福建省莆田市2024-2025学年高一年级下册3月月考数学检测试题（含答案）

福建省莆田市2024-2025学年高一下学期3月月考数学

检测试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

~AB-Ci5c-~BC\DA^

1.化简：I厂()

A.2ADB.ADC,0D.2DA

【正确答案】c

【分析】应用向量加减法则化简即可得答案.

AB-(DC-BC\DA=AB+BC-(DC-DA}=AC-AC=O

【详解】IJ

故选：C

cosB=—

2.在V4SC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且。=2,c=3,4,则b=(

)

A,旧B.际C.4D.丽

【正确答案】B

【分析】由余弦定理户=/+。2-2accos8即可得出答案.

b2=a~+c2—2accos5=4+9—2x2x3x—=10r—

【详解】由余弦定理可得4，则8=,10.

故选：B.

1

sina=—

3.已知3,则cos2a=()

751

---

B9c9D3

A.

【正确答案】B

【分析】应用二倍角余弦公式计算即可.

1.21/

sma=—cos2。=1一2sina=l-2x—=—

【详解】因为3,则99.

故选：B.

4.在平面直角坐标系中，角。的顶点在坐标原点，其始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位

尸尸』

圆交于点I55人贝°sm2a=()

_12__2486

A.25B.25c.5D.5

【正确答案】B

【分析】根据角终边上的点坐标，求得sina,cosa,代入二倍角公式即可求得sin2a的值.

43

一cosCC——

【详解】由定义知sina=5,5,

24

sin2a=2sinacosa=---

所以25,

故选：B.

该题考查的是有关三角恒等变换的问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，正弦二倍角公式,

熟练记忆公式即可解决，属于基础题目..

5.已知向量3=(4,—1),1=(〃,一1),若他+9)//万，则彳+〃=()

A.-2B.-1C.0D.1

【正确答案】B

【分析】根据向量共线的充要条件得解即可.

［详解］因为之=(1，2),刃=(%T),

所以1+3=0+41),

因为(a+b)//c,

所以-(l+X)-M=0,解得2+M=-1,

故选：B

a_cos5

6,在V/8C中，若石cosA,则V48C的形状为（）

A.等边三角形B,直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角

三角形

【正确答案】D

【分析】首先根据正弦定理，将边化为角，再结合二倍角的正弦公式，以及角的关系，即可判断.

acosBsin4_cosB

【详解】因为bcosN,由正弦定理可得sinBcosA,即sinNcosN=sinBcosB,

所以sin2N=sin28,可得2Z=23或2N+28=兀，

A+B=-

所以4=8或2,所以V45C的形状为等腰或直角三角形.

故选：D.

7.设向量&与5满足㈤=2,B在&方向上的投影向量为5",若存在实数2,使得乙与

”与垂直，则彳=（）

A.2B.-2C,狗D.Y

【正确答案】B

【分析】根据投影向量的定义结合己知求得鼠族，再由值与）一九3垂直，得"Q—

结合数量积得运算律即可得解.

1-

_、--Q

【详解】解：因为5在&方向上的投影向量为2,

a-ba_1-

所以门口，

所以。石=一2,

因为&与。一兄5垂直，

a'（a-Xb\=Q

所以1）,

―2-*-*

即。一4。•6=4+22=0,角军得力二—2

故选：B.

8.已知在V48C所在平面内，BD=2AB,E、F分别为线段幺°、力。的中点，直线跖与

BC相交于点G,若DGLBC,则（）

3

A.当国=4网

cosNR4c取得最小值M

时,

4

B.当年卜4画

时，cosNR4c的最小值为M

4

C.当国=3网

时，cosNA4c的最小值为M

3

cosNR4c取得最小值M

D.当时,

【正确答案】D

【分析】首先根据已知条件得出向量之间的线性关系，再利用向量共线定理确定相关系数，接着

根据向量垂直的性质得到关于向量模长和夹角余弦值的等式，最后运用基本不等式求出夹角余弦

AB\=cAC\=b,通与近的夹角为N8NC=a,

设

因为5Z）=2ZS,所以4D=4B+BD=4B+2aB=3AB,

—■1—-—.1—.3—■

AE=~ACAF=-AD=-AB

由于E、F分别为线段NC,NQ的中点，则222

AG=AAE+（l-^AF=^AC+^-^AB

因为E,G,F共线，所以存在实数之，使得22

4+义匕少=1」AG=-AC+-AB

又因为B,G,C共线，所以22，解得2,贝I44

W=AG-AD=(-AC+-AB]-3AB=-AC--AB

那么(44144BC=AC-AB

W-BC=(-AC--AB\(AC-AB

由于。GLBC,所以144八

1--21----9—­—■9—-21,9,5

=-AC——AC-AB——AB-AC+-AB=-b2+-c2——bccosa=Q

4444442

_44_b2+9c-______

C0S&=~5­=b-+9c22db2义对2x3bc3

一be1Qbc-----2-------------——

由此可得2，而106c10Z)c10Z)c5,

当且仅当6?=9。2,即b=3cb>0c>0时，等号成立，

此时=3|*,cos/B4c取得最小值M.

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列命题中，正确的命题有（）

A.向量方与向量强的长度相等

B.।।II।।是。，台共线的充要条件

C.若1a//b,则Z与书的方向相同或者相反

D.若，，。2是两个单位向量，且*4=1,则旧+02卜血

【正确答案】AC

【分析】根据平面向量的定义及其性质对各选项判断即可.

【详解】对于A,向量方与向量而是方向相反的向量，但它们的长度是相等的,

因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关，所以选项A正确；

-Z-。=2也=1Q+6=3\a-t\=\

对于B,若。，'同向共线时，H,।।，则门口，1।不相等，

Ll+I^l=\a-b\-7

所以।।门।।不是。，'共线的充要条件，故B不正确；

-►-►II-►―►—»—»—»―»

对于C,。力0,6*0,a//b,则。与b共线，故。与人的方向相同或者相反，C正确;

对于D,若'，是两个单位向量，且ez|=l

--2—*1­►—►I-

G+%+2e,-e,=73

则1212,故D错误.

故选：AC.

V3

10.在V4SC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,Cl+c?=b~-etc

6=行，则（）

COS5=——sinB=-

A.2B.2

C.ac=]Da+c=百

【正确答案】ACD

【分析】通过已知条件，利用余弦定理求出角B,再根据三角形面积公式求出的值，最后结

合已知条件和完全平方公式求出的值.

222

［详解］在V/3C中，因为/+/=/—ac,gpa+c-b=-act

a1+C1-b1-ac1

cos5=

由余弦定理2ac2ac2

5ZOAB=—sinB=—

又（'人所以3,2,故B错误，A正确;

11A/3V3

ABC=—=-acsinB=——cicx.....-

因为4,则2224,所以ac=l,故c正确;

22

因为"+°2=/一四,b=®,ac=l,则"+c-1=1

所以（4+°）一=/+/+2。。=1+2=3,因为a+c>0,所以a+c=G,故D正确.

故选：ACD.

11.如图所示，线段N8是0c的弦，其中N8=8,AC=5,点D为℃上任意一点，则以

下结论正确的是()

B.方•赤的最大值是78

——.sinZDAB=—

C.当幺BCD=0时，5

DAC-AB=32

【正确答案】AD

【分析】根据图形特征判断A,再应用数量积公式计算判断B,D,再根据向量垂直得出角的正

弦值判断C.

【详解】点D为℃上一动点，可知当点A,C,D三点共线的时候，W4的值最大是

2ZC=10,故选A；

_______________________-pl]一2

AC-AB=|^C|.网cos/CZB=".网x，网=32

,故选D；

当48•3)=()时，即48,CZ),此时，点口在℃上有两个位置，如图所示，故

sin/。4s不止一个答案，所以，排除c选项.

D

（。）

对于B选项，如图1所示，建立平面直角坐标系，则点D坐标设为（5c°sd，5sm'），人点坐标

是㈠,—3）,B点坐标是“—3）,

图1

则幺5=（8,0）,AD=（5cos9+4,5sine+3）,而.赤=40cos6+32,

所以，当cosd=l,即e=°时，刀.万5取得最大值72,因此B不正确;

故选：AD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量"=（，），（，），若（）则x-

【正确答案】-1

【分析】根据向量坐标运算求出己+坂的坐标，再利用向量垂直的性质列出方程，最后求解方程

得到尤的值.

【详解】因为"=（T2）,%=（3，x）,所以"+'=G，x+2）,

因为所以-lx2+2x+4=0,解得x=-l.

故T

4S

13.在人^。中，A=60°>b=l,MBC=,贝|sinC的值为

2回

【正确答案】3

【分析】

S=LcsinZ

由2可求出再根据余弦定理求出即可由正弦定理求出.

11

S=—bcsinA逝=—xlxcxsin60°

【详解】由2可得，2,解得c=4.

a2-b2+c2-2bccosA=l+16-2xlx4x—=13/—

2,即a=713.

a_c_5_2回

由正弦定理可得，sinNsinCsin6003.

2回

故3.

本题主要考查三角形面积公式的应用，以及正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

14.已知正方形N5C。的边长为2,E是5c的中点，F是线段NE上的点，则成•市的最大值

为.

9

【正确答案】5

【分析】先建系得出坐标，再应用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数值域计算求解.

如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则（'）,（，）,（，）,；.（，）.

设方=4次（OV4VI）则舒=（24"）,CF=（22,2）-（2,2）=（22-2,2-2）

AF-CF=22-（2A-2）+2-（2-2）=522-62

FA-CF=-2A-（22-2）+（-2）-（2-2）=-522+62

...当5时，莎•而有最大值，最大值为5

9

故答案为：5

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在直角坐标系xS中，已知点"He),，仅2W，C(2cos，,sin，)，其

中12_.

(1)若茄〃云，求tan'的值；

(2)设点,O'。)，求就,丽的取值范围.

【正确答案】(1)26；

⑵…4]

【分析】(1)利用共线向量的坐标表示，列式计算得解.

(2)利用数量积的坐标表示，结合辅助角公式及余弦函数性质求出最大值.

【小问1详解】

依题意，方=(2,26)，〃=(2cosasine),

由翔〃灰，得2sind=2G-2cos。，所以tan6=20.

【小问2详解】

依题意，3),点心),

则5。=0,一20)AC=(2cos3+2,sin6))

AC-BD=2cos3+2-2Gsin9=2+4cos|^+—|

因此I3人

八兀八兀兀571

Oe0,—^+―e

i,-6~

当2」时，则3

cos[e+g

e+四J

因此当33,即e=0时,取得最大值5,

l4C-AD=2+4x-=4

此时2

八兀5兀八兀A।兀)V3

Q-\--二---Q——COS(/H------

当36,即2时，13J取得最小值2,

一AC-—BD=2+4x「-由-1=2-2V3r

此时1一2

[2-273,4]

所以的取值范围是

16.已知平面向量a=°'X),坂=(2x+3,-x),c=(3,5),xeR

(1)若求X的值；

I\

一〃72a+b

(2)若。〃力，求的值.

(3)若口与°的夹角是锐角，求x的取值范围.

【正确答案】(1)-1或3；

(2)右或5；

5U*

(3)53

【分析】(1)根据两向量垂直数量积为°列方程求解.

(2)根据两平行向量坐标之间的关系列方程求解出x,代入得到22+B的坐标,

再代入向量模

的公式进行求解.

(3)口与"的夹角是锐角，则口吃〉°且两向量不共线.

【小问1详解】

若£j_3则=(l,x)-(2x+3,-x)=2x+3+x(-x)=0

整理得犬-2x-3=0,解得x=_］或x=3.

所以x的值为T或3.

【小问2详解】

（2）若。〃3,则有1x（-x）-x（2x+3）=0,即x（2x+4）=0,解得x=0或x=-2,

当x=0时,2=0,0）,石=（3,0）,则2Z+：=（5,0）,得忸+*5；

当“-2时，:0，-2）,1（T2）,则2"心（1,-2）,得忸+*石

Ir

2a+b

所以，的值为.r5或5.

【小问3详解】

3

————X>—

（3）因a与°的夹角是锐角，则分。>°,即3+5x>0,得5,

——X=--

又当a与c共线时，有3x=5,得3,不合题意，贝（］3

U

综上,x的取值范围为

cos/=_

17.V48c的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若8,c-a=2,6=3.

（1）求a和si叫

cos2^4+—

(2)求I6J的值.

・n3V15

Sllltf=--------

【正确答案】(1)。=2,16

176-7汨

(2)64

【分析】（1）先应用余弦定理计算得出°=2,再结合同角三角函数关系应用正弦定理求解;

（2）先根据二倍角正弦及余弦公式计算求值，最后应用两角和余弦公式计算即可.

【小问1详解】

b2+c2-a29+c2-a2_7

COSTI

由余弦定理可得2bc由b=3,则6c8,

由c—a=2,即c=2+a,代入上式整理可得72+8Q+2）—8/=42（a+2）,解得。=2

sirU=Jl-cos》=s辿="，凡亚

由8,根据正弦定理，可得a2816

【小问2详解】

32幺=湛j陋=竺-竺=网

646464.

sin2N=2siih4cosZ=2x叵x-=

8864

71

66664264264

（1）求/（“）的最小正周期和单调递增区间;

7715兀

/(«)=7会

⑵若5,3'不，求cos2a的值.

--+kn,—+kn（keZ）

【正确答案】（1）最小正周期为兀，单调递增区间为L63」’

3-4石

(2)10

【分析】（1）利用辅助角公式化简函数/（“）的解析式，利用正弦型周期函数可求出函数

/（X）的最小正周期，利用正弦型函数的单调性可求出函数/（X）的单调递增区间；

/吟3

（2）由已知条件得出I6J5,结合同角三角函数的基本关系可求出

人叫

cos2a——

16J的值，再利用两角和的余弦公式可求出cos2a的值.

【小问1详解】

f（x）=^-sin2x--cos2x+l=sinfzx-—>1+1

因为22I6J,

7_2兀_兀

所以，函数的最小正周期为2"

jrjr

--+2hr<2x--<-+2左兀(左£Z)+H<X<y+hl(A：€Z)

由262

~~+kit.—+kTi(kGZ)

所以，函数/

(X)的单调递增区间为L63」

【小问2详解】

sinf2%--^-j+1

由⑴J)

4

5

。。兀71।兀71。兀7171•o兀71.兀71

COS26Z=cos2a——+—=cos2a——cos——sin2a——sin—

所以,666666

4V3313-473

------X-------X-二----------------

52210

19.在平面直角坐标系x°y中，对于非零向量"=(石/|),'=(%，%),定义这两个向量的“相

归力一马川

d@B)=

-X+;,容易知道刃平行的充要条件为

离度'为+yf72

(1)已知°=3),加=(-4,2),求d

(2)①已知Z,B的夹角为4和1，2的夹角为2,证明：d@,5)=dgd)

的充分必要条件

是sin4=sin02

一—AD-i___________

②在V48C中，AB=2,AC=4>£>C=28。且3,若尸Z+P8+PC=0,求

d停，丽)

4

【正确答案】（1）5

A/3

（2）①证明见解析；②2

【分析】（1）根据“相离度”的定义代入相应值进行计算.

（2）首先证明①3七石+/向石）=\可得d（；b）=sin<；£>,根据"@石）="（乙2）,

等价于sin<a,b>=sin<c,d>即可证明；

uunILUULK2

4D=AB+BD=—AB+—AC------------

②由33左右同时平方可求得Z8TC=-4,由题知产为V48C的重心,

然后以万、/C为基底表示出沙、而，进而求出c°s2P4必，再代

d停，丽)=-cos2PA,PB=三

即可得解.

【小问1详解】

2x2-1x(—4)4

d@B)=

75x275—5

【小问2详解】

（刀/2一》2%）2

2d2&B)=

COS5,6++

G：+%2）.侬+货）