方程与不等式（八大题型+四大易错）解析版-2025年中考数学冲刺复习（上海专用）

抢分秘籍02方程与不等式

CCC

【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）

【题型一】一元一次方程及应用

【题型二】二元一次方程及应用

【题型三】一元二次方程的解法

【题型四】一元二次方程的应用

【题型五】分式方程的解法

【题型六】分式方程的应用

【题型七】不等式的解法

【题型八】不等式的应用

【误区点拨】点拨常见的易错点

易错点一：二元一次方程组中含参数易错问题

易错点二：一元二次方程中含参数易错问题

易错点三：分式方程中含参数易错问题

易错点四：不等式中含参数易错问题

考情分析：方程和不等式是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生

因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1.从考点频率看

L高频核心考点：方程有一元二次方程（解法、判别式、韦达定理）、分式方程（解法及增根讨论）、

二元一次方程组（解法及实际应用）每年必考，常结合利润、行程、几何等实际问题。不等式有一元一次

不等式组（解集求解、参数范围讨论）及应用题（方案设计、最值问题）高频出现，常与函数、方程综合

命题。

2.易错考点：

分式方程的增根检验、一元二次方程二次项系数含参时的分类讨论、不等式组解集边界值的取舍（是

否取等号）。

2.从题型角度看：

1.基础题型：选择题、填空题考查方程解法、不等式解集表示，占比约10%-15%。

2.应用题:解答题中，方程与不等式常作为建模工具（如利润最大化、资源分配问题），占比约20%-25%,

需结合题意列关系式。

3.综合题：与函数（一次函数、二次函数）结合的压轴题，如利用不等式求自变量范围、方程根的分

布分析，难度较高，区分度强。

备考策略|

L基础巩固：熟练掌握各类方程（组）解法步骤（如分式方程验根、一元二次方程配方法/公式法），

不等式组解集“数轴法”确定。

2.专题突破：针对参数问题专项训练（如含参方程的解的情况、不等式组参数范围），总结分类讨论逻

辑（如二次项系数是否为0、不等号方向变化）。强化应用题建模能力，提炼“审-设-列-解-验-答"六步法，

尤其注意实际问题中变量的取值范围（如正整数解）。

3.易错点攻坚：整理错题本，归纳增根遗漏、判别式忽略前提（二次项系数W0）、不等式方向改变等

高频错误。限时训练提升解题速度，确保基础题准确率达100%,综合题分步得分。

◎题型特训提分--------------------------------------

【题型一】一元一次方程及应用

【例1】（2025・湖北襄阳•模拟预测）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家

产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，原文如下："今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，

问人数，物价各几何？"大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，

问有几个人合伙购买，该物品的价格是多少.设合伙赎买的有x人，根据题意，可列方程为（）.

A.8x+3=7x—4B,8x—3=7尤+4C.8x+3=7x+4D.8x—3=7x—4

【答案】B

【知识点】古代问题（一元一次方程的应用）

【分析】本题主要考查一元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键.设合伙赎买的有x人，根

据每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，物价保持不变，由此列式即可求解.

【详解】解：设合伙赎买的有x人，根据题意：8元-3=7尤+4,

故选：B.

iN

本题主要考查一元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键.由此列式即可求解.

【例2】（2025•陕西咸阳•一模）为感谢环卫工人对城市美好市容的辛苦付出，乐乐和丽丽所在的活动小组计

划做一批"感谢贺卡若每人做8张，则比计划多了3张；若每人做5张，则比计划少了27张.该活动小

组共有多少人？

【答案】该活动小组共有10人

【知识点】其他问题（一元一次方程的应用）

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该活动小组共有x人，根据“若每人做8张，则比计划多了3

张；若每人做5张，则比计划少了27张"列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，

正确列出一元一次方程是解此题的关键.

【详解】解：设该活动小组共有x人，

由题意可得：8x-3=5x+27,

解得：x=10,

回该活动小组共有10人.

【变式1］（2025•广西来宾•一模）古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即"结绳记数如图所示是一

位妇女按满五进一的方法，从右到左在绳子上依次打结，用来记录采集到的野果的个数.她一共采集到43

个野果，则第2根绳子上的打结个数是（）

第3根第2根第1根

【答案】C

【知识点】数字问题（一元一次方程的应用）、古代问题（一元一次方程的应用）

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设在第2根绳子上的打结数是x,根据满五进一列出方程，然后

求解即可得出答案.

【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是x,根据题意得：3+5x+lx5x5=43,

解得x=3,

即在第2根绳子上的打结数是3,

故选：C.

【变式2］（2025•陕西西安•一模）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图.如图所示的幻方中，各行、各

列及各条对角线上的三个数字之和均相等.求图中X的值.

146

x

8

【答案】尤=12

【知识点】数字问题（一元一次方程的应用）

【分析】本题考查了一元一次方程应用，根据题意可得：14+6=x+8,求解即可得到结果.

【详解】解：第1行中间数与第2列的最上面的数重合，

回依题意得：14+6=x+8,

解得：x=12.

【变式3］（2025•陕西西安•一模）某班体育活动课上原计划分成两个小组进行活动，第一组26人，第二组

22人，现要根据学校体育器材的数量，对两个小组的人数重新进行调整，从第一组调部分人到第二组去，

使得调整后第一组的人数为第二组人数的一半，请问应该从第一组调多少人到第二组去？（用方程解答）

【答案】应该从第一组调10人到第二组去

【知识点】其他问题（一元一次方程的应用）

【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.设应

该从第一组调x人到第二组去，根据调整后第一组的人数为第二组人数的一半，列出一元一次方程，解之即

可得出结论.

【详解】解：设应该从第一组调x人到第二组去.

根据题意，得2（26-尤）=22+x,

解得x=10,

答：应该从第一组调10人到第二组去.

【变式4］（2025•安徽合肥•一模）为贯彻落实"立德树人"的根本任务，提高学生的劳动素养.某中学拟组织

九年级师生去校外劳动教育实践基地参加劳动实践活动，需向某客运公司租客车前往，下表是有关租车的

信息：

客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金

信息1

比45座客车每辆每天的租金多200元.

上周八年级师生去该基地参加劳动实践活动向这个客运公司租了5辆60座和3

信息2

辆45座的客车，一天的租金共计6200元.

信息3九年级师生租用4辆60座的客车和4辆45座的客车正好坐满.

请根据以上表中的信息、，解答下列问题；

⑴客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元?

⑵九年级师生到该客运公司租车一天，共需租金多少元？

【答案】⑴60座客车每辆每天的租金为850元，45座客车每辆每天的租金为650元

（2）6000（元）

【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、其他问题（一元一次方程的应用）

【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解

题的关键.

（1）设60座客车每辆每天的租金为x元，则45座客车每辆每天的租金为"-200）元.再根据租了5辆60

座和3辆45座的客车，一天的租金共计6200元列出方程求解即可；

（2）根据（1）所求求出租用4辆60座的客车和4辆45座的客车的费用即可得到答案.

【详解】（1）解：设60座客车每辆每天的租金为x元，则45座客车每辆每天的租金为（x-200）元.

由题意得，5x+3（x-200）=6200,

解得x=850.

答：60座客车每辆每天的租金为850元，45座客车每辆每天的租金为650元.

（2）解：由题意得，可知九年级师生租车的费用为：4x850+4x650=6000（元）.

【题型二】二元一次方程及应用

【例1】（2025•湖北荆州•模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是："今有木，不知长短，引绳度之，余

绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？"意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；

将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？如果设木长无尺，绳长y尺，则可以列方程组是（）

y—x=4.5x—y=4.5x—y=4.5y—x=4.5

A.B.c.D.<11

-y-X=l-y-X=lx——y=1

12」2，2，

【答案】D

【知识点】根据实际问题列二元一次方程组

【分析】本题考查二元一次方程组，理解题意，正确列出方程组即可.

【详解】解：设木长x尺，绳长》尺，

j-x=4.5

根据题意，得「1,,

x——y=1

[2，

故选：D.

本题考查二元一次方程组，理解题意，正确列出方程组求解方程即可.

6x+2y=5

【例2】（2025・湖南・一模）解方程组:

2x-6y=-5

1

x=—

【答案】2

J=1

【知识点】加减消元法

【分析】本题考查解二元一次方程组，涉及加减消元法解二元一次方程组，将①x3+②消去，解得x=g,

从而代入②得到y=i即可.熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解决问题的关键.

6x+2y=5①

【详解】解:

2x-6y=-5®

由①x3+②得x=g；

将x代入②得2x；_6y=_5,

解得y=1；

1

X——

•••原方程组的解为2.

y=l

【变式1]（2025•辽宁铁岭,一模）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车"问题，其原文如下：今有三人

共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个

人乘一辆车，则有9个人要步行，问人数和车数各是多少.设人数为x人，车数为y辆，可列方程为（）

A.13"2）=x8.，（y+2）=xc.»及2）一

[2y-9=x[2y-9=x[2y+9=x[2y+9=x

【答案】c

【知识点】古代问题（二元一次方程组的应用）

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设人数为x人，车数为y辆，根据题意列出方程组即可，根据

题意找到等量关系是解题的关键.

【详解】解：设人数为x人，车数为y辆，

3（y-2）=x

由题意得,

2y+9=x

故选：C.

、Ix+y=3\x=l

【变式2]（2025,浙江衢州•一模）已知关于x,y的二元一次方程组'，的解是，则b的值

yx+ay—b=a

是________

【答案】5

【知识点】二元一次方程的解

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键.

将解代入原方程组即可求解.

I无+y=3

【详解】解：国二元一次方程组，的解是

[x+ay=b

（1+Q=3

\l+a2=b"

a=2

解得

b=5

故答案为：5.

【变式3]（2025•北京延庆•模拟预测）某图书馆计划用800元购买经典文学和科普读物两种书籍，经典文学

每套50元，科普读物每套35元.若购买经典文学的数量比科普读物的数量多10套，判断能否恰好用完预

算？若能，请求出所购买的经典文学和科普读物的套数，若不能，请说明理由.

【答案】判断不能恰好用完预算.理由见解析

【知识点】其他问题（二元一次方程组的应用）

【分析】本题主要考查二元一次方程的应用，根据题意设购买经典文学尤套，购买科普读物y套，列出二元

一次方程，解得y不是正整数，不合题意，即可知不能恰好用完预算.

【详解】解：判断不能恰好用完预算.理由如下：

设购买经典文学x套，购买科普读物y套，假设恰好用完预算800元，

fx—y=10

则1

[50%+35y=800

解得y书

此时y不是正整数，不合题意.

答：不能恰好用完预算.

【变式4]（2025•安徽•一模）某天，蔬菜经营户张老板用218元，从蔬菜批发市场批发了豆角和西红柿40kg

到市场去卖，豆角和西红柿这天每千克的批发价与零售价如下表所示：

品名豆角西红柿

批发价/元5.05.6

零售价/元8.29.2

请通过计算说明张老板卖出这些豆角和西红柿的盈亏情况.

【答案】共能赚140元

【知识点】销售、利润问题（二元一次方程组的应用）

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键.设张老板批发

了豆角尤kg,西红柿ykg,根据豆角和西红柿40kg、共用218元建立方程组，解方程组求出“广的值，再根

据零售价和批发价计算利润即可得.

【详解】解：设张老板批发了豆角xkg,西红柿ykg,

x+y=40

由题意得:

5.0x+5.6y=218

x=10

解得:

7=30

则（8.2—5.0）x10+（9.2—5.6）x30=140（元），

因为140>0,

所以张老板卖出这些豆角和西红柿共能赚140元.

【题型三】一元二次方程的解法

【例1】（2025•黑龙江齐齐哈尔•一模）解一元二次方程：2尤②-6x+3=0.

3+63-5/3

【答案】无|=

2

【知识点】解一元二次方程一一配方法

【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，方程二次项系数化为1,常数项移到右边，两边加上一次项系

数一半的平方，开方即可求出解.

【详解】解：2d-6元+3=0,

3

方程变形得：d-3x=-；,

2

oQ9

配方得:X2-3X+-=--+-,即工一|

424

开方得,」±且,

22

3+6

解得：X],XQ-

2-2

技I巧

本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键.用公式法解一元二次

方程即可.

【例2】（2025•安徽•模拟预测）解方程：3X2+3X-1=0.

r型安y_-3-__3+y/21

Lo'Jx=------------,=------------•

66

【知识点】公式法解一元二次方程

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键.用公式法解

一元二次方程即可.

【详解】解：a=3,b=3,c=—l,

.•.A=32-4X3X（-1）=21>0,

-3±V21

/.x=----------

2x3

-3-瓦-3+后

%--------，X?

6

【变式1］（2025•江西南昌•一模）（1）计算：sin30°-cos245°+tan60°-sin60°.

（2）解方程：X2+3X-28=0.

3

【答案】(1)2；(2)玉=4,%=-7

【知识点】因式分解法解一元二次方程、特殊角三角函数值的混合运算

【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握运算法则和方程的解

法是解题关键.

(1)先计算特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法，然后计算加减法即可得；

(2)方程的左边可以因式分解为(x-4)(x+7),利用因式分解法解一元二次方程即可得.

【详解】解：（1）sin30O-cos245O+tan60°-sin60°

2

3

~2~2+2

_3

"2,

（2）犬+3%-28=0,

（x-4）（x+7）=0,

%—4=0或冗+7=0,

%=4或%=—7,

所以方程的解为玉=4,々=-7.

【变式2](2025•江苏无锡•一模)解方程或不等式组:

(1)X2-2X-4=0;

\3x-3>x+1

(2)[2(2x-l)<5x-r

【答案】⑴%=1+右,％=1-石

(2)x>2

【知识点】解一元二次方程一一配方法、求不等式组的解集

【分析】本题考查解一元二次方程和一元一次不等式组：

(1)利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可.

(2)根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可.

【详解】(1)解：X2-2X-4=0

%?—2x—4,

—2x+1=4+1,

(x-1)2=5,

团％-1=±^5，

团X,=1+6,42=1一石；

J3x—3>x+1@

⑵[2(2x-l)<5x-l®；

解不等式①得，无>2；

解不等式②得，x>-l,

回不等式组的解集为x>2.

【变式3](2025•甘肃武威•一模)(1)解方程：X2+8X-1=0.

(2)计算：一/+后一4sin60°一冲一+

⑶化简求值：[a-1---,其中a=2一行

I6Z+1J6Z+1

【答案】(1)M=Y+后，々=T—后；(2)-1+373;(3)a-2,-42

【知识点】解一元二次方程一一配方法、特殊角三角函数值的混合运算、分式化简求值

【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，三角函数值的混合运算，分式的化简求值；

(1)把方程化为f+8x+16=l+16,再利用配方法解方程即可；

(2)先计算乘方，算术平方根，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数累，再合并即可;

(3)先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把。=2-忘代入计算即可.

【详解】解：(1)X2+8X-1=0,

回+8%=1,

团f+8%+16=1+16,

2

0(x+4)=17,

回》+4=±后，

国芯=—4+A/17,x0=—4—Jl7'

-2

(2)-l4+727-4sin60o-|2V3-4

=-1+3A/3-4X^+2-X/3-4+4

=-1+3A/3-2A/3+2^-4+4

=3\^—1；

.4+2

(3)a-1-

〃+1

—1—34+1

a+1a+2

(〃+2)(“-2)tz+1

Q+1Q+2

=a—2；

当a=2-A/2时，

原式=2-忘-2=-母;

【题型四】一元二次方程的应用

［例1］（2025•陕西汉中•二模）随着人们对身心健康的关注度越来越高,某市参加健身运动的人数逐年增多，

从2022年的30万人增加到2024年的43.2万人，求该市参加健身运动人数的年均增长率.

【答案】20%

【知识点】增长率问题（一元二次方程的应用）

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

设该市参加健身运动人数的年均增长率为x,根据从2022年的30万人增加到2024年的43.2万人，列出一

元二次方程，解之取符合题意的值即可.

【详解】解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为x,

根据题意得：30（1+x）2=43.2,

解得：玉=0.2=20%,尤2=-2.2（不符合题意，舍去）.

答：该市参加健身运动人数的年均增长率为20%.

本题考查了由实际问题列出一元二次方程、找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

【例2】（2025•吉林・二模）小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物，若他们一共

赠送了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？若设小川及兄弟姐妹一共有x人，则可列方程

为.

【答案】x（x-l）=90

【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）

【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，设小川及兄弟姐妹一共有X人，则每人需赠送出（X-1）

份礼物，即可得出关于X的一元二次方程.

【详解】解：由题意可得，

x（x-l）=90,

故答案为：x（x-l）=90.

【变式1］（2025•贵州•一模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载"圆中方形"问题："今有圆田一段，

中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑.内方圆径若能知，堪作

算中第一."其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好

72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远.如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平

就是第一了.如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是—.

【答案】兀（J+3）-产=72

【知识点】与图形有关的问题（一元二次方程的应用）

【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程、圆的面积公式，由题图易得，圆的直径为x+6,则半

径则为楙+3,圆的面积为兀（5+3：,再根据题意列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此

题的关键.

【详解】解：由题图易得，圆的直径为x+6,则半径则为5+3,圆的面积为兀+

2

可得方程兀3）-X2=72,

故答案为：兀g+31-尤2=72.

【变式2］（2025•辽宁抚顺•二模）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，

商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.

⑴若某天该商品每件降价3元，当天可盈利多少元？

⑵设每件商品降价尤元，在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？

【答案】⑴当天可盈利1692元

⑵每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000

【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、营销问题（一元二次方程的应用）

【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，一元二次方程的应用等知识点.熟练掌握总利润，每件利润，

件数的关系，正确列出式子，列出一元二次方程是解题的关键.

（1）根据"盈利=单件利润x销售数量”即可得出结论；

（2）根据“盈利=单件利润x销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽

快减少库存即可确定X的值.

【详解】（1）解：某天该商品每件降价3元，则每件商品盈利为：（50-3）元，销售数量（30+2x3）件，

当天可盈利（50-3）x（30+2x3）=1692（元）

答:当天可盈利1692元；

（2）解：根据题意得，（50-x）（30+2x）=2000

整理，得Y-35X+250=0

解得，Xj=10,x2=25

.■为了尽快减少库存，

..jc—25

答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元.

【变式3］（2025•四川广安•模拟预测）某果园原计划种100棵桃树，一颗桃树平均结1000个桃子，现准备

多种一些桃树以提高产量.试验发现，每多种1棵桃树，每颗桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不

能超过100棵.

⑴如果要使产量增加15.2%,那么应多种多少棵桃树？

⑵应种多少棵桃树，桃子的产量才会达到最大值？求出这个最大值.

【答案】⑴应多种20棵桃树

（2）应种200棵桃树，桃子的产量才会达到最大值，最大值为160000

【知识点】营销问题（一元二次方程的应用）、销售问题（实际问题与二次函数）

【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用；

(1)设多种X棵树，根据产量增加15.2%,列方程求解即可；

(2)多种x棵桃树，桃子的产量为y,y=(100+x)(1000-2x)=-2^2+800x+100000,当0W尤4100时，y

随x的增大而增大，得到当x=ioo时，y最大，据此求解即可.

【详解】(1)解：设多种X棵树，则

(100+无)(1000-2x)=100x1000x(1+15.2%),

整理，得：%2-400%+7600=0,

(x-20)(x-380)=0,

解得为=20,々=380,

回多种的桃树不能超过100棵，即OWxWlOO,380>100,

团z=380不合题意，故舍去，

回1=20,

答：应多种20棵桃树；

(2)解：多种x棵桃树，桃子的产量为》则

y=(100+x)(1000-2x)=-2x2+800x+100000,

8003

团对称轴为直线x=-2x(_2)=2001

0-2<0,

团当owxwioo时，y随x的增大而增大，

团当x=100时，=(100+100)x(1000-2x100)=160000,

回多种100课桃树，即应种200棵桃树，桃子的产量才会达到最大值，最大值为160000.

【题型五】分式方程的解法

2r4

[例1](2025・陕西咸阳•一模)解方程：-^-=-^-+1.

2x-l4X2-1

【答案】%=|3

【知识点】解分式方程

【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化

为1、检验计算即可得解.

【详解】解：去分母得：2x(2x+l)=4+4无2—1,

去括号得：4X2+2X=4+4X2-1,

移项并合并同类项可得：2x=3,

3

系数化为1得：x=1,

3

检验，当x=务时，4f—1。0,

回原分式方程的解为冗=；3.

本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验

计算即可得解.

【例2】（2025・甘肃定西•一模）解分式方程上;-1=Y—

x-3x-9

【答案】x=-1.

【知识点】解分式方程

【分析】本题考查了解分式方程，化分式方程为整式方程，找出最简公分母和验根是解题的关键.

由题意得，先通分，再去分母，化分式方程为整式方程，求整式方程的解，验根，写出分式方程的解即可.

xx-3_8

x-3x-3(x+3)(x-3)

3_8

x-3(x-3)(x+3)，

3(x+3)_8

(x-3)(x+3)(x-3)(x+3)

3(%+3)=8,

3元=-1,

1

3'

检验：当X=-；时，（x-3）（尤+3）4,分母不为0,不是增根,

所以x=-g是原分式方程的解.

127

【变式1］（2025•陕西西安•一模）解方程：--+—7=丁二

X+1X—1X—1

【答案】x=2

【知识点】解分式方程

【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是先变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对

方程的解进行检验即可.由解分式方程的步骤进行即可.

【详解】解：方程两边同时乘(X-1)(X+1)得，(x-l)+2(x+l)=7,

解得x=2,

检验：当x=2时，=3片。，

二原分式方程的解为尤=2.

v_i3

【变式2](2025•江苏南京•模拟预测)已知方程一-1=二三.

x+1x-1

⑴将该方程去分母，得一，此步骤的依据是

(2)接着(1)中的步骤，继续解该方程.

【答案】⑴"一1)2-(x+l)(x—l)=3,等式的性质

a"

【知识点】解分式方程

【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法和步骤是解题关键.

(1)根据解分式方程的方法，先去分母，依据是等式的性质，即可解答；

(2)在(1)的基础上，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求出x的值，然后再进行检验即可.

【详解】(1)解：=T=E

元+1x-1

方程两边同时乘(x+l)(x-1),#(X-1)2-(X+1)(X-1)=3,

此步骤的依据是等式的性质，

故答案为：(X-1)2-(X+1)(X-1)=3,等式的性质；

(2)解：在(1)的基础上，去括号，得/_2彳+1_/+1=3,

移项、合并同类项，得-2x=l,

将系数化为1,得尤=-;，

检验：把尤代入(X+1)(X—1)H0,

回分式方程的解为x=-;.

【变式3](2025,江西抚州•一模)以下是小张同学解分式方程==4+1的过程，请认真阅读并完成相

应的任务.

l-x=-2+l.第一步

l-x=-l.第二步

x=2.第三步

经检验，x=2是原方程的根.第四步

任务一：填空：以上解方程的过程中，第步开始出现错误；

任务二：请你帮他写出正确的解答过程.

【答案】任务一：一；任务二：无解

【知识点】解分式方程

【分析】本题主要考查了求解分式方程，掌握解分式方程的基本步骤是解答本题的关键.

任务一：根据解分式方程的方法进行判断即可；

任务二：先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可.

【详解】解：任务一：第一步去分母时，常数项没有乘以(x-3),因此第一步开始出现错误；

方程两边同乘以(x-3),得1-尤=-2+x-3

解得x=3,

检验，当x=3时，x-3-O,

回彳=3不是原方程的根，

回原方程无解.

【题型六】分式方程的应用

【例1】(2025・广东清远•一模)为了加强学生的体育锻炼，某学校需要购买篮球和足球两种体育用品，已知

每个足球的进价是每个篮球进价的0.75倍，用1200元购进篮球的数量比用2100元购进足球的数量少20

个.求：每个篮球、足球的进价分别为多少元？

【答案】每个篮球的进价为80元，则每个足球的进价为60元

【知识点】分式方程和差倍分问题

【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键；设每个篮球的进价为x

元，则每个足球的进价为0.75x,根据数量、总金额与单价的关系，找到等量关系，列分式方程求解，并检

验作答.

【详解】解：设每个篮球的进价为x元，则每个足球的进价为0.75x元.

210012002

根据题意得:-----------------=20,

0.75%x

解得％=80,

经检验工=80是原分式方程的解，且符合实际,

团0.75%=0.75x80=60.

答：每个篮球的进价为80元，则每个足球的进价为60元.

■印图圆5

本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键

【例2】(2025•浙江宁波•一模)《九章算术》中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，

若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2

4

天，已知快马的速度是慢马的1倍，则规定时间为天，

【答案】11

【知识点】分式方程的行程问题

【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系是解题的关键.设规定时间为x天，根据快马的

4

速度是慢马的§倍列出方程，再解方程即可.

【详解】解：设规定时间为x天，根据题意得：

_8_0_0x_4=__8_0_0

x+13x—2

整理得：4(%—2)=3(%+1),

解得x=U,

经检验，x=n是原分式方程的解.

故答案为：11.

【变式1](2025•山西忻州•一模)为了缓解交通压力，提高道路的通行效率，太原市对某一段路实行交通灯

智能化改造，驾驶员只要控制好车速，便能实现“一路绿灯据了解，该路段总长约5.4公里，改造后车辆

通过该路段的平均速度提高了50%,平均行驶时间减少了3分钟，求改造前车辆通过该路段的平均速度.

蠹

【答案】36千米/小时

【知识点】分式方程的行程问题

【分析】本题考查分式方程的应用.设改造前通过该路段车辆的平均速度x千米/小时，则改造后通过该路

段车辆的平均速度是(l+50%)x千米/小时，根据"行驶5.4千米，平均行驶时间减少了3分钟”列出方程并解

答.

【详解】解：设改造前通过该路段车辆的平均速度X千米/小时，则改造后通过该路段车辆的平均速度是

（l+50%）x千米/小时，

5.435.4

由题意,得（1+50%）/去一二•

解得：x=36.

经检验，x=36是所列方程的根，且符合题意.

答：改造前通过该路段车辆的平均速度是36千米/小时.

【变式2］（2025・山西运城•一模）晋阳高速公路改扩建项目是2024年山西省级的重点项目，现有一段路由

甲、乙两个工程队共同承包修建.其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米，已知乙工程队每

个月的修建速度是甲工程队的1.5倍，最终乙工程队修建用的时间比甲工程队少用半个月，问甲工程队每个

月修建多少千米？

【答案】甲工程队每个月修建2千米.

【知识点】分式方程的工程问题

【分析】本题考查的知识点是分式方程的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程.

设甲工程队每个月修建x千米，则乙工程队每个月修建L5x千米，根据乙工程队修建用的时间比甲工程队少

用半个月，列出分式方程，解方程即可.

【详解】解：设甲工程队每个月修建x千米，则乙工程队每个月修建1.5x千米，

根据题意得：29-法12=：1,

X1.5%2

解得：x=2,

经检验：x=2是原方程的解，且符合题意.

答：甲工程队每个月修建2千米.

【变式3］（2025•重庆•一模）跳绳是人们喜爱的一种运动项目，对青少年来说，经常跳绳有助于身体长高.

⑴一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，某工厂生产某种型号的跳绳，一名工人每天可生产400个手柄或

1000根绳子，现打算安排18名工人来生产，如何安排工人使得每天生产的手柄和绳子恰好配套？

⑵甲、乙两位同学进行跳绳训练，甲计划跳120个，乙计划跳100个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均

每秒跳绳个数的;倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因死绳耽搁了5秒钟，最后甲比乙提前15秒

2

完成跳绳训练，求甲平均每秒跳绳多少个？

【答案】（1）安排生产手柄有15名工人，生产绳子工人有3名;

⑵甲平均每秒跳绳3个

【知识点】配套问题（一元一次方程的应用）、分式方程和差倍分问题

【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用；

（1）设安排生产手柄有x名工人，则绳子的工人有（18-力名，再分别表示手柄，绳子的生产数量，结合一

副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，再建立方程求解即可；

（2）设乙平均每秒跳绳x个，则甲平均每秒跳绳的个数是:x个，则利用时间关系建立分式方程求解即可.

【详解】（1）解：设安排生产手柄有尤名工人，则绳子的工人有。8-x）名，

由题可知：1X400A=1000（18-%）,

解得：％=15,

018-x=18-15=3（名），

答：安排生产手柄有15名工人，生产绳子工人有3名；

3

（2）解：设乙平均每秒跳绳九个，则甲平均每秒跳绳的个数是个，则

120100,

^—+15=——+5

二%，

2

解得：X=2,

经检验：尤=2是原方程的根，且符合题意；

3

团一x—3,

2

答：甲平均每秒跳绳3个.

【题型七】不等式的解法

2x+6>x

【例1】（2025・陕西西安•一模）解不等式组：l-3x,c

----<1-2x

L2

【答案】-6<X<1

【知识点】求不等式组的解集

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据"同大取大，同小取小,

大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可.

【详解】解：由2x+6>x得：x>-6-,

由尤得：x<l：

不等式组的解集为

港I技I巧

本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据''同大取大，同小取小，大小小

大中间找，大大小小找不到（无解）“求出不等式组的解集即可.

元+120

【例2】（2025・浙江舟山•一模）解不等式组%（］_］）<X+2，把解表示在数轴上，并求出不等式组的整数解.

【答案】TW尤<2,见解析，不等式组的整数解为：T，0，1，2

2

【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解

【分析】按照解一元一次不等式组的一般步骤求出不等式组的解集，然后把解集表示在数轴上，并求出不

等式组的整数解即可.

本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤.

x+l>0®

【详解】解：91)…2②

由①得：X>-1,

由：3x—3V%+2,

3x-x<3+2,

2x<5,

5

X一,

2

・•.不等式组的解集为：-1<X<|,

不等式组的解集表示在数轴上为：

।।।11।।----11-►,不等式组的整数解为：—1,0,1,2.

-5-4-3-2-1012345

3（x+l）>2x-l

【变式1】（2025•甘肃平凉,一模）解不等式组：尤+5

------->x+l

I2

【答案】-4<x<3

【知识点】求不等式组的解集

【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知"同大取大；同小取

小；大小小大中间找；大大小小找不至小’的原则是解答此题的关键.需要注意的是：如果是表示大于或小于

号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点.分别求解两个不等式，得到

不等式组的解集即可.

【详解】解：解不等式3（X+1）22X—1,得：x>^,

解不等式一-->x+1,得：x<3,

故不等式组的解集为：-4<x<3.

x—3

、.x-]>----

【变式2](2025•北京•模拟预测)解不等式组：2

5(x-l)<2x+l

【答案】-l<x<2

【知识点】求不等式组的解集

【分析】本题考查了解不等式组，先分别算出每个不等式的解集，再求出它们的公共部分的解集，即可作

答.

【详解】解：2

5(尤-l)W2x+l②

由①解得x>-l,

由②解得xW2,

团不等式组的解集为-l<x«2.

3xW2x+l①

【变式3](2025•天津蓟州•模拟预测)解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答.

2x+7>-l@

」」」」」」]

-4-3-2-10I2

⑴解不等式①，得二

⑵解不等式②，得」

(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

⑷原不等式组的解集为_.

【答案】⑴E

(2)x>^l

(3)见解析

(4)x<l

【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟知解一元一次不等式组

的步骤是解题的关键.

(1)按照移项，合并同类项的步骤解不等式即可；

(2)按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可；

(3)根据(1)(2)所求表示出对应的解集即可；

(4)根据(3)所求即可得到答案.

【详解】(1)解：3x<2x+l

移项得：3x-2x<l,

合并同类项得：%<1;

（2）解：2x+7>-l

移项得：2x"l-7,

合并同类项得：2x2-8,

系数化为1得：x'T；

（3）解：数轴表示如下所示:

（4）解：由（3）可知，不等式组的解集为

【题型八】不等式的应用

[例1]（2025•重庆•二模）重庆沙坪坝"全球校友”半程马拉松活动将于2025年4月20日在沙坪坝开展，重

庆一中校友会计划为参与马拉松活动的一中校友采购活动周边纪念品.经初步调研发现，购买3件运动T恤

和2个运动手环花费165元，且1件运动T恤比1个运动手环贵30元.

⑴每件运动T恤和每个运动手环的售价分别是多少元？

⑵截止2025年3月17日马拉松活动报名结束，重庆一中校友会计划采购运动T恤和运动手环共200件，

且购买的总费用不超过5000元，则最多可购买运动T恤多少件？

【答案】⑴每件运动T恤的售价是45元，每个运动手环的售价是15元

（2）最多可购买运动T恤66件

【知识点】销售、利润问题（二元一次方程组的应用）、用一元一次不等式解决实际问题

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关

键.

（1）设每件运动T恤的售价是x元，每个运动手环的售价是y元，根据题意建立方程组，解方程组即可得；

（2）设购买运动T恤机件，则购买运动手环（200-根）件，根据题意建立一元一次不等式，解不等式，求出

机的最大正整数解即可得.

【详解】（1）解：设每件运动T恤的售价是x元，每个运动手环的售价是y元,

户尤+2y=165

由题意得:

=30

x=45

解得

y=15

答：每件运动T恤的售价是45元，每个运动手环的售价是15元.

（2）解：设购买运动T恤加件，则购买运动手环（200-m）件，

由题意得：45m+15（200-7/i）＜5000,

2

解得〃24661,

团加、是正整数，

回加的最大值为66,

答：最多可购买运动T恤66件.

本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解