二次函数中平移、翻折、旋转综合问题（解析版）-2025年中考数学押题

二次期数中平移■翻折■痛转综合问题

目录

解窘中考.................................................................................1

题型带词提分.............................................................................2

【题型一】二次由数中的平移嫁合问题...................................................2

【题型二】二次函敷中的制折综合问题..................................................13

【题型三】二次函数中的建桥绿合问题..................................................22

解密中考

考情分析:二次函数中平移、翻折、旋转综合题是全国中考的热点内容,更是全国中考的必考内容。每年都有

一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1.从考点频率看，平移为高频考点，常考解析式变化；翻折为中频,涉及对称轴变换;旋转低频，多与坐标系

结合。各地差异小，平移占比约30%,翻折20%,旋转10%左右。

2.从题型角度看，平移、翻折多现选择填空（直接求解析式）或解答题第一问（基础变换）;旋转常融综合题

（如与几何图形结合求坐标）,压轴题占比约15%,侧重逻辑推导。

备考策略:在中考数学备考中，熟记变换规律（如平移“左加右减”、翻折符号变化、旋转坐标公式）;分类练基

础题与综合题,注意变换后图形性质；压轴题需结合函数与几何，用方程思想联立求解,强化画图分析能力。

题型特训提分

【题型一】二次函数中的平移综合问题

1.（2025•浙江•模拟预测）已知二次函数y="+kc—3的图象经过点（1,-4）.

（1）求二次函数解析式及其对称轴；

（2）将函数图象向上平移巾个单位长度，图象与c轴相交于点A,B（A在原点左侧），当AO-.BO=1:4时，

求7n的值；

（3）当n―1W/43时,二次函数的最小值为2%,求九的值.

【答案】（1）夕—x2—2x—3,对称轴为直线①=1

（2）m=^

（3）n——2

【知识点】g=ax1+brr+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、y—ax2+bx+c的最值、二次函数

图象的平移

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值,二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象

和性质，利用分类讨论思想，数形结合思想是解题的关键.

（1）代入点B坐标计算，求出b,再根据土=一三求出对称轴即可；

2a

（2）设点4f0）、B（4t,0）,则平移后抛物线的对称轴仍然为直线/=1=4（41）,通过对称轴不变来解出

力，从而得出上移距离m,

（3）先求出抛物线的顶点为（1,—4）,再分/二九一和3＞力=九一两种情况来讨论函数的最小值即

可，注意求出的口值和z=?i—1V1和3＞力=九一得到的几范围一•致才是有解.

【详解】解）解:将（1,—4）代入函数表达式得：-4=1+6—3,则b=—2,

即抛物线的表达式为：g="—2劣—3,

则抛物线的对称轴为直线/=1；

（2）解：当40:60=1:4时，

设点A（—1,0）、B（4t,0）,

则平移后抛物线的对称轴仍然为直线®=1=J⑷一力），则方=2，

则点48的坐标分别为：（一年，。）、（|-,0）,

则新抛物线的表达式为：+力一套）=62—2/一3+2,

即?72=号；

（3）解：由⑴知,抛物线的顶点为（1,-4）,

当力二九一1V1,即打V2时，

抛物线在顶点处取得最小值，即一4=2n，则n=—2;

当3＞力=打一1＞1时，即24几44时，

则抛物线在力二九一1时取得最小值，即（九一iy—2（n—1）—3=2n,

解得：n=0（舍去）或6（舍去）,

综上，TI=-2.

________P

Co。国巧

1.用顶点式分析:设原函数为y=a{x-h)2+%,平移后顶点为(忆我),则新解析式为y=a(x-h')2+k'.

2.记平移规律:左右平移变从左加右减)，上下平移变％(上加下减)。如向右移馆个单位，得g=a(c-九

—m)2+fco

3.分步平移:先左右再上下,或反之，结果一致。

4.一般式转换:若为一般式，先配方成顶点式再平移，避免符号错误。

2.(2025•安徽合肥•一模)已知二次函数0=x2+bx+c的图象经过点4(—1,—5),B(l,-9).

⑴求b,c的值.

(2)求当一5W24—3时，二次函数0=〃+be+c的最大值.

(3)现将该二次函数夕=x2+bx+c的图象沿着比轴的正方向平移卜(k>0)个单位长度得到新的二次函

数图象，当2&尤&4时，新的二次函数有最小值，最小值为7,求平移后新的二次函数的表达式.

【答案】⑴—2,—8

(2)27

⑶y=x2-16x+55

【知识点】y=a/+be+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移

【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值,二次函数图象与几何

变换，正确的理解题意是解题的关键.

⑴把点A(—1,—5),B(l,—9)代入9=d+be+c,即可求得6、c的值；

(2)根据二次函数的性质即可求得；

(3)平移后新的二次函数的表达式为沙=O—l—ky—9,分三种情况讨论:①当1+%<2,即0<k<1时，2

在对称轴的右侧，②当2<l+kV4,即1<k<3时，③当1+k>4,即k>3时，2<c<4在对称轴

的左侧，然后根据二次函数的性质求解即可.

【详解】⑴解:将点4—1,—5),3(1,-9)代入,

得(―5=1—b+c,解得(6=-2，

寸I—9=l+b+c,[c=-8,

.'.b,c的值分别是一2,—8.

(2)解：：二次函数的表达式为y=x2—2x—8=(a;—I)2—9,

/.二次函数图象的对称轴为直线c=l.

,/1>0,

/.二次函数图象的开口向上，当立<1时，夕随c的增大而减小.

*.*—5&x4-3,

：.当x=-5时，二次函数g=/+b/+。有最大值，最大值为y—(―5—I)2—9=36—9=27.

(3)解:平移后新的二次函数的表达式为y=(力一1—k)2—9,该二次函数图象的对称轴为直线/=1+k.

分三种情况讨论：

①当l+k&2,即0Vk<l时，2W力44在对称轴的右侧，

/.二次函数在力=2取得最小值，

/.(2—1—fc)2—9=7,解得k=5或k=—3,不符合题意.

②当2VI+kV4,即IV%V3时，二次函数在N二l+k取得最小值,此时最小值为一9,不符合题意.

③当l+k>4,即k>3时，2&力&4在对称轴的左侧，

/.二次函数在1=4时取得最小值，

（4—1—A;）2—9=7,解得k=7或k=—1（舍去），

此时二次函数的表达式为y=（力一1—7）2—9=（rr—8）2—9,即9=婷-16a:+55.

综上所述，平移后新的二次函数的表达式为y=x2—16x+55.

3.（2025・重庆•模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx~4：^x轴交于点A、B,与£轴交于点

。，点。是抛物线的顶点，OB=OC=2OA,连接BC.

⑴求抛物线的解析式.

（2）如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于沙轴对称，线段跳;沿着射线平移.平移

后的线段记为MN,当△BCP面积最大时，求PM+MN+ND的最小值.

（3）在（2）的基础上将抛物线夕=如?+辰—4沿射线AC方向平移2V5个单位长度得新抛物线y',在新

抛物线式上是否存在点Q,使AQPB=乙4co+45°?若存在,请直接出点Q的横坐标，若不存在,请说

明理由.

【答案】（1）夕=—4

（2）最小值为+2

（3）存在，点Q的横坐标为2-或20+yror.

【知识点】线段周长问题（二次函数综合）、角度问题（二次函数综合）、待定系数法求二次函数解析式、面积问

题（二次函数综合）

【分析】（1）对于一^二次方程Q力2+反—4=0,根据二次函数和一元二次方程的关系，的=-2,/2=4.由根

与系数关系可得：力1+电=—~=2,力避2=—―=—8,得到a=4,b=—1,即可得到答案；

aa2

⑵设点P坐标为（馆,4山2一小一4）,从点p向2轴作垂线，及为垂足，PH交于点G.过点E作EF//

222

BC交y轴于点F.求出=——?7i+2?n—8=—~（?n—2）+10.得到SARCP=—（jn—2）+2020.当m

2时，点M坐标为（2,—2）,△BCP面积最大.得到PN+7W+ND的最小值为+2;

（3）点Q有两个位置Qi和,分别在第三象限和第四象限，分情况进行解答即可.

【详解】（1）解：对于沙=。/+64—4,令力=0,g=—4.

/.OC=I-4|=4,05=0（7=4,OA=^-OB=2.

/.根据图象可知：点A坐标为（一2,0）,点口坐标为（4,0）,点。坐标为（0,-4）.

对于一^元二次方程a/+b/-4=0,根据二次函数和一^元二次方程的关系，为=—2,力2=4.

由根与系数关系可得：/1+冗2=——=2,XyX^———=—8

aa

：.a--^-,b=-1.

抛物线的解析式为沙=方/2一力―4.

（2）设点P坐标为（馆,]力2_小一4）,从点p向2轴作垂线，H为垂足,PH交于点G.

过点E作EF〃B。交y轴于点F.

根据题意OB=4,OB=。。，AOBC为等腰直角三角形.

故直线相当于直线夕=c向下平移了4个单位长度，根据平移性质直线BC的解析式为：沙=2—4.

・••点G坐标为（771,m—4）.

,**S^CP=S&GCP+S.GBP=fGP.OH+fGP.BH=%GP.OB,OB=4,

m—4^=--^-m2+2m—8

GP=yG-yP=（馆—4）-

=-y（m-2）2+10.

SAHCP——（77i—2y+20<20.

当m=2时，点M坐标为（2,—2）,ABCP面积最大.

2

此时点H与点E重合，点河与点G重合，HP=EP=\yP\=^x2-2-4|=4=OC

当点M坐标为（2,—2）时，毋1为和为ABOC的中位线，点F坐标为（0,—2）,点N的轨迹在与射线BC平

行的射线EF上.

作点。关于直线EF对称点C,根据△CNC为等腰直角三角形，可得点C坐标为（一2,-2）.

/.CN=C'N.

•：NM=CP=2,NM//CP,

：.四边形CPAW在2W平移时始终为平行四边形，「河二印.

/.PM+MN+ND=C'N+MN+ND>CD+MN=CD+2.

对于y二寺"一2一"的=一*=1,如-1-4=-^-.

CD=J（—2—1]+（—2+=雪.

.•.PAl+TW+ND的最小值为考L+2.

故△BCF面积最大时，PAl+MN+ND的最小值为当L+2.

（3）根据题意。4=2,OC=4,则AC=y/AO~+OC2=2/5,故抛物线?/=}"一/一4沿射线人。方向平移

2V5个单位长度得新抛物线y'.相当于抛物线g先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到y'.

如图，

根据平移性质可得式=(a;-2)2—(窜一2)—4—4=-^-x2—3x—4.

由(2)知BE=AO=2,PE=CO=4,AC=PB=V22+42=275.

AE=OB=4,OC=EP=4,则AF=BC=V42+42=472.

在/XACB和ABB4中，AC=BP,AB=BA,BC=AP,

：.AACBn/XBPA(SSS).

：.NAPB=ZBCA=NACO+ZBCO=ZACO+45°.

/B4P=45°,49=2,

直线AP相当于直线y=-x向左平移了2个长度单位，

直线AP的解析式为y=—(a?+2)=—x—2.

如图，点。有两个位置Q和Q2,分别在第三象限和第四象限：

①点Q是AP和新抛物线”的交点，满足NQFB=AAPB=NACO+45°.

结合直线4P和新抛物线式的解析式：-j-x2-3x-4=—x—2.

解得c=2—2V2或2+2V2,

由于Q在第三象限，所以Qi的横坐标为2-22.

②作出点A关于BP的对称点，然后作，工轴，T为垂足，再连接PA'交抛物线右侧于点Q2.

这样根据轴对称的性质,ZQ2PB=AQ.PB=AAPB=AACO+45°.

设A4交BP于点R.

•/SAABF=±AB-EP=^-BP-AR,

.•.AR=6x4+(2—)=^^.BR=JAB?—BE2=,

oo

•••cos/HAT=cos/BAR,即=芈，

AA'AB

把AT—AO+a;.,=2+x.,,AA'—2AR=,AB=6,AR=代入比例式解得:

55

_38

以,一5-

在Rt/\ATA'中，4T=〃/=VAfA2-AT2=誉.

O

.•.点4的坐标为(学，一卷).

设直线AP，的解析式为：V=ka;+b,代入点P和点A'的坐标得：

f—4=2fc+b[fc=­v

{-等=和+“解得“=v

直线AP的解析式为：9:一]7一平.

结合抛物线K可得：■|"314=—齐一,，解得/2°+严或2。一严.

由于点Q在第四象限，所以Q2的横坐标为：2。+^^.

综合①②可得，点Q的横坐标为2—或20+yi^.

【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数和一元二次方程的关系、全等三角形的判定和性质、解直

角三角形、勾股定理、函数的平移和对称等知识，分情况讨论是解题的关键.

4.(2025•海南•模拟预测)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a¥0)与①轴交于A(—4,0),

8(1,0)两点，与0轴交于点C(0,—2),连接AC,BC.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)如图1,点P是抛物线上位于直线4。下方一动点，过点P作9轴的平行线交直线AC于点D,点E

是y轴上的一个动点，连接BE,PE.当线段PD长度取得最大值时，求PE—BE的最大值,及此时点E

的坐标；

(3)如图2,将抛物线y=a/+近+c(a¥0),先向右平移1个单位长度，再像上平移2个单位长度,得到

新抛物线伏,点N是新抛物线上一点，连接CN,当ZACN=ACBA-ACAB时,请求出点N的坐标.

【答案】⑴y"+年①―2

(2)PE—BE的最大值为32，此时点E的坐标为(0,—1)

(3)点N的坐标为(二巫,3—47)或(一5/所,3+47).

【知识点】相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、二次

函数图象的平移

【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线

并利用分类讨论的思想求解是解题的关键.

(1)抛物线y—ax2+bx+c(a7t0)与/轴交于A(—4,0),B(l,0)两点，与夕轴交于点。(0,—2)，待定系数法求

解析式，即可求解；

⑵先求得直线AC的解析式为y———2.设P(?TZ，0?7Z2+等Tn—2)，则。(viz,―2),得出PD的关

系式，进而得出当点P,B,E三点在一条直线上时，PE—BE取得最大值为PB,延长PO,交①轴于点F,得

出△PBF,△QBE为等腰直角三角形，进而得出点E的坐标为(0,-1);

(3)根据平移得出新抛物线纳的解析式，设直线C7V与2轴交于点Q,证明△AOC〜△COB,/XQOC-

/\COA,根据相似三角形的性质得出Q的坐标，进而求得直线CN的解析式为y=-2x-2,联立抛物线解析

式%=紧一1,即可求解.

【详解】(1)解：:抛物线y=ax2+bx+C(QWO)与/轴交于A(—4,0),B(l,0)两点，与0轴交于点C(0,—2),

(16a—4b+c=0Q=2

<a+b+c=Ofe=-1-,

[c=-2

c=-2

该抛物线的函数表达式为g=+9力一2;

(2)设直线4。的解析式为y=kx+n,

.J—4fc+n=0.1-

2"1=—2'

・・・直线4。的解析式为•力一2.

+2^,贝ID^m,--2),

・・,点P是抛物线上位于直线AC下方一动点，

PD—(―-2)—+2^)=--ym2—2m=--^-(m+2)2+2,

V-y<0,

当m=-2时，PD取得最大值为2,此时点P(-2,-3).

，,点、E是y轴上的一个动点,

:.PE-BE&PB,

・・・当点P,B,石三点在一条直线上时，PE一跳?取得最大值为PB,

延长P。，交力轴于点F,如图，

则PF_L力轴，

：.PF=3,OF=2,

：.BF=OF+OB=3,

：.PB=y/PF2-^OF2=3V2,

•；PF_LBF,BF=PF=3,

・・・AFBF为等腰直角三角形，

・・.ZFBF=45°,

・•・跳;为等腰直角三角形，

：.OE=OB=\,

£/(0,-1).

・,・当线段PD长度取得最大值时，PE—BE的最大值为3/2,此时点石的坐标为(0,-1);

2

/oV.-12.391/,3\25

・•・将抛物线"二32+坂；+°((1#0),先向右平移1个单位长度,再像上平移2个单位长度,得到新抛物线％的;

解析式为幼=4(6+4■—1)一等"+2=4/2+\_力_1.!

zv27o2i2।

设直线CN与2轴交于点Q,如图，:

……____—_4

vA(-4,0),B(l,0),C(0,-2),

:.OA=4,OC=2,OB=1,

.OAOCn

,,云=市=2,

・・・乙40。="OB=90°,

・•・AAOC-ACOB,

・•.AACO^ZCBO,

・・・ZACN=ACBA-ACAB,

：.4ACN=/ACO-ACAB,

・・・乙4CN=/ACO-AQCO,

・・・4QCO=/CAB.

・・・ZQOC=ZCOA=90°,

・•・AQOC-ACOA,

.OQ=PC

,,OC-OA'

.OQ=2

••24，

OQ=1,

Q(—1,0).

设直线CN的解析式为g=d/+e,

—d+e=Od=-2

e=-2e=-2

・・・直线CN的解析式为g=—2力一2.

y——2cx—2e7_-5-V17

劣2—2

夕=鼻2+鼻•・（"=3—后，鼠=3+后

.•.点N的坐标为（-5或『3—47）或（十巫,3+47）

5.（2025•湖南衡阳•一模）抛物线Lry=-yrr2+bx+c^x轴交于A（—4,0）,B（l,0）两点，与y轴交于点

。，点P是抛物线心上的一动点，设点P的横坐标为m（—4＜小＜0）.

⑴求抛物线〃的表达式.

（2）如图1,连接AP,并延长4P交y轴于点。，连接BP,交y轴于点E.点P在运动过程中，OO+

4OE的值是否为定值，若是,请求出定值；若不是，请说明理由.

⑶将该抛物线的向左平移4个单位,再向上平移2个单位,得到如图2所示的抛物线L2刚好经过点P,

点及为抛物线L2对称轴上一点.在平面内确定一点N,使以点A,P,河，N为顶点的四边形是菱形.

【答案】（1%+2

（2）00+4OE的值为定值10,理由见详解

（3）N点坐标为（一■1,2+呼）,（一■1,2—

【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形（二次函数综合）、相似三角形的判定与性质综合

【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，抛物线和菱形的综合等

知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法和菱形的判定和性质.

⑴利用待定系数法进行求解即可；

（2）过点P作PF_Lc轴于点F,得出△4PF〜△ADO,ABOE〜ABFP，利用相似三角形的对应边成比例，列

出关于小的代数式，化简代数式即可得出结论；

⑶根据菱形的判定和性质分类讨论，根据题意画出图形，假设出点的坐标，根据对边平行且相等列出方程,解

方程即可得出坐标.

【详解】（1）解:将A（—4,0）,B（l,0）两点代入y=—++c得，

0=—8—4b+c

0=—j+6+c

b=

解得~l

c=2

抛物线J的表达式为y—―—+2；

⑵解：OD+4OE的值为定值10,理由如下，

如图，过点P作PF_L/轴于点F,则AAPF〜△ADO,i\BOE〜ABFP,

.OPOAOE=PF

"PF-AF5OB-BF5

OA-PFPF-OB

即OD=^AF^^OE=^F~

假设点P坐标为(m,—；7722_1_馆+2),则点尸坐标为(771,0),

1Q

AFF=-ym2-ym+2,AF=m+4,OA=4,BF=l-m,OB=1,

--1-m2--|-m+2)—ym2--|-m+2

：.OD=,OE=

m+41—m

m2—1-m2--1-m

OO+4OE=rl

m+41—m

整理得，OD+4OE=-：。(馆+4)(--1)=w

(m+4)(1—m)

・・・OD+4OE的值为定值10;

⑶解:平移后抛物线，的表达式为9=g3+4)2—曰0+4)+2+2,

整理得y=--^-x2—~^~x—10,

y=—^x2—^x—10

联立＜

y=--^2?—|■力+2

/力=-3

解得

U/=2'

.•.点P坐标为(-3,2),

根据勾股定理得，AP=V(-3+4)2+(2-0)2=V5

抛物线乙2的对称轴为直线2=--------卜=-9,

2x(F)

①当以点P为圆心AP长为半径画圆时，此圆与直线必=一］无交点，因为点P到直线2=—今的距离为

-3-(一号)=5；

②当以点A为圆心AP长为半径画圆时,如下图所示，

AM2=(-3+^-)2+(0-y)2=(V5)2

解得y=或y=-^y-,

即闻一？,吟)，峪(一？,一吟)，

假设2(如6),瓦。也)，

・・・NiMi//PAN%=PA,N2M2〃PA,N2M2=PA

Oi+/=-3+4,bi—=2;a2+=-3+4,b2+=2;

解得ax=--苧,8=2+；的=—~苧,b2=2—；

所以此时NK一■1,2+呼)，汹一Q—吟)；

③当AP为菱形的对角线时，作R4的垂直平分线,交对称轴于点略，如下图所示,

图2

假设略(一,

2

：.M3P^M3^

即(-3+?)+(2-%)2=(-乎+4)+yl

解得2/3=2

假设M(a3,b3),根据PM〃峪4,2以=喝人得，：

___________________________________.

劭+3=-4+—,2—劣=2,

解得口3=-1,&=0,

所以此时M（一日,0）

综上可得N点坐标为（—告,2+平2—乎）或（-y,0）.

【题型二】二次函数中的翻折综合问题

6.（2025・湖南•二模）已知抛物线y=ax2-2ax-4（a>0）.

（1）如图1,将抛物线y=ax2-2ax-4在直线y=-4下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变,得

到一个新的函数图象“W”.翻折后，抛物线顶点入的对应点A恰好在2轴上，求抛物线夕=a〃—2ac

—4的对称轴及a的值；

（2）如图2,抛物线y=a/—2arc—4（a>0）的图象记为“G"，与"轴交于点过点8的直线与⑴中的

图象“W”（x>l）交于P,。两点，与图象“G”交于点D

①当a=”时，求有的值；

②当Q04时,请用合适的式子表示篇■（用含a的式子表示）.

【答案】（1）抛物线的对称轴为直线力=1;a=4

⑵①1;②

4+a

【知识点】相似三角形问题（二次函数综合）、y=ax2+fcc+c的图象与性质、全等三角形综合问题、其他问题

（二次函数综合）

【分析】本题考查二次函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和

性质是解题的关键；

（1）根据题意，分别求出抛物线的对称轴和点A的纵坐标，即可求解；

（2）①证明△CFW空/\DCN，即可求解；

②当a>0且aW4和a>4时，证明△CFQ〜ADPT,进而根据相似三角形的性质，即可求解；

【详解】（1）解:抛物线的对称轴为直线：,=—，即为①=1.

2a

当/=1时

根据翻折可知点/的纵坐标为一8,即点4的坐标为（1,一8）.

将点A的坐标代入抛物线表达式得：a—2a—4=—8,

解得：a=4,

即抛物线的对称轴为直线力=1；a=4

⑵解：:a=4,

4x2-8x-4（力40或%>2）

图象“W”的解析式为：g=

-4x2-i-8x—4（0<x<4）

①当a=4时，图象“G”的解析式为：9=.婷—白-4,

OOO

设直线的解析式为g=k/一4,

当kx—4=4x2—8®-4时,

解得:力=0或力=2+牛；

.,•点。的横坐标为2+寺,

当左力一4=—4x2+8T—4,

解得：c=0或1=2—;

.♦.点P的横坐标为2-与；

4

当kr—4=曰力2—_—4时，

oo

解得：力=0或%=2+

4

点。的横坐标为2+gk;

4

如图，作PM〃比轴，过点。作CAIJ_力轴交PAf于点河,

图1

作CN〃x轴，过点、D作DN_LCN爻CN于,&N,

由各点横坐标可得:PM=2+与-（2-4）=寺，

41472

的=2+告%—（2+4）=/，

・・.PM=CN,

・・・P7W7/N轴，CW7//轴，

:.PM//CN,

・•.ADCN=/CPM,

•：DN_LCN,CM_LPM,

：.ACMP=乙DNC=90°,

・・・/XCPM^dDCN（ASA）,

___________________________________G

：.PC=DC,

・也=1.

一CD，

②当a>0且QW4时，图象"G”是解析式为：y=ax2—2ax—4,

由①可得点P的横坐标为2—4，点。的横坐标为2+亨，

当左力一4=ax2—2ax—4,

解得：c=也及，

a

.•.点D的横坐标为：2a+fc;

a

当0VQV4时，如图，作PQ〃/轴，过点。作。Q_LN轴，交PQ于点Q,过点。作轴交PQ于点T;

由各点横坐标可得:PQ=2+专一（2—牛）=?，

prp-2a+♦_①一旦）—4k+成

a14J4a

•.•CQ±PQ,DT_LPT,

J.CQ//DT,

：.丛CPQ〜4DPT,

.PC=PQ=如=2a.

''~PD~'PT~^k-ak~4+a：

4a

当a>4时，如图，作PQ〃2轴，过点。作CQ_L2轴，交PQ于点Q,过点。作。T_Lrr轴交PQ于点T,

由各点横坐标可得:PQ=2+]—（2-1）=4,

prp_2a+k_（2——\—4k+欣

a14J4a

-CQ±PQ,DT_LPT,

：.CQ//DT,

・•.△CPQ〜ADPT,

则且=型="二工.

PDPT*成4+Q'

4a

综上所述，用含a的式子表示第为

CD4+a

1.明确对称轴：

①轴翻折:顶点（九,七）变仇,—k）,开口反向（a变一a）,解析式为夕=—aQ—无尸一品

y轴翻折:顶点变（―九,A；）,开口不变,解析式为y=a（x+Kf+ko

2.一般式处理:先配方成顶点式再翻折，避免符号错误。

3.利用对称点:任一点Q,5关于轴翻折后坐标代入原函数，直接推导新解析式（如关于2轴翻折，

用“一一夕替换）。

7.（2025•山东济南・一榭如图1,抛物线G经过点A（—3,0）、。（0,3）,对称轴为直线c=—1,直线班;与t轴

所夹锐角为45°,与y轴交于点E.

⑴求抛物线G和直线BE的表达式；

（2）将抛物线G沿二、四象限的角平分线平移，使得平移后的抛物线与直线班;恰好只有一个交点，求抛

物线平移的距离；

⑶如图2,将抛物线G沿直线BE翻折,得到新曲线G,G与0轴交于M、N两点,请直接写出"点坐

标.

［答案］⑴y=—x2—2x+3^y=x—l

（2）若抛物线G向右下方平移^-72单位

O

（3）M（0,-2+V5）

【知识点】其他问题（二次函数综合）、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移

【分析】本题考查二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，一元二次方程，熟练掌握二次函数图象和性质是

解题的关键；，

⑴根据题意，可得抛物线G对称轴为直线c=一1,再将4（一3,0）,B（l,0）,C（0,3）代入表达式，根据题意,再

求解一次函数解析式，即可求解；

（2）根据题意，分情况若抛物线G向左上方平移，若抛物线G向右下方平移分别讨论，即可求解；

___________________________________亩

⑶根据题意，设M(O,Q),进而求解W的坐标，将(1+Q,—1)代入g=—/—2/+3,求解即可

【详解】⑴解：•・,抛物线G对称轴为直线力=一1,经过点4(一3,0),

・・.抛物线G经过点石(1,0),

设抛物线G表达式为y=ax2-\-bx-\-c,

将/(一3,0),6(1,0),C(0,3)代入表达式,

(9Q—3b+c=0

<a-\-b+c=0,

[c=3

/.抛物线G为g=—x2—2力+3,

•・•直线BE与/轴所夹锐角为45°,

:.OE=OB=1,

E(0,—1),

设直线BE表达式为y=kx+b,把石(1,0),£;(0,-1)代入，

得(O=k+b

\—l=b'

解得仁

直线BE:y=x—l,

：.抛物线G和直线BE的表达式分别为：g=—/—26+3和g=—1;

(2)解:①若抛物线G向左上方平移，则抛物线与直线BE始终有两个交点，不合题意;

②若抛物线G向右下方平移，

二四象限角平分线表达式：y——X,

.,・抛物线向右平移m单位的同时向下平移m单位,

原抛物线G为y=—x2—2x+3=—(£c+l)2+4,

・••其顶点为(-1,4),

平移后顶点为(―14-772,4—772),

/.平移后抛物线表达式为y=—(0+1—771)2+4-m,

令—(x+l—mf+4—m=—1,

若平移后抛物线与直线8石只有一个交点，

则2\=—8力+25=0,

_25

m~8'

.•.平移的距离为孕血；

O

⑶解:设河(0,Q),

则点Af(0,a)关于g=u-1的对称点为Af'Qy),

BM—1+a,

则的横坐标为：1+a,

则上AT的解析式为：g=—/+a,

因为该点在直线g=—x+a上，

则y=—l;

将(1+a,—1)代入g——力2—2/+3,

可得：-1=—(1+Q)2—2(1+a)+3,

解得：a——2+y/b或a=-2—(舍去);

点河坐标为：河(0,-2+右)

8.（2025•广西南宁•一模）在平面直角坐标系中，抛物线4=12+法+。经过点（0,-3）,（-1,0）.

（1）求出该抛物线的解析式；

⑵当一1<小时，求"的最小值；

（3）把抛物线y=x2+bx+c的图象在T轴下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原抛物线位

于力轴下方的部分组合的图象记作图象Q,若直线工="与图象Q的上下部分分别交于4B两点，当线

段48=4时，求n的值.

【答案】（1）夕=x2—i2x—3

（2）当m<1时，函数最小值为rm?—2m—3;当1时，函数最小值为一4

（3）1+72

【知识点】夕=ax2+brr+c的最值、待定系数法求二次函数解析式、y—ax2+be+c的图象与性质

【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到图象的翻折、待定系数法求函数表达式，熟悉函数的图象和性质是解

题的关键.

（1）由题意得：［二［：八，即可求解；

（2）根据题意分EV1和nz>1两种情况分别求解即可；

（3）由函数的对称性知，AB=4,则yB=-2，即可求解.

【详解】⑴解：由题意得：「，

［1—匕+c=。

解得:f=一

lc=—3

则抛物线的表达式为：g=d—2力—3；

（2）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线力=1,顶点坐标为（1,-4）,

当mVl时，当/=时，函数取得最小值，即g=m2—2m—3;

当力>1时,抛物线在顶点处取得最小值，即y=—4,

综上，当m<1时，函数最小值为m2—2m—3;当1时，函数最小值为一4;

（3）解：由函数的对称性知，AB=4,则yB=-2,

x2—2x—3=-2,

解得：力二1±V2=n.

9.（2025•上海静安•一模）已知抛物线g=ac2+bc+c（aW0）上，其g与力部分对应值如下表：

X-3-1032

y-80202

⑴求此抛物线的表达式；

（2）设此抛物线的顶点为P将此抛物线沿着平行于力轴的直线Z翻折,翻折后得新抛物线.

……____——亩

①设此抛物线与2轴的交点为46（点A在点B的左侧）,且AABP的重心G恰好落在直线I上,求此时

新抛物线的表达式；

②如果新抛物线恰好经过原点，求新抛物线在直线I上所截得的线段长.

【答案】（1切=—2+.,+2

⑵①夕=4（1）2-1②标

oy

【知识点】y=<M；2+法+C的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、重心的有关性质、折叠问题

【分析】本题主要考查待定系数法求解析式及二次函数图象的性质，折叠的性质，重心的性质，掌握二次函数图

象的性质是解题的关键.

（1）根据题意，运用两点式，设？/=<1（>+1）3—3）,运用待定系数法即可求解；

（2）①将抛物线的一般式化为顶点式得到点P的坐标为（1,专），如图所示，过点P作垂直力轴于点X,根

据G是△ABP的重心，得到GH=/PH=看，则新抛物线的顶点坐标为（1,一看），根据题意可知，这两条抛

物线的形状不变，开口方向相反，由此即可求解;②设直线/与沙轴的交点为（0,小），则P。,关于直线Z的

对称点为（1,2m-,由此得至1新抛物线的表达式为y=（力—1）2+2m—■］，根据它经过原点，得到解得

m=1,所以令g=1,代入"=—（a;-1）2+,由此即可求解.

【详解】（1）解：当x=—l时，g=0,当力=3时，g=0,

设抛物线的表达式为y=a（x-hl）（x—3）,

把a:=0,g=2代入，2=a（0+l）（0—3）,

解得a=―,

O

此抛物线的表达式为y――!"/+-^-x+2.

oJ

⑵解:①,=—|~劣2+今比+2=一,（X—1）2+-1-,

OOOO

.•.点P的坐标为（1,日），

•••G是△ABP的重心，

；.GH=WPH*,

•G在直线/上，且新抛物线与原抛物线的图像关于直线，对称,

.•.新抛物线的顶点坐标为（1,—》），