费马点最值模型-2025年中考数学几何模型专练

费马点最值模型

费马点定义

“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。

若给定△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。这

个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。

费马点的结论及证明

【结论】1、费马点到三角形三个顶点距离之和最短2、费马点连接三顶点所成夹角皆为：120。

【证明】：如图一，在AABC内任取一点P,连接PA、PB、PC

如图二，将小APB绕点B旋转60。得到△EQB,则△EQB=AAPB

连接PA,VZPBQ=60°,PB=PQ,

/.△QPB是等边三角形，贝UPB=QP=BQ,Z1=Z2=6O°.

PA+PB+PC=EQ+QP+PC>ECO

如图三,当且仅当E、Q、P、C四点共线时取等号，此时乙EQB=CPB=120。

AAPB=APC=BPC=120°,PA+PB+PC取到最小值EC.

.•.点P是4ABC的费马点，且点P到三角形三个顶点的距离之和最小

真题精炼

1.1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A,B,C,求平

面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为

・费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处

从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶

点）

当小ABC的三个内角均小于120。时，

如图1,将小APC绕，点C顺时针旋转60。得到△A'P'C,连接PP,

由PC=P'C,^PCP'=60°„可知△PCP'为①三角形,故PP'=PC,又P'A'=PA,故PA+PB+PC

=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知，当B,P,P,A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2,最小值为A'B,此时的P

点为该三角形的“费马点”，且有/APC=NBPC=NAPB=_____更；

已知当△ABC有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若/BACN120。，则该

三角形的“费马点”为④___<点.

⑵如图4,在△ABC中三个内角均小于120。,且AC=3,BC=4,/ACB=30。,已知点P为△ABC的“费马点，，求P

A+PB+PC的值;

图4

⑶如图5,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形，且已知.AC=4km,BC=2痘km,zACB=60。.现欲建一

中转站P沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别为a元/km,a元/

km,V2a元/km,选取合适的P的位置,可以使总的铺设成本最低为元.（结果用含a的式子表示）

2.如图，在△ABC中,./-ACB=90",ZBXC=30°,AB=2.若点P是4ABC内一点，贝！I△A8CPA+PB+PC的最小

值为

B

3.两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD,如图所示，若Na=30。,，则对角线BD上的动点P到A,

B,C三点距离之和的最小值是.

4.已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如果△48c是锐角（或直角）三角形，则其

费马点P是三角形内一点，且满足乙APB=乙BPC=^CPA=120°..例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点.

若.ABAC=47,BC=2V3„P^AABC的费马点，贝UPA+PB+PC=若AB=2V3,BC=2,AC=4,P为AABC

的费马点则PA+PB+PC=

5.请回答下列各题：

⑴问题背景：如图1,将4ABC绕点A逆时针旋转60。得到△ABC,DE与BC交于点P可推出结论：PA+PC

=PE.

⑵问题解决:如图2,在△MNG中,MN=6,ZM=75°,MG=4a.点O是△MNG内一点，则点O到△MNG

三个顶点的距离和的最小值是.

M

NG

图2

6.已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△4BC的费马点(Fermatpoint)

,已经证明:在三个内角均小于120。的AABC中，当乙4PB=AAPC=乙BPC=120。时,P就是△4BC的费马点，

若点P是腰长为血的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=_

7如图1,在RtAABC中,/BAC=90。，AB=AC,点D是BC边上一动点，连接AD,把AD绕点A逆时针旋转90°,

得至I」AE,连接CE,DE.点F是DE的中点，连接CF

(1)求证:CF=^AD.

(2)如图2所示,在点D运动过程中，当BD=2CD时，分别延长CF,BA,相交于点G,猜想AG与BC存在

的数量关系，并证明你猜想的结论.

(3)在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P,使PA+PB+PC的值最小，当PA+PB+PC的值取得最小值

时，AP的长为m,请直接用含m的式子表示CE的长.

8如图,在菱形ABCD中,NB=60。,点PABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA=6,PB=8,PC=10,则菱形ABC

D的面积等于.

9.我们以前遇到过这样的问题：在等边三角形ABC内有一点P，且24=2,PB=W,PC=1,求NBPC的度数.

思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60。,，画出旋转后的图形（如图①）,连接PP',可得△PPB是等边三角形,

而△PP'A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），由此得到乙BPC=4AP'B=150。，，运用类似的思想方法解

决以下问题：如图②，RtAABCABC中，NBC4=90°,AC=BC=1,在Rt△48c内部有一点Q,连接QA,QB,

QC,则V2QA+QB+QC的最小值是

图①图②

10.如图1,已知抛物y=-弋（久+3）（x-4百）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.

（1）写出A、B、C三点的坐标.

⑵若点P为AOBC内一点求OP+BP+CP的最小值.

11.【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔彳惠费马提出的一个著名的几何问题：给

定不在一条直线上的三个点A、B、C,求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置，费马问题有多种不同

的解法，最简单快捷的还是几何解法.如图1,我们可以将△BPC绕点B顺时针旋转60。得到△BDE，连接PD，可得

ABPD为等边三角形，故PD=PB,由旋转可得DE=PC,因PA+PB+PC=PA+PD+DE,由两点之间线段最短可知，PA

+PB+PC的最小值与线段AE的长度相等.

【解决问题】如图2,在直角三角形ABC内部有一动点P,ZABAC=90°,^ACB=30。，连接PA,PB,PC,

若AB=3,求PA+PB+PC的最小值

12在△4BC中,ABAC=90°,AB=AC,,以B为圆心,BC为半径逆时针旋转，得到BE,使4E||BC,交AC

于点F,过C作CCM1BE交AE于点G.

(1)若.AB=遍，求AE的长.

⑵点D是BC边上一动点，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小，此时AP的长为m,请直

接用含m的式子表示PA+PB+PC的最小值.

A

Pi

1如图,AABC和AADE者B是等腰直角三角形/BAC=NDAE=90°,AB=AC=4,O为AC的中点，若点D在直线B

C上运动，连接0E,则在点D运动过程中，线段0E的最小值为（）

A.-B.-C.1D.V2

22

【答案】D

【解析】如图，取AB的中点Q，连接DQ,

•.zBAC=zDAE=90°,

.,.zBAC-zDAC=zDAE-zDAC,

即NBAD=NCAE.

•.AB=AC=4,0为AC的中点

.-.AQ=AO.

在AAQD和AAOE中，

AQ=AO

{zQAD=ZOAE,<

AD=AE

."AQD当AOE(SAS),

.-.QD=OE.

••点D在直线BC上运动，

.•.当QD^BC时,QD最小.

•••MBO是等腰直角三角形，

.-.zABC=45o.

-.QD±BC,

."QBD是等腰直角三角形,

■■-QD=^-QB.

1

QB=^AB=2,

.QD=<2,

二线段OE的最小值是V2

故选D.

【标注】【知识点】瓜豆原理（轨迹与最值）：轨迹为直线

2.1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A,B,C,求平面

上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称

为"费马点"或"托里拆利点"，该问题也被称为“将军巡营”问题.

⑴下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从"直角"和"等边"中选择填空，

②处从“两点之间线段最短"和"三角形两边之和大于第三边"中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形

的某个顶点）

当AABC的三个内角均小于120°时，

如图1,将3PC绕，点。顺时针旋转60。得到AA'P'C,连接PP1,

图I图2图3

由PC=P'C,NPCP'=60°,可知-PCP'为①三角形，故PP'=PC,又P'A'=PA,故PA+PB+PC=PA*PB

+PP'>A'B,

由②可知，当B,P,P',A在同一条直线上时,PA+PB+PC取最小值，如图2,最小值为A'B,此时的P点为该

三角形的"费马点"，且有NAPC=NBPC=NAPB=③;

已知当SBC有一个内角大于或等于120。时，"费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若NBAC2120。,则

该三角形的"费马点"为④一点.

⑵如图4,在AABC中，三个内角均小于120。,且AC=3,BC=4/ACB=30°,已知点为AABC的"费马点"，求PA

+PB+PC的值；

⑶如图5,设村庄A,B,O的连线构成一个三角形，且已知AC=4km,BC=243km,ZACB=60。.现欲建一

中转站P沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆,已知由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别为a元/km,a

元/km,V2a元/km,选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元.（结果用含a的式子表示）

【答案】（1）①等边;②两点之间线段最短;③120。;④A.

（2）5

（3）2V13GI

【解析】Q）解:〔•PC=P'C,ZPCP'=6O°,

."PCP为等边三角形；

PP'=PC,NP’PC=NPPC=60",

又P'A'=PA,故PA+PB+PC=PA+PB+PP>AB,

根据两点之间线段最短，当B,P,P',A在同一条直线上时，

PA+PB+PC取最小值，最小值为A'B,此时的P点为该三角形的"费马点”

.•.zBPC+zP'PC=180o,zA,P,C+zPP,C=180o,

.•.zBPC=120o,zA'P'C=120o,

又“APC学A'P'C,

ZAPC=NAP,C=120°,

NAPB=360°-NAPC-NBPC=120°

ZAPC=NBPC=NAPB=120°;

NBAC>120°,

.■.BC>AC,BC>AB,

.-.BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AO,

，三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小.

又•.已知当△ABC有一个内角大于或等于120。时,"费马点"为该三角形的某个顶点.

，该三角形的"费马点”为点A,

综上,正确答案为：①等边；②两点之间线段最短；③120。；@A.

⑵将AAPC绕，点C顺时针旋转60。得到AA'P'C,连接PP',具体如下图所示：

由(1)可知当B,P,P',A在同一条直线上时,PA+PB+PC取最小值，最小值为A'B,-.zACP=zA'CP',

•••NACP+NBCP=NA'CP'+NBCP=ZACB=30",

X-.zPCP'=60°

NBCA'=^ACP+NBCP+ZPCP'=90",

根据旋转的性质：.AC=A(=3,

，由勾股定理得：AB=JBC2+AC2=V42+32=5,

.■.PA+PB+PC最小值为5,

(3)1,总的铺设成本^PA-a+PB-a+PC-V2a=a(PA+PB+&PC)

，当PA+PB+&PC最小时，总的铺设成本最低，

将AAPO绕，点C顺时针旋转90。得到AAPC,连接PP',A'B

根据旋转的性质：P'C=PC,NPCP'=NACA'=90°PA'=PA,A'C=AC=4km

PP,=V2PC,

PA+PB+五PC=PZ'+PB+PP；当B,P,P',A在同一条直线上时,

P/+PB+PP'取最小值，即PH+PB+/PC取最小值为A'B,

过点A，作A，H，BC,垂足为Hz

•・•ZACB=60°,为C/'=90°,

・•.NA,CH=30。，

>i/

：.AH=-AC=2km,

2

•••HC=y/AC2-AH2=V42-22=2V3(fcm),

BH=BC+CH=2V3+2旧=4V3(fcm),

A,B=7AH2+BH?=J(4A/3)2+22=2g(km)

PA+PB+&PC的最小值为2713km

总的铺设成本=PA-a+PB-a+PC-42a=a(PA+PB+V2PC)=2旧研元)

因此正确答案为：

【标注】【知识点】旋转模型

3.如图，在AABC中,NACB=90°/BAC=30°,AB=2.若点P是AABC内一点，则PA+PB+PC的最小值为

【答案】V7

【解析】以点A为旋转中心，顺时针旋转AAPB至!>APB,旋转角是60。,连接BB\PP',如图所示,

贝UNPAP'=60°,AP=AP',PB=P'B',

."APP'是等边三角形，

AP=PP：

PA+PB+PC=PP'+PB+PC,

•••PP'+P'B'+PC>CB：

：.PP'+PB+PC的最小值就是CB'的值,

，AP=PC,

..PA+PC+PB=2PA+PB,

.NDCE=30°,DE=3cm,

，BC=CD=2DE=6cm,

CE=yJCD2-DE2=3V3cm.

BE=(6+3Vcm

BD=<BE2+DE2=(3V6+3®cm,

・nc3V6+3V2

••BO=----2----cm

tan^ABD=tanNCBD=—BE=2-V3,

AO=BO-tan^ABD=3^~3^cm,

2

过点A作AMJ_AP,且使"1\/^=30。,连接BM,

如图所示：

..MP=2AP,

要使2AP+PB的值为最小，则需满足PB+PM为最小，根据三角不等关系可得:

PB+PM>BM.

所以当B、P、M三点共线时,PB+PM取最小，

即为BM的长，如图所示：

...OM=WA0=9五：屉cm,

■■BM=BO+OM=6V2cm,

.•2AP+PB的最小值为6/cm,即AP+PC+PB的最小值为6夜cm.

故答案为6V2cm.

【标注】【知识点】线段和的最小值

4.即PA+PB+PC的最小值就是CB'的值，

•.NBAC=30°,NBAB'=60°,AB=2,

.■.^CAB'=^,AB'=2,AC=AB^=2^=43,

故答案为：V7

【标注】【知识点】利用三边关系解决的最短问题

5.两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD,如图所示，若za=30°,则对角线BD上的动点P至!JA,B,

【解析】•••纸条的对边平行，即ADIIBC,ABIIDC,

.・四边形ABCD是平行四边形，

■:两张纸条的宽度都为3cm,

=ABx3=BCx3,

四边形ABCD

「•AB=BC,

.・四边形ABCD是菱形，

过点D作DELBC于点E,连接AC,交BD于点。

如图所示：

..BO=DO=1BD,AO=OC,AC±BD,

6.已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点，如果AABC是锐角（或直角）三角形，则其

费马点P是三角形内一点,且满足NAPB=NBPC=NCPA=120。.例如:等边三角形的费马点是其三条高的交点若AB=

AC=V7,BC=2W,P为AABC的费马点则PA+PB+PC=;gAB=2V3,BC=2,AC=4,

P为AABC的费马点，则PA+PB+PC=.

【答案】5;2V7

【解析】如图，过A作ADLBC,垂足为D.

过B,C分另U作NDBP=NDCP=30°厕PB=PC.P为3BC的费马点，

•••AB=AC=布,BC=2V3,

BD=DC=\BC=V3,

PDV3

,•.PD=1,

,•.PB=2PD=2,

•••AD=<AB2-BD2=J(V7)2-(V3)2=2,

.•.PA=AD-PD=1,

.".PA+PB+PC=5.

如图：

•••AB=243,BC=2,AC=4,

AB2+BC2=16,AC2=16,

AB2+BC2=AO2,

.△ABC是直角三角形，且NABC=90°,

BC_1

AC-2’

..NBAC=30°.

将AAPC绕点A逆时针旋转60。狷到AAPC,连接PP1,

由旋转的性质可得rAPC%APC,

，AP'=AP,PC=P'C',AC=AC'/CAC'=NPAP'=60°,

."APP'是等边三角形，

.・PP'=PA,

PA+PB+PC=BP+PP'+PC'.

四点共线时,PA+PB+PC的值最小，最小值为BC'的长，即P为AABC的费马点。

•••NBAC=30。,""'=60",

ZBAC=9O°,

BC'=JAB2+AC^=VAB2+AC2=J（2V3）2+42=2V7.

故答案为：5,2V7

7请回答下列各题：

（1）问题背景:如图L将SBC绕点A逆时针旋转60。得至SADE,DE与BC交于点P可推出结论:PA+PC=PE.

图1

⑵问题解决:如图2,在AMNG中,MN=6/M=75）MG=46点O是^MNG内一点，则点O至IkMNG三个

顶点的距离和的最小值是.

【答案】（1）证明见解析.

（2）2V29

【解析】（1）如图L在BC上截取BG=PD,

BGC

D

图1

在AABG和AADP中，

AB=AD

{/B=ND,

BG=PD

.“ABG学ADP(SAS),

，AG=AP,BG=DP,

，GC=PE.

:NGAP=NBAD=60°,

「.△AGP是等边三角形，

.■.AP=GP,

.•.PA+PC=GP+PC=GC=PE,

;.PA+PC=PE.

(2)如图2:以MG为边作等边三角形AMGD,以OM为边作等边AOME,连接ND,作DF^NM,交NM的延长线

于F.

•••AMGD和AOME是等边三角形，

.QE=OM=ME/DMG=NOME=60°,MG=MD,

.'.zGMO=zDME,

在AGMO和9ME中，

OM=ME

{ZGMO=NDME,,

MG=MD

.-.△GMO^DME(SAS),

，OG=DE,

..NO+GO+MO=DE+OE+NO,

二当D、E、0、M四点共线时,N0+G0+M0值最小，

•••NNMG=75。，

NGMD=60°,

ANNMD=135°,

NDMF=45。，

•••MG=4Vx

.-.MF=DF=4,

.-.NF=MN+MF=6+4=10,

ND=7NF2+DF2=V102+42=2V29,

..MO+NO+GO最小值为2V29

故答案为：2V29

【标注】【知识点】旋转性质综合应用

8.已知点P是AABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫AABC的费马点(Fermatpoint)

，已经证明:在三个内角均小于120。的MBC中，当NAPB=NAPC=NBPC=120°时,P就是MBC的费马点，若点P是腰

长为夜的等腰直三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=.

【答案】V3+1

【解析】如图:

等腰RbDEF中，DE=DF=V2,

过点D作DMLEF于点M,过E、F分别作NMEP=NMFP=30。.

就可以得到满足条件的点P了.

根据特殊直角三角形求出PE=PF=^,PM=1,DM=^.

.".PD+PE+PF=PM-DM+2PE=V3+1.

【标注】【知识点】费马点

9.如图1,在RtMBC中/BAC=9(r,AB=AC,点D是BC边上一动点，连接AD把AD绿点A逆时针旋转90。得

到AE,连接CE,DE点F是DE的中点，连接OF.

(1)求证:CF=yAD.

⑵如图2所示,在点D运动过程中，当BD=2CD时，分别延长CF,BA,相交于点G,鹦鹉AG与BC存在

的数量关系，并证明你猜想的结论.

⑶在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P,使PA+PB+PC的值最小，当PA+PB+PC的值取得最小

值时，AP的长为m,请直接用含m的式子表示CE的氏

【答案】(1)证明见解析.

(2)案=3隹证明见解析.

3+V3

(3)CE=-----m.

2

【解析】(1)；NBAC=NDAE=90。,

..NBAD=NCAE,

在AABD和AACE中,

AB=AC

{^BAD=ZCAE,

AD=AE

."ABD当ACE,

..NABD=NACE,

•.AB=AC/BAC=90°,

..NABD=NACB=45°,

..NECD=NACB+NACE=90。,

.；F是DE的中点,

1

・•.CF=：DE,

「AD=AE/DAE=90。，

」.DE二V2AD,

CFAD.

2

(2)=3应，理由如下:

如答图1所示，连接AF、DG,DG交AC于点M.

由(1)知，AF=CF=DF=lDE,

NFAC=ZFCA,

.NGAC=90°,

.-.zFAG=zFGA,AF=GF,

•・GF=DF=CF,

NFGD=NFDG/FDC=NFCD,

.•.zFDG+zFDC=90°,

ANGDC=90。，

•.NB=45°/ACD=45°,

.­.BD=GD,CD=MD,zAMG=45°,

•.zCAG=90°,

MG=42AG,

BD=2CD,

.BD=DG=2CD=2MG,

：.BC=3MG=3鱼叫即笔=3V2.

⑶

如答图2所示，当AD，BC时,

存在点P在AD上，使得PA+PB+PC的值最小（费马定理）.

且NAPB=NAPC=NBPC=120°

AP=m,BP=CP,

.•.zBPD=zCPD=60°,

设AD=x^(]PD=x-m,BD=x=AE,

，四边形ADCE为正方形则CE=AD=BD=x,

又由(1)可知CF=^-AD,

当四边形ADCE为正方形且F为DE中点时，

则有CF=强

.■在&BPD中,BD=V3PDBP：x=V3(x—m),

.・.x=-3-+-V-3-m,

2

贝(jCE=萼爪.

【标注】【知识点】全等三角形的对应边与角

10.如图，在菱形ABCD中,NB=60°,点P是AABC内一点，连接PA、PB、PC,若PA=6,PB=8,PC=10,则菱形AB

CD的面积等于

【答案】50V3+72

【解析】将3PC绕点B逆时针旋转60、得到ABP'A,

.BP=BP',NPBP'=60°,

.•.△BPP'为正三角形，

•.•PP，=8,PA=6,PA'=PC=1O,

."APP'是以NAPP为直角的直角三角形.

S&ABP+S^BPC

，

—S^ABP+SXABP

—s,+s,

LBPP^APP

x824-ix6x8

42

=16V3+24,

同理旋转ABAP和△APC如图，

得S四边形BPOP"

=—X1O2+-X6X8

42

=25V3+24,

SwXAPCP"

2

--4X62+-X6X8

=9V3+24,

S、“=16V3+24+25V3+24+9V3+24

翊ABCD

=50V3+72.

11我们以前遇到过这样的问题：在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=V3/C=l,求NBPC的度数.

思路是：将ABPC绕点B逆时针旋转60°,画出旋转后的图形（如图①）,连接PP',可得WPB是等边三角形，而A

PP'A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），由此得到NBPC=NAP'B=150°,运用类似的思想方法解决以下问

题:如图②,RfABC中/BCA=90°,AC=BC=L在RtMBC内部有一点Q,连接QA,QB,QO,则V2QA+QB+QC的最

小值是

【答案】V5

【解析】将AAQB绕点A顺时针旋转90。得到3MN,连接MQ,CN,过点N作NH±CA延长线于点H,

.AQ=AM,AB=AN,QB=MN,NQAM=NBAN=90°,

.MQ=&AQ,

•.AC=BC=l,zACB=90°,

•••AB=V2XC=V2,NCAB=45°

.-.AN=V2,zCAN=zCAB+zBAN=135°,

.-.zNAH=45°,

-.NH±AH,

.•.zAHN=90°,.-.zHAN=zHNA=45°,

•••AH=NH,AN=迎AH=VX

..AH=NH=L，CH=AC+AH=2,

在RbCHN中,.NCHN=90°,

CN=VCW2+NH2=V5,

V2/QA+QB+QC=QM+MN+QC>CN,

，当且仅当C,Q,M,N四点共线时,

&QA+QB+QC取得最小值，最小值为V5

故答案为：V5

12如图1,已知抛物y=一9（久+3）。-4旧）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.

⑴写出A、B、C三点的坐标.

⑵若点P为AOBC内一点求OP+BP+CP的最小值.

【答案】Q)A(-3,0),B(4V3,0),C(0,4).

(2)4V7

【解析】(1)主y=-+3)(x-48)=0,

得：=-3,g=4百，

X=Q时,y=一枭3x(-4V3)=4,

.-.A(-3,0),B(4V3,0),C(0,4).

(2)将△BOP逆时针旋转60°,至△BPO,

则OP=O'P',BO=BO',BP=BP',zPBP'=zOBO,=60o,

."OBO'为正三角形,APBP'为正三角形，

.BP=PP',

OP+BP+CP=OP'+PP'+CP>OC,

•■-0B=4H『O'BO为正三角形，

易知O1(2V3,-6).

:.CfC=J(o-2可+(4+6)2=4A/7

.QP+BP+CP的最小值为4V7

13【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔彳惠・费马提出的一个著名的几何问题：给

定不在一条直线上的三个点A、B、C,求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置，费马问题有多种不同

的解法，最简单快捷的还是几何解法.如图1,我们可以将ABPC绕点B顺时针旋转60。得到ABDE,连接PD,可得

△BPD为等边三角形，故PD=PB,由旋转可得DE=PC,S

PA+PB+PC=PA+PD+DE,由两点之间线段最短可知,PA+PB+PC的最小值与线段AE的长度相等.

【解决问题】如图2,在直角三角形ABC内部有一动点P,NBAC=9(T,NACB=30。，连接PA,PB,PC若AB=3,

求PA+PB+PC的最小值.B

%©

图1图2

【答案】3V7

【解析】解:将MBP绕点B顺时针旋转60。得到AEBF,连接PF,CE,作EH^CA交CA的延长线于点H,

在RbABC中/ACB=