反比例函数核心考点分类突破（解析版）

专题18反比例函数核心考点分类突破(解析版)

第一部分典百州析

考点一分比例函数的图像和性质

类型1比较函数值的大小

典例1(2022春•上蔡县期中)已知双曲线丁=1(ZV0),过点(1,yi),(3,»),(-2,”)，则下列结论

正确的是()

A.yi<y2<y?)B.y3<yi<y2C.丁2〈*<丁1D.y3<y2<y\

思路引领：根据左的符号确定反比例函数图象所在的象限，根据反比例函数的性质即可得出答案.

解:Vfc<0,

反比例函数(%<0)的图象在第二、四象限，

•反比例函数的图象过点(1,a)、(3,工)、(-2,*),

.•.点(1,yi)、(3,*)在第四象限，(-2,”)在第二象限，

.*.yi<y2<0,y3>0,

故选：A.

总结提升：本题考查了反比例函数的图象和性质的应用，注意：当％<0时，反比例函数y=[*<0)

的图象在第二、四象限，在每个象限内y随尤的增大而增大.

典例2(2022秋•惠城区校级期末)已知点A(3,yi),8(-6,”)，C(-5,”)都在反比例函数y=1的

图象上，贝U()

A.yi<y2<y3B.y3<y2<yiC.y3<yi<y2D.y2<yi<y3

思路引领：根据反比例函数的性质得出反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的

增大而减小，再根据点的坐标特点得出即可.

4

解：:反比例函数y=1中，左=4>0,

・・・反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，

.点A(3,yi),B(-6,”)，C(-5,*)都在反比例函数y=]的图象上，

：.B,C在第三象限内，A在第一象限内,

.'.yi>0,y3<y2<0

：.y3<yi<y\,

故选：B.

总结提升：本题考查了反比例函数图象和性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此题的关键.

①y随尤的增大而减小；②点（6,-6）一定在函数的图象上；

③当x>3时，y>0；④当x<2时，（Z-l）x+6<0.其中正确的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

思路引领：根据待定系数法求得解析式，然后根据一次函数的特点进行选择即可.

解：由题意得，当x=l时，y=4,当x=0时，y=6,

解得：好=12,

3=6

函数解析式为：y=-2x+6,

①；k=-2<0,

随尤的增大而减小，正确；

②当x=6时，y=-2x6+6=-6,

...点（6,-6）一定在函数y=fcc+6的图象上，正确；

③由表格得出当x>3时，y<0,故错误；

④由表格得出当x<2时，kx+b>x,

（%-1）x+b>0,故错误；

故选：C.

总结提升：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点

的理解和掌握，能求出一次函数的解析式是解此题的关键.

类型3由性质逆推函数解析式

典例4（2022•泰州）已知点（-3,和）、（-1,y2）、（1,"）在下列某一函数图象上，且"<yi<y2,那么

这个函数是（）

A.y—3xB.y=3/C.y=,D.y=一（

思路引领：根据所学知识可判断每个选项中对应的函数的增减性，进而判断”，J1,”之间的关系，再

判断即可.

解：A.y=3无，因为3>0,所以y随x的增大而增大，所以不符合题意；

B.y=37,当x=l和x=-l时，y相等，即*=",故不符合题意；

C.y=当x<0时，y随x的增大而减小，%>0时，y随x的增大而减小，所以"VyiV",不符合题

忌；

D.y=-*当x<0时，y随尤的增大而增大，x>0时，y随x的增大而增大，所以*符合题

忌；

故选：D.

总结提升：本题主要考查一次函数的性质，反比例函数的性质及二次函数的性质，掌握相关函数的性质

是解题关键，也可直接代入各个选项中的函数解析中，再判断y的大小.

考点二反比例函数图像上点的坐标的特征

类型1求比例系数k的值

典例5（2022•南通）平面直角坐标系xOy中，已知点ACm,6m）,B（3小，2n）,CQ-3m,-2w）是函数

y=*（#0）图象上的三点.若S”BC=2,则上的值为.

思路引领：连接。4,作无轴于。，BE,无轴于E,由2、C点的坐标可知2、C关于原点对称，则

BO=CO,即可求得SAAOB—1,根据反比例函数系数k的几何意义得出SAAOB—S梯形ADEB+SAAOD-SABOE

112

=S梯形AOE8,即可得出］［6〃+2刈・|3加-刑=1,求得机2=£由于女=6—,即可求得％=不

解：如图，连接OA,作轴于。，BELL%轴于E,

•点A（m6m）,B（3m,2"），C（-3m,-2"）是函数y=］（际0）图象上的三点.

••攵=6m2=6m〃,

••n"z，

•\B(3m,2m),C(-3m,-2m),

B、C关于原点对称,

•SAABC=2,

S^AOB=1,

e•*S/^AOB=S梯形AOE3+SzkAO£)-S^BOE=S梯形4OE8,

.1

|6m+2me|3m-m\=l,

/.m2=，

・・

・k7=6,xo1，

o

•♦女一4,

3

故答案为G

总结提升：本题考查了反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义,三角形的面积，求得AAOB

的面积为1是解题的关键.

典例6(2022•堇洲区校级一模)如图，点A、2在反比例函数尸方(x>0)的图象上，延长交x轴于C

点，若△AOC的面积是24,且点8是AC的中点，则上的值为()

K

cX

4020

A.—B.16C.8D.—

33

思路引领：先根据8是AC的中点，表示出ABOC的面积，再利用人的几何意义表示出△AOH和ABOG

的面积，即可得出AAHC和A8GC的面积，易证△AHCS/\8GC,根据面积的比等于相似比的平方，列

方程即可求出左的值.

解：连接。8,过点A作轴于点过点8作无轴于点G,如图所示：

•.,B是AC的中点，

•_1_1_

•・S〉BOC~2sMOC=]x24=12，

根据k的几何意义，

SxAOH=S2BOG=*匕

1

ASLAHC=SLAOC-S"o”=24-y，

1

SLBGC=S^BOC-5ABOG=12—2

ZAHC=ZBGC=90°,

NACH=/BCG,

：.AAHC^ABGC,

・・・8是AC的中点，

J相似比为1：2,

工面积的比为1：4,

即SABGCS^AHC=1：4,

i1

（12—讶々）：（24一,上）=1：4,

解得％=16.

故选：B.

总结提升：本题考查了反比例函数的几何意义，运用三角形中线的性质以及相似三角形的性质是解决本

题的关键.

类型2判断变化趋势

典例7（2022•丹东一模）如图，在平面直角坐标系中，点A是双曲线y=|（尤＞0）上的一个动点，过点A

作无轴的垂线，交x轴于点8,点A运动过程中AAOB的面积将会（）

X

A.逐渐增大B,逐渐减小

C.先增大后减小D.不变

思路引领：比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以

1

及坐标原点所构成的三角形的面积是习用，且保持不变，所以点A运动过程中AAOB的面积将会不变，都

1

据此解答即可.

解：根据反比例函数系数上的几何意义，可得

点A运动过程中AAOB的面积将会不变，

1

△408的面积为：-X3=1.5.

2

故选：D.

总结提升：此题主要考查了反比例函数系数％的几何意义的应用，解答此题的关键是要明确：在反比例

函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是衣用，且保

持不变.

类型3求几何图形的面积

典例8（2022•如皋市模拟）如图，点A为函数（尤＞0）图象上一点，连接。A,交函数（尤＞0）

的图象于点3,点C是尤轴上一点，且AO=AC,则AABC的面积为

思路引领：根据题意可以分别设点A、点B的坐标，根据点。、42在同一条直线上可以得到4、2的

坐标之间的关系，由AO=AC可知点C的横坐标是点A横坐标的两倍，从而可以得到AABC的面积

解：

41

设点A的坐标为（a,-）,点2的坐标为（6,-）

ab

•・•点。是x轴上一点，且AO=AC

・,•点。的坐标为（2m0）

…」，，，，4

设过点0、点A的解析式为y=辰，则一=ka

a

4

直线04的解析式为：y=Ax

又・・,点3在直线0A上，

14

TA

a2

：.—=4

bz

a

：.-=±2（负值不合题意，舍去）

b

1411

AS/^ABC=S^AOC-SXOBC=2乂2。*工一2乂2。*万=4-2=2

故答案为：2

总结提升：此题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征.通过一次函数，三角形面积的计算，突出考

查的目的.

类型4求点的坐标或字母的值

典例9（2022春•宝应县期末）如图，点A和点E（2,1）是反比例函数＞=（（尤＞0）图象上的两点，点B

在反比例函数（尤＜0）的图象上，分别过点A、3作y较的垂线，垂足分别为点C、D,AC=BD,

连接AB交y轴于点F.

（1）求公

（2）设点A的横坐标为。，点产的纵坐标为机，求证：am=-2.

（3）连接CE、DE,当/。即=90。时，求A的坐标.

思路引领：(1)将点E的坐标代入反比例函数y=1(尤>0),即可得出答案；

(2)首先表示出A,8的坐标，再利用ASA证明AACT四得CF=DF,从而得出P的纵坐标；

8,___________2

(3)根据NCED=90。，得CD=2EF,则一=2722+(1-以尸,由(2)知，一=一相，代入解关于根的

aa

方程即可.

(1)解：•・•点E(2,1)是反比例函数y=?(x>0)图象上的点，

・•・左=1x2=2；

(2)证明：•・,点A的横坐标为m

2

・••点A的纵坐标为一，

a

9：AC=BD,

9：AC//BD,

：.ZCAF=/DBF,ZACF=NBDF,

•；AC=BD,

/.AACF^ABDF(ASA),

JCF=DF,

・,・2

m=—a,

/.am=~2；

(3)解：VZCED=90°,CF=DF,

:・CD=2EF,

8「------------------------

=2〃2+(1-zn)2,

2

由(2)知，—=—m,

a

-4m=242+(1—771)2,

解得m=l或一I，

当m—\时，a=-2(舍去),

当力=一■!时,a=

65

/.A（一，-

53

总结提升：本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判

定与性质，直角三角形的性质等知识，运用方程思想是解题的关键.

典例10（2022春•新吴区期末）如图，点A、。分别在函数＞=一$的图象上，点2、C在x轴上，若

四边形A2C。为正方形，点A在第二象限，则A的坐标为

思路引领：设点B（b,0）,点C（a,0）利用反比例函数图象上点的坐标特征表示A3、BC、CD,再根

据正方形的性质求出b的值即可.

解：设点3（6,0）,点C（。，0）,

•.•点A在反比例函数y=—］的图象上，

11

*,*点A（A,—万），即OB=-b,AB=—£

•..点C在反比例函数y=1的图象上，

33

・••点0（。，即OC=〃，CD=-,

aa

又A3CO是正方形，

：.AB^BC=CD,

1,3

即nn一工=a-b=一,

ba

Q1

解得a=2，b=-

.•.点A（-1,2）,

故答案为：（—/,2）.

总结提升：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，理解反比例函数图象上点的坐

标特征以及正方形的性质是正确解答的前提，设出点3,点C坐标，分别表示出正方形的边长是解决问

题的关键..

考点3反比例系数的几何意义

类型1求反比例系数

典例11（2021•宝应县一模）如图，团ABC。的顶点A、8在x轴上，顶点。在y轴上，顶点C在第一象限，

反比例函数尸2（尤＞0）的分支过点C,若团ABCD的面积为3,则仁.

思路引领：过C作CE_LA3,通过说明ADOA丝/XCEB,可得矩形。。CE的面积等于平行四边形ABC。

的面积，设出点C的坐标，用坐标表示出线段CE,OE,结论可求.

解：如图，过点C作CE_L4B于E,连接。C,

,/团的面积为3,

：.AB-CE^3.

'：四边形ABCD是平行四边形,

.AD=BC,AD//BC.

：.ZDAO=ZCBA.

VDOXAO,CELAB,

：.ZDOA=ZCEB=90°.

：.ADOA^ACEB(AAS).

S&ODA=S〉CEB.

••S矩形OOEC=S平行四边形ABC£)=3・

；・OE・CE=3.

设C(mb),

・・・c在第一象限，

/.4z>0,b>0,

/.OE=a,CE=b.

OE*CE=ab=3.

••左=cib—~3.

故答案为：3.

总结提升：本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数的图象上的点的坐标的特征，

平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质.用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键.

典例12如图，在平面直角坐标系中，过原点的一条直线分别与反比例函数y=(x<0)和反比例函数

>=三(x>0)的图象交于A、B两点，且08=204则k的值为.

思路引领：过点A作ACLx轴于点C,过点B作轴于点。，则可证出△AOCs/^e。。，根据相似

三角形的性质结合反比例函数系数上的几何意义即可求出左值，再根据反比例函数y=((尤>0)的图象

在第四象限，可确定左值，此题得解.

解：过点A作ACLx轴于点C,过点B作2。，无轴于点如图所示.

VAClxtt，8D_Lx轴,

，ZACO=ZBDO=90°.

XVZAOC=ZBOD,

：.△AOCs^BOD,

.S〉BOD(B02日门网

..---------=(-)z=4A,即—=4A,

S^AOC401

***Z=±4.

•..反比例函数y=((尤＞0)的图象在第四象限,

:・k=-4.

总结提升：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的判定与性质以及反比例函数系

数k的几何意义，根据相似三角形的性质结合反比例函数系数k的几何意义求出k值是解题的关键.

类型2求几何图形的面积

典例13（2022春•雨花区校级月考）如图，正比例函数y=Ax与函数y=1的图象交于A,2两点，BC//x

轴，AC〃y轴，贝|SAABC=.

思路引领：先设A点坐标，根据反比例函数正比例函数的中心对称性再确定B点坐标，于是可得到C点

坐标，然后根据三角形面积公式进行计算.

44

解：设A点坐标为（相，—）,则3点坐标为1-m,

m血

；点坐标为（m,

.cm

o

：.AC=mBC=2m,

ii8

/.AABC的面积=^AC・BC=5*2m*—=8.

乙乙m

故答案为：8.

总结提升：本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，根据函数的性质得出A、8、C的坐标是解题的

关键.

考点4反比例函数综合题

类型1反比例函数与一次函数的综合

典例14（2021•武汉模拟）将双曲线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲

线与直线y=kx-2-k（Z>0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a,另一个点的纵坐标为b,则

-1）（8+2）的值为（）

A.-4B.-3C.4D.9

思路引领：由于一次函数》=履-2-左过定点尸（1,-2）,P（1,-2）恰好是原点（0,0）向右平移1

个单位长度，再向下平移平移2个单位长度得到的，双曲线y=|向右平移1个单位长度，再向下平移2

个单位长度，得到的新双曲线与直线>=区-2-左（左>0）相交于两点，在平移之前是关于原点对称的，

表示出这两点坐标，根据中心对称两点坐标之间的关系求出答案.

解：•.•一次函数y=fcv-2-左1>0）,

当x=1时，y=-2,

...一次函数的图象过定点P（1,-2）,

•••P（1）-2）恰好是原点（0,0）向右平移1个单位长度，再向下平移平移2个单位长度得到的，

...将双曲线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y=fcc-2-

k（左>0）相交于两点,

33

•••在平移前是关于原点对称的，平移前，这两个点的坐标分别为（…,—（―-,6+2）,

(a-1)32)=-3,

故选：B.

总结提升：本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，理解平移之前，相应的两点关于原点

对称是解决问题的关键.

典例15(2022春•海安市期中)平面直角坐标系xOy中，直线y=2尤与双曲线y=((k>2)相交于A,B两

点，其中点A在第一象限.设1)为双曲线y=[(k>2)上一点，直线AM,分别交y轴于C,

D两点，则0C-0D的值为.

思路引领：设A(a,2a),则2(-a,-2a),分别待定系数法求出AM和的解析式，进一步求出C

和。点坐标，即可求OC-OD的值.

解：根据题意，设A(a,2a),则5(-o,-2a),

VM(m,1),

设AM的解析式为y=nx+b(»0),

代入4M点坐标,得｛黑置受

2。一1

n=

解得《a—m

a—2amf

b=

Ka-m

2a—1,a—2am

•9•AM的解析式为y=-------xd-----------

a—ma—m

a-2am

：.C(0,----------),

a-m

a—2am

：.OC=

a—m

设的解析式为y=5+d(存0),

代入B,M点坐标，得｛蓝一2a

l+2a

解得《m+a

a—2am9

d=

m+a

•••2M的解析式为产鼎+嚎祟

a-2am

：.D(0,----------),

m+a

•八八a—2.cun

・・(JD=-----；--

m+a

•：A,M都在反比例函数图象上,

a92a=m*l,

••m~~2〃2,

•c—八八a—2am,a—2am2a2—4a2m八

・・OC-OD=-------1----：=o---o-=2,

a—mzn+aaz—mz

故答案为：2.

总结提升：本题考查了反比例函数图象上的点坐标特征，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键.

类型2反比例与三角形综合

典例16（2022•宿迁）如图，点A在反比例函数y=|（x>0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形

OAB,其中/O4B=90。，AO^AB,则线段OB长的最小值是（）

思路引领：根据三角形0A8是等腰直角三角形，当最小时，OA最小，再根据两点间的距离公式解

答即可.

解：•.•三角形OAB是等腰直角三角形，

.,.当08最小时，最小，

一2

设A点坐标为（〃，-）,

7

・••(J/>0,

c4

即：a2-|———4K),

-4

/•M-|--y24,

a£

「(a-72。，

9

两边同时开平方得：a--=0,

/.当a=(时，0A有最小值，

解得。1=应，a2=-y[2（舍去）,

点坐标为（V2,V2）,

：.OA=2,

,/三角形OAB是等腰直角三角形，0B为斜边,

OB=V2OA=2V2.

总结提升：本题主要考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.

类型3反比例与四边形综合

17.（2021•鼓楼区校级模拟）如图，矩形042c的两边落在坐标轴上，反比例函数y=的图象在第一象限

的分支交于点尸，交BC于点E,直线PE交y轴于点D交x轴于点R连接AC.则下列结论：

①四边形ADEC为平行四边形；②S四边形ACFP=2A；③若SACEF=1,SAPBE=4,则k=6；④若3Ap=BP,

则4DA=DO.

kk

思路引领：设点5的坐标为（。，a）,得到尸（一，a）,E（b,利用待定系数法求出直线PE的解析

ab

rjk_kk

式为尸一箕+"a,再求出/（,+6,0）,P（-,a）,从而证出AP=CF,所以四边形。48c是矩形，

证得四边形AC尸尸是平行四边形，所以S四边形4（7b=。尸・。4=，・。=总故②错误；由AC〃。品OA////

BC,可证得四边形ADEC是平行四边形，故①正确；先由S^CE尸=1,判断出二=2,再由SMBE=4,

ab

Ikk_

得出一（匕一3）•（。-弋）=4,可求出k=6,判断出③正确；由3AP=BP,判断出ab=4k,再求出点。

2a0

坐标，即可判断出④错误；即可得出结论.

解：设点B的坐标为（6,a）,

•..四边形ABC。为矩形，

.*.A（0,a）,C（6,0）,

•..点P,E在反比例函数图形上，

kk

/.P（一,a）,EQb,—）,

ab

/.直线PE的解析式为k-拉+号+a,

令y=0,代入得，尤=：+%,

k

.'.F（一+b,0）,

a

/.CF=—+b-b=

CLCL

k

VP（一,〃），

a

..„k

..AP=—,

a

：.AP=CFf

•・•四边形043。是矩形，

：.OA//BC,AB//OC,

・・・四边形ACFP是平行四边形，

・・・5四边形4。尸产=。？。4=，〃=也故②错误;

•/四边形ACFP是平行四边形，

：.AC//DF,

*：OA////BCf

・・・四边形ADEC是平行四边形，故①正确;

*.*S^CEF=1,

1cfk

-X-X--1

2ab

2

---

ad2,

S^PBE=4,

1kk

，一(。-),(tZ--r)=4,

2ab

・・・小左-4+*=8,

ab

卜2

・•・——―2%-6=0,

2

k=-2(舍)或％=6,故③正确,

若3A尸=3尸,

AP1

则而=一,

3

AP1

AB~4’

,:B(Z?,a),

・・AB=b,

k

VP(一,a),

a

：.AP=

a

k

._-a____I

••—―,

b4

••ctb^~A-kf

+上+4

・・,直线PE的解析式为y=b_

k

(0,—+a),

b

9：A(0,〃)，

kk

•・AZ）二5+a—4=B，

k

.•.仪=尊-=7*=丁，=g故④错误；

DO-k+abk+4k5

b+a

・•・正确的有①③.

故答案为：①③.

总结提升：本题是反比例函数的综合题，主要考查了矩形的性质，三角形和平行四边形的面积，平行四边

形的判定和性质，待定系数法，判断出四边形APRS是平行四边形是解本题的关键

第二部分专题理优别综

一.选择题（共7小题）

1.（2020春•江岸区校级月考）如图P为双曲线y=］上到原点的线段的长度最短的一个点，若/APB=45。,

交尤、y轴于A、B点,则AAOB的面积为（）

A.2kB.42k

C.kD.与女无关的一个确定值

思路引领：由尸为双曲线y=］上到原点的线段的长度最短的一个点，可得点尸在第一象限的角平分线上,

于是OP=6k.通过说明△尸8。，得出比例式，三角形面积可求.

解：连接OP,贝1」。尸=鱼上.如图，

NAPB=45。,

ZAPO+ZBPO=45°.

・・・o尸为第一象限的角平分线,

：.ZPOy=45°.

：.ZPBO+ZOPB=45°.

：.ZAPO=ZPBO.

9：ZAOP=ZPOB=90°+45°=135°,

.OAOP

"OP~OB'

OP2=OA^OB.

111

/.SA4HOUB"=2nOAXOB=2弓OP2=52X2k=k.

故选：C.

总结提升：本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，三角形相

似的判定与性质，依据点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键.

2.（2016•本溪）如图，点A、C为反比例函数y=］（xV0）图象上的点，过点A、C分别作轴，CD±

x轴，垂足分别为8、D,连接。4、AC、OC,线段OC交AB于点E,点E恰好为0c的中点，当AAEC

A.4B.6C.-4D.-6

k1/c12/c

思路引领：设点。的坐标为（相，一），则点E（-m,----）,A（二m,一）,根据三角形的面积公式可得

m22m2m

出S^AEC=一*=I，由此即可求出左值.

k17cl2k

解：设点。的坐标为（m,—）,则点七（一m,）,A（一m,一）,

m22m2m

i112kk33

*.*S^AEC=^BD*AE=□（-m-m）•（——----）=一水=亍,

222m2m82

:・k=-4.

故选：C.

总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点。的坐标，利用点。的横

坐标表示出A、5点的坐标.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用反比例函数图象上

点的坐标特征表示出点的坐标是关键.

3.（2021秋•渭滨区期末）如图，反比例函数y=（的图象经过A（-1,-2）,则以下说法错误的是（）

A.k=2B.x>Q,y随x的增大而减小

C.图象也经过点8（2,1）D.当尤<-1时，-2

思路引领：把A（-1,-2）代入反比例函数的解析式能求出k,把A的坐标代入一次函数的解析式得

出关于左的方程，求出方程的解即可.

解：把A（-1,-2）代入反比例函数的解析式得：k=xy=2,故A正确；

,.”=2>0,

...y随工的增大而减小，

：.x>0,y随x的增大而减小，故3正确；

•反比例函数的解析式为y=p

把尤=2代入求得y=l,

图象也经过点8（2,1）,故C正确；

由图象可知x<-l时，贝故。错误；

故选：D.

总结提升：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，主要考查反比例函数的性质，题目较好，难度

适中.

4.（2021春•南开区校级月考）若点A（xi,-3）,B（尤2,1）,C（冷，3）在反比例函数y=―1的图象上,

则％1,XI,%3的大小关系是（）

A.X1<X2<X3B.X3<X1<X2C.X1<X3<X2D.3Vxi

思路引领：根据反比例函数的性质可以判断出11，X2,%3的大小关系，本题得以解决.

解：\9k=-9,

...反比例函数丫=-*的图象在二四象限，且在每个象限y随x是增大而增大，

•.•在第二象限内的点对应的纵坐标都大于零，在第四象限内点对应的纵坐标都小于零，

•.•点A（xi,-3）,B（X2,1）,C（X3,3）在反比例函数y=的图象上，

/•X2<X3<X1,

故选：D.

总结提升：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的

性质解答.

5.（2017秋•槐荫区期末）某一次函数的图象经过点（1,2）,且y随x的增大而减小，则这个函数的表达

式可能是（）

A.y=2x+4B.y=-2x+4C.y=3x+lD.-y=3x-1

思路引领：设一次函数关系式为y随尤增大而减小，则左<0；图象经过点（1,2）,可得公b

之间的关系式.综合二者取值即可.

解：设一次函数关系式为

•..图象经过点（1,2）,

:.k+b=2；

随尤增大而减小，

：.k<0.

即左取负数，满足k+b=2的鼠6的取值都可以.

故选：B.

总结提升：本题考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数的性质，为开放性试题，答案不唯一.只

要满足条件即可.

6.（2021•北倍区校级模拟）如图，一次函数y=:加+〃（相加）的图象与反比例函数y=-竽的图象相交于

AD1

A、5两点，延长50父反比例函数图象的另一支于点C,连接AC交工轴于点。，若大=贝lUABC

AC4

28V332V3

A.8V3C.10V3

思路引领：根据2、C的对称性，只要求得AAOB的面积，即可求得AABC的面积.

解：如图：作AE_Lx轴于E,CFJ_x轴于RAG_Lx轴于G,

.'.AE//CF,

：.AAEDsACFD,

.AEAD

••=,

CFCD

AD1

t•t——，

AC4

eAEAD1

••CF-CD-3’

设AE=m贝IJC尸=3”，

4^/34^3

/.A（-----,a）,C（---，-3〃）,

a3a

根据对称性可得点8（-冬g，3a）.

VSAAOB=SABOG+S梯形ABGE-S^AOE=S梯形ABGE,

・C_1/q、,4乐4氏_16V3

••S^AOB=（4+3”）\-5----1------）=—5-9

z3QCLD

.—”_32/3

•c•S/^ABC23AAO5一，

故选：D.

总结提升：本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例

函数的性质，三角形相似的判定和性质，表示出点的坐标是解题的关键.

7.(2022•临沐县二模)如图，在平面直角坐标系中，将直线y=-3x向上平移3个单位，与y轴、x轴分别

交于点A、B,以线段A8为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC.若反比例函数y=](x>0)的

图象经过点C,则k的值为()

A.2B.3C.4D.6

思路引领：过点C作无轴于点E,作CFLy轴于点R根据等腰直角三角形的性质可证出AACP也

△BCE(A4S),从而得出S矩形。EC/=S四边形OBCA=S^AOB+S^ABC,根据直线AB的表达式利用一次函数图

象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，结合勾股定理可得出AB的长度，再根据二角形的面积结合反

比例函数系数％的几何意义，即可求出左值，此题得解.

解：过点C作CE_Lx轴于点E,作CfUy轴于点R如图所示.

•.,将直线＞=-3x向上平移3个单位可得出直线4B,

直线AB的表达式为y=-3x+3,

...点A(0,3),点B(1,0),

：.AB=y/OA2+OB2=V10,

AABC为等腰直角三角形，

：.AC^BC=V5,

11

••・5矩形。£：。尸=52^1。3+5448。=1x1x3+讶xV5xV5=4.

・.・CE_Lr轴，CELy轴，

：.ZECF=90°.

・・・AABC为等腰直角三角形，

；・NACF+NFCB=/FCB+NBCE=90。,AC=BC,

：.ZACF=ZBCE.

在△ACF和ABCE中，

/-AFC=乙BEC=90°

乙4CF=乙BCE,

AC=BC

：.AACF^ABCE(A4S),

SxACF=S〉BCE,

••S矩形OECF=S四边形OBC4=SzkAOB+S2VlBC.

•..反比例函数y=[（x>0）的图象经过点C,

=

••kS矩形OECF=4,

故选：C.

总结提升：本题考查了反比例函数系数上的几何意义、全等三角形的判定与性质、一次函数图象上点的

坐标特征、一次函数图象与几何变换、等腰直角三角形以及三角形的面积，根据等腰直角三角形的性质

结合角的计算，证出AACP丝△BCE（AAS）是解题的关键.

二.填空题（共8小题）

8.（2020•江夏区模拟）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点为（1,3）,则另一

个交点坐标是.

思路引领：反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.

解：•••反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，

...另一个交点的坐标与点（1,3）关于原点对称，

该点的坐标为（-1,-3）.

故答案为：（-1,-3）.

总结提升：本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个

点的坐标的横、纵坐标都互为相反数.

9.（2021秋•三明期末）如图，点A,8为反比例函数y=[（x>0）图象上的两点，过点A作x轴的垂线，

7

垂足为C,AC与交于点。，OD=』OB.若△OC。的面积为2,则左的值为.

33

思路引领：先设点。坐标为（a,6）,得出点8的坐标为（-a,-b）,再根据△OC。的面积为2,列出关

系式求得女的值.

解：作班LLx轴于E,

VAC±x轴于C,

：.AC//BE,

.BEOEOB

••CD-OC-OD9

设点。坐标为（。，b）,

2

:0D=勺OB,

33

：.BE=^CD,0E=|OC,

33

・••点3的坐标为C-a,一b）,

22

・79，

••Z=~rCluy

4

•「△OCO的面积为2,

.1

••~~ab=2,

2

/.ab=4,

.9

・・k=~rClb—9.

4

总结提升：本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及运用待定系数法求反比例函数解析式，

根据AC。。的面积为2列出关系式是解题的关键.

10.（2020秋•乳山市期末）反比例函数尸，和y=!在第一象限的图象如图所示.点A,B分别在尸|和尸］

的图象上，AB〃y轴，点C是y轴上的一个动点，则AABC的面积为.

思路引领：连接。4、OB,延长A8,交无轴于。，如图，利用三角形面积公式得到SAOAB=SAABC,再根

一21

据反比例函数的比例系数k的几何意义得到SAOAD=2>SAOBD-即可求得S^OAB—SAOAD-SAOBD—1.

解：连接04、OB,延长AB,交x轴于。，

轴，

；.AO_Lx轴，OC〃AB,

•*.SLOAB=S^ABC,

1311

[frjSAOAD=ax3—SAOBD=)xl=

••