

2

;.^BF+CE=IE+CE,当点E在线段/C上时ZE+CE取最小值，长度为线段/C的长，

•••BI=CH」A8」x4=2,AIBJ=180°-ZABC-AABI=60°,

22

..IJ=与BI=6,JB=^BI=1,JC=JB+BC=5,

:.IC=y/u2+JC2=J（同+52=277,

故答案为：2币.

5.如图，在AABC中，NACB=120。，点E是A2的中点，延长AC到点。，点//是BC上

一点，连接过点E作EK_L3c垂足为点K,延长EK交HD于点F,HF=FD,AD=4,

则EF的长为.

B

【答案】6

【分析】分别取AC,CD的中点尸、Q,连接PE,尸Q,作尸E垂足为先根据中位线

的性质和平行线的知识求出NPW=3。。，再求出尸。=2,进而求出尸加=1,根据勾股定理

求出MQ=g,最后证明四边形劭©尸为平行四边形，即可求出EP=〃Q=石.

【详解】解：如图，分别取AC,CD的中点尸、Q,连接尸及尸Q,作加，PE垂足为

团点E、尸分别为A3、的中点，

EEP、FQ分别是VABC'VOCW的中位线，

SEP//BC,FQ//HC,

^PE//FQ,Z.CPM=180°-ZACB=60°,

SQMPE,

0ZPQM=90°-ZMPQ=30°.

回尸、。分别为AC,C£＞的中点，

0PC=|AC,C2=|CZ),

^\PQ=PC+CQ=-AD=2,

^PM=-PQ=\,

2

0MQ=JPU-PM?=6

BEK1BC,EP\\BC,

©EFLPE,

iaQM_LPE,

0MQ〃EF,

^PE//FQ,

回四边形EMQF为平行四边形，

SEF=MQ=s/3.

B

【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的性质与判定，直角三角形30。角问题,

勾股定理，平行四边形的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，熟知相关知识，根据题

意添加辅助线构造直角三角形和平行四边形是解题关键.

6.如图，点E是YABCD的AD边上的中点，连接BE,点尸为BE中点，若AB=6,AD=4,

ZBAD=UQ°,则。尸的长为.

【答案】373

【分析】过点尸作EM〃AD交于点"，首先根据梯形的中位线得出府的值，再证明

△CZ*为直角三角形、AWZ呼和AWCF为等腰三角形，进而解得43=30。，易得

FC=1C£>=3,根据勾股定理即可求得答案.

【详解】解：过点尸作孙/〃AD交CD于点如下图，

团四边形ABC。为平行四边形，

团AB=CD=6,AD=5C=4,ZBAD+ZADM=180°,

团尸为的中点，且/〃AD,

13M为。中点，ZADM=ZFMC,

S\DM=CM=-CD=3,

2

SZBAD+ZADM=180°,44)=120°

0ZADM=NFMC=180°-120°=60°,

国点E是YABCD的A£＞边上的中点,

^AE=DE=-AD=2,

2

0FM=；(OE+3C)=；x(2+4)=3,

SDM=CM=FM=3,

EZMFD=ZMDF,/MFC=NMCF,

在ACDR中，ZMFD+ZMDF+ZMFC+ZMCF=180°,

0ZDFC=ZMFD+ZMFC=-xl80°=90°,

2

BFM//AD,SZEDF=ZMFD,

^DM=FM,

BZMDF=ZMFD,

0ZEDF=ZMDF=-ZADM=30°,

2

SFC=-CD=3,

2

^DF=CEr-FC1=V62-32=343-

故答案为：3月.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边

的一半、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握相关知

识点并灵活运用.

7.如图，在AABC中，ZC=90°,ZG4B=30°,BC=4,。为A3边上一动点（不与点A

重合），△血＞为等边三角形，过点。作DE的垂线，尸为垂线上任意一点，连接E尸，G

为E厂的中点，连接3G、CG,则3G+CG的最小值是.

F

【答案】45

【分析】

取DE的中点连接"G,AH,推出AH,G三点共线，进而得到点G在直线A”上运动,

作点C关于AH的对称点C',连接3C',得到BG+CGnBG+C'GABC,进而得到氏G,C

三点共线时，3G+CG的值最小，作3MLCC',利用含30度的直角三角形的性质，结合

勾股定理进行求解即可.

【详解】解：0ZC=9O°,ZCAB=30°,BC=4,

回AB=8,AC=AB2-BC-=4A/3-

取。E的中点H,连接

0DE1DF,G为EF的中点，

SGH//DF,

BGH1DE,

回△AED为等边三角形，

SAH±DE,ZDAH=30°,

回A,H,G三点共线，

回点G在直线A"上运动，

作点C关于的对称点C,连接CC交于点N,连接作BMLCC,

SBG+CG=BG+CG>BC,©V垂直平分CC',

国当民G,C'三点共线时，BG+CG的值最小，

ElZC4B=30o,

SiZCAH=ZCAD+ZDAH=60°,

0ZAC7V=3O°,

0A?/=-AC=2A/3,

2

^CN=y/AC2-AN2=6>

QCC'=2CN=12,

0ZACB=90°,ZACN=30°,

BZBCM=60°,

^\BMYCC,

SZCBM=30°,

0CM=-BC=2,

2

团=yjBC2-CM2=2A/3，C'M=CC-CM=10，

回BC'=\lBM2+C'M2=4不-

0BG+CG的最小值是4近；

故答案为：4币.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，三角形的中位线，勾股定

理，利用轴对称解决线段和最小的问题.综合性强，难度大，属于填空题中的压轴题，解题

的关键是确定点G的运动轨迹.

8.如图，在等边三角形A3C中，AC=6,CD，AB,点E是线段CD上一动点，连接AE,

将线段AE绕点A顺时针旋转60。，得到线段AP,连接。尸,则。尸长的最小值为.

3

【答案】1/1.5

【分析】取AC的中点K,连接。K、EK,根据等边三角形的性质，得到ZB4C=6O。，

AD=3=AK,再结合旋转的性质，证明AAPD峪AASK(SAS),有DP=EK,故当EK最小时，

13

DP最小，此时EKLCD,由EK是AACD的中位线，^EK=-AD=-,从而。尸长的最

3

小值为

【详解】解：如图，取AC的中点K,连接OK、EK,

・・•△ABC是等边三角形，AC=6,CDLAB,

:.ZBAC=60°,AD=3=AKf

•••将线段AE绕点A顺时针旋转60。，得到线段"，

.\ZPAE=6Q°,AE=AP,

:.ZPAE=ZBAC=6D°,

:.ZPAD=ZEAK,

在和^AEK中,

'AP=AE

</PAD=/EAK,

AD=AK

.\AAPD^AAEK(SAS),

:.DP=EK,

・•・当石K最小时，。尸最小，此时fKLCD,

•：CDYAB,

:.EK//AD,

「.£K是ziACD的中位线，

13

:.EK=-AD=-

22

二。尸长的最小值为；3，

3

故答案为：—.

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性

质三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.

9.如图，在平行四边形ABC。中，点石、方分别是边AB、5。的中点，连接£C、FD,G、

»分别是EC、ED的中点，连接由，若AB=6,BC=8也,ZBAD=15O°,则G"=.

【答案】等

【分析】连接CH并延长交AD于尸，连接PE,根据平行四边形的性质得AD〃BC,证明

△尸七归四ACTH,根据全等三角形的性质得到PD=C/，CH=PA,根据勾股定理，含30

度角的直角三角形的性质和三角形的中位线定理即可得到结论.

【详解】解：如图，连接CH并延长交加于P,连接PE,过点E作交ZM的延长

线于点K,

K4Pp

BFC

团四边形ABCD是平行四边形，

0AD/7BC,

团点石、方分别是边AB、的中点，AB=6,BC=86，

SAE=-AB=3,CF=LBC=46,

22

^\AD//BC,

⑦ZDPH=/FCH,

在与△。方H中，

ZDPH=ZFCH

<ZPHD=ZCHF,

DH=FH

0^PDH^CFH(AAS),

出PD=CF=4«,CH=PH,

^\AP=AD-PD=^,

0Z£L4D=150°,

回NE4K=30。，

13

^\EK=-AE=-

22f

________q

回AK=VAE2-KE2=A/32-1.52=-43,

2

回KP=AK+AP=3百+44=口石，

22

回点G是EC的中点，CH=PH,

EG//=-EP=—

22

故答案为：平

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理,

勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关

键.

10.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=6,ZA=120°,点F、点N分别为C。、

AB的中点，点E在边AD上运动，将△£»产沿所折叠，使得点。落在O0处，连接3D,

点〃为中点，则的最小值是

【答案】币-1/-1+用

【分析】

根据三角形中位线定理可得MN=可知当取得最小值时，取得最小值，根

据折叠可知M在以点尸为圆心，。尸的长为半径的半圆弧上运动，当点次运动到线段AF上

时，此时A。'取得最小值，最小值为AF-DR,过点/作FHLAD于点H,根据30。的直

角三角形的性质可得加的长，根据勾股定理求出切的长，再在RtAAF”中，根据勾股

定理求出AF的长，进一步可得AD'的最小值，即可求出的最小值.

【详解】

解：连接AD',

,••点N为A2的中点，点M为皮＞的中点，

.•.加为454£/的中位线，；.肱7=；/1。，

・•・当A。'取得最小值时，MN取得最小值，

在平行四边形ABC。中，AB=CD,AB//CD,,NA+ND=180。,

■.■AB=4,AD=6,ZA=120°,:.CD=4,ZD=60°,

,・,点歹为线段8的中点，••.DF=CF=2,

根据折叠可知。F=DF=2,

二点"在以点F为圆心，DF的长为半径的半圆弧上运动，

当点。，运动到线段AF上时，此时AO取得最小值，最小值为AF-ZXF,

过点E作FHLAD于点如图所示：

贝l」NPHD=90°,.-.ZHFD=30°,:.DH=^DF=1,

在Rt△"加中，根据勾股定理，得尸H=万万=6,

,/AD=6»:.AH=6—1=5,

在RtZ\Af7/中，根据勾股定理，得AF=JAH?+FH?=2勾，

AZ7的最小值为277-2,MN的最小值为近-1,

故答案为：A/7-I.

【点睛】

本题考查了翻折变换，线段最小值问题，平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角

形的性质，找出线段AD最小时点D的位置是解题的关键.

二、解答题

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；

(2)若点尸为线段CZ)上的动点(点P不与点。重合)，连接针，过点尸作£?LAP交直线8。

于点E.

①如图2,当点尸为线段。的中点时，请直接写出出，PE的数量关系；

②如图3,当点尸在线段。上时，求证：DA+6DP=DE.

【答案】(1)证明见解析(2)①24=PE；②证明见解析

【分析】(1)根据已知条件得到CD,AD〃BC,再由平行四边形的判定即可得证；

(2)①连接5D,可知ABDC是等腰直角三角形，再证明右上位汪△尸团(AAS),利用全等

三角形性质即可得到PA=PE；

②过点P作尸RLCD交。E于点尸，首先证明△皿NAEEP(ASA),得AD=EF,进而再

证明ADPF是等腰直角三角形即可得到结论.

【详解】(1)证明：•.•4£)=9，ZBAD=45°,

:.ZBAD=ZABD^45°,

:.ZADB=90°,

ZCBD=90°,

:.NCBD=ZADB,

:.AD//BC,

•,*ZC=45°,ZCBD=90°,

.•.N3OC=45。，BD=BD,

"BDC=ZABD=45。,

:.AB//CD,

••・四边形ABCD是平行四边形；

（2）解：①=

理由如下：连接的，如图所示:

由（1）知是等腰直角三角形，当点尸为线段CO的中点时，BP=PD=-CD

2f

ZCBP=ZDBP=-ZCBD=45°,

2

:.NPBE=180°-ZPBC=135°,

•：AB//CD,

...ZADC=180。—/BAD=180°-45°=135°,

,\ZADC=ZPBE,

・・•ZPAD+ZAOD=ZPEB+/POE=90°,

ZAOD=ZPOE,

:.ZPAD=ZPEB,

:.^PAD/△PED（AAS）,

.\AP=PE；

②证明：过点尸作尸交。石于点尸，如图所示：

E

.PF工CD,EPLAP,

:.ZDPF=ZAPE=90°f

:.ZDPA=ZFPE,

•/四边形ABC。是平行四边形，

/.ZC=ZDAB=45°,ABHCD,

又・；AD=BD,

.\ZDAB=ZDBA=ZC=ZCDB=45°,

ZADB=ZDBC=90°,

，NPFD=45。,

:.ZPFD=ZPDF,

:.PD=PF,

ZPDA=ZPFE=135°,

..△ADP^EFP(ASA),

:.AD=EF,

在Rt△田P中，/PDF=45。,贝I。尸=

DE=DF+EF,

:,DA+>[2DP=DE.

【点睛】本题考查四边形综合题，涉及平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、

全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的

关键.

12.已知点。是AABC任意一点，连接Q4并延长到点E,使得AE=Q4,以03,OC为邻边

作平行四边形O3FC,连接OF,与BC交于点连接E尸.

EJ

FFF

图1图2图3

问题发现：

(1)如图1,若AABC为等边三角形,由三角形中位线定理可知，线段AH与线段E厂的位置

关系是_____,数量关系为______.线段E尸与BC的位置关系是______.数量关系为______

⑵拓展研究：如图2,若AABC为等腰直角三角形(8C为斜边)，(1)中的两个结论是否成

立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确的结论再给予证明.

⑶解决问题：如图3,若AABC是等腰三角形，AB=AC=5,BC=6,请你直接写出线段所

的长.

【答案】(1)AH〃跖，AH=^EF,EF±BC,EF=43BC

⑵AH〃EF,AH=^EF,EF18C成立，EF=^BC不成立,正确的是历=3。

(3)EF=8

【分析】(1)由平行四边形的性质可得8H=HC=；BC,OH=HF,由等边三角形的性质可

得AH=CBH,由三角形中位线定理可得AH〃E/,AH=^EF,可得结论；

(2)由平行四边形的性质可得〃/=水?=；g，OH=HF,由等腰直角三角形的性质可得

AH=BH,由三角形中位线定理可得A"〃跖，AH=-EF,可得结论；

2

(3)由平行四边形的性质可得〃7=HC=；BC,OH=HF,由等腰三角形的性质可得

AHA.BC,由勾股定理可求A"的长，由三角形中位线定理可得跖=24/=8.

【详解】(1)解：如图L连接A”，

图1

四边形是平行四边形，

BH=HC=-BC,OH=HF,

2

又•.•△ABC是等边三角形，

AHVBC,ZABC=60°,

AH=y[3BH,

\'AE=OA,OH=HF,

^AH//EF,AH=-EF

2f

⑦AH〃EF,AHLBC,

:.EFIBC,

・.・EF=2AH,AH=6BH,BC=2BH,

.­.EF=y/3BC，

故答案为：AH//EF,AH=^EF,EF±BC,EF=y/3BC；

(2)解：AH//EF,AH=-EF,EF13C成立，EF=BC；

2

如图2,连接AH,

V四边形是平行四边形，

:.BH=HC=-BC,OH=HF,

2

又•.•△ABC是等腰直角三角形，

AH±BC,^ABC=45°,

:.AH=BH=HC,

■.■AE=OA,OH=HF,

^AH//EF,AH=-EF,

2

^AH//EF,AHLBC,

:.EF±BC,

­.AH=BH,BC=2BH,

BC=2AH,

•;EF=2AH,

.-.EF=BC；

(3)解：如图3,连接AH,

E

图3

四边形O3FC是平行四边形,

/.BH=HC=—BC=3,OH=HF,

2

又・.・AB=AC=5,

：.AH±BC,

根据勾股定理得，AH=^AB2-BH2=4，

・.・OH=HF,AE=AO,

:.EF=2AH=8.

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三

角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，判断出〃跖，是解本题的关

键.

13.已知在平行四边形ABCD中，点尸在A3边上，连接CF,ZDCF=ZD.

图1图2图3

(1)如图1,求证：CF=AD；

(2)如图2,过点A作AGLBC于点G,交CF于点E,若NBAG=a,求/8C尸的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，若G为8C的中点，CE=CG+AE,平行四边形A3CD的面

积为144,求EG的长.

【答案】⑴见解析

(2)2a

(3)8

【分析】⑴由平行四边形的性质可得NB=ND,AD=BC,AB//CD,由平行线的性质

可得NDCF=NBFC,从而得到=尸C,推出CF=3C,即可得结论；

(2)过点C作CHLA3交A3于点//,交AG于点。，由等腰三角形的性质可得

NBCH=NFCH,ZBCH+ZB=90°,由同角的余角相等可得==,从

而即可得结论；

(3)连接。E,过点。作。KLCF于点K,CRLAB于点R,证明“GB也,

推出3G=CK,AG=DK,证明口以口弘丝母/^汨用川口，推出")=£火=AG,设

AE=EK=a,CK=CG=b,则BC=AD=AG=»,在Rt^ECG中，CG?+EG?=EC?,

即k+(26-“y=(4+6)2①，再由S"B8=BCAG=262b=144②，求出久6的值，最后

由G^=AG-AE进行计算即可得到答案.

【详解】(1)证明：•・・四边形ABC。是平行四边形，

;.ZB=ZD,AD=BC,AB//CD,

:.ZDCF=ZBFC,

•・•/DCF=/D,

:"B=/BFC,

:.CF=BC,

CF=AD；

(2)证明：过点。作CHLAN交A5于点H,交AG于点0,

•••CHLAB,

:.ZBCH=ZFCHfNBCH+NB=9。。,

・.・AGIBC,

:.ZAGB=90°,

:.ZBAG+ZB=90°,

ZBAG=ZBCH=ZFCH,

ZBCF=NBCH+NFCH=/BAG+/BAG=2/BAG=2a；

(3)解：如图，连接过点。作DKLCF于点K,CRJ_AB于点H,

••・四边形ABC。是平行四边形,

:.AB//CD,AD//CB,

•••CRLAB,

.\CR±CDf

.•./FCR+ZDCK=90。,

DK.LCF,

..NDCK+NCDK=90。,

:.NFCR=NCDK,

由（1）可得：CF=BC,

•••CRYAB,

:.ZBCR=ZFCR,NBCR+NB=9/,

•.­AG1BC,

.\ZAGB=90°,

/.ZBAG+ZB=90°,

:./BAG=NBCR=NFCR,

:.NBAG=NCDK,

vAG±CB,DKtCF,

ZAGB=ZDKC=90°,

-AB=DC,

.♦.△AGB%DKC（AAS）,

:.BG=CK,AG=DK,

•.­BG=CG,CE=CG+AE,

AE=EK,

：AD//CBf

:.AD,LAG,

.\ZDAE=ZDKE=90°,

.DE=DE,

...RtA£>E4^Rt^DEK（HL）,

:.AD=DK=AG,

^AE=EK=a,CK=CG=b,贝！J5C=A£>=AG=2Z?,

在R^ECG中，CG2+EG2=EC\即。2+（26—a）2=g+》）2①，

•・•SAHrn=BCAG=2b-2b=144②,

由①②解得：a=4,b=6,

:.AG=n,AE=4,

EG=AG-AE=12-4=8.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线

合一的性质、同角的余角相等、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构

造全等三角形，学会利用参数构建方程解决问题，属于压轴题.

14.如图1,在平面直角坐标系中，点A（a,0）,点C（3,6）,且满足后工+自-4|=0,

平移。4至CB(点。与点C对应，点A与点8对应)，连接OCAB.

(2)点D,E分别是OA,AB边上的动点，连接DC,DE,M,N分别为DC,DE的中点，连接MN,

当分别在04,A8边上运动时，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若

不存在，请说明理由；

⑶如图2,将线段CO绕点C逆时针旋转90。至CF,连接为线段O尸上一点.试猜想

尸O2,pp2,pc2三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想.

【答案】(1)6,4,巩9,4)

12

⑵存在最小值，最小值是《

(3)尸。2十尸尸2=2尸02,证明见解析

【分析】(1)利用绝对值、算术平方根的非负性求出mb,根据平移性质求点3的坐标；

(2)由是ACDE的中位线，得出MN=；CE,当CE/AB时，CE取最小值，取

最小值，因此利用面积法求出CE最小值即可；

(3)以“为直角边作等腰直角三角形CP。，其中NPCQ=90。，连接厂。，先证

△OCP^AFCQ(SAS)，得出。尸=，ZCOF=ZCFQ，再证明ZPFQ=ZOFC+ZCFQ=90°,

利用勾股定理得出尸。2+尸尸2=尸。2,再由尸。2=pc2+QC2=2PC=即可证明

PO2+PF2=2PC--

【详解】(1)解：0y/6—a+—4|=0,y]6—a>0,性一4,0,

团6-4=0,b-4=0,

回〃=6,b=4,

回4(6,0),C(3,4),

国。(0,0),点。与点C对应,

国平移方向为先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度

由平移得，3(6+3,4),即3(9,4),

故答案为：6,4,8(9,4)；

EIM,N分别为DC,DE的中点，

团肋V是ACDE的中位线，

^\MN=-CE,

2

回要使得MN最小，则CE最小.

国当时，CE取最小值，MN取最小值.

由(1)知A(6,0),3(9,4),

EIOA=6,AB=J(9-6『+(4-0『=5,

回C(3,4),

12cH=4,

0So1O7/AizB>Cc=_2OA,CH=_2AB-C£*取ZJj、,

yOACH6x424

最小AB55

112412

团A/7V的最小值为：~^CE最小=工义-^~=-^~,

2255

1?

即存在最小值，最小值是彳；

(3)解：尸。2+尸产2=2尸。2,证明如下：

如图所示，以C尸为直角边作等腰直角三角形CPQ,其中/尸。。=90。，连接尸Q,

团CP=CQ,

由旋转得，CO=CF,ZOCF=90°,

^\ZOCF=ZPCQ,

团ZOCF-NPCF=ZPCQ-ZPCF,

^\ZOCP=ZFCQ,

在和△/CQ中，

OC=FC

<ZOCP=ZFCQ,

CP=CQ

0AOC/^AFC（2（SAS）,

^\OP=FQ,ZCOF=ZCFQf

国CO=CF,ZOCF=90°,

ZCOF=ZOFC=45°f

^ZCFQ=45°f

团ZPFQ=ZOFC+ZCFQ=90°,

根据勾股定理得，FQ2+PF2=pQ2,

^\PO2+PF2=PQ2,

又团PQ2=PC2+QC2=2PC2,

^\PO2+PF2=2PC2.

【点睛】本题考查绝对值、算术平方根的非负性，平移、旋转的性质，中位线的判定与性质，

垂线段最短，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点，综合

性较强，牢固掌握上述知识点，并熟练运用等量转化的思想是解题的关键.

15.如图，平面直角坐标系中，CB//OA,ZOCB=90°,CB=2,OC=4,直线y=-1x+2

过A点，且与y轴交于。点.

⑴求点A、点8的坐标；

(2)试说明：AD1BO；

⑶若点M是直线AZ)上的一个动点，在无轴上是否存在另一个点N,使以。、B、M、N为

顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)44,0),8(2,4)

(2)见解析

(3)存在,N(-6,0)或N(6,0)或N(14,0)

【分析】

(1)根据题意利用矩形性质及判定可得点8坐标，令y=0即可得到X的值，即为点A坐标；

(2)根据直线解析式求出点。坐标，得到8的值，根据矩形对边相等，OC=4,然后证

明AAOD2AOCB,再利用全等性质即可得到结论；

(3)根据平行四边形对边平行且相等可得物BM=AN,令y=2求出点M坐标,

从而得到BM长度，再分情况讨论求出点N坐标.

【详解】(1)解：当y=0时，一无+2=0,解得：x=4,

回点A坐标为(4,0),

团NOCB=90°,CB=2,OC=4,

回过点8作8尸，AO于歹，则四边形3co尸是矩形，

回点8的坐标为(2,4)；

(2)解：当x=0时，>=-；*0+2=2,

倒点。坐标为(0,2),

团OD=BC=2,

根据(1)中结论，四边形3co厂是矩形，

国OC=BF=4,AO=OC=4,

在△49。和中，

OD=BC

<ZAOD=ZOCB,

AO=CO

0AAOD^AOCB,

⑦NOAD=NCOB,

^ACOB+ZAOB=9Q0,

团NQ4D+NAC«=90。，

0Zz4EO=9O°,

^\AD±BO；

(3)解：存在

团点N在％轴上，0、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，

团5M〃兄轴且=ON,

根据(1),点3(2,4),

0——x+2=4,解得：x=—4

2f

团点〃(-4,4),

团BM=2—(—4)=6,

①点N在点。的左边时，ON=BM=6,

团点N的坐标为(-6,0),

②点N在点。的右边时，ON=BM=6,

回点N的坐标为(6,0),

③作N(-6,0)关于A的对称点M,则乂也符合，点M的坐标为(14.0),

综上所述：N(-6,0)或N(6,0)或N(14,0).

【点睛】

本题考查坐标与图形，一次函数与坐标轴交点，矩形性质及判定，平行四边形性质，全等三

角形判定及性质.

16.如图，在YA5CD中，ZA=60°,A£>=8,AB>AD,E是AB上一点，连接CE,DE.

(1)如图1,若CE,DE分别平分ZBCD和/ADC,求证：CE±DE；

(2)如图2,连接BD交CE■于。，若DE=AE,CELBD,求AB的长；

⑶在(1)的条件下，将ACDE绕点C顺时针旋转得到△CDE',直线交CD于R当

AF±CD'^,求AACE'的面积.

【答案】⑴见解析

(2)48=4+4若

(3)24A/19-24V3

【分析】

(1)利用平行四边形的性质可得NADC+/3c0=180。，由角平分线的性质可得

ZEDC+ZDCE=90°,即可得ZDEC=90。，进而可证明结论.

(2)过点E作EM_LCD于点M,证明〜4DE为等边三角形，可得DE=AD=8,ZADE=60°,

再利用平行四边形的性质可/£»加=60。,/。应0=30。，即可求解DM,E”的长，再通

过证明△£>£C丝ACBQ,可得NECM=45。,可求解CM的长，进而可求解.

(3)过C点作CGLAB交A2的延长线于点G,连接AC,易求BG,CG的长，再利用勾

股定理求解AC?的长，结合旋转的性质利用含30。角的直角三角形的性质及勾股定理求解

CF,E'F,AF的长，再利用三角形的面积公式根据S：ACE=S“ACF-S%CE即可求解.

【详解】(1)

证明：回四边形ABCD为平行四边形，

.-.AD//BC,

:.ZADC+ZBCD=180°,

CE、DE分别平分NBCD和^ADC,

ZEDC=-ZADC,ZDCE=-ZBCD,

22

ZEDC+ZDCE=90°,

:./DEC=90°,

:.CELDE.

(2)

)解：过点E作上MLCD于点M,

•/ZA=60°,DE=AE,

.•VAD石为等边三角形，

:.DE=AD=8,ZADE=6Q°,

团四边形ABCD为平行四边形，

:.AB//CD,AB=CD,AD=BC,

.•.ZADC+ZA=180°,DE=BC,

ZADC=120°,

ZEDC=120。—60°=60°,

.*.ZD£M=30°,

:.DM=-DE=4,

2

EM=\lDE2-DM2=4A/3，

QEB//CD,DE=BC,

回四边形8CDE是等腰梯形，

CE=BD,

在△DEC和△CB0中，

DE=CB

<CE=DB,

DC=CD

:.^DEC^CBD（SSS）,

:.ZECD=ZBDC,

■.■BD1CE,

:.ZCOD=90°,

/.Z£CD=45°,

;.CM=EM=46，

AB=CD=DM+CM=4+46.

(3)

过C点作CGLAS交A3的延长线于点G,连接AC,

D’

回四边形ABC。为平行四边形，ZDAB=60°,

.\AD//BC,AB//BC,BC^AD=8,/BCD=60°,

・•.NCBG=ZDAB=60。,ZADC=120°,

.•.ZBCG=30。，

BG=-BC=4

2f

CG=7BC2-BG2=473，

・・・ZEDC=-ZADC=60°=ZDAE,

2

「.VADE1是等边三角形，

DE=AD=8,

ZDCE=-ZBCD=30°,ZDEC=90°,

2

；.AB=CD=2DE=16,

:.AG^AB+BG=20,

2222

AC=AG+CG=20+(4@2=448,

由旋转可知：NCE'D=NCED=90°,D'E'=DE=8,ZD'CE'=ZDCE=30°,CD,=CD=16,

:.CE'=^Clf-D'E'2=A/162-82=85/3，

•/AF±CD',

E'F=-CE'=4y/3,

2

:.CF=slCE'2-E'F2=12)

AF=VAC2-CF2=,448-122=4回,

S"S.ACF-S.CE=；CF