乘法公式与几何背景问题综合训练（重难点培优）原卷版-2024-2025学年苏科版七年级数学下册

乘法公式与几何背景问题重难点综合训练

一、解答题

1.(21-22七年级下•江西抚州•阶段练习)完全平方公式：(a±6)2=。2±2成+/经过适当的变形，可以

解决很多数学问题，

(1)①若x+y=6,x2+y2-28,贝!Jxy=；

(2)若2a+b=6,ab—4,则(2a—b)2=；

⑵如图，C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设力B=8,两正方形的面积和Si+S?

=44,求△2FC的面积.

2.(23-24七年级下•贵州贵阳•阶段练习)如图，用4个长是°,宽是6的长方形拼成了一个如图2所示的"回

形"正方形.

⑴由图可知，因为拼图前后的面积不变，所以可得恒等式：;

(2)利用(1)中得到的恒等式，解决下面的问题：己知2(x+y)=10,2(x-y)=2,求xy的值.

3.（23-24七年级下•全国•单元测试）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，4种纸片是边长

为a的正方形，B种纸片是边长为6的正方形，C种纸片是长为6,宽为a的长方形.并用4种纸片一张，B种纸

片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.

⑴请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：；方法2：:

⑵观察图2,请你写出代数式：（a+6）2,a2+b2,ab之间的等量关系

⑶根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：a+b=5,a2+b2-13,求ab的值；

②已知（2020-a）2+（a—2019）2=5）求（2020—a）（a—2019）的值;

4.（23-24七年级下•全国•单元测试）如图①是长为0,宽为6的长方形，将这样四个形状和大小完全相同

的长方形拼成如图②所示的大正方形，中间是一个小正方形（阴影部分）.

⑴请你用两种不同的方法表示图②中小正方形（阴影部分）的面积：

方法一：S小正方形=:方法二：S小正方形=•

⑵根据（1）中小正方形面积的两种不同的表示方法，下列等式中：①（a+6）（a—b）=a?—。2；②（a+6）2

=（a—6）2+4ab,能够验证成立的是（填序号）.

⑶应用⑵中验证成立的等式，解决问题：已知m+n=12,mn-11,求m—n的值.

5.(23-24七年级下•浙江宁波・期中)如图1是一个长为2根、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四

块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.

⑴你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于;

(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.

①；

②.

⑶观察图2你能写出(zn+71)2,(小一九)2,nwi三个代数式之间的等量______.

⑷用完全平方公式和非负数的性质求代数式2/+4x+3y2_i8y+32的最小值.

6.(22-23七年级下•浙江温州•期中)如图1,是一个宽为a,长为46的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成

四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个"回形"正方形(如图2).

图1图2

⑴观察图2,请你用等式表示(a—b)2,(a+b)2,ab之间的数量关系：

Q

(2)根据(1)中的结论，如果久+y=5,xy=~,求代数式(x—y)2的值.

7.（22-23七年级下•江苏常州•期末）如图1,已知纸片力是边长为acm的正方形，纸片B是相邻两边长分别

为久cm,ycm的长方形，且纸片4B的周长相等.

⑴当a=5时.

①若%>6,求y的取值范围;

②如图2,以纸片B的相邻两边为边长分别向外作正方形&D,若纸片8的面积比纸片4的面积小10cm2,求&D

的面积之和;

⑵如图3,将纸片4B叠合在一起，记阴影部分的周长为M.

①M=（用含孙1的代数式表示）；

②若关于式的不等式M<12恰有3个正整数解，贝Ua的取值范围是

8.（22-23七年级下•四川成都•期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等

式.

如图1是一个长为4a、宽为6的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四块小长方形

拼成一个"回形"正方形（如图2）.

⑴根据上述过程,写出（a+b）2、（a—b）2、ab之间的等量关系:_；

⑵类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式.观察图3,把一个大正方

体分割成如图所示的小长方体和小正方体，从中可以得到一个恒等式：

⑶两个正方形力BCD,CEFG如图4摆放，边长分别为x,y（x>y）,若这两个正方形面积之和为34,且

BE=8,求图中阴影部分面积.

9.（23-24七年级下•广东佛山•阶段练习）如图1,力纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形,

C纸片是长为b,宽为a的长方形.现用4种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方

形.

（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积.

方法L;方法2：；

⑵观察图2,请你写出下列三个代数式：（a+b）2,a2+b2,ab之间的等量关系

⑶①根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若a+小5,a2+b2=11,求ab的值；

②已知(％-2023)2+(光—2025)2=52,求久-2024的值.

ba

a

。囚bBbC

图1图2

10.（2025七年级下•全国•专题练习）【阅读学习】

做整式的乘法运算时借助图形，可以由图形直观地获bc

取结论.a

例1：如图1,可得等式a（6+c）=ab+ac.

例2：如图2,可得等式(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2

图1图2

b2.

【问题解决】

（1）如图3,将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的大正方形.若用不同的形

式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来.

（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知

a+b+c=11,ab+be+ac-38.求a?+b2+c?的值.

【拓展应用】

（3）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积.如图3

图4,将两个边长分别为a和6的正方形拼在一起，BCG三点在同一直线上，连接若这两个正方形

的边长满足a+b=10,a6=20,请求出阴影部分的面积.

IL（22-23七年级下•陕西咸阳•期中）【问题背景】通过对同一面积的不同表达和比较来理解整式乘法公式

是常见的办法.如图L边长为a+6的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形（如

图2）,且在图1到图2的分割过程中，面积没有变化，由此解决下列问题.

11占［

ababb

图1图2

【探索归纳】

①若将图1中的大正方形看作一个整体,则它的面积是______（用含a,b的式子表示）;

②图2中4个部分的面积之和是________（用含a,b的式子表示）；

③因此，可以得到等式：____________________.

【学以致用】简便计算：

①1052；

②3.142+6.28X6.86+6.862.

【拓展应用】若图2中的长方形的长（b）与宽（a）的值分别为12-zn和m-3,且满足(12-zn)(zn-3)=18,

请求出（12—m）2+（m—3）2的值.

ba

a±H6

。因6BbC----------

图1图2

12.（23-24七年级下•江苏淮安•期末）如图，AB=a,P是线段力B上任意一点，在AB同一侧分别以4P,BP

为边作正方形力PCD、正方形PBEF.设ZP=久.解答下列问题（用含a、久的代数式表示）

（1）①正方形PBEF的边长为二

②求这两个正方形的面积之和S；（需化简）

1

（2）若％<5处连接DF、BD、BF,求图中阴影部分的面积.

13.（23-24七年级下•辽宁沈阳•期末）（1）如图1,是一个长和宽分别为加，〃的长方形纸片，如果它的长

和宽分别增加。，b,所得如图2长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式为（爪+a）5+6）

（2）①如图3,是几个正方形和长方形拼成的一个边长为a+6+c的大正方形，用不同的方法表示这个

大正方形的面积，得到的等式为（a+6+c）2=_

②已知a+6+c=15,a2+b2+c2=77,利用①中所得到的等式，求代数式ab+6c+ac的值.

（3）如图4,是用2个正方体和6个长方体拼成的一个棱长为a+b的大正方体，通过用不同的方法表示这

个大正方体的体积，求当a+6=5.9,ab=4.5时，代数式的值.

图1图2图3图4

14.(23-24七年级下•河北沧州•期末)如图a是一个长为2加、宽为2"的长方形(爪>n),沿图中虚线用剪

刀均匀分成四块小长方形，然后按图b形状拼成一个正方形.

⑴请分别用两种不同的方法表示图6中阴影部分的面积：方法一：:方法二:

(2)观察图6,直接写出代数式0+71)2，(ni—n)2,mn之间的关系；

⑶利用(2)的结论，尝试解决以下问题：

①已知m+Ji=7,mn=6,求(m—九产的值；

②已知：(4-x)(5-x)=6,求(9—2x)2的值.

15.(23-24七年级下•四川成都•期末)通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式.

图①图②

⑴如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形及长宽分别为a和b的两个长方形，利用

这个图形的面积可以验证公式」

(2)若xy=8,x+y=6,求炉+产的值；

(3)如图②，在线段CE上取一点D,分别以CD、DE为边作正方形ABC。、DEFG,连接BG、CG,EG.若阴影

部分的面积和为9,/XCDG的面积为3.求CE的长度.

16.（23-24七年级下•江西九江•阶段练习）实践操作：从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为6的小正方

形（如图1）,然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）.

(1)上述操作能验证的等式是「(请选择正确的一个)

A.a2—2ab+b2=(a—Z?)2B.b2+ab=b(a+b)

C.a2—b2=(a+b)(a—b)D.a2+ab=a(a+b)

启发应用：请结合（1）选出的等式，利用其结论完成下列各题:

（2）计算：（1—去）义（1一专）*（1—*）X…X（一白）

（3）计算IO/-2X992+972

17.（23-24七年级下•浙江杭州•阶段练习）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为6的小正方形，图2

是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为Si，图2中阴影部分面积为S2.

⑴请直接用含a和b的代数式表示Si=,52=；写出利用图形的面积关系所得到的公式

（用式子表达）;

(2)应用公式计算：(1_乡(1_+)(1_表)(1—/\

(3)应用公式计算:(5+1)(52+1)(54+1)-(532+1)(564+1)+今

18.（23-24七年级下•广东佛山•期中）乘法公式的探究及应用:

⑴如图①，可以求出阴影部分的面积是_（写成两数平方差的形式）：

如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是」（写成多项式乘法的形式）:

比较左、右两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式—（用式子表达）

（2）运用你所得到的公式，计算1003X997的值:

19.(21-22七年级下•江西抚州•期中)阅读材料：

已知:“满足(9一%)(%—4)=4,求(9一%)2+(久一4)2的值.

设9—x=a,x—4=b,

贝ijab=(9—x)(x—4)=4,a+h=(9—x)+(x—4)=5,

因此(9—久产+(x—4)2=a2+b2=(a+b)2—2ab=52—2X4=17.

用上面的方法解下列问题：

⑴已知:(5—x)(久一2)=2,求(5—x)2+(久一2/的值；

(2)如图，已知正方形2BCD的边长为x,E、F分别是边4D、DC上的点，AE=1>CF3,分别以MF、DF

为边作正方形.

①MF=,DF=(用含久的式子表示)；

②若长方形EMFD的面积是48,试求阴影部分的面积.

20.（22-23八年级下•广东佛山•期中）材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得

到一个数学等式.

⑴如图1,将一个边长为。的正方形纸片剪去-一个边长为6的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个

关于a,b的等式：.

图1

请类比上述探究过程，解答下列问题：

（2）如图2,将一个棱长为。的正方体木块挖去一个棱长为b的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等

式：。3_匕3=__________,将等式右边因式分解，即a3—〃=；

⑶根据以上探究的结果，

①如图3所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数.•.，按此规律拼叠到正方形4BCD,其边长为

19,求阴影部分的面积.

②计算：（历+1）3-（V21-1）3

AD

图3

21.（22-23七年级下•重庆沙坪坝•阶段练习）如图1是长为4a,宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分

成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个"回形"正方形（如图2）.

图1图3

⑴观察图2,请你写出（a+b）2、（。一匕）2、ab之间的等量关系：；

⑵根据（1）中的结论，若x+y=5,xy=*求（x-y）2的值；

⑶请求解下面实际问题：

如图3,已知正方形4BCD的边长为x,E,F分别是4D、DC上的点，且2E=1,CF=3,长方形EMFD的面积

是48,分别以MF、DF为边长作正方形MFRN和正方形GFD”，求阴影部分的面积.

22.（21-22七年级下•辽宁铁岭•期中）如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②

得到图乙.

(1)S甲=,S乙=(用含a、b的代数式分别表示);

(2)利用(1)的结果，说明。2、炉、(a+b)(a—b)的等量关系:

⑶应用所得的公式计算：(1_击)(1―2)…(1_壶)(1_募)

⑷如图丙，现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形,

画出图形，利用图形说明(a+6)2、(a—b)2、ab三者的等量关系.

2a

2b

丙

23.(24-25八年级上•辽宁•阶段练习)【问题初探】对于两个正数a,b(a41),定义一种新的运算，记作7?

(a,b),即：如果a。=6,那么〃(a,b)=c.例如:34=81,贝叼(3,81)=4.

Cl)根据上述运算填空：底2,4)=；根2,16)=；4(2,64)=

【归纳猜想】

(2)先观察以2,4),以2,16)与坂2,64)的结果之间的关系.再观察(1)中的三个数4,16,64之间的关

系.试着归纳：+r](a,n)=；

【初步应用】

(3)力BCD的边长为小正方形CGFE的边长为n,若?+〃(a,n)=〃(a,p),+n)=4,〃(2,p)

=5.求图中阴影部分的面积.

【拓展延伸】

(4)如图②：四边形ABED,CG”D是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分矩形HFED沿着

DE翻折得到矩形DEMN.若〃(a,m)=〃(b,n)=2,矩形4BMN的面积是5,AN=4,a+b=2.5,求a,b的

值.

24.(24-25八年级上•福建福州•期中)我国著名数学家华罗庚先生曾经说过："数缺形时少直观，形少数时

难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休."可见数形结