北京市某中学2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷（解析版）

北京市第27中学2024-2025学年第一学期期中调研初二数学

本试卷共5页，100分，考试用长100分钟.考生务必将答案作答在答题纸上，在试卷上作

答无效.考试结束后，请将答题纸交回.

第一部分

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

1.数学中有许多精美的曲线.以下是“笛卡尔叶形线”“阿基米德螺线”“三叶玫瑰线”和“星形线”，

其中一定不是轴对称图形的是（）

【解析】

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图

形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进

行判断即可.

【详解】解：A,C,D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部

分能够互相重合，所以是轴对称图形；

B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以

不是轴对称图形.

故选：B.

【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键.

2.由于疫情，现在网课已经成为我们学习的一种主要方式，网课期间我们常常把手机放在一个支架上面，

就可以非常方便地使用，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（）

A.三角形具有稳定性B.两点之间，线段最短

C.三角形的内角和为180。D.垂线段最短

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了三角形的稳定性.根据三角形具有稳定性进行求解即可.

【详解】解：此手机能稳稳放在支架上利用的原理是三角形具有稳定性，

故选：A.

3.若4尸+匕+9是完全平方式，则上的值是（）

A.12B.±12C.±72D.±6

【答案】B

【解析】

【分析】首末两项是：、和；这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和,乘积的二倍.

【详解】解：：4y+履+9是完全平方式，

这两个数为2x和3,

h=±2'2A-3,

.-.i=±12,

故选：B.

【点睛】本题考查的是完全平方公式，两数平方和再加上或减去它们乘积的倍，是完全平方式的主要结构

特征，熟记完全平方公式，注意积的倍的符号，有正负两种情况，避免漏解.

4.在平面直角坐标系中，已知点则点A关于x轴的对称点的坐标是（）

A（L3）口（-3.lt「（3.-1）口（T-li

【答案】c

【解析】

【分析】根据关于x轴对称的两个点的坐标的特征判断即可.

【详解】解：•••关于无轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，

工U）关于X轴对称的点的坐标为（3.-11,

故选：c.

【点睛】本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标的特征，熟练掌握关于x轴对称的点，横坐标相等，纵

坐标互为相反数，是解题的关键.

5.如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角

形.他的依据是（）

A.3AsB.ASAc.AASD.SSS

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断.

【详解】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件，

两角的夹边也可测量，为已知条件，

故可根据上二A即可得到与原图形全等的三角形，即小亮画图的依据是AEA,

故选：B.

6.下列说法错误的是（）

A.三个角都相等的三角形是等边三角形

B.等腰三角形的中线就是角平分线

C.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

D.角的平分线上的点到角的两边的距离相等

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，

根据等边三角形的判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质逐一判断及可求

解，熟练掌握基础知识是解题的关键.

【详解】解：A、三个角都相等的三角形是等边三角形，则正确，故不符合题意；

B、等腰三角形底边上的中线就是顶角的角平分线，则错误，故符合题意；

C、与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，则正确，故不符合题意；

D、角的平分线上的点到角的两边的距离相等，则正确，故不符合题意；

故选B.

7.L3C的三边长分别为a,b,c,若满足+|d-c|+lc-a)=0贝g出0的形状为()

A.等边三角形B.等腰直角三角形

C.有30°角的直角三角形D.钝角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了等边三角形的判定，涉及了绝对值和偶次方的非负性，熟记相关结论即可.

【详解】解:•.•(a-b)'+p-d+(c-a)'=0(a-i|3>0,|&-c|>0,(c-4J)a>0

・,•口=5=c,

.•.一的形状为等边三角形，

故选：A

8.下列计算正确的是()

J:

C(-2"『=-命引D.3d+6a=2a

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了积的乘方和幕的乘方计算，同底数幕乘法计算，合并同类项，根据同底数幕乘法

计算法则可判断A；根据塞的乘方和积的乘方计算法则可判断B、C,根据合并同类项法则可判断D.

115

【详解】解：A、门。，原式计算正确，符合题意；

/J『一«

B、2i，原式计算错误，不符合题意；

C、原式计算错误，不符合题意；

D、，『+61=为’，原式计算错误，不符合题意；

故选：A.

9.已知：如图，D、£分另!J在AB、AC上，若A3=AC,AD=AE,ZA=60°,NB=25°,则NBOC的度数

A.95°B.90°C.85°D.80°

【答案】C

【解析】

【分析】根据SAS证AABE三及短：。，推出NC=NB,求出NC的度数，根据三角形的外角性质得出ABOC=

zA+zC,代入求出即可.

【详解】解：在AABE和AACD中，

AE-AD

<zJ4=

AB=AC

.-.△ABE=AACD(SAS),

-'-Z-C—Z-B,

・25=25。，

.・ZC=25。，

vzA=60°,

；/BDC=ZA+ZC=85°,

故选c.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全

等三角形的性质与判定条件.

10.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A,8是两个格点，如果点C也是图形中的

格点，且AABC为等腰三角形，所有符合条件的点C有()

B

.___

A

A.3个B.4个

C.5个D.6个

【答案】C

【解析】

【分析】根据等腰三角形的定义即可求解.

【详解】解：如图所示：

C5

AC}=ABt故"5。为等腰三角形，

A'：=BC2,故一加"［为等腰三角形,

ACi=BCi,故一4g为等腰三角形，

31=AB,故4490，为等腰三角形，

=BJ,故。，为等腰三角形，

则一共有5个等腰三角形，

故选：C.

【点睛】本题考查了作图——与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，学会运用数形结合的思

想解决问题.

第二部分

二、填空题(本题共20分，每小题2分)

11.若一个正多边形的每一个外角都是30。，则这个正多边形的内角和等于—度.

【答案】1800

【解析】

【详解】多边形的外角和等于360。，则正多边形的边数是360。+30。=12,所以正多边形的内角和为

(12-2)x1800=1800°

12.如果J・a-1=0,那么代数式S—h的值为.

【答案】-1

【解析】

【分析】本题考查乘法公式，熟记基本的乘法公式，并准确化简以及运用整体思想是解题关键.首先根据

乘法公式进行计算化简，然后整体代入求值即可.

【详解】解：mf'+s+'s-n

=tf3-2a+1+a'-4

=2a)-2a—3.

•.•a'-a-1=0,

.d-a=l,

・•・原式—ad

=2x1-3

=-1.

故答案为：-1.

13.若10'=a,】。'=6,则】0",'=.

【答案】ab##ba

【解析】

【分析】本题考查了同底数幕乘法的逆用，明白“公式a”•a，=”是解题的关键.

【详解】解：】V,

••・=10"」了二。5，

故答案为：ab.

14.若㈠0=i,则x的取值范围是.

【答案】灯4.

【解析】

【分析】根据任何不为零的数的零次幕为1，可得答案.

【详解】解：根据题意得：x—4邦，则；#4.

故答案为：x=4.

15.若等腰三角形的两边长分别是二'em和6cm,则这个三角形的周长是cm.

【答案】14

【解析】

【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的定义及三角形的三边关系的掌握情况.已知没有明确腰和底边

的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重

要，也是解题的关键.分当腰长是:cin时和当腰长是6cm时两种情况求解.

【详解】解：当腰长是？cm时，因为2+;<6,不符合三角形的三边关系，应排除；

当腰长是6cm时，因为6+1>6,符合三角形三边关系，此时周长是6+6+2=

答案：14.

16.如图，在乙4以。中，3。和CD分别是N/BC和N4C8的平分线，即过点》且跳V/BC,若

。尸=4,则防的长为.

A

【解析】

【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质.根据角平分线与平行两个条件，可证出等

腰三角形即可解答.

【详解】解：；和CD分别是J您。和一ACB的平分线，

:.彦D=_DBC,一4,口=3(73,

EFBC,

=^DSC._FDC=,

_4(?D=_FDC,

-,EB=ED=3,FD=FC=A,

:.EF=ED+DF=3+A=~I,

故答案为：7.

17.如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，则图中角&的度数为

【答案】】4「##140度

【解析】

【分析】本题考查直角三角板的认识及三角形外角的性质.根据三角形外角公式可先求出△。尸8,再用

外角公式求出即可.

【详解】解：如图

:.2DFB="+"(?8=30°+65°=95°

VZZ>=45°

.­.Za=ZZ)4-ZPF5=45o+95o=140°.

故答案为：140°.

18.如图，点。，B,0点在同一条直线上，乙4=60°,ZC=50°,ZD=25°,则/1=

度.

【答案】45

【解析】

【分析】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，根据三角形的外角的性质及三角形的内角和

定理可求得.

【详解】解：「乙血)是的外角，

:.川。=4+/(?=600+50°=110°,

..Zl=180°-£ABD-ZD=180°-110°-25°=45°.

故答案为：4"

19.如图，已知四边形MCD中，48=1?厘米，BC=8厘米，8=14厘米，4-ZC-90•，点E为

线段,45的中点.如果点在尸线段3c上以3厘米/秒的速度由B点C向点运动，同时，点。在线段°。

上由

点c向点D运动.当点。的运动速度为_________厘米/秒时，能够使U.BPE与“二尸。全等.

9

【答案】3或2

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练的建立方程求解，清晰的分类讨论思想解决问题是本题的关

键.分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点。的运动度；

【详解】解：设点P运动的时间为/秒，则BP=3t,CP=g-3t,

--C-90*,

..•点E为线段A9的中点.

/.BE-AE-6,

:.当BE=CP=\8尸=（TQ时，JPE与4CPQ全等.

此时，6=8-2/,

t=二

解得

...BP=CQ=2t

2*-=3

此时，点。的运动速度为3（厘米/秒）

当班=。。=6,济尸时，与丁/。全等.

此时刀=8-3t

4

t==

解得3

«49

0♦

•••点。的运动速度为32（厘米/秒）.

9

故答案为3或5.

20.如图，平面中两条直线力和'1相交于点O,对于平面上任意一点M,若点M到直线,1、八的距离分别

是pcm,qcm,则称有序实数对（■?《‘是点〃的“距离坐标”.特别地，当点在直线上时，定义点到直

线的距离为0.下列说法：①“距离坐标”是‘。、山的点只有点。；②“距离坐标”是（。，1）的点只有1

个；③“距离坐标”是‘二〜的点共有4个；正确的有（填序号）.

【答案】①③##③①

【解析】

【分析】根据“距离坐标”的定义，以及点到直线的距离，角平分线的判定，即可求解.

【详解】解：①“距离坐标”是（6°）的点只有点。故①正确；

②“距离坐标”是（°，L表示点M在直线上且到”的距离等于1,

“距离坐标"是＜“」的点有2个，故②是错误；

（3）“距离坐标”是'''表示点M到直线和"的距离均等于2,

.•.点M在两直线和形成的夹角的平分线上，

“距离坐标”是‘二」的点共有4个，故③正确.

正确的有：①③.

故答案为：①③.

【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，角平分线的判定，理解“距离坐标”的定义是解题的关键.

三、解答题（21-24题4分，25-26题5分，27-30题6分本题共50分）

2i.i+M：CV+2H：V-4I

【答案】「—>-8

【解析】

【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的法则，熟练掌握“多项式与多项式相乘的法则计算：多项式与

多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加”是解题的关

键.

【详解】解：（〉+2）（尸4）

=JJ+-y-4y-8

=-2y-8

22.计算：（6八8力（为）.

【答案】3?-4

【解析】

【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，直接根据多项式除以单项式7计算法则求解即可.

【详解】解：

=6x**（2x）-8r*（2x）

=3x'-4.

23.分解因式：ab3-a.

【答案】a（b+U（b-l）

【解析】

【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，掌握各因式分解方法是解题关键.

【详解】解：加-。“促-1）“仍+】|@-1|

24.分解因式：<r-6w+9.r

［答案］

【解析】

【分析】本题考查了提公因式与公式法综合因式分解，先提取公因式再根据完全平方公式因式分解即可.

【详解】解:<v-6^+9y

-6»+9)

=y(x-3)3

25.先化简，再求值：(h*+(X+3)|X-^|其中i=l.

【答案】2.?+4.V-5.1

【解析】

【分析】本题考查了多项式乘多项式中的化简求值，先利用完全平方公式及平方差公式进行化简，再将

、=1代入原式即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键.

【详解】解：原式=P+4*+4+P-9

=2x3+4.X-5,

将】=1代入原式得：2-V:+4A-5=2-1'+4-：-5=1.

26.先化简，再求值：(x+?心、'，其中i=-l

【答案】-3x-2,1

【解析】

【分析】此题考查了整式乘法的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.原式利用多项

式乘以多项式、单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值.

【详解】解：5+2)©1)・2#+3)

=2.va-.V+4.T-2-2Y-6.x,

=-2,

当x=_l时,

原式=-3X(T)-2=1.

27.知：如图，4S平分」C4D,虹\求证：-<?=」?.

【答案】见解析

【解析】

【分析】利用SAS证明以C/L5二皿3,即可证明=-口.

【详解】解：•.••平分一匚4D,

ZCA3=Z2M9,

在和占二：虻中，

AC=AD

'Z.CAB=乙DAB

AB=AB

hCAB^ADA£(SAS)

.-.ZC=ZD.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握S心、AAS、AEA、SSS等全等三角形的

判定方法是解题的关键.

28.如图，在一二中，3D平分一MC,DECB,p是3n的中点.

(1)求证：是等腰三角形.

(2)若一二'-的，求ND即的度数.

【答案】(1)见解析；

⑵65°

【解析】

【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并

灵活运用是解此题的关键.

(1)由角平分线的定义结合平行线的性质得出4452=-ED8,再由等角对等边得出即可

得证；

(2)由平行线的性质可得ND£B・130°,再由等腰三角形的性质即可得解.

【小问1详解】

证明：••.3D平分

.\£A£D=£DBC,

-DECB,

：._EZB=,

:.ZABD-Z£DB,

:.EB=ED,

•••三£0是等腰三角形；

【小问2详解】

解：,：DE〃CB,

.-.ZZ)£5=180o-ZAffC=130o,

F.B-ED,尸是BD的中点，

血F=L/DEB=65。

・今

••一,

.•.Z。呼的度数为65°.

29.定义一种新运算(。力)，若a'="则(%")=',例(2⑻=3,(3,8l)=4,若

I3.5I+I3.7I=I3.AI；求》的值.

【答案】35

【解析】

【分析】本题主要考查同底数幕的乘法，解题的关键是理解题意；设i3,5，=m,«.>="

(3,x)=p,禾用。叫厂=尸"可得尹=35,即可求解.

【详解】解：设(3.5)=%(3.7)=〃，(3,1)=乙

3・=5,3'=7,一,

:.—5,

J=力，

..(3.5)+(3,7)=(3.x)

•9

E+〃=p,

尹=35,

x-35.

30.我们有公式：A+")(x+5)=、'+S+b)x+ab.

反过来，就得到可以作为因式分解的公式：，