尺规作图题型总结（作相等角、作角平分线、作线段垂直平分线、作垂直、利用无刻度直尺作图）解析版

重难点11尺规作图题型总结（作相等角、作角平分线、

作线段垂直平分线、作垂直、利用无刻度直尺作图）

题型将步I樵型枸建I真题—他词绘I摸图通关试炼

模型01作相等角

模型02作角平分线

模型03作线段垂直平分线

模型04作垂直

模型05利用无刻度直尺作图

本专题主要对初中阶段的一般考查学生对基本作图的掌握情况和实践操作能力，并且在作图的基础上进

一步推理计算（或证明）。尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。尺规作图是中考必考知识点之一，

复习该版块时要动手多画图，熟能生巧！本专题主要总结了五个常考的基本作图题型，（1）作相等角；（2）

作角平分线；（3）作线段垂直平分线；（4）作垂直（过一点作垂线或圆切线）；（5）用无刻度的直尺作图。

勘摸核四建

模型01作相等角

wTwlWi!...............................

作相等角该题型近年主要以解答题形式出现，一般为解答题型的其中一问，难度系数较小，在各

类考试中基本为送分题型。解这类问题的关键是根据题意熟练应用尺规作图，一般考试中涉及的做相

等角包含角相等或者作平行线，需要我们很好的理解题意，根据题意画图，保留清晰的作图痕迹。

答।题।技।巧

1.作任一射线；

2.以所作角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，然后以同样长为半径，以射线端点为圆心画弧;

3.以原角中所画弧中一个交点为圆心，到另一个交点的距离为半径画弧；

4.以射线中的交点为圆心，同样长为半径画弧，交于一点，连接射线端点与弧的交点，所得角即为所求;

［题型三例

1.（2024•吉林）如图，用尺规作图完成下列作图步骤:

①以点。为圆心，以任意长为半径画弧，分别交射线OB于点C、D；

②以点3为圆心，以OC长为半径画〃，交射线8。于点E,点F与点C在的异侧）;

③以点E为圆心，以8长为半径画MN，交"于点N,作射线3N即可得到NOBN,连接CD、EN.

则下列说法中错误的是（

A.ZOBN=ZAOBB.OA//BN

C.CD=EN,CD//END.△OCD四的依据是SAS

【答案】D

【详解】解：由作图可知，OC=OD=BE=BN,CD=EN,

OCD^„BNE（SSS）,

ZDOC=ZEBN,NODC=/BEN,

ZOBN=ZAOB,ZCDE=ZNED,

：.OA//BN,CD//EN,

・•・A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求;

故选：D.

,支式

1.综合实践课上，嘉嘉画出NAO3,如图1,利用尺规作图作NAOB的角平分线。尸.其作图过程如下：⑴

如图2,在射线（M上取一点。（不与点。重合），作NADC=NAOB,且点C落在内部；

⑵如图3,以点。为圆心，以。。长为半径作弧，交射线。C于点P,作射线。尸，射线OP就是NAO3的

平分线.

在嘉嘉的作法中，判断射线OP是ZAO3的平分线过程中不可能用到的依据是（）

AA

图3

A.同位角相等，两直线平行

B.两直线平行，内错角相等

C.等边对等角

D.到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上

【答案】D

【分析】本题考查平行线性质和判定，等腰三角形性质,角平分线判定，熟练掌握相关性质并灵活运用得

到其证明过程，根据其过程判断不可能用到的依据即可.

【详解】解：ZADC=ZAOB,

CD//OB（同位角相等，两直线平行），

尸O=（两直线平行，内错角相等），

故A、B会用到，不符合题意；

以点。为圆心，以。。长为半径作弧，交射线OC于点尸,

OD=OP,

/.ZDOP=ZDPO（等边对等角）,

ZDOP=ZBOP,

••・射线0P就是^AOB的平分线.

故C会用到，不符合题意；

综上所述，D不可能用到，

故选：D.

2.如图①，在VABC中，。是A3边的中点，且3c>AB.按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图②所

示）：

①以点8为圆心，以适当长为半径画弧，交线段3。于点交BC于点N；

②以点。为圆心，以BM长为半径画弧，交线段于点P,交线段DB于点火；

③以点尸为圆心，以长为半径画弧，交尸R于点。，点。与点C在直线A3同侧；

④作直线。。，交AC于点£.则下列结论错误的是（）

A.ZADE=ZABCB.Z£>EC+ZC=180

C.AE=CED.DE=-AB

2

【答案】D

【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的

关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出乙位圮=/ABC,根据平行线的判定得出小〃3C,根据平

AD

行线的性质得出/DEC+NC=180,根据平行线分线段成比例得出受=若=1,即可得出AE=CE.

CEDB

【详解】解:A.根据作图可知：=一定成立，故不符合题意；

B.^ZADE=ZABC,

QDE//BC,

EI/DEC+NC=180一定成立，故不符合题意；

C.是AB边的中点，

团AD=BD,

©DE〃BC,

AEAD1

团==I,

CEDB

团AE=CE一定成立，故不符合题意；

D.不一定成立，故符合题意.

2

故选：D

3.己知：如图，在矩形ABC。中，M是边上的点，连接。0.

⑴尺规作图，以BC为边,8为顶点作NCBN=WM,3N交线段CD于点N（要求：基本作图，保留作图

痕迹，不写作法）.

⑵求证：四边形为平行四边形（请完善下面的证明过程）.

证明：在矩形ABCD中，有AB=CD,AD=CB,AB//CD,ZA=ZC=90°.

在AADM和△CBN中

ZA=ZC

<AD=CB

①（）

ADM^CBN（ASA）.

，②—.

，③—•

，四边形3NZ泌为平行四边形（④—）（填写推理依据）.

【答案】⑴见解析

（2）ZADM=NCBN,AM=CN,BM=DN,一组对边分别相等且平行的四边形是平行四边形

【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

（1）根据要求作出图形即可;

（2）根据一组对边分别相等且平行的四边形是平行四边形证明即可.

【详解】（1）解：图形如图所示:

(2)证明：在矩形A3CD中，有A5=CD,AD=CB,AB!/CD,ZA=ZC=90°.

在AADM和△CBN中

，AD=CB

ZADM=/CBN

：.ADM-CBN（ASQ）.

.■-（2）AM=CN.

③BM=DM,

.•・四边形物次为平行四边形（④一组对边分别相等且平行的四边形是平行四边形）.

故答案为：ZADM=NCBN,AM=CN,BM=DN,一组对边分别相等且平行的四边形是平行四边形.

4.如图，已知

⑴尺规作图：以点。为顶点，在。E的下方作/成加使得N£Z加=4,交A8于点?（要求：不写作法,

保留作图痕迹）

c

（2）在（1）的条件下，求证：DF//BC.

证明：^AB//DE（已知）

0ZB=（1）（②）

0ZEZ）F=ZB（已知）

回③（④）

SDF//BC（⑤）

【答案】⑴作图见详解

（2）①/血＞；②两直线平行，同位角相等；（3）ZAED=ZEDF-,④等量代换；⑤内错角相等，两直线

平行

【分析】本题主要考查尺规作角等于已知角，平行线的判定和性质，掌握以上知识，数学结合分析思想是

解题的关键.

（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可；

（2）根据平行线的判定和性质即可求解.

【详解】（1）解：如图所示，点F即为所求点的位置，

（2）证明：^\AB//DE（已知）

0ZB=ZC£D（两直线平行，同位角相等），

^ZEDF=ZB（已知），

S\ZCED=ZEDF（等量代换），

QDF//BC（内错角相等，两直线平行）.

故答案为：①NCED；②两直线平行，同位角相等；③NCED=NEDF；④等量代换；⑤内错角相等,

两直线平行

5.如图，在VABC中，D,E分别是边AB,AC的中点.

A

⑴尺规作图：在边BC上找一点凡连接。尸，使/E/m=NC.(不写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，连接EF,求证：EF//AB.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查复杂作图，平行线分线段成比例以及三角形中位线的性质定理，正确作图是解答本

题的关键.

(1)作NEER=NC即可；

(2)连接班，证明斯是VABC的中位线即可得出结论.

【详解】(1)解：如图，点忆线段。尸即为所求.

SDE//BC,DE=~BC.

2

0ZD£C+ZC=180°.

SZEDF=ZC,

0ZDEC+ZEDF=180°.

SDF//AC.

BDBF

团---=---,

ADCF

又0D为A3的中点，

团BD=AD,

BF

=1,即=

团尸为3C的中点.

13所是VABC的中位线.

EF//AB.

模型02作角平分线

wiWSTS.................................

作角平分线该题型主要以选择、填空形式出现，在解答题中主要考查角平分线的性质，根据性质作对

应图形，难度系数不大，在各类考试中得分率较高。掌握角平分线的性质是考试的重点，在应用题型中，

根据题意会进行尺规作图画角平分线，有时依据题意画平行线时也是画角平分线。

答।题।技।巧

1.以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交两点M、N；

2.以M点为圆心，MN的距离为半径画弧，再以N点为圆心，同样长为半径画弧，两弧相交于点P；

3.连接角的顶点和P点，所画直线即为所求.

|题型学.

1.（2024•山东泰安）如图，在，ABC中，ZB=40°,NC=50。.小明按以下操作进行尺规作图:

以A为圆心，任意长为半径画弧，交AC、AZ）于点“、点N,分别以A/、N为圆心，大于;的长为

半径画弧，两弧交于点画射线A"交8C于点E；分别以点A、8为圆心，大于;的长为半径画弧,

两弧交于尸、G点，作直线PG交A3于尸，交于连接AD.可以求得度.

【答案】25

【详解】解：,••N3=40。，ZC=50°.

■.ABAC=90°,

根据作法得：尸。垂直平分线段A3,

AD=BD，

：.ZB=ZBAD=40°,

・•.ZZMC=50°,

由作法得：AE平分/ZMC,

.-.ZDAE=25°,

故答案为：25.

＞支式

1.如图，在比ABC中，根据尺规作图的痕迹,判断以下结论错误的是（）

B.ZBAD=ZCAD

C.DE1ABD.AE=AC

【答案】A

【分析】根据作角平分线的痕迹和过直线外一点的作直线的垂线的痕迹可得，AD是2B4C的平分线，DE

是A5的垂线，再根据条件证明三角形全等，即可一一判断即可；

【详解】解：根据尺规作图的痕迹可得：AD是—B4C的平分线，是A3的垂线，

国NBAD=NCAD,DELAB,

回NDE4=90。，

在，ACD和中,

ZDEA=ZC=90°

AD=AD

ABAD=ACAD

团ACD^^AED

团AE=AC,

团无法确定NADE=2NZ14B,不能得到

综上所述：B,C,D不符合题意，A符合题意，

故选A.

2.如图，已知VABC.

⑴尺规作图：作—ABC的平分线取，在取上截取8D=AC,连接C。；（要求：保留作图痕迹，不写作法,

标明字母）

(2)若ZAC3=求证：AABC冬ADCB.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定，熟练掌握是解题的关键.

(1)根据尺规作图作角平分线即可；

(2)由题意得，ZACB=-ZABC=ZDBC,BD=AC,BC=CB,根据全等三角形判定边角边即可得证.

2

【详解】(1)解：如图所示，BP,BD,CD即为所求；

(2)解：证明：Q如为NABC平分线,

:.ZDBC=-ZABC.

2

又、ZACB^-ZABC,

2

:.ZACB=ZCBD.

BC=CB

在VABC和ADCB中，ZACB=ZDBC,

AC=DB

:.AABC^^DCB(SAS).

3.如图，已知VABC.

⑴求作四边形BCDE,使得点。在AC上，点E在AB上，且DEaBC,DE=BE；(要求:尺规作图，不

写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)所作图形中，若NA=40。，AD=BE,求的度数.

【答案】⑴画图见解析

(2)120°

【分析】(1)如图，作NABC的角平分线交AC于。，过。作NADE=/ACB,DE与A3的交点为E,则

BE=DE,四边形3cDE即为所求；

（2）由EB=DE，AD=BE,证明DE=AD,可得NA=NAED=40。，ZADE=100°,

ZABD=ZEDB=-x40°=20°,再进一步求解即可.

2

【详解】（1）解：如图，作NABC的角平分线交AC于O,过。作NADE=NACB,OE与A3的交点为E,

则BE=DE,四边形3CDE即为所求；

0NABD=NCBD,

^ZADE=ZACB,

田DE〃BC,

aNEDB=NCBD,

SZABD=ZEDB,

0EB=DE；

(2)解：0EB=DE,AD=BE,

0ZA=4O°,

I3ZA=ZA£D=400,ZADE=180°-2x40°=100°,

0NABD=ZEDB=-x40°=20°,

2

0ZADB=ZADE+ZEDB=100°+20°=120°.

4.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°.

⑴尺规作图：作RtZXABC的内切圆O,并分别标出，:。和A3、BC、C4相切的切点RE,尸；（要求：保

留作图痕迹，不写做法，不需证明）

⑵连接OE、OF,四边形QECF是正方形吗？为什么？

（3）若AD=6,BD=4,求O的半径厂的长.

【答案】（1）见解析

⑵四边形OECR是正方形，理由见解析

(3)2

【分析】(1)首先由三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，确定圆心。，然后过点。作边AC的垂线

交AC于点尸，确定半径，继而可求得ABC的内切圆；

(2)连接根据切线的性质得到求得/C=/CFO=/CEO=90。,得到

四边形OEC尸是矩形，根据角平分线的性质得到。尸=OROD=OE,求得0石=。f，得到四边形OE(才是

正方形；

(3)根据正方形的性质得到OF=CV=CE=OE=r,根据切线的性质得到4尸=AZ)=6,3E=3。=4,根

据勾股定理即可得到结论.

【详解】(1)解：如图所示，，。为所求：

(2)解：四边形OECP是正方形，理由如下:

连接OE,OF,OD,

0。是，ABC的内切圆，

^OE±BC,OF±AC,

0ZC=ZCFO=ZCEO=90°,

团四边形OECb是矩形，

回AO平分ZCAB,30平分ZABC,

0OF=OD,OD=OE,

^OE=OF,

回四边形OECP是正方形；

(3)解：回四边形0国才是正方形,

®OF=CF=CE=OE=r,

0。是-ABC的内切圆，

0AF=AD=6

SBE=BD=4

团AC=AF+CF=6+r,BC=4+r

SAC2+BC2=AB2

0（6+r）"+（4+r）2=（6+4）一

0r=2（负值舍去），即O的半径r的长为2.

模型03作线段垂直平分线

WiWjSiW...............................

作线段垂直平分线该题型近年在尺规作图题型中主要考①到两点的距离相等的点；②作三角形的外接

圆；③找对称轴（旋转中心）；④找圆的圆心等几个方面。让学生真正理解线段垂直平分线的性质是本节内

容的重心，尺规作线段垂直平分线是中考的必考内容之一。考题常以选择、填空等形式出现，该题型主要

难点在熟练应用线段垂直平分线的性质，会画线段的垂直平分线，难度系数不是很大，属于容易得分项。

答।题।技।巧

i.以线段任一端点为圆心，大于一半的长为半径上下画弧；

2.以线段另一端点为圆心，同样长为半径画弧，所画弧交于两点MN；

3.连接MN,MN所在直线即为所求；

|量理不停I

＞善俐1.（2024.山东）如图，在中，4=40。，NC=50。.小明按以下操作进行尺规

作图：以A为圆心，任意长为半径画弧，交AC、4）于点〃、点N,分别以/、N为圆心,

大于;的长为半径画弧，两弧交于点H,画射线交8c于点E;分别以点A、3为圆心,

大于;A3的长为半径画弧，两弧交于尸、G点，作直线PG交A3于b，交BC于D,连接AD.可

以求得ZDAE=度.

【详解】解：•・・々=40。，ZC=50°.

ABAC=90°,

根据作法得：尸。垂直平分线段A5,

AD-BD9

.-.ZB=ZBAD=40°9

・・・ZDAC=50°,

由作法得：AE平分NZMC,

.-.ZDAE=25°,

故答案为：25.

）支式

1.我们在苏科版数学七年级下册第九章中学习了一些基本尺规作图.请用无刻度的直尺和圆规完成下列基

本作图.（保留作图痕迹，不写作法）

⑴在图①中，请作出已知线段AB的垂直平分线C。；

（2）在图②中，请作出已知角ZEFG的平分线FH；

⑶在图③中，请作出过直线外一点尸，且垂直于直线的直线尸。（点。是垂足）.

【答案】（1）作图见解析

（2）作图见解析

⑶作图见解析

【分析】本题考查基本尺规作图一一作线段垂直平分线、角平分线、过直线外一点作直线垂线，解题关键

是依据相关几何性质准确运用圆规和直尺进行作图操作.

（1）分别以点A、8为圆心，大于长为半径画弧（两弧分别相交于C、。两点.连接C£>,直线CD

就是线段AB的垂直平分线.

（2）以点尸为圆心，任意长为半径画弧，分别交跖、17G于点/、N.分别以点M、N为圆心，大于

长为半径画弧，两弧相交于ZEFG内部一点H.连接加，射线就是ZEFG的平分线.

（3）以点尸为圆心，适当长为半径画弧，使弧与直线相交于两点A、B.分别以点A、8为圆心，大

于长为半径画弧，两弧相交于直线另一侧一点H（与尸在MN异侧）.连接PH，交MN于点Q

直线P"就是过点尸且垂直于直线的直线，点。为垂足.

【详解】（I）解：如图所示：直线C。即为所求;

（2）如图所示射线切即为所求

（3）如图所示：直线尸。即为所求

⑴尺规作图：作线段48的垂直平分线/,分别交AB,AC于点D,E；（要求：保留作图痕迹，不写作法，

标明字母）

（2）在（1）所作的图中，连接班，若凡8=8,求ABE的周长.

【答案】⑴见解析

（2）8+8立

【分析】本题主要考查作图，线段的垂直平分线，等腰直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是

解题的关键.

（1）根据线段垂直平分线的作法画图即可；

（2）证明VBZJE是等腰直角三角形，即可求出答案.

【详解】（1）解：如图，OE即为所求；

（2）解：Z组垂直平分线段AB,

/.EB=EA,BD=DA,

.,.NEBA=ZA=45。，

:.ZBEA=90°,

BD=DA,

:.DE=DB^DA^-AB^4,

2

BE=AE=y[2BD=4A/2，

ABE的周长=A8+BE+AE=8+4忘+4&=8+8忘.

3.在学习了特殊平行四边形的性质之后，小德发现：对于夹在两条平行线之间的线段，作其垂直平分线与

两条平行线分别交于两点，则该线段的两个端点和垂直平分线与两条平行线的两个交点所构成的四边形是

菱形.小德证明的思路是利用三角形的全等和菱形的判定等知识得到此结论.根据他的想法和思路，完成

以下作图和填空：

（1）如图，AB//CD,连接3C.用尺规作图：作线段BC的垂直平分线EG,分别交A3,BC和C。于点E,

尸和G,连接CE和8G（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）已知：AB//CD,连接BC.线段BC的垂直平分线EG分别交A3,BC和CD于点E,尸和G,连接CE

和BG.求证：四边形3ECG是菱形.

证明：0AB//CD,

SZEBF=®.

EIEG垂直平分BC.

SEG±BCS.BF=（2）.

在△BEF和4CG尸中,

NEBF=ZGCF

BF=CF

ZBFE=(3)

0BEF^CGF(ASA).

SEF=GF,

则四边形3ECG是④.

0EG1CB,

国四边形BECG是菱形.

进一步思考，如果/4SC=45。，请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：

四边形BECG是⑤.

【答案】⑴见解析

⑵①ZGCF②CF③NCFG④平行四边形⑤正方形.

【分析】(1)根据线段垂直平分线的基本作图解答即可；

(2)根据垂直平分线的定义以及全等三角形的判定和性质证明，即可得到结论.

本题主要考查全等三角形的判定，垂直平分线的定义，菱形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键.

【详解】(1)解：根据线段垂直平分线的基本作图，画图如下：

EIEG垂直平分CB.

团前_13。且8歹=3.

在和4CG尸中，

ZEBF=NGCF

<BF=CF

ZBFE=ZCFG

0BEF^CGF(ASA).

SEF=GF,

则四边形BECG是平行四边形.

SEG1CB,

回四边形3ECG是菱形.

0ZABC=45°,

四边形3ECG是正方形.

故答案为：①/GCP②CF③/CFG④平行四边形⑤正方形.

4.如图，在ABCD中，是对角线.

⑴作线段3。的垂直平分线，垂足为点。，与边A。、3c分别交于点E、F（要求：尺规作图，不写作法，

保留作图痕迹）；

（2）求证：BF=DE.

【答案】⑴见解析

（2）见解析

【分析】（1）利用尺规作出线段的垂直平分线即可；

（2）根据垂直平分线的性质得到OB=OD,=尸=90。，由平行四边形的性质得到/A£»B=NCBO,

然后证明出EOD^^FOB（AAS）,进而得到BF=DE.

【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

(2)证明：国所垂直平分3。

®OB=OD,ZEOD^ZBOF=90°

回四边形ABCD是平行四边形

SAD//BC

SZADB=ZCBO

0EOD^FOB(AAS)

SBF^DE.

模型04作垂线（过一点作垂线或圆的切线）

字百讶.....................

作垂线（过一点作垂线或圆的切线）该题型主要包括①过直线上一点作垂线；②过直线外一点作

垂线；③过圆上一点作切线；④作高等。几种题型的核心点均是作线段的垂直平分线，线段垂直平分

线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，结合线段垂直平分线的性质进行解题。

答|题|技|巧

1.以所过点为圆心，以一定长度为半径截取线段长（如果点在线段上以任意长度为半径，如果点在线段外

以大于点到线段的长为半径）；

2.作该线段的垂直平分线；

3.过该点的线段垂直平分线即为所求；

［题型不停T

求作：的切线MN,使肋V经过点尸.

作法如下：①连接。尸并延长，以尸为圆心，线段OP长为半径作弧，交射线OP于点8；

②分别以点。，B为圆心，以大于;长为半径作弧，两弧交于M点，同样操作，得N点（不与点M重

合）；

③作直线则就是所求作的）。的切线.

请根据尺规作图的步骤和痕迹，回答下列问题：

⑴步骤③中判断是C。的切线的依据是（）

A.与圆只有一个公共点的直线是圆的切线

B.与半径垂直的直线是圆的切线

C.如果圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线

(2)连接QW,ZMOP=45°,MO=贬,求。的半径的长.

【答案】⑴B

(2)。的半径的长为1

【分析】本题考查了作图-基本作图，圆的切线判定定理，线段垂直平分线的定义，解直角三角形，熟练掌

握相关知识的解题的关键.

(1)由作图可知MN垂直平分02,因为。尸是＜。的半径，所以是。。的切线，即可得到答案；

(2)由题意得到cos/MOP="=变，得至1」0尸=受。知=变*5/1=1.

0M222

【详解】(1)解：由作图可知垂直平分02,

OP是，。的半径，

•••是。。的切线，

故选：B.

(2)解：如图，

NMOP=45°,ZMPO=90°,

cosZMOP=-^-=—,

OM2

0M=6，

：.OP=—OM=—Xy[2=l,

22

。的半径的长为1.

)支式

1.已知：如图，钝角三角形ABC.

⑴尺规作图：作AC的垂直平分线，与边48、AC分别交于点。、E(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)尺规作图：在(1)的条件下，作垂足为“，连接C。，直接确定/CDE与NAB”的大小关系

为_・

【答案】（1）图见详解

（2）图见详解，NCDE=ZABH

【分析】本题主要考查垂直平分线的尺规作图与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作

图与性质、等腰三角形的性质是解题的关键；

（1）分别以点A、C为圆心，大于!AC为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，分别与边A3、AC分

别交于点。、E两点，进而问题可求解；

（2）延长AC,以点8为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于两点，然后根据垂线的作法进行作图，由

作图可知AD=CD,ZAHB=ZCED=90°,则有=进而问题可求解.

【详解】（1）解：所作图形如图所示：

由作图可知：OE垂直平分AC,BHLAC,

^AD=CD,ZCED=ZAHB=9Q°,

回/A=NACD,乙4+ZABH=90°=ZACD+ZCDE,

BZCDE=ZABH.

2.如图，己知VABC,AD是BC边上的中线，DEIAB垂足为E.

⑴求作：射线。R,使OF1AC,垂足为尸（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）;

（2）在（1）得到的图形中，若BE=CF,求证：VABC是等腰三角形.

【答案】⑴见解析

（2）见解析

【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可.

（2）证明RtVBDE也RtVCD尸，可得N3=NC,则AB=AC,即ABC是等腰三角形.

【详解】（1）解：如图，射线。尸即为所求.

A

ZBED=ZCFD=90°.

AD是5c边上的中线，

BD=CD.

BE=CF,

RtABZ)E^RtACZ)F(HL),

.\ZB=ZC,

/.AB=AC,

VABC是等腰三角形.

⑴尺规作图：过点尸作。的另一条切线PB,B为切点；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若ZAPB=60°,。的半径为3,求AB的长.

【答案】⑴见解析

（2）3石

【分析】本题主要考查作图，圆的性质，切线长定理，垂直平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关

键.

（1）连接0P作线段。尸的垂直平分线，交0尸于点以点M为圆心，的长为半径画圆，交：。于点

8,作直线PB即可.

（2）连接。4、OB、AB,与0P交于点C,由切线的性质证明RtA/MP空Rt/XOBP,求出

ZAOB=ZAOP+ZBOP=120°,再利用勾股定理求出AC的值，再利用垂径定理进行计算即可.

【详解】（1）解：连接0P作线段0P的垂直平分线，交0P于点、M,以点〃为圆心，的长为半径画圆，

交。。于点8,作直线即可.

(2)解：连接。4、OB、AB,与0尸交于点C,

PA,PB:，。的切线，

/.ZOAP=ZOBP=90°f

OA=OB=3,OP=OP,

/.Rt一04尸也Rt_03尸(HL),

ZAOP=ZBOP,ZAPO=ZBPO=-/APB=30°,

2

.\ZAOP=ZBOP=60°.

由垂径定理可知，ZACP=90°,

.\ZCAO=30°f

13

...OC=-OA=~,

22

4.如图，在等腰VA3C中，为底边3C上的高，NACB的角平分线交AH于点。，。经过。、。两点

且圆心。在VA5C的腰AC上.

(1)请画出［。(尺规作图，保留作图痕迹);

(2)求证：AH与：。相切;

⑶当AB=12,cosB=g时，求：。的半径.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

(3)3

【分析】(1)根据题意作出图形即可；

(2)连接O。，根据等腰三角形的性质得到/血=/比》,根据角平分线的定义得到NAC£>=/3CD,求得

NODC=NDC3,根据平行线的性质得到ODLAH,根据切线的判定定理得到结论；

(3)根据等腰三角形的性质得到3"=CH,求得NA”C=NAWB=90。，根据三角函数的定义得到

CH=3H=4,根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【详解】(1)解：如图所示，。即为所求；

(2)证明：连接O。，

OD=OC,

:.ZODC=ZOCD,

CD平分上4C3,

:.ZACD=NBCD,

NODC=NDCB,

:.OD//BC,

AHLBC,

:.OD±AH,

OD是＞。的半径，

与)。相切；

(3)解:AB=AC=U,AHLBC,

BH=CH,

.-.ZAHC=ZAHB=90°,

cosB=—,

3

BH_BH_1

.•.CH=BH=4,

OD//CH,

:.^AOD^_ACHi

OP_AO

OD_X2-OD

••一，

412

:.OD=3,

。的半径为3.

模型05仅用无刻度直尺作图

考i而i预7疝

仅用无刻度直尺作图该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在应用题型中或者

与几何相结合的题型中，具有一定的综合性和难度。无刻度直尺作图，掌握全等三角形的性质与判定，

等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等知识点是解题的关键。

答।题।技।巧

i.确定所求结论（一般作角相等或垂直）；

2.无刻度直尺只能连线，根据题意连接线段长或射线；

3.注意利用几何知识点的性质，比如说角相等的判定、圆的相关知识点等;

［题型守停I

1.（2024•黑龙江哈尔滨•一模）实践操作：如图，是5x5正方形网格，每个小正方形的边长都

为1.

⑴请在图中画出等腰ABC,使得点C在格点上，AC=BC,且NACB<90。；

（2）仅用无刻度直尺作出ABC的中位线所，使得点E、尸分别在AB、AC上，并保留作图痕迹.

【答案】⑴见解析

（2）见解析

【详解】（1）解：如图所示，ABC即为所求;

（2）解：如图所示，所即为所求;

N

,支4

1.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A,8均在格点上.

（0）线段AB的长等于；

（团）若点。在圆上，A3与CO相交于点P,请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点。，使一CPQ

为等边三角形，并简要说明点。的位置是如何找到的（不要求证明）.

【答案】5A/2见解析.

【详解】解：（回）由网格可知，AB=Vl2+72=5A/2>

故答案为：5^2;

（0）如图，取格点E',广，连接交AB于点E,取AC与网格线的交点F,连接收并延长与网格线相

交于点连接D3与网格线相交于点G,连接GE并延长与网格线相交于点连接并延长与圆相交

于点K,分别连接CK,MB并延长相交于点。，则点。即为所求.

理由：由作图可得：ZACD=ZBCQ,ZCAP=ZCBQ=60°,

AC=BC,

二一C4P空BCQ(ASA),

ZACP=ZBCQ,CP=CQ,

ZPCQ=ZACB=60°,

PC。是等边三角形.

2.如图，在VA3C中，ZABC=90°,AB=BC,直线MN过点A,45°<ZM4B<90°.过点B作3r>_LMN

于。.在DA的延长线上取点E,使得DE=BD,连接8E,CE.

⑴依题意用没有刻度的直尺和圆规补全图形(要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹)；

(2)用等式表示A。，DE,CE之间的数量关系，并证明(请补全下方思路).

思路：

①在4£)的延长线上取点尸，使得。尸=AD,连接M.

②由8。垂直平分AF,依据线段的垂直平分线的性质可得,结合已知=可得BC=3尸；

根据等腰三角形的"三线合一"可得ZABD=NFBD；

③设=可以用含。的代数式表示出/EBC=,ZABD=ZFBD=,从而

证明出NEBC=NEBF；

④于是可证△EBC0ZXEBF(),从而得到EC=EF=(用含AD,DE的代数式表

示).

【答案】⑴作图见解析

(2)FB=AB：90°-(z；45°-<z：SAS；DE+AD

【分析】(1)根据题意画出图形即可；

(2)①根据题意画出图形即可；

②依据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的“三线合一〃即可求解;

③证出N£SD=N*>=45。，由直角三角形的性质即可求解；

④根据全等三角形的性质与判定即可得出结论.

【详解】（1）解：如图所示，

(2)解：①在AD的延长线上取点尸，使得=AT>,连接

②由作图知垂直平分AF,

国FB=AB,AD=FD,

田AB=BC,

国BC=BF,ZABD=ZFBD；

③设ZABE=a,

回/BDE=900,DE=BD,

ZEBD=ZBED=45°f

回NABC=90。，

^ZEBC=ZABC-ZABE=90°-a,

⑦ZABD=NFBD=NEBD—ZABE=45。一a,

^1ZEBF=ZABD+ZFBD+ZABE=90°-a,

^\ZEBC=ZEBF；

④回一EBC练EBF(SAS),

国EC=EF=DE+FD=DE+AD,

故答案为：FB=AB；90。—a；45。—a；SAS；DE+AD.

1.（2024・山东）如图，△QAB中，点A在第二象限，点区在丁轴正半轴上，AB_Ly轴，AB=3fOB=2,

反比例函数y=（经过点A.

（2）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）

①求作等腰三角形。4C,点C在第一象限，OA=OC,点B为AC的中点；

②求作菱形AOCD；

⑶将菱形AOCD沿了轴向下平移多少个单位长度后点C会落在该反比例函数的图象上？

【答案】⑴>=一9

⑵①图见解析；②图见解析

⑶将菱形AOCD沿y轴向下平移4个单位长度后点C会落在该反比例函数的图象上

【分析】本题主要考查了求反比例函数的关系式，尺规作图，反比例函数图象的性质，

（1）将点A的坐标代入关系式可得答案；

（2）①以点。为圆心，为半径画弧，再以点8为圆心，为半径画弧，两弧交于点C,连接BC,

则VABC即为所求作的三角形；

以点8为圆心，03为半径画弧，交y轴于点。，连接AACD,则四边形Q4OC为所求作的四边形.

【详解】（1）解：由题意得，点A的坐标为（-3,2）.

k

・二把％=—3,>=2代入y=一中，

x

得2=刍,

解得：k=-6.

・••反比例函数的解析式为y=---.

X

（2）解：①如图；

②如图；

（3）解：由于A、C两点到x轴的距离都是2,

故将菱形AOCD沿》轴向下平移4个单位长度后点C会落在该反比例函数的图象上.

2.（2024•四川）（1）如图1,在VA3C中，尺规作图：画出ZABC的角平分线和/ACE的角平分线，ZABC

的角平分线交AC于点/，交/ACE的角平分线于点。（保留作图痕迹，不写作法，标出点产和点。）

（图1）

已知"=45。，点G在3c上且3G=FG,求/GPC的大小.

（图2）

【答案】（1）见解析；（2）90°

【分析】本题考查了尺规作图、角平分线的定义、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关

知识点是解题的关键.

（1）利用尺规作角平分线的方法作出^ABC和ZACE的角平分线即可；

（2）利用角平分线的定义和三角形外角的性质得出NA=2ND=90。，由3G=RG得出NGBF=/BPG,进

而推出AB//FG,再利用平行线的性质即可求出NGPC的大小.

【详解】解：（1）如图所示，图形即为所求：

(2)Q5D是—ABC的角平分线，是/ACE的角平分线，

:.ZABC=2ZDBC,ZABF=ZGBF,ZACE=2ZDCE,

,\ZA=ZACE-ZABC

=2ZDCE-2ZDBC

=2N。

=2x45。

=90°,

BG=FG,

Z.GBF=ZBFG,

:.ZABF=ZBFGf

:.AB//FG,

ZGFC=ZA=90°.

ah

3.(2024•南京)如果三个数久b、c满足f=即/=收，那么称。是。和c的比例中项.比例中项在数

学、物理和工程学等领域都有着广泛的应用.数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我们知道任何实

数都可以用数轴上的点来表示.如图，点AC在数轴上分别表示实数。、c,现尝试用尺规作图的方法，在

正半轴上画出点8,使得点8表示的正数6,恰好是数。和C的一个比例中项.方法如下：

第1步：作以AC为直径的圆M；

第2步：的其中一点记为点N；

A.以A为圆心，A"为半径画圆，交圆M

B.以原点。为圆心，为半径画圆，交圆M

C.以0M为直径作圆尸，交圆M

。.作AM的垂直平分线，交圆M

E.以OC为直径作圆P,再过点A作AC的垂线/,交圆尸

⑴请选出你认为第2步中正确作法对应的字母：(只填一个选项即可)，并说明理由，用尺规按照所

选的作法在图中作出点3,要求保留作图痕迹，不需要写出作法.

(2)若3C=a=2,写出此时圆M的直径AC=.

【答案】（l）c或E,理由见解析

⑵石+1

【分析】（1）根据作图步骤判断即可求解；

（2）根据比例中项的定义及（1）中的结果解答即可求解；

本题考查了比例式，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据题意正确画出图形是解题的关键.

【详解】（1）解：第2步中正确作法对应的字母：C或E,理由如下：

XX

II

II

团是圆P的直径，

团NMNO=90。，

团NMM4+NONA=90。，

团AC是圆。的直径，

团NA7VC=9O。，

团NM4C+N2VC4=90。，

^\MA=MN,

^\ZNAC=ZMNA,

^Z.ONA=ZNCA,

即ZONA=ZOCN,

又回NMM=NCON,

"OANs,ONC,

OAON

团-------

ONOC

BOAOC=ON2=OB2,

即QC=O82,故点3即为所求;

选E：

证明：如图，连接ON、NC,

团OC是圆。的直径，

团NQNC=90。，

回/_LAC,

团NO42V=90。，

0/OAN=/ONC,

又回NMM=NCON,

队OANs.ONC,

OAON

团---=---,

ONOC

^\OAOC=ON2=OB2,

即砒=。以2,故点3即为所求；

故答案为：C或E；

(2)解：回BC=a=2,

回OB=OC—BC=c—2,

团ac=OB2,

02c=(c-2)2,

整理得，c2—6c+4=0,

解得c=3+不或c=3-乔(不合，舍去)，

回"=3+5

0AC=OC-OA=3+>/5-2=A/5+1,

故答案为：A/5+1.

4.(2024•安徽)阅读下面材料，完成相应任务:

尺规作图

尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规进行作图.无刻度的直尺不具有度量长度的功

能，它用来作经过两点的直线、射线或线段、圆规用来画弧、圆规的两脚还可以截取线

段或两点之间的长度.尺规作图的关键是确定线与线，线与弧，弧与弧的交点，从而构

造出符合要求的图形.

数学课上，在用尺规作角的平分线时，同学们自主探究出很多不同于教材的作法.

已知：上403求作：—408的平分线.

小明的作法：如图①，在射线6M上取点C,E,分别以。为圆心；OC,OE长

为半径画弧，交射线02于点。，F,连接CP,DE交于点、P,过点尸画射线。尸，则射

线。尸为ZAOB的平分线.

小华的思路：如图②，在。4上任取一点E,在E的右侧作射线EW,使得

ZAEM=ZAOB,在射线上取一点尸，使EP=OE,过点尸画射线0尸，则射线0P是

的平分线.

赵老师因势利导，引导同学们对各种作法进行研究，感受它们的异同并进行了拓展

训练.

任务一：小明的作法中，可以得出△OED二△OFC,请你写出证明过程.

任务二：根据小华的