福建省福州某中学2024-2025学年高三年级下册第十八次模拟检测数学试题

福建省福州第三中学2024-2025学年高三下学期第十八次模拟

检测数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合5},B=[2,3,4},的8={2},则AUB=1)

A.{2,3,4,5}B.{3}C.{2,3,4}D.{1,3}

2.“a=l”是“直线x+oy-l=0与依-y+5=O垂直”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充

分也不必要条件

3.函数〃力=/一C+c'-Cjx+l的对称轴为()

A.x=lB.x=—lC.x=2D.x=—2

4.已知一组样本数据4，尤2，%,x4,%恰好构成公差为5的等差数列，则这组数据的方

差为（）

A.30B.40C.50D.60

「A的最大值是（

5.已知函数"x）=)

l+2cosx

A.1R陋D.史

JD.------c.-

2332

6.如图，瓦月分别是正八面体（8个面均为正三角形）棱8c,8的中点，则异面直线QE与

Q

A.-B.6C.-D.如

3333

7.已知圆Q:(x+3)2+/=1,圆Q：+/=1,过动点P分别作圆。-圆。2的切线PA,

PB（A,8为切点），使得|R4|=0|尸同，则动点尸的轨迹方程为（）

222

222

A.—+^-=1B.x=4yC.q_y2=iD.（x-5）+y=33

8.已知a,pG（0,7i）,a手）3,若〃一/3=cosa-2cos夕，则下列结论一定成立的是（）

A.sinavsin/B.sina>sin尸C.coscr<cos/?D.coscr>cos/7

二、多选题

9.下列命题中正确的是（）

A.已知随机变量X服从正态分布NR"）,若尸（X＜0）=0.2,贝。尸（X＜4）=0.8

B.将总体划分为两层，通过分层抽样，得到样本数为很，〃的两层样本，其样本平均数

和样本方差分别为I，京和S；,S；,若兀=看，则总体方差$2=

m+n

C.若A、8两组成对数据的样本相关系数分别为〃=0.92,^=-0.96,则A组数据比8

组数据的相关性强

D.已知尸（A）＞0,P（B）＞0,若尸（A⑻uP（A）,则尸（砸卜尸⑻

10.如图，在圆柱QU中，轴截面ABC。是边长为2的正方形，“是以A。?为直径2的圆

上一动点（异于点人，。2），AM与圆柱的底面圆交于点N,则（）

B.平面加。。2,平面AN。

C.直线N3与直线A。1有可能垂直

D.三棱锥用-4。。?的外接球体积为定值

11.设函数/（X）=尤3_3依+〃，若/（占）=/（9）=/（%）=，，且再＜%＜彳3，则（）

试卷第2页，共4页

A.实数。的取值范围为□,+<»)

B.Vxe(0,+oo),/(x)>-1

C.2\[a<—Aj<2-j3a

D.当2%=%+尤3时，?>31nfl+l

三、填空题

12.复数z满足z+6i=1(i为虚数单位)，则z的虚部为.

13.在数列｛4｝中，4=0，出=2,若%1—1，出“，。2“+1成等差数列，%,，出“+”%,+2成等比数列，

则“8=-

22

14.设椭圆石:1+斗=1(。>〃〉0)的左右焦点为片，工，右顶点为A,已知点尸在椭圆E

ab

上，若/月产工=90。，/抬月=45。则椭圆的离心率为.

四、解答题

cb3

15.记VABC的内角A、B、C的对边分别为b,c,已知q=7H—=--Hl.

bcbe

⑴求A；

3

(2)若sin3+sinC=5，求VABC的面积.

16.如图1,五边形ABCEF中,AC//EF,AC±CE,AB±BC,AC=2BC=2CE=4.将三

角形ABC沿AC翻折，使得平面平面ACEF,如图2.

R

图1图2

⑴求证：平面5C石；

(2)记直线AF与平面BEF所成角为6.^sin6>=—,求砂的长.

7

17.甲、乙两人进行AI知识问答抢答赛，比赛共有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计

分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得-1分，未抢到题得0

分，最后累计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙两人每题答题

正确的概率分别为:和:.求：

（1）在3题均被乙抢到的条件下，设乙答题得分为X,求X的分布列和期望值；

（2）甲在比赛中获胜的概率.

2

18.已知双曲线r：尤2-2_=1的右焦点为尸，过点下的直线/交双曲线r右支于A、8两点

3

（点A在x轴上方），点C在双曲线「上，直线AC交x轴于点。（点。在点尸的右侧）.

（I）求双曲线r的渐近线方程；

（2）若点入（2,3）,且tan/BAC=g,求点C的坐标；

（3）若VABC的重心G在x轴上，记AAFG、ACQG的面积分别为凡、S,,求要的最小值.

d2

19.对于任意两个正数a,b（a<㈤，记区间[。回上曲线y=/（x）下的曲边梯形面积为S（a,b）,

并规定S（a,a）=O,S[a,b）=-S（b,a）,记5（4户）=小）-%）,其中/（"=产。）.

,、1b-aa+b

⑵若/（x）=I时，求证：7^b）<~；

⑶若/（x）=lnx+l,直线y=c与曲线s（l,x）交于N（%,%）两点，求证:

0<<-4（其中e为自然常数）.

e

试卷第4页，共4页

《福建省福州第三中学2024-2025学年高三下学期第十八次模拟检测数学试题》参考答案

题号12345678910

答案AAACBCDAABDABD

题号11

答案BCD

1.A

【分析】由题意先求出。=2,由此能求出AUB的值.

【详解】：集合A={。，5},2={2,3,4},AAB={2},

.".a=2,

：.AUB={2,3,4,5).

故选：A.

【点睛】本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，是基础题.

2.A

【分析】分析可得两直线垂直恒成立，结合充分条件与必要条件的定义可确定选项.

【详解】•••对于任意aeR,Haa?(1)=0恒成立，

二直线x+ay_]=0与o^_y+5=0垂直恒成立，

...“4=1”是“直线工+°丫-1=0与。龙-〉+5=。垂直”的充分不必要条件.

故选：A.

3.A

【分析】逆用二次展开式对函数进行整理，利用函数性质求解即可.

【详解】由题意：

234

=C%4.(—I)。+c%3.㈠)+c%2.(-1)+C：x.(-1)+Cy-(-l)=(尤—if,

可由偶函数y=/的图像向右平移1个单位得到，所以函数/(x)的对称轴为尤=1,

故选：A.

4.C

【分析】根据等差数列的性质及平均值求法得均值为W，再应用方差公式求方差即可.

■E-t口=、1—％+x,+及+%+Z乂-•1°+%—5+%++5++10

［详解］由题设X=」一2一I一-=-------------'----------'----='3，

(玉一()2+(%2—%3y+(*3—*31+(%4—工3+(毛一工3)2

所以O(X)=

5

答案第1页，共14页

100+25+0+25+100

-5

故选：C

5.B

【分析】利用降暴公式化简函数/（x）,再结合辅助角公式及正弦函数的有界性列出不等式

求出最大值.

【详解】函数〃幻=:山2：的定义域为R,

2+cos2x

令y=zfMx，整理得2y=sin2x一ycos2%=mT^"sin（2x+°）,

则IZyrMAsinQx+o）区而BP/<1,当且仅当1$皿2%+0）|=1时取等号,

则一所以所求最大值为也.

333

故选：B

6.C

【分析】根据正八面体的结构特征有方=丽+；比、QE=QC+^CB,若正八面体的棱

长为2,应用空间向量数量积的运算律及夹角公式求异面直线的夹角余弦值.

【详解】由正八面体结构特征知方=而+丽=丽+3成，QE=QC+CE=QC+^CB，

若正八面体的棱长为2,且各侧面都是正三角形，ASCD为正方形，

所以而应=（而+g成）•（〃+（丽）=苑衣+：苑.函+；皮衣+；觉.国

^-QBQC-^BQBC+^OJCQ-^CDCB

=—2x2x———x2x2x—+—x2x2x——0=—2,

22222

\PF\=^（BQ+^DC）2=^BQ-BQCD+^DC=,4-2+l=B

同理得I加b-诙.函+!面2=V3,

22

所以Icos（而，班）|=|PFQEl=j,异面直线QE与尸尸所成角的余弦值为:.

\PF\\QE\

故选：C

7.D

【分析】根据题目中的等式，利用切线的性质以及两点距离公式，可得答案.

【详解】

答案第2页，共14页

由|科=夜|尸固，^\PAf=2\PBf.易知PA，AO"8，BO2，

因为两圆的半径均为1,则|尸。「一l=2(|Pa「T).

设P(x,y),且a(—3,0),Q(l,0),

则(x+3)2+V_1=2[(x-l)2+V-1],即(x-5)2+V=33.

所以点P的轨迹方程为(x-5)2+/=33.

故选：D.

8.A

【分析】构造函数/(x)=V-cosx并利用导函数判断函数的单调性，然后分

’71’71Ji

0</?<,,/?=5,5</?<兀三种情况讨论，然后根据三角函数的单调性即可得

【详角车】/(x)=x3-cosx,ff(x)=3x2+sinx,

若％£(0,兀)，贝lj/f(x)=3x2+sinx>0

所以=-cosx在(0,兀)上单调递增，

7T

当0</<5时，则0<cos4<1,

所以〃一夕3=cosa—2cos夕<cosa-cos/?,.\a3-cosa</33—cos，,

又"%)=短一cosx在(0,7i)上单调递增,所以。<。T，二•sina<sin尸，cosa>cosjS,

当月=1时,oc3-p3=cosa-2cos"=cosa-cos夕,a3-cosa=伏一cos/7,

又“xbV-cosx在(0,无)上单调递增，所以a=〃=T，不合题意；

TT

当]<〃<兀时，—l<cos，<0,

3

所以c?一/3_cosa_2cos；0>cosa-cos/?,/.a-cosa>段—cos’,

答案第3页，共14页

又/（x）=x3-cosx在（0,兀）上单调递增，

71

所以兀所以cosavcos/,sinavsin尸，

综上可得sinc<sin£,

故选：A

【点睛】关键点点睛：构造/（x）=x3-cosx判断单调性，然后分类讨论，利用放缩法对

=cosa-2cos夕变形，结合正余弦函数的单调性即可得.

9.ABD

【分析】根据正态分布的性质判断A的真假；根据方差的计算公式判断B的真假；根据相

关系数的意义判断C的真假；根据条件概率的计算公式判断事件A、8的关系，确定D的

真假.

【详解】对A：因为X~N（2,4），且尸（X<0）=0.2,所以P（X>4）=P（X<0）=0.2,所

以尸（X<4）=0.8,故A正确;

_]m__]n

对B：设两层的数据分别为：4/2/3,…,Z,“和必,笫，则玉=-Ez,.,X2=-^y;,

mMn,=1

设总体平均数为，则1J叼上%,因为]=京，所以7=7=^.

m+n

]m_2

因为s；=一£仁一玉)2,

m4=1ni=l

imn2,2

故正确.

所以s'Wl毕F+沙-于卜味詈B

对C：由样本相关系数的意义可知，8组数据比A组数据的相关性强，故C错误；

对D：由尸（4忸）=尸（A）=>胃胃=P（A）nP（AB）=尸（A）尸⑻,所以事件A,B独立，所

欲尸（8同=尸⑻，故D正确.

故选：ABD

10.ABD

【分析】根据线面平行的判定定理判断A,由线面垂直可得面面垂直判断B,假设

可得0/>«N与。招=O1N矛盾，判断C,确定出球心位置，由半径为定值可判断D.

答案第4页，共14页

【详解】对于A,因为M,N都是对应圆周上的点，AQ，AB是相应的圆的直径，

所以所以MO2〃NB,

因为MO2a平面A®a，NBu平面NBO1,所以/。2〃平面A®。],A项正确：

对于B,因为O]Q，AN，aQcMO2=Q，所以AN」平面加。。2，

因为ANu平面AN。，所以平面M«Q_L平面AN。，B项正确；

对于C,若NBLAOi，因为NBL⑷V,ANn^Q=AAMAQu平面AN。，

22

所以A®1平面AN0、,NB1NOi,则OiB=yjNB+OiN>O,N,

因为QU，平面ABN,GO?=2,30?=NQ=1,所以QN=OiB=亚+1=亚,

这与。出>01"矛盾，故直线N3与直线AQ不可能垂直，C项错误；

对于D,因为AAMOrAA。2a均是以A。为斜边的直角三角形，

22

所以三棱锥M-AO。z的外接球的球心为A。1的中点，由于AOX=A/2+1=&，

故三棱锥M-A002的外接球体积为定值，D项正确.

故选：ABD

11.BCD

【分析】利用导数探讨函数A》)的性质，由已知结合三次函数的图象特征逐项求解判断.

【详解】函数/0)=留-30%+<?的定义域为R,求导得尸(x)=3(/-a),

当aWO时，函数f(x)在R上单调递增，最多一个解，不符合题意；

当a>0时，由/'(无)>0,得尤<—&或x>&;由/''(x)<。，-yfa<x<y[a>

函数/(x)在(-00,-7^),(^,+00)上单调递增，在(-8)上单调递减，

函数/(x)在x=—y/a处取得极大值f=a3+2a\[a,在x=«处取得极小值

/(A/O)=a3-2a\[a,

对于A,依题意，/(&)</</(-&),实数。的取值范围为(0,+s),A错误；

3

2

对于B,由A选项知。e(0,y),x>0,y(x)>/(^«)=(^-1)-1>-PB正确；

答案第5页，共14页

对于C,依题意，不〈一后，七〉则七一%>2&,

由d—3a%]+Q3=%；—3aM+",=3〃(七—七)，%；+玉/+兀；=3a,

则(龙3-%)2-3。=3(-%)退43(三]五)2,当且仅当一再=天时取等号，解得出—%W2四，C

正确；

对于D,由C选项知(了3-%)2-3°=-3%尤3，且(西-马)2-3。=-3々占，

3

由2工2=玉+%，得(再-3了=(七-%2)2，则天2%=々占，即9=。，Z=/(X2)=a,

31

令函数g(a)=a3-31na-1,求导得g，(a)=31——=3(a-l)(a+1+—),

aa

当0<a<l时，g'(a)<0；当时，g'(a)>0,g(a)在(0,1)上递减,在(1,+功上递增,

因此g(a)2g⑴=0,则。3231no+1,即4N31na+1,D正确.

故选：BCD

12.-3

【分析】设z=a+仇化简式子求得6值即可.

【详解】设2=。+历，贝!J。+历+6i=。一历，即6i=-2历得人=-3,故z的虚部为-3.

故答案为：-3

13.32

【分析】根据等差数列和等比数列的性质进行求解即可.

【详解】因为的“T—+1成等差数列，%，电用，%+2成等比数列,

所以％,电，生成等差数列，9，%”成等比数列,%，%，％成等差数列，。4，。5，。6成等比数列，

%，。6，%成等差数列，。6，。7，。8成等比数列，

所以可得｛凡｝的前8项为0,2,4,8,12,18,24,32.

故答案为：32

14.73-1

【分析】利用已知条件求出尸点坐标，代入椭圆方程中形成齐次方程，解出离心率即可.

【详解】

答案第6页，共14页

如图：由题意不妨设网士,凶）在第一象限，作PH，x轴交x轴于点H，知+归同=2a①,

因为々尸8=90。，所以|尸叶+|尸阊2=4。2②,

所以（附|+|尸用丫-（附『+|即0=2阀尸闻=4/一4c

贝I」尸£HP&I=2/_202=力2,

由尸"=：2〃=吐

1扇

而,△ppp=丁2。・％="解得%=一，

~，C

又由NPA月=45。,所以|则=|尸引=%,又M=&,即%+M=a,

h2

代入玉+必=。解得：%=〃——，

C

2222

把石=〃--h-，％=一h代入=X+多V=1（〃>/?>0）中,

ccab

a1b2a2

整理得-lac+2a之—H=0,

即/+2e-2=0,解得e=g+l（舍）或6=百-1.

故答案为：^3-1.

71

15.（1）A=-

⑵也

2

【分析】（1）整理可得尸+。2一/=儿，结合余弦定理运算求解即可;

（2）利用正弦定理可得》+c=3,即可得6c=2,进而可得面积.

【详解】（1）因为°=6,贝|」，+夕=3+1即为£+2=±+i,

bcbebcbe

答案第7页，共14页

整理可得/+。2-4=历，

且46(0,兀)，所以A=g.

abcA/3,

_____—_____—_____—___—)be

(2)由正弦定理可得$1114一$山8一$出。一五一，则sinB=5，sinC=],

F"

bc3

可得sinB+sinC=—+—=—,即6+c=3,

222

由(1)可得〃+°2="，则(He)?-/=3Z?c,

即9-3=3儿，可得bc=2,

所以VABC的面积S.“=L6csinA=』x2x@=YL

we2222

16.(1)证明见解析

⑵2

【分析】(1)根据面面垂直的性质可得CEL平面ABC,结合线面垂直的性质与判定定理即

可证明；

(2)如图，建立空间直角坐标系，设EF=a,利用空间向量法求出平面3EF的法向量，求

出线面角，建立关于。的方程，解之即可求解.

【详解1(1)因为平面ABC±平面ACEF,CEu平面ACEF,平面ABCfl平面ACEF=AC,

AC1CE,

所以CEJ■平面ABC,又ASu平面ABC,

所以CE，AB,又3C_LAB,CEcBC=C,CE,BCu平面BCE

所以AB_L平面3。石.

(2)如图，过点3作H9_LAC于点0,则45x5C=R9xAC,

zk

B

2222

在VABC中，AB=VAC-BC=2V3>所以B。-AC-6,WOC=A/BC-BO=1.

过点c作Z轴1平面ACEF,建立如图空间直角坐标系C-xyz

设防=“，贝!|A(0,4,0),B(o,l,出).E(2,o,o),F(2,a,0),

答案第8页，共14页

所以赤=(2,a-4,0),丽=(2,°-1,一代)，前=(O,a,O),

设平面BEF的一个法向量为5=(x,y,z),

n-BF=2尤+(a—l)y—石z=0

n-EF=ay=0

令x=6则y=0,z=2,所以7=(班,0,2),

解得。=4,即EF=4.

17.(1)分布列见解析，-1

539

(2)---

864

【分析】(1)由题意知X的所有可能取值为-3,-1,1,3,分别求出对应概率，写出分布列,

进而求期望；

(2)设甲获胜为事件A,甲在比赛中共抢至卜D=0,1,2,3)道题为事件由

尸⑷=尸⑷尸(Al4)+尸(4)尸(Al4)+P(A)P(WA)+尸(4)尸(圆4)计算求解即可.

【详解】(1)依题意，X的所有可能取值为-3,-1,1,3,

则p(x7)=qi；*，「(X若小

71

p(x=l)=c；=§，P(x=3)=G

27

故分布列为

X-3-113

8421

p

279927

“(X)—>+

(2)设甲获胜为事件A,甲在比赛中共抢至收［=0』,2,3)道题为事件A,,

|=|，尸(A)=c；

贝UP(A)=C；IIP(A)=C；III=T尸(4)=c；1hr

答案第9页，共14页

P(A|A)=lx^|x|+2x|x1^l-^x|x|=|)「(A|&)=0+C；?gx(|)*

539

所以尸(A)=p(A)尸(4]A)+P(4)P(A|4)+P(A)P(A|4)+尸(4)尸(A|A^=—.

3o04

18.(1)y-±y/3x

⑵点。的坐标为（26,T5）

（3）4k的最小值为近+1

、22

【分析】（1）根据双曲线方程即可得其渐近线方程;

（2）由点4（2,3）可得3（2,-3）,从而可利用三角形外角关系从而可得直线AC的斜率，将

直线AC方程代入双曲线方程求解即可得点C的坐标;

（3）设直线钻:％=少+2,4（4%）,3（々,%）,。（电,力），代入双曲线方程得交点坐标关系,

由重心可得%+%+%=。，根据点线关系即可得/的范围，再结合三角形面积关系得今与/

d2

的关系，由基本不等式可得最值.

2__

【详解】（1）已知双曲线「:/一1_=1,贝|普=1）=百，所以双曲线方程为＞=±后；

2

（2）双曲线r=1的右焦点*2,0）,

又4(2,3),所以ABLOB,则3(2,-3),

因为tan-4所以ktan[4AC+升一^^=一2,

贝!J直线AC：y—3=—2(%—2),即y=—2%+7,

答案第10页，共14页

%2_匕=]

所以<3n九2—28%+52=0,解得玉=2,々=26,即％=26,

y=-2x+7

贝|J汽=—2x26+7=—45,所以点。的坐标为(26,-45)；

(3)设直线45:x=)+2,A(%,％),5(%2，%)，。(%3，%)，

A=36(Z2+l)>0

12t9

则nrl…"

因为直线/过点R且与双曲线「右支交于A、B两点，所以fej-*,日

又因为VABC的重心G在x轴上，所以％+丫2+%=。，

由点。在点尸的右侧，可得%<0,所以％+%>。，解得"0,所以飞。,

而|x-%|=J(%+%--4必%'代入可得%-%=:1

!Jl—1

AF%M

AB

诉|、J01_A_Mi_%-%

所以邑°SABG__

2CQ-%—X+%

q

°AACGACX-%2%+%

(%+%+%)(%+为一%)=M+必+]_

(%-%)(%+%)%-%(%-%)(%+%)'

代入化简可得：

衣z113t2+l⑵2产+1WL4+3+1，

所以—=-j^=+1l=—1^=+—>^=+l>2j-

$28fJ产+18Tti+1Styjt2+1v:8rVr+18T产+12

当且仅当/=叵时等号成立，所以去的最小值为立+1.

11S22

答案第11页，共14页

19.(1)证明见解析

⑵证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)当/(x)=J时，r(x)=lnx,根据s(a,x)=-x)-b⑷的定义求解；

(2)解法一：如图可知，5(卬6)为＞=:与x=。，x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积，

、2

曲面梯形的面积大于S梯形°即，S梯形冲p=S矩形MMN=(8-。)•a+b,得证；

2PM

解法二：转化为证明：—3/＜1/,设2=r,"1,则不等式可化为止D〈lnt，31),

1+£aa1+Z

a

构造函数：%(。=«+1)111，-2/+2,利用导数证明«+1)1皿一2r+2＞。在，£(1,+。)恒成立；

(3)令g(x)=S(l㈤，故g(x)=xlnx,直线y=c与曲线S。,X)交于日(％,%),N(%2，%)，

1cC

所以--＜。＜0,即有：-^1=--①，^2=----②，进一步变形可得1叫+ln%2＜-2,从而得

eliiXjlnx2

证.

【详解】(1)因为5(。,无)=尸(同一尸⑷，且/(%)=尸'(x),

当"x)='时可知S(a,x)=lnx-Ina,

所以S(l,2)=ln2-lnl=ln2,

S(5,10)=InlO-ln5=ln2,所以S(1,2)=S(5,10)成立；

b-aa+b、2

(2)解法一：要证s(“叫＜~^~，即证5(z。/)＞(人一〃)•石金，

如图可知，S(a,6)为y=J与x=a,x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积.

若直线尤=之与曲线V,交于点D,

过。做丫="1■的切线，分别交》=。，x=b于尸，Q,

X

过。做X轴的平行线分别交X=a,x=b于"，N,则鼠哂=%加，

答案第12页，共14页

易知曲面梯形的面积大于s梯形21Mp

2

所以S梯形。明P=§矩形MABN=（人一。）,q+b

9

所以‘$（*>