常用五种构造三角形中位线的方法

专题18.12常用五种构造三角形中位线的方法

【人教版】

考卷信息：

本套训练卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生构造三角形

中位线的五种常用方法的理解！

【题型1连接两点构造三角形的中位线】

（24-25八年级•广东深圳•期中）

1.如图，在△/8C中，3/=BC=5,4C=6,点。，点£分别是8GAs边上的动点，连结

点尸，点M分别是C2OE的中点，则的最小值为（）

AC

1295

A.—B.-C.3D.一

552

（24-25八年级•山东淄博•阶段练习）

2.如图，在中，ZC=90°,AC=3,BC=4,P是斜边上的一个动点，且尸在

AB1.（不包含端点）运动的过程中，始终保持G、〃分别是。P、PE

的中点，连接G〃，则GH的最小值是（）

（24-25八年级•广东深圳•期中）

3.如图，点E为口A8C。的对角线AD上一点，DE=\,BE=5,连接NE并延长至点尸，使

得AE=EF,则CF为（）

试卷第1页，共12页

9

C.4D.

2

(24-25八年级•江苏扬州•期中)

4.如图，已知△Z5C的中线8。、CE相交于点O,M、N分别为06、。。的中点.

(1)求证：和7VE互相平分；

(2)若BOLZ。，OC2=32,OD+CD=^,求△0C3的面积.

(24-25八年级•山东济宁•期末)

5.如图，在中，/A4C=90。,瓦尸分别是5C,4C的中点，延长力到点。，使

AD=-AB.连接DE,DF.

2

(1)求证：4尸与。E互相平分；

(2)若NABC=60。,BC=4,求。尸的长.

(24-25八年级•山东济宁•期末)

6.如图，在平行四边形/BCD中，点G,H分别是/及8的中点，点£,尸在对角线ZC

上，S.AE=CF.

试卷第2页，共12页

A

ED

⑴求证：四边形EGM是平行四边形；

（2）连接8。交/C于点。，若BD=28,AE+CF=EF,求EG的长.

（24-25八年级•山东威海•期末）

7.（1）【课本再现】我们前面学习过三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且

等于第三边的一半.请你尝试证明.

已知：如图1,是ZUSC的中位线.

求证：DE//BC,DE=-BC.

2

（2）【实践应用】

如图2,是△4BC的中位线，4F是BC边上的中线，OE与/尸是否互相平分？请证明

你的结论.

图2

【题型2倍长法构造三角形的中位线】

（2024下•黑龙江伊春•八年级校联考期末）

8.如图，四边形中，ACVBC,AD//BC,BC=3,AC=4,AD=6.M是BD

的中点，则CM的长为（）

试卷第3页，共12页

AD

M

BC

35

A.-B.2C.-D.3

22

（2024上•福建龙岩•八年级校联考阶段练习）

9.如图，已知正方形45C。、正方形ZE产G的边长分别为4和1,将正方形ZE产G绕点A旋

转，连接。尸，点"是。尸的中点，连接CM,则线段CW的最大值为（）.

/y

A.3^2B.4V2C.5V2D-2-\/5H-----

2

（24-25八年级•四川成都•阶段练习）

10.如图，在△NBC中，己知/E平分于点瓦厂是8C的中点.若

AB=14cm,AC=20cm,则E77=cm.

11.【知识探究】探究得到定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

【定理证明】请你利用矩形的性质，证明该定理.

已知：如图1,在Rt2X4BC中，ZABC=90°,。是/C的中点；

试卷第4页，共12页

（2）【灵活运用】如图2,四边形/BCD中，NABC=90。,AC=AD,E,尸分别是NC,

CD的中点，连接BE,EF,BF,求证：Z1=Z2.

（2024上•江苏苏州•八年级校考阶段练习）

12.如图，在A48c中，AACB=60°,BC=2,。是48的中点，E是NC上一点，若DE

平分A23C的周长，则。£的长等于—.

【题型3已知角平分线与垂直关系构造中位线】

（2024下•河北邯郸•八年级校考期中）

13.在△ABC中，点。是的中点，CE平分NACB,AELCE于点、E.

（1）求证：DE//BC；

（2）若NC=5,BC=1,求。E的长.

（2024下•山西运城•八年级校联考期末）

14.如图，在中，BD平仿乙4BC,过点C作CO_L8D于点。，E是边/C的中点，连

接。£,若DE=2,BC=10,则的长为（）

试卷第5页，共12页

A

D

B

A.6B.8C.7D.9

（24-25八年级-江苏南通•期末）

15.已知：如图，AD、2E分别是AZBC的中线和角平分线，ADLBE,AD=BE=3,则

AC的长等于—.

（2024下•江苏•八年级姜堰区实验初中校考期中）

16.如图，为△/8。中乙4。8=90。，4B=13,BC=5,AD,AE■分别平分—A4C、

ZABC,ZADC=ZBEC=90°,连接。E,贝1|。£=.

（24-25八年级•河南南阳•期中）

17.如图，ZUBC中，ZC=90°,过点8作NC的平行线，与/C48的平分线交于点。,

若/C=6,C5=8.E、尸分别是C2、4D的中点，则£尸的长为.

（24-25八年级-江苏南通・期中）

18.已知：点E在正方形4BCD的边的延长线上，连接CE,过点C作WLCE,交边

于点尸.

试卷第6页，共12页

⑴如图1，猜想CE与CF的数量关系，并说明理由：

(2)如图2,连接£/，AC,作NNEE的平分线交/C于点G,求证：所=eCG;

(3)如图3,在(2)的条件下，连接EG,过点A作NN,EG,交EG的延长线于点N,M

为/月的中点，连接MV.若/尸=6,FD=\,请求出MV的长.

(24-25八年级•湖北武汉•期中)

19.在和中，AD<AB,AB=AC,NDAE=工NBAC=a,//£。=90°,点

2

下是线段。C的中点，连接斯.

(1)若。在3C上，

①如图1,点E恰好落在NC上，请探究线段所与8。的数量关系；

②如图2,试探究线段所与AD的数量关系;

图1

试卷第7页，共12页

A

图2

63

(2)如图3,a=30。，点。不在上，ZDBC=15°,EF=芳,AE=~,直接写出A48C

的面积是---------

图3

【题型4已知中点，取其他边中点构造三角形的中位线】

(24-25八年级•山西太原•期末)

20.如图，ZUBC中，ZACB=90°,G4=CB=12cm,点。为C8的中点，将一个直角三角

板的直角顶点放在点。处，直角边的点£在边42上，AE=7cm,连接8尸，则B尸的长

为cm.

试卷第8页，共12页

c

（24-25八年级•天津•期末）

21.如图，已知△4BC中，ZACB=90°,BC=AC=4,将直角边/C绕/点逆时针旋转至

AC,连接8C',£为8。的中点，连接CE,则CE的最大值为（）

C

A.472B.272+1C.272+2D.2石+2

（24-25八年级•湖北恩施•期末）

22.如图，△ABC中，。是48的中点，E在/C上，5.ZAED=90°+,贝U8C+2/E

等于（）

33

A.ABB.ACC.—4BD.—AC

22

（24-25八年级•山东烟台•期末）

23.如图所示，在四边形中，AB=245,CD=2拒,ZABD=3Q°,ZBDC=120°,

E,尸分别是ND,8c边的中点，则斯的长为（）

试卷第9页，共12页

A.2V2B.2V3C.V5D.V7

（24-25八年级•福建漳州•期末）

24.如图，在△NBC中，点。，石分别是/民8。上的动点，连接。£,将aBDE沿直线DE

折叠得到3£尸，点尸落在/C上.

⑴如图1,若点E是BC的中点，求证：DE//AC；

⑵如图2,若448c=90。，且点尸是NC的中点.

①判断线段CE与。E之间存在的数量关系，并证明；

②若AB=3,BC=4,直接写出:跖的面积.

【题型5作其他辅助线构造三角形的中位线】

（24-25八年级•江西宜春•期末）

25.如图，在△NBC中，AD平分NCAB交BC于点、E.若48£>/=90。，E是/。中点,

DE=2,AB=5,则NC的长为（）

D

C/\

（24-25八年级•山西长治•阶段练习）

26.已知如图，正方形NBC。，4B=10,点、E,尸分别是边42,8c的中点，连接EC,

DF,点、G,H分别是EC,。尸的中点，连接G8,则G〃=.

试卷第10页，共12页

（24-25八年级•北京•阶段练习）

27.已知"BE,将"BE绕点A逆时针旋转a（0°<a<180。）到△/4,使得点8的对应

点C落在直线班上.

⑴①依题意补全图1；

②若尸C垂直BE,直接写出a的值；

（2）如图2,过8作NC的平行线2D,与FE的延长线交于点。，FE交AC于点、G,取厂。

的中点河和BC的中点N,写出线段与FG的数量关系，并证明.

（24-25八年级•湖北武汉•期末）

28.如图（1）,在等腰△NBC,中，AB=AC,AD=AE,ABAC=ZEAD=a,"BE

可以由A/。通过顺时针旋转变换得到.

⑴请直接写出旋转中心及最小旋转角的大小（用含&的式子表示）；

⑵如图（2）,若河为8c中点，点。在CM上，过点M作于0,交DE于点、N.

①求证：N为。E的中点；

②若N8=NC=2,a=120。，点。在MC上运动时（包括M,C两个端点），直接写出

的最小值.

试卷第11页，共12页

（24-25八年级•安徽淮南•阶段练习）

29.如图，在△ABC和△NZJE中，AB=AC,AD=AE,ABAC+ZEAD=180°,△ABC不

动，绕点A旋转，连接5£、CD,尸为BE的中点，连接.

（1）如图①，当/24£=90。时，求证：CD=2AF,

（2）当NR4EW90。时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由.

（24-25八年级•浙江金华•阶段练习）

30.如图，在矩形纸片如5CD中，AB=9cm,8C=12cm,E为边CD上一点、,将ABCE沿BE

所在的直线折叠，点C恰好落在/。边上的点尸处，过点尸作RWLBE,垂足为点“，取

4尸的中点N,连接则初V的长为.

试卷第12页，共12页

1.A

【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质及三角形中位线定理，正确得出CE的最小

值是解题的关键.过点8作88L/C于〃，连接CE；当CE取最小值时，W0的值最小，

由垂线段最短可知，当CE123于点E时，CE的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质

求出58的长，进而利用三角形等面积法求解即可.

【详解】解：如图，过点B作BHJ.4C于连接CE；

当CE取最小值时，的值最小，

由垂线段最短可知，当CE148于点£时，CE的值最小,

在△NBC中，BA=BC=5,AC=6,

.-.CH=-AC='3,

2

•••S-M'X6X4=12=L/8.CE,

zizizjc22

24

:.CE=——

5

故选：A.

2.B

【分析】连接。耳尸。，判定四边形尸EC。是矩形，推出PC=O£,由三角形中位线定理得

到=因此=g尸C,当尸CLAB时，尸C最小，由勾股定理求出的长，由

11I?

三角形面积公式，得到的面积=,/以尸C=,/C・5C,求出PC=不，即可得到GH

的最小值是

答案第1页，共37页

【详解】解：连接。£,尸C,

PD//BC,PE//CD,ZACB=90°,

••・四边形PEC。是矩形，

：.PC=DE,

•••G、”分别是。P、PE的中点，

•••GH是APDE的中位线，

.-.GH=-DE,

2

：.GH=-PC,

2

.•.当PC最小时，GH最小,当时，尸C最小,

此时4ACB的面积=-AB-PC=-AC-BC,

22

-.■ZC=90°,AC=3,BC=4,

•••AB=yjAC2+BC2=5，

;.5PC=3x4,

.­.PC=y,

2255

・•.GH的最小值是t，

故选：B.

【点睛】本题考查三角形中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质,

关键是判定四边形尸ECZ）是矩形，得到PC=DE,由三角形中位线定理得到G//=gpC,

由三角形面积公式求出PC的最小值.

3.C

【分析】本题考查平行线四边形的性质，三角形中位线定理，关键是证明OE是的中

答案第2页，共37页

位线.连接/c交50于。，由平行四边形的性质推出/O=OC,OD=；BD,证明OE是

△/CR的中位线，得到bC=20E,求出BD=6,得到。0=3,求出0E=OD-QE=2,

从而FC=2OE=4.

【详解】解：连接NC交2。于O,如图所示：

•.•四边形/BCD是平行四边形，

.-.AO=OC,OD=~BD,

2

■■■AE=EF,

.•.0E是△/(?尸的中位线，

：.FC=20E,

■：DE=\,BE=5,

BD=1+5=6,

...on=1x6=3,

2

.-.OE=OD-DE=3-1=2,

；.FC=2OE=4.

故选：C.

4.(1)证明见解析

⑵16

【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、完全平方

公式，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键.

(1)先根据三角形的中位线定理可得ME=ME//OA,DN=goA,DN//OA,

再证出四边形。EMN是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证；

(2)先求出OB=2(W=2OD,再利用勾股定理可得OZ)2+a)2=32,然后利用完全平方

公式变形求值可得2。6CD的值，最后利用三角形的面积公式计算即可得.

【详解】(1)证明：如图，连接O4DE,MN,

答案第3页，共37页

•••CE是△ABC的中线，点M是08的中点，

.-.ME=-OA,ME//OA,

2

同理可得：DN=^OA,DN//0A,

：.ME=DN,ME//DN,

••・四边形DEMN是平行四边形,

.•."D和2VE■互相平分.

(2)解:由(1)已证：和互相平分，

：.OD=OM,

,•,点M是08的中点，

OB=2OM,

/.OB=20D,

•■BDLAC,OC2=32,

•••。犷+5=。。2=32,

OD+CD=8,

2ODCD=(OD+C£>)2-[OD2+C£>2)=82-32=32,

・•.AOCB的面积为goBCD=；x2O£>CD=gx32=16.

5.(1)证明见解析

(2)2

【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性

质等知识；

(1)利用三角形中位线定理可得出跖〃EF：AB,结合得出

EF=AD,可证明四边形NEED是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可得证；

(2)先证明ANBE为等边三角形，可得AE=BE=2,再利用平行四边形性质求解即可.

答案第4页，共37页

【详解】(1)证明：连接E尸，AE.

•・•点£,尸分别为3C、/C的中点，

-.EF//AB,EF=-AB.

2

又MD=LAB,

2

：.EF=AD.

又•••EF//AD,

二四边形AEFD是平行四边形.

尸与DE互相平分.

(2)解：在中，NABC=60°,BC=4,£为8c的中点，

：.BE=LBC=2,NACB=3Q°,

2

：.AB=LBC=2,

2

AB=BE,

；.A4BE为等边三角形,

.，•AE=BE=2,

又••・四边形AEFD是平行四边形，

•••DF=AE=2.

6.(1)证明见解析

⑵7

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的中位线

定理等知识点，熟练掌握平行四边形判定与的性质及三角形中位线定理是解题的关键.

(1)证明“GE0Ao/F(SAS),得GE=HF,NAEG=NCFH,则=得

GE//HF,即可得出结论；

(2)先由平行四边形的性质得出08=00=14,再证出4E=0E,可得EG是A/8。的中

位线，然后利用中位线定理可得EG的长度.

答案第5页，共37页

【详解】（1）证明：•・•四边形45C。是平行四边形,

AB〃CD,AB=CD,

ZGAE=ZHCF,

・••点G,7/分别是45,。。的中点,

・•.AG=CH,

在△4G£和△CHF中，

AG=CH

<ZGAE=ZHCF,

AE=CF

・•・"GE四△C7ZF(SAS),

，GE=HF,ZAEG=ZCFH,

/GEF=/HFE,

:・GE〃HF,

又•:GE=HF,

••・四边形£GF〃是平行四边形；

(2)解：连接交/C于点。如图:

•・•四边形ABCD是平行四边形,

OA=OC,OB-OD,

•••50=28,

OB=0D=14,

AE=CF,OA=OC,

OE=OF,

•/AE+CF=EF,AE=CF9

；.2AE=EF=2OE,

AE=OE,

又••,点G是45的中点，

答案第6页，共37页

・•・EG是的中位线,

.-.EG=-OB=7.

2

7.（1）证明见解析；（2）与/尸互相平分，见解析.

【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质；

（1）如图所示，延长。E到下，使得=证明A/EOGACE厂，得到

/A=/FCE,AD=CF,则4D〃C/，再由点。是48的中点，得到4D=AD=C尸，即

可证明四边形8CED是平行四边形，则DE〃台C,DF=BC,再由=即可证明

DE=LBC；

2

（2）如图，连接。尸，证明四边形/次石为平行四边形，从而可得结论.

【详解】证明：（1）如图所示，延长。£到尸，使得DE=FE,

•・•点E是/C的中点，

AE=CE,

在△NED和广中,

AE=CE

<NAED=ZCEF,

DE=FE

.-.6.AED^CEF（SAS）,

；./A=/FCE,AD=CF,

：.AD//CF,

,・,点D是AB的中点，

AD=BD=CF,

.•・四边形2CFD是平行四边形,

DE//BC,DF=BC,

又；DE=FE,

答案第7页，共37页

.-.DE=-DF=-BC,

22

：.DE//BC,且。

2

(2)如图，连接。尸，

•••DE是△N2C的中位线，/尸是BC边上的中线，

D,E,F分别为UBC的三边中点，

DF//AC,EF//AB,

二四边形ADFE为平行四边形，

；.DE与AF互相平分.

8.C

【分析】解法一：延长2C到E使=则四边形NCED是平行四边形，根据三角形的

中位线的性质得到CN=，根据跟勾股定理得到

22

AB=ylAC2+BC2=V42+32=5>于是得到结论；

解法二：延长CM交4D于T,证明ABMC丝得CM=M7,DT=BC=3,最后根据

勾股定理得到CT=^AC2+AT2=5，于是得到结论.

【详解】解：解法一：延长8C到E使=则四边形/CED是平行四边形，

.1C是BE的中点，

是AD的中点，

:.CM=-DE=-AB,

22

答案第8页，共37页

■：ACA.BC,

AB=^AC2+BC2=A/42+32=5，

,­,CM=--

2

解法二：延长CM交4D于7,

AD//BC,

ZMBC=ZMDT,

■：MD=MB,NBMC=ADMT,

.-.A(ASA),

:.CM=MT,DT=BC=?>,

:4D=6,

:.AT=3),

•.•/C=4,ZCAT=90°,

CT=>JAC2+AT2=V42+32=5，

:.CM=MT=-CT=~,

22

故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，全等三角形的判

定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键.

9.D

【分析】本题主要考查了、三角形中位线定理、正方形的性质、三角形三边关系、勾股定理，

延长DC至点P,使C尸=DC,连接尸尸，AP,AF,由三角形中位线定理可得打'=2CN,

由正方形的性质结合勾股定理可得/尸="评=4右，/尸=炉下=&，由三角形三边

关系可得尸尸V4尸+/尸，从而可得尸尸的最大值为4石+也，即可得解，熟练掌握以上知

识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：如图，延长。C至点P,使CP=DC,连接尸尸，AP,AF,

答案第9页，共37页

•点M是。尸的中点，CP=DC,

:.CM是ADFP的中位线，

PF=2cM,

•••正方形ABCD、正方形AEFG的边长分别为4和1,

AP=^+^=475>/b=6,

•/PF<AF+AP,

二尸尸的最大值为46+收，

.,.CM的最大值为2指+",

2

故选：D.

10.3

【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形中位线等

于第三边的一半是解题的关键.证明根据全等三角形的性质得到

AD=AB=3cm,BE=ED,进而求出。C,再根据三角形中位线定理解答即可.

【详解】解：•••/£平分/A4C,

NBAE=ZDAE,

•••BE工AE,

ZAEB=ZAED=90°,

在“EB和AAED中，

BAE=ADAE

<AE=AE,

AAEB=NAED

△AEB2AAED（ASA）,

答案第10页，共37页

AD=AB=14cm,BE=ED,

DC=AC-AD=20-14=6(^),

■：BE=ED,尸是5c的中点，

尸是ABDC的中位线，

:.EF=^DC=3(cm),

故答案为：3.

【分析】(1)延长3。至点。，使连接NO、CD,先证四边形ABC。是平行四

边形，再证平行四边形是矩形，得4C=BD,即可得出结论；

(2)由直角三角形斜边上的中线性质得再由三角形中位线定理得收

然后由/C=40,得BE=EF,即可得出结论.

【详解】解：证明：如图1,延长8。至点。，使QD=O8,连接4。、CD,

图I

OA=OC,

二四边形/BCD是平行四边形,

/ABC=90°,

平行四边形/BCD是矩形，

AC=BD,

:.OB=-AC,

2

故答案为：OB=^AC-

答案第11页，共37页

（2）证明：如图2,

NABC=90°，£是/C的中点,

・••尸是CD的中点,

.,.斯是A/CD的中位线,

:.EF=-AD,

2

AC=AD,

BE=EF,

Z1=Z2.

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中

线性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握直角三角形斜边上的中线

性质和三角形中位线定理，证出08=是解题的关键.

12.6

【分析】此题考查了三角形中位线定理，等腰三角形性质，解直角三角形等知识点；延长/C

至点厂使得CF=C3,连接3/，作CGL8尸于点G,则/尸=/CBF=L//C8=3O。，易

2

得2斤=26，又由已知得+=++=+斯，则/£=£尸，故DE为公ABF

中位线，从而得DE=LBF=6

2

【详解】延长NC至点尸使得CF=C8,连接5/，作CGL3产于点G,

答案第12页，共37页

F

•••BG=FG=BC-cos30°=石，

■■BF=2^3，

•；DE平分MBC的周长

：.DA+AE=DB+BC+CE=DB+EF,

•••。是中点，

DA=DB,

•••AE=EF,

・・・DE为44BF中位线,

.-.DE=-BF=y/3.

2

故答案为：V3.

13.(1)见解析

(2)1

【分析】(1)根据CE平分N/C2,AE1CE,运用ASA易证明△/CEg△尸CE.根据全

等三角形的性质，得AE=EF,C/=/C,根据三角形的中位线定理即可得到结论；

(2)根据三角形的中位线定理即可求解.

【详解】(1)解：延长/£交5c于尸，

•;CE平分NACB,4ELCE于点E,

ZACE=ZFCE,NAEC=ZFEC=90°,

在和AFCE中,

答案第13页，共37页

ZACE=ZFCE

<CE=EC,

NAEC=NFEC=90。

:.AACE/AFCE.

AE=EF,

•••点。是45的中点，

AD=BD,

是尸的中位线.

DE//BC；

(2)AACE^AFCE,

CF=AC=5,

是的中位线.

DE=^BF=^(BC-AC)=^(7-5)=1,

故。E的长为1.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的中位线定理，正确地作出辅助线

是解题的关键.

14.A

【分析】如图，延长24,CD交于点F,根据角平分线和垂线证得2F=3C,DF=CD,再利

用中位线的性质得到/尸=20E,即可计算/2=2广NR求得答案.

【详解】如图，延长24,CD交于点尸，

F

•：BD平分乙48C,

ZFBD=ZCBD,

CDLBD,

・•.△F2C是等腰三角形(三线合一),

答案第14页，共37页

■,BF=BC=10,DF=DC,

••.D是C尸的中点，

■.E是边NC的中点，

.•.DE是尸的中位线，

•••AF=2DE=4,

：.AB=BF-AF=6-,

故选：A.

【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，中位线的性质，解题的关键是做出辅助线,

利用等腰三角形和中位线的性质解答.

15.—

4

【分析】本题考查了三角形中位线的性质以及勾股定理的应用，设交于点G,过。

点作DF〃BE,则。尸尸为EC中点，在口伍40尸中求出/尸的长度，根据已知条

3

件易知G为ND中点，因此E为/尸中点，则=尸，即可求解.

【详解】解：设交于点G,过。点作。尸〃8E,

;AD=BE=3,则DP=1.5,AF^^AD2+DF2

BE是dBC的角平分线，

ZABG=ZDBG

又AD±BE,

：.NAGB=ZDGB=90°

•••ABAD=ABDA

又•.・BG=BG

:.AABG知DBG,

:.G为AD中点，

:.E为AF中点，

答案第15页，共37页

333A/5

AC=-AF=—x------

222

故答案为：苧

16.2

【分析】利用勾股定理求得/C=12,分别延长CD、CE交AB于点F、G,证明

△ADC咨ZXADF和△BE84BEG，推出=。尸，/C=/b=12,CE=EG,8C=8G=5,

得到。E是A4FG的中位线，据此求解即可.

【详解】解：ZC3=90°,43=13,BC=5,

•••AC=A/132-52=12，

分别延长CD、CE交4B于点F、G,

C

•••N。分别平分/历IC,ZADC=ZADF=90°,又AD=AD,

ADC咨ZXADF(ASA),

CD=DF,AC=AF=U,

同理△BEC之△BEG(ASA),

；.CE=EG,BC=BG=5,

二。£是A4FG的中位线，

：.DE=-FG,

2

■.■FG^AF+BG-AB^12+5-13^4,

.-.DE=-x4=2,

2

故答案为：2.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，证明。E是

“AFG的中位线是解题的关键.

17.2

【分析】连接CF并延长交3。于G,先求出48=10,由AD是ZA4C的平分

答案第16页，共37页

线推出5D=/B=10,证明ADG尸也A/C尸(ASA)得G尸=CF,DG=AC=6,则

BG=BD-GD=4,再证明所为ACBG的中位线，即可得解.

【详解】解：如图，连接CF并延长交助于G,

在△/8C中，ZACB=9Q°,AC=6,CB=8,

■■AB=dAC?+BC。=A/62+82=10)

•.■AC//BD,

：.ACAD=4D,

・・•/。是/A4c的平分线，

/BAD=ZCAD,

.-2D=/BAD,

BD=AB=10,

•・•点/为4。的中点，

:・DF=AF,

在△OG尸和厂中，

ZDFG=/AFC

<DF=AF,

ZGDF=ZCAF

・•・△DG尸之△ZCF(ASA),

・・.GF=CF,DG=AC=6,

・•.BG=BD-GD=10-6=4,

•・•点E为的中点，Gb=W即点尸是CG的中点，

・•・£方为的中位线，

EF=—BG=—x4=2,

22

厂的长为2.

故答案为：2.

答案第17页，共37页

【点睛】本题考查勾股定理定理，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，全等三角

形的判定和性质，三角形的中位线定理.解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理、全等

三角形的判定和性质，正确地添加辅助线构造全等三角形.

18.(1)CE=CF,理由见解析

(2)证明见解析

(3)W=1

【分析】(1)利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；

(2)利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质得到斯=血3,再利用角平分线的定义,

正方形的性质和等腰三角形的判定定理得到CG=CF,则结论可得；

(3)延长NN交所于点。，利用正方形的性质和勾股定理求得所，再利用三角形的角平

分线的性质，全等三角形的判定与性质得到/N=QN,EQ=EA=8,再利用三角形的中位

线定理解答即可.

【详解】(1)解:CE与CF的数量关系为：CE=CF.理由如下：

••・四边形ABCD是正方形，

CD=BC,NABC=ZBCD=ZD=90°,

■：ZABC+ZEBC=\iQ°

ZEBC=90°=ZD

■：CF1CE

ZECF=Z90°

ZECF-ZBCF=/BCD-ZBCF

即：ZBCE=ZDCF.

在AEBC与△FDC中，

ZEBC=ZD=90°

<CB=CD,

NBCE=ZFCD

答案第18页，共37页

.•.AEBC%FDC(ASA),

CE=CF-

(2)证明：CFICE,CE=CF,

，在C尸是等腰直角三角形，

:.ZCFE=45°,EF=y[2CF,

••・四边形48。是正方形，

ZCAD=45°,

ZCAD=ZCFE.

一:FG平分~NAFE,

ZEFG=ZAFG.

NCFE+ZEFG=ACAD+ZAFG,

即NCFG=ZCGF,

CG=CF,

EF=V2CG;

(3)解：延长/N交E尸于点。，如图,

由（1）知：△E3C之△FDC,

BE=FD=\.

••・四边形/BCD是正方形，

ZDAB=90°,AB=AD=AF+FD=6+l=y,

AE-8,

由勾股定理得：

EF=-jAE2+AF2=10，

••・四边形ABC。是正方形，

：.4C平分NR4D,

•••尸G平分N/EE,三角形的三条角平分线交于一点,

答案第19页，共37页

EG平分NAEF,

/.ZAEN=ZQEN.

•/ENLAN,

ZANE=ZQNE=90°.

在△£7%和△EN0中，

ZANE=ZQNE

<EN=EN,

ZAEN=ZQEN

二△EN心△ENQgK),

AN=QN,EQ=EA=8,

.\FQ=EF-EQ=10-S=2f

■■-AN=QN,M为/尸的中点，

:.MN为AAQF的中位线，

:.MN=^FQ=1.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾

股定理，角平分线的性质，三角形的中位线，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与

性质是解题的关键.

19.(1)①EF=3BD,②EF=”D

/QX3-$/3+2y[6

4

【分析】⑴根据题意得NZW=N&4D和=ZCED=90°,进一步得EF=gco,

结合CD=BD,即可得跖

2

②延长至S,使£S=Z)E,连接45,CS,则斯是ADCS的中位线，有EF=；CS,判

定NE垂直平分DS,WAD=AS,ZDAE=ZEAS=-ADAS,>ABAC=ADAS

一2

/BAD=NCAS成立,利用SAS证明AAB。会A/CS,贝l|有2r)=CS；

⑵延长DE至S,使ES=DE,连接/S,CS,过点。作于点T.则斯是AOCS

的中位线，有EF=*S,同上可证丝A/CS,^CS=BD.贝I」AD=2M,在Rt"O£

中得DE,4D=2DE,进一步判定zUBC是等边三角形，可得//AD=45。，求得

答案第20页，共37页

BT^DT=—BD,贝lj可得=+结合△4SC是等边三角形即可求得面积.

2

【详解】(1)解：①EF=gBD,理由如下：

•：ADAE=-ABAC=a,

2

••.ZDAE=ZBAD，

・・・AB=AC,

:・BD=CD,

•・•ZAED=90°,

・・・/CED=90°,

・・•点/是线段的中点，

:,EF=-CD,

2

♦・•CD=BD,

：.EF=-BD-

2

②EF=”D,理由如下：

延长。E至S,使ES=DE,连接4S,CS,如图，

・・・斯是4OCS的中位线，

：.EF=-CS,

2

•・・NAED=90。,

ZAES=90°=ZAEDf

・・・ZE垂直平分。S,

・•.AD=ASf

・・・/DAE=ZEAS=-ADAS,

答案第21页，共37页

■：ADAE=-ABAC,

2

ABAC=ADAS,

ABAC-ACAD=ADAS-ACAD,

/BAD=ZCAS,

■：AB=AC,AD=AS,

%/CS(SAS),

:.BD=CS,

:.EF=gBD；

(2)解：延长。E至S,使ES=DE,连接/S,CS,过点。作。7_L48于点T.如图,

•・,点下是线段CD的中点，

.•.E尸是AOCS的中位线，

.-.EF=-CS,

2

同上可证A/B。也A/CS,

:.CS=BD.

•••BD=2EF=V2，

3

在中，ZDAE=30°,AE=-,

2

•••DE=^-,AD=IDE=y/3,

•・•ZBAC=2a=60°,AB=AC,

.・•△/BC是等边三角形，

/ABC=60°,

•・•ZDBC=15°,

・・・NABD=45°,

：,BT=DT=—BD=\,

2

答案第22页，共37页

在RtA^Z>7中，AT=^AD2-DT2=V2，

■■AB=BT+AT=1+42，

•・•△4BC是等边三角形，

次邛（1+6=已返

【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的

判定和性质、三角形中位线定理和勾股定理，解题的关键是熟悉等腰三角形的和全等三角形

的性质.

20.（672-7）

【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，中位线定理.取

的中点K,连接DK,证明AEOK^—D^SAS）,得到KE=B厂，求出KE的长即可得到

BF.

【详解】解：取48的中点K,连接OK,

•••点。为8C的中点，点K为48的中点,

・•.OK是△NBC的中位线，

;.DK=LCA,DK//AC,

2

•・・C4=C5,点。为的中点，

：,BD=-CB=-CA,

22

DK=BD,

•・・N4C5=90。,DK//AC,

；,/KDB=90。,

•・•ZEDK+ZKDF=ZFDB+ZKDF=90°,

••・ZEDK=ZFDB,

•・・△££犷为等腰直角三角形，

答案第