方程与不等式（八大题型+四大易错）原卷版-2025年中考数学冲刺复习（武汉专用）

抢分秘籍02方程与不等式

CCC

【解密中考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）

【题型一】一元一次方程及应用

【题型二】二元一次方程及应用

【题型三】一元二次方程的解法

【题型四】一元二次方程的应用

【题型五】分式方程的解法

【题型六】分式方程的应用

【题型七】不等式的解法

【题型八】不等式的应用

【误区点拨】点拨常见的易错点

易错点一：二元一次方程组中含参数易错问题

易错点二：一元二次方程中含参数易错问题

易错点三：分式方程中含参数易错问题

易错点四：不等式中含参数易错问题

考情分析：方程和不等式是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生

因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1.从考点频率看

1.高频核心考点：方程有一元二次方程（解法、判别式、韦达定理）、分式方程（解法及增根讨论）、

二元一次方程组（解法及实际应用）每年必考，常结合利润、行程、几何等实际问题。不等式有一元一次

不等式组（解集求解、参数范围讨论）及应用题（方案设计、最值问题）高频出现，常与函数、方程综合

命题。

2,易错考点：

分式方程的增根检验、一元二次方程二次项系数含参时的分类讨论、不等式组解集边界值的取舍（是

否取等号）。

2.从题型角度看：

1.基础题型：选择题、填空题考查方程解法、不等式解集表示，占比约10%-15%。

2.应用题：解答题中，方程与不等式常作为建模工具（如利润最大化、资源分配问题），占比约

20%-25%,需结合题意列关系式。

3.综合题：与函数（一次函数、二次函数）结合的压轴题，如利用不等式求自变量范围、方程根的分

布分析，难度较高，区分度强。

备考策略|

1.基础巩固：熟练掌握各类方程（组）解法步骤（如分式方程验根、一元二次方程配方法/公式法），

不等式组解集“数轴法”确定。

2.专题突破：针对参数问题专项训练（如含参方程的解的情况、不等式组参数范围），总结分类讨论逻

辑（如二次项系数是否为0、不等号方向变化）。强化应用题建模能力，提炼“审-设-列-解-验-答"六步法，

尤其注意实际问题中变量的取值范围（如正整数解）。

3.易错点攻坚：整理错题本，归纳增根遗漏、判别式忽略前提（二次项系数#0）、不等式方向改变等

高频错误。限时训练提升解题速度，确保基础题准确率达100%,综合题分步得分。

6题型特训提分--------------------------------------

【题型一】一元一次方程及应用

【例1】（2025,湖北襄阳•模拟预测）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家

产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，原文如下："今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四,

问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元,

问有几个人合伙购买，该物品的价格是多少.设合伙赎买的有x人，根据题意，可列方程为（）.

A.8x+3=7x-4B.8x-3=7x+4C.8x+3=7x+4D.8x-3=7x-4

本题主要考查一元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键.由此列式即可求解.

一"歹『21（一2（应板画皮而二稹T为蔚冢环王王天对诫而美殍而蓉的宰割于由「乐东而丽而丽的洁动不瓯讦

划做一批"感谢贺卡若每人做8张，则比计划多了3张；若每人做5张，则比计划少了27张.该活动小

组共有多少人？

【变式1］（2025・广西来宾・一模）古时候人们通过在绳子上打结来记录数量，即"结绳记数如图所示是一

位妇女按满五进一的方法，从右到左在绳子上依次打结，用来记录采集到的野果的个数.她一共采集到43

个野果，则第2根绳子上的打结个数是（）

第3根第2根第1根

C.3D.4

【变式2］（2025•陕西西安・一模）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图.如图所示的幻方中，各行、各

列及各条对角线上的三个数字之和均相等.求图中x的值.

【变式3］（2025•陕西西安•一模）某班体育活动课上原计划分成两个小组进行活动，第一组26人，第二组

22人，现要根据学校体育器材的数量，对两个小组的人数重新进行调整，从第一组调部分人到第二组去，

使得调整后第一组的人数为第二组人数的一半，请问应该从第一组调多少人到第二组去？（用方程解答）

【变式4］（2025•安徽合肥•一模）为贯彻落实"立德树人”的根本任务，提高学生的劳动素养.某中学拟组织

九年级师生去校外劳动教育实践基地参加劳动实践活动，需向某客运公司租客车前往，下表是有关租车的

信息：

客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金

信息1

比45座客车每辆每天的租金多200元.

上周八年级师生去该基地参加劳动实践活动向这个客运公司租了5辆60座和3

信息2

辆45座的客车，一天的租金共计6200元.

信息3九年级师生租用4辆60座的客车和4辆45座的客车正好坐满.

请根据以上表中的信息，解答下列问题；

⑴客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元?

⑵九年级师生到该客运公司租车一天，共需租金多少元？

【题型二】二元一次方程及应用

【例1】（2025•湖北荆州•模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余

绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？"意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；

将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？如果设木长x尺，绳长＞尺，则可以列方程组是

()

y—x=4.5x—y=4.5x—y=4.5y—x=4.5

A.\B.《11C.I,D.《Ii

-y-X=]-y-x=Ix—y=Ix——y=1

12，12)22

技I巧

本题考查二元一次方程组，理解题意，正确列出方程组求解方程即可.

6x+2y=5

【例2】（2025•湖南•一模）解方程组:

—=-5

【变式1]（2025•辽宁铁岭•一模）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车"问题，其原文如下：今有三人

共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个

人乘一辆车，则有9个人要步行，问人数和车数各是多少.设人数为x人，车数为y辆，可列方程为（）

?（—I反[3（y+2）=xc]3（L2）=X0]3（x-2）=y

[2y-9=x[2y-9=x\2y+9=x[2y+9=x

、fx+y=3fx=1

【变式2]（2025・浙江衢州•一模）已知关于x,y的二元一次方程组一人的解是，则6的值

[x+ay=b[y=a

是.

【变式3】（2025•北京延庆•模拟预测）某图书馆计划用800元购买经典文学和科普读物两种书籍，经典文学

每套50元，科普读物每套35元.若购买经典文学的数量比科普读物的数量多10套，判断能否恰好用完预

算？若能，请求出所购买的经典文学和科普读物的套数，若不能，请说明理由.

【变式4]（2025•安徽•一模）某天，蔬菜经营户张老板用218元，从蔬菜批发市场批发了豆角和西红柿40kg

到市场去卖，豆角和西红柿这天每千克的批发价与零售价如下表所示：

品名豆角西红柿

批发价/元5.05.6

零售价/元8.29.2

请通过计算说明张老板卖出这些豆角和西红柿的盈亏情况.

【题型三】一元二次方程的解法

【例1】（2025•黑龙江齐齐哈尔・一模）解一元二次方程：2--6X+3=0.

iN

本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键.用公式法解一元二次

方程即可.

"前2】五。25・安徽•横拟预湎）廨方程：3X2+3X-1=0.

【变式1】（2025•江西南昌•一模）（1）计算：sin30°-cos245°+tan60°-sin60°.

（2）解方程：X2+3X-28=0.

【变式2］（2025•江苏无锡•一模）解方程或不等式组：

（1）X2-2X-4=0；

f3x-3>x+1

（2）［2（2x-l）<5x-T

【变式3］（2025,甘肃武威•一模）（1）解方程：X2+8X-1=0.

（2）计算：-I4+V27-4sin60°-|2V3+

（3）化简求值：［a-\其中4=2—收

V<7+1J«+1

【题型四】一元二次方程的应用

【例1】（2025•陕西汉中•二模）随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多,

从2022年的30万人增加到2024年的43.2万人，求该市参加健身运动人数的年均增长率.

本题考查了由实际问题列出一元二次方程、找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

一"歹『21（一20面舌林三稹丁不疥二豪春节期而面面而第一根而兑勇血麻布药运了五诲二和礼物「若福而二英

赠送了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？若设小川及兄弟姐妹一共有x人，则可列方程

为.

【变式1］（2025•贵州•一模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载"圆中方形"问题："今有圆田一段，

中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑.内方圆径若能知，堪作

算中第一."其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好

72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远.如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平

就是第一了.如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是.

【变式2］（2025・辽宁抚顺•二模）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存,

商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.

⑴若某天该商品每件降价3元，当天可盈利多少元？

⑵设每件商品降价x元，在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？

【变式3］（2025・四川广安•模拟预测）某果园原计划种100棵桃树，一颗桃树平均结1000个桃子，现准备

多种一些桃树以提高产量.试验发现，每多种1棵桃树，每颗桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不

能超过100棵.

⑴如果要使产量增加15.2%,那么应多种多少棵桃树？

⑵应种多少棵桃树，桃子的产量才会达到最大值？求出这个最大值.

【题型五】分式方程的解法

2丫4

【例⑵25,陕西咸阳•一模）解方程：,=不!+】•

巧

本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验

计算即可得解.

x8

【例2】（2025•甘肃定西•一模）解分式方程一--1=^-

x-3x-9

一127

【变式1］（2025•陕西西安•一模）解方程：--+—7=

x+1x-1X-1

r-13

【变式2］（2025•江苏南京•模拟预测）已知方程一•-1=告.

⑴将该方程去分母，得一，此步骤的依据是一.

⑵接着（1）中的步骤，继续解该方程.

【变式3］（2025•江西抚州•一模）以下是小张同学解分式方程＜=二+1的过程，请认真阅读并完成相

x-33-x

应的任务.

1—x=—2+1.第■步

1一x=-l.第二步

x=2.第三步

经检验，x=2是原方程的根.第四步

任务一：填空：以上解方程的过程中，第步开始出现错误;

任务二：请你帮他写出正确的解答过程.

【题型六】分式方程的应用

［例1］（2025•广东清远•一模）为了加强学生的体育锻炼，某学校需要购买篮球和足球两种体育用品，已知

每个足球的进价是每个篮球进价的0.75倍，用1200元购进篮球的数量比用2100元购进足球的数量少20

个.求：每个篮球、足球的进价分别为多少元？

本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键

彳面515葩5'砺丘苧菠二稹叠无簟算王T币看二冠买手舌在眸珞送宿宿函百「箕百韬择攵苏一二裕文荏;

若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2

一.4

天，已知快马的速度是慢马的］倍，则规定时间为天，

【变式1］（2025•山西忻州•一模）为了缓解交通压力，提高道路的通行效率，太原市对某一段路实行交通灯

智能化改造，驾驶员只要控制好车速，便能实现“一路绿灯据了解，该路段总长约5.4公里，改造后车辆

通过该路段的平均速度提高了50%,平均行驶时间减少了3分钟，求改造前车辆通过该路段的平均速度.

【变式2］（2025•山西运城•一模）晋阳高速公路改扩建项目是2024年山西省级的重点项目，现有一段路由

甲、乙两个工程队共同承包修建.其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米，己知乙工程队每个

月的修建速度是甲工程队的L5倍，最终乙工程队修建用的时间比甲工程队少用半个月，问甲工程队每个月

修建多少千米？

【变式3］（2025•重庆•一模）跳绳是人们喜爱的一种运动项目，对青少年来说，经常跳绳有助于身体长高.

⑴一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，某工厂生产某种型号的跳绳，一名工人每天可生产400个手柄或

1000根绳子，现打算安排18名工人来生产，如何安排工人使得每天生产的手柄和绳子恰好配套？

⑵甲、乙两位同学进行跳绳训练，甲计划跳120个，乙计划跳100个，若甲平均每秒跳绳的个数是乙平均

3

每秒跳绳个数的5倍，甲、乙同时开始跳，但乙在跳的过程中因死绳耽搁了5秒钟，最后甲比乙提前15秒

完成跳绳训练，求甲平均每秒跳绳多少个?

【题型七】不等式的解法

2x+6>x

【例1］⑵25•陕西西安一模）解不等式组：4<一、

本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据''同大取大，同小取小，大小小大

中间找，大大小小找不到（无解）“求出不等式组的解集即可.

i%+i>o

【例2】（2025・浙江舟山•一模）解不等式组“n把解表示在数轴上，并求出不等式组的整数解.

［3（工-1）<x+2

3（x+l）>2x-l

【变式1］（2025•甘肃平凉•一模）解不等式组：x+5,

------>x+l

I2

1x—3

x—I>------

【变式2］（2025•北京•模拟预测）解不等式组：2

5（x-l）<2x+l

f3x<2x+1①

【变式3］（2025•天津蓟州•模拟预测）解不等式组__1不，请结合题意填空，完成本题的解答.

⑴解不等式①，得一;

⑵解不等式②，得「

⑶把不等式①和②的解集在数轴上表示出来;

⑷原不等式组的解集为

【题型八】不等式的应用

［例1］（2025•重庆•二模）重庆沙坪坝"全球校友"半程马拉松活动将于2025年4月20日在沙坪坝开展，重

庆一中校友会计划为参与马拉松活动的一中校友采购活动周边纪念品.经初步调研发现，购买3件运动T恤

和2个运动手环花费165元，且1件运动T恤比1个运动手环贵30元.

⑴每件运动T恤和每个运动手环的售价分别是多少元？

⑵截止2025年3月17日马拉松活动报名结束，重庆一中校友会计划采购运动T恤和运动手环共200件，

且购买的总费用不超过5000元，则最多可购买运动T恤多少件？

巧

本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键.

一语「2:石62?熏龙范旺再江二稹厂窠商场丽1甲:一云两林手机其而说「巨如丽魂二部百种手机正丽1二一

部乙种手机进价少0.3万元，用36万元购进甲种手机的数量是用48万元购进乙种手机数量的3倍.请解答

下列问题：

⑴甲、乙两种手机每部进价各是多少元？

⑵若商场预计投入资金超过10万元，且购进甲种手机超过30部，商场有哪几种购进方案？

⑶在（2）的条件下，若甲种手机每部售价1100元，乙种每部手机售价4300元，甲、乙两种手机各有一部

样机按八折出售，其余全部按标价售出，商场从销售这50部手机获利中拿出2520元作为员工福利，其余

利润恰好又可以购进以上手机共2部.请直接写出该商场购进这50部手机中，甲、乙两种手机各几部.

【变式1］（2025•贵州黔东南•一模）苗年和侗年是传统民俗节日，更是国家级非物质文化遗产，凯里市某文

创公司在苗年和侗年节日期间制作了"苗族“和“侗族"两种玩偶纪念品进行售卖.已知每个"苗族”玩偶的售价

3

比每个"侗族"玩偶的售价高4元，用960元购买的“苗族"玩偶的数量是用960元购进的“侗族”玩偶的数量的-.

4

⑴求每个“苗族"玩偶和"侗族”玩偶的售价；

⑵若某商店一次性购进“苗族"玩偶和"侗族"玩偶共500个，要使总费用不超过7200元，则至少要购买多少个

“侗族"玩偶.

【变式2]（2025•河南信阳•一模）据灯塔专业版数据，截止2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房

达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高

票房纪录.该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的"魔童"哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢

坚毅，强烈反差引发情感共鸣；"我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目.为满足儿童对哪吒的喜爱，某

玩具店决定各用300元购进了/、8两种哪吒玩偶.已知一个8种哪吒玩偶是一个/种玩偶价格的2倍，

且购进两种玩偶的数量共15个.

⑴求购进/、2两种哪吒玩偶的单价各是多少元？

⑵因销售效果不错，该玩具店决定再次购进/、2两种哪吒玩偶共80个，且/种哪吒玩偶的数量不多于2

种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？

【变式3]（2025•四川泸州,一模）草莓是一种极具营养价值的水果，当下正是草莓的销售旺季.某水果店以

3150元购进/、2两种不同品种的盒装草莓，其中/品种进价为35元/盒、8品种50元/盒；若按/品种

60元/盒、B品种80元/盒的标价出售可获利润2050元.

⑴求这两个品种的草莓各购进多少盒？

⑵该店计划下周购进这两种品种的草莓共100盒（每种品种至少进1盒），并在两天内将所进草莓全部销售

完毕.（损耗忽略不计）因3品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进3品种的盒数不低于工品种盒数的

2倍，且工品种不少于25盒.如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？

易错点一：二元一次方程组中含参数易错问题

解含参数二元一次方程组，先整理成标准形式，分系数是否为零讨论：①系数行列式非零时唯一解；②行列式

为零，对比常数项判断无解或无穷解，注意消元时避免分母为零，警惕参数特殊值漏解。

[2x-y=5k

例1.（2025•四川绵阳•二模）若关于x,＞的二元一次方程组,7的解也是方程%-2歹=8的解，则

[x+y=k

k的值为.

[2x+y=2k-l

变式1：（2025・山东济宁•一模）已知关于％/的方程组:4的解满足x+>>l,则左的取值范围

[x+2y=-4

是—.

[a,x+b,y=c,（x=5[5a,x-3b.y=4c,

变式2：（2025•浙江宁波•一模）若方程组1'''的解是〃则方程组」.•「的

[a2x+b2y=c2[）=6[ja2x-3b2y=4c2

解是—

1%+2v—z—4

变式3：（2025•四川内江•一模）若X、八z为非负实数，且•,则代数式x2-3/+z2的最大值

[x-y+2z=1

与最小值的差是.

易错点二：一元二次方程中含参数易错问题

匿I点I拨:

含参一元二次方程易错点：①讨论二次项系数是否为0,区分方程类型；②用判别式/时勿忘二次项系数W

0；③韦达定理需以/N0为前提；④参数范围结合题意及根的分布综合分析，避免漏解。

丽•方视西双百三稹5著关丁「的二元三次疗瘟了二m五二6的二不瘫泊;二匚厕了的府五二二

变式1：（2025・甘肃定西•一模）若机是方程2尤2+3工-2=0的根，贝U式子4m?+6加+2025的值为

变式2：（2025•河南洛阳•一模）关于x的一元二次方程3/一2》-0=0有两个相等的实数根，则实数。的值

为.

变式3：（2025•江苏南京•模拟预测）若一元二次方程2/_4x-l=0的两根为m,n,则苏+/的值为.

变式4：（2025.山东聊城・一模）如果关于x的方程mx2-2（m+3）x+m=0有实数根，那么m的取值范围是

易错点三：分式方程中含参数易错问题

混[点

分式方程组含参易错点：①关注分母不为零，参数可能使分母为零需排除;②去分母时防漏乘整式项；③解需

验根，增根及无解情况结合参数讨论，确保解符合所有分式定义域。

例1.（2025•黑龙江牡丹江•一模）若关于x的分式方程=l的解为整数，则整数加的值有_____个.

x-3

变式1：（2025•山东东营•一模）若关于x的方程生?+曰=3的解是非负数，则加的取值范围为_____.

x-22-x

变式2：（2025•山东•一模）已知方程二-a=/一，且关于x的不等式。<x«6只有4个整数解，那么6的

a-44-a

取值范围是.

-------F12X—1

变式3：（2025・重庆,二模）若关于x的不等式组2-有且仅有1个奇数解，且关于了的分式方程

3x-a>1

»|=3-泮的解为整数，则所有满足条件的整数。的和为____.

y-22-y

2x+l1

------->x-I

变式4：（2025・重庆•一模）若关于x的不等式组3有解且至多3个整数解，关于了的分式方程

3（l-x）<x-a

B-3=号的解为整数，那么符合条件的所有整数。的和为______.

I—yy-\