福建省上杭县2024-2025学年高二年级下册期中数学检测试题（含答案）

福建省上杭县2024-2025学年高二下学期期中数学检测试题

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.）

1.已知函数/（x）=s欣-X,则八0）=（）

A.-2B.-1C.0D.1

2.以A,3分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现停水的事件，据记载知P（/）=S35,

P⑻=0.30,/忸）=0.15,则两个区同时发生停水事件的概率为（）

A.0.6B.0.65C.0.45D.0.045

一I

3.已知空间向量凡2）,一（2,1,2）,若2,5与3垂直，则〃等于（）

32_3_2

A.5B.3C.2D.§

4.已知四面体/BCD如图所示，点E为线段CD的中点，点尸为V/3C的重心，则而=()

:A

C

IAB--AC--ADIAB--AC--AD

A.362B.332

^AB--AC--AD^AB--AC--AD

C.333D.362

pi

/(x)=——

5.函数x的大致图象为()

V_LJP

1

Fc.i^D.0

6.设〃x)在R上存在导数/'(X),满足/'(x)+〃x)>°,且有〃2)=2©。。)>2的解集为(

)

A.(-8,1)B.(-叫2)C.(L+00)D.(2，+°°)

g(x)=ex--x2+（b—\}x

7.若函数2存在单调递减区间，则实数6的取值范围是（）

0

A.[0,+s)B,(°叱)c.(-°°>]D.（一8，。）

en

8.设。=3、b=7t,c=e（e为自然对数底数），贝Ua,b,c大小关系为（）

A.a>b>cB_a>c>bc.c>a>bD.c>b>a

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.）

9.下列说法命题正确的是（）

A.在空间直角坐标系中，已知点“23一5）,2（0,-2,-2）,。（-2,-5,1）,则/，民。三点共线

B.若直线/的方向向量为°=平面a的法向量为拓=（一贝〃〃。

c.已知B=（回°，T）,则£在B上的投影向量为工

OP=—OA+mOB+nOC（n,meR）

D.己知三棱锥点尸为平面NBC上的一点，且2、，则

1

m+n=—

2

10.现有编号依次为1,2,3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装

有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同.某人先从三个盒子

中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件A表示“取得红球”，事件3表示“取得白球”，事件

G表示“球取自，号盒子”，则（）

A."3n尸©B)=|

P(5)=—〃©/)=；

B.V712c

D.J

11.函数“x）=（x+l）（?7+a）（aeR）,则下列说法正确的是（）

A.当。=-2时，/（无）的极小值为0

B.若“X）有3个零点不，X2,则尤1+尤2+尤3=0

C.若g（x）=/（x）+a,则g（x）为奇函数

D.当-2<a<0时，/（X）在区间（一双-1）上单调递增

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.现有10道四选一的单选题，学生李华对其中8道有思路，2道题完全没有思路，有思路的

题做对的概率为0.9,没有思路的题只好任猜一个答案，猜对答案的概率为0.25,李华从10道题

中随机选择1题，他做对该题的概率为

13.已知平面。的一个法向量”=（一2,一21），点/（T，-3,0）在平面。内，则点尸（-2,1,4）到平面

a的距离为

14.已知后＞。，对任意的不等式小（丘-1）2exlnx恒成立，则k的取值范围是

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.（13分）已知函数或+5在》=-2处取得极值-8.

⑴求实数6,。的值.（2）求函数/（X）在区间［一33］上的最大值和最小值.

16.（15分）如图，在空间四边形/8CO中，已知朋\N分别是线段8C、的中点.

（1）设C4=a,C8=B,CD=c,试用向量£、加、工表示疝和国;

（2）若空间四边形是棱长为2的正四面体，求直线和CN夹角的余弦值.

17.（15分）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布

程碑，开辟了人机自然交流的新纪元ChatGPT所用到的数学知

是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学

组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个

红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球.

（1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；

（2）抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4,从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于

5,从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率；

（3）在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率.

18.（17分）如图，在三棱锥P-/8C中，平面PNC,平面NBC,PA1AC,NB/C=9O。，点

D,E,N分别为棱尸PC,8c的中点，M是线段的中点，PA=4,AB=AC=2.

⑴求证：上亚//平面5。£；

（2）求直线磁与平面BDE所成角的正弦值；

2

（3）己知点〃在棱尸/上，且直线N"与直线BE所成角的余弦值为3,求线段的长.

19.(17分)已知函数"x)=e"6foc+l,g(x)3+2kR

(1)讨论函数f(x)的单调性；

⑵令"x)=/'(x)-g'(x),当左=1时，求"x)的极值点个数；

⑶令夕(x)="x)-g(x),当。(x)有且仅有两个零点时，求人的

范围.

答案

题号12345678910

答案CDCDBDDBCDBCD

题号11

答案BD

1.c

【分析】利用导数的运算求解即可.

［详解］/'(x)=cosx-l,

则/'(0)=cosO-1=0

故选：C

2.D

【分析】由尸(/8)=「⑻।B)可求两个区同时发生停止供水事件的概率.

【详解】由题意可得尸(如=尸⑶尸(/1B)=0.30x0.15=0.045

故选：D.

3.C

【分析】利用向量垂直的坐标表示计算可得结果.

【详解】根据题意可得&"')'=°,即2鼠B-7=0,

3

可得2x(2+〃+4)一(2*2+2)。，解得-5.

故选：C

4.D

【分析】结合重心的性质，利用向量的线性运算和基本定理直接求解即可.

EF=EA+AF=--(AC+AD\-x-

【详解】由题知，2、732

=LAB--AC--AD

362.

故选：D

5.B

【分析】利用导数研究函数的单调性即可确定函数图象.

【详解】因为无，所以无，

当x<o时,r(x)<°,/(x)单调递减,

当%>0时，令/'(x)>。，得x〉l,令/'(x)<。得0<x<l,

所以/(X)在(0,1)单调递减，在(1，+8)单调递增，当元=1时，/(X)有最小值1,

只有选项B图象符合.

故选：B

6.D

【分析】根据题目中已知了'(x)+〃x)>°和/(2)=2,以及不等式ei/(x)>2结构特征可构造函

数尸(x)=e"(x),xeR,再由函数的特殊值,。)和单调性性质即可求解.

【详解】令尸(x)=e"(x),xeR,

则尸'(x)=e'"'(x)+/(x)]>0,xeR,

所以函数/(X)在R上单调递增，又由题尸(2)=e?/(2)=2e2,

所以eXx)>2,即e"(x)>2e2,即尸(x)"(2)的解集为{x|x>2},

故选：D.

7.D

【分析】根据题意转化为导函数e'-x+6-l<°有解，参变分离6<-e<+x+l有解，设

〃x)=-e，+元+1,则实数求导计算可得解；

g(x)=ex-—X2+(/)-1)x

【详解】函数2的定义域为R,

求导得g'(x)=e、-X+6T,函数存在单调递减区间，

所以e工-x+6-l<0有解,即6<-e*+x+l有解,

设/(X)=Y*+X+1,则实数6</(x)max,

则/'(%)=-e"+l,令"x)=0,得工=0,

当x<0时，/'(刈>0,/(》)在(一。，°)上递增；

当x>0时，/'(x)<0J(x)在(0，+°°)上递减；

所以函数/(X)有最大值

因此6<0.

故选：D.

8.B

「/、Inx

iif(x)------

【分析】由hi〃=兀出3,lnZ)=eln7i,lnc=7t,且lna>lnc,构造x利用导数研究单

In兀Ine

调性比较兀e大小，即可得结果.

【详解】由题设lna=nln3,In6=eln7i,lnc=7i,显然Ina>Inc,

In兀Ine

对于eln兀，兀的大小，只需比较兀'e大小，

、Inx、1-lnx

f(x)=-----/(x)=；—<0，/、「、

令X且xNe,则X,即/(X)在［e,+8)上递减,

In7iIne

---<---

所以71e,故ln/?=eln7r<lnc=7c,

综上，lna>lnc>lnb,故"c>6.

故选：B

9.CD

【分析】根据空间向量共线的充要条件计算可判定A,利用空间向量研究线面关系可判定B,根

据数量积的几何意义计算投影向量可判定C,利用四点共面的推论可判定D.

__.-2-5

［详解］对于A,易知/5=(-2,-5,3),8C=(-2,-3,3),显然三/三，所以不共线，即

A错误；

对于B,由题意可知存方=3X(-9)+0X0+(-1)X3=-30*0,所以工3不垂直，即B错误；

G,•bf0xy/3+1x0+4x(-1)「

——^b=-qb=-b

__W1小心)+02+(7)］

对于C,。在b上的投影向量为U,即C正确；

,11

对于D,由于48，C,尸四点共面，则2，所以2,即D正确.

故选：CD

10.BCD

【分析】对于A：利用全概率求产⑷：对于B：利用对立事件概率公式求°⑻；对于CD：根

据条件概率公式运算求解.

【详解】由题意可得：PC"%2”")[,*G)=K(HG)4P(乖•

对于A：由全概率公式可得

尸⑷")")+小)中分9尸(加)小卜岩+3吆故人错误；

尸(5)=1-尸(/)=2

对于B：12,故B正确;

11

p(c)：尸(c/)尸CV(mcj

(11卜P(A)-A-2

7

对于CD：12故C正确;

尸(。2、(切G)

唳办生》P(B)J--5

12故D正确.

故选：BCD.

11.BD

【分析】利用导数求出“无)的极小值，即可判断A；利用韦达定理求出"X)的零点之和判断

B；利用奇函数的定义判断C；利用"X)的导函数在区间(一。,-1)上的正负判断口.

2

【详解】对于A,当。=一2时，/(X)=(X+1)(X-2)>则/'(x)=3(x-l)(x+l),

当x<-l时，f'(x)>0；函数“X)单调递增；

当时，八>)<0,函数/Xx)单调递减；

当x>l时，/'(x)>0,函数，(x)单调递增;

所以/(1)=-4为的极小值，故A错误；

对于B,由"x)=(x+D(*r+")可知"-1是其一个零点，令士=一1,

令x2-x+a=0,设马，》3是/一》+.=0的两个根，由韦达定理得三+三=1,

所以，若函数/(X)的3个零点为多，%,马,

则为+无2+苫3=-1+1=0,故B正确;

对于C,令g(x)=/(x)+a=/+(a—l)x+2a,当a30时,

g(—x)=(—x)3+(Q—1)(—x)+2a——%3一(Q—l)x+2aw—g(x)

所以函数y=〃x)+a不是奇函数，故C错误;

对于D,广。)=3*+°-1,

2

因为当-2<"0时，-3<«-1<-1,当xe(_co,T)时，3%>3,

所以/'(x)=3x°+a-1>0,

所以，当时，“X)在区间(-8,7)上单调递增，故D正确.

故选：BD.

77

12.0.77/100

【分析】直接由全概率公式即可求解.

【详解】由全概率公式可知，他做对该题的概率为尸=0・8x0.9+0.2x0.25=0.77.

故0.77.

2

13.3

【分析】运用空间中点到面的距离公式计算即可.

【详解】由题意知，万=(-1，4,4),则万G=2-8+4=-2,|川=/(-2)2+(一2)2+12=3,

a——\AP——-n\=—2

所以点P到平面"的距离为3.

2

故答案为

14.口，+8)

【分析】构造函数/G)=xe"(xeR),利用单调性得到米-INlnx,分离参数，求出

z、Inx+1「1।1

g(x)=--------―,+8

X，Le的最大值即可

【详解】由条件得e-'(丘-1)»xhu=e毗.Inx,

构造函数"x)=xe*(xeR),对其求导得/")=(x+l)e、，令/'(x)=0得》=_[,

于是当x<T时，/函数"x)单调递减；当x>7时，/a)>0,函数/(x)单调递

增.

因为人>°,星什00]所以日一i>_i,lnx>-l,根据/(辰_1拄/(向)，得到区-iNlnx,

分离参数得尤对Le九恒成立，

只需X

lnx+11

g(x)=，对其求导得短3=詈

构造函数x

令g'(x)=O—<X<1g'(x)>°,函数g(x)单调递增;

得x=l,于是当e时,

当X>1时，g'(x)<°,函数g(x)单调递减,

所以g(x)皿x=g(l)=l,于是左21,因此k的取值范围是I+").

故g

15.⑴％=-2,c=4

40

⑵最大值为百，最小值为-33

【分析】(1)先求导，根据已知列方程组即可求解；

(2)由(1)知/'G)=-3X2-4X+4,根据导函数判断函数的单调性和极值，再求解区间端点处

的函数值与极值比较即可求解最值.

【详解】(1)因为所以/'6)=一3/+2加+。，

因为/(x)在x=-2处取得极值-8,

fr(-2)=0[T2-4Hc=0

所以-2)=-8,所以卜+46-2c=-8,

b=-2

解得10=4,经检验，符合题意,

所以b=2c=4.

(2)由(1)知“x)=-Y-2/+4x,所以/(X)=_3X2_4X+4=(_3X+2)(X+2),

_2

“。)=0,得x-石或—_2,

当xe[-3,-2)时，(。)<0,函数/(x)单调递减，

当”]之司时，/(x)>0,函数”x)单调递增,

当时，/。)<0,函数”x)单调递减,

所以函数"x）的极小值为/（-2）=-8,极大值为27；

又/（-3）=-3,43）=-33,

40

所以函数"x）在区间［T3］上的最大值为不，最小值为-33.

MA=a--b函」£+匕

16.（1）2,22,

2

⑵3

【分析】（1）根据向量的线性运算求解即可.

（2）根据平面向量夹角公式求解即可.

MA=CA-CM=CA--CB=a--b

【详解】（1）22

___.1_.1____1一

CN=-CA+-CD=-a+-c

2222

a-^b\-1-1-1-211-7

MA-CN=-ClH---C=—a——a-b+—c-a——c・b

(2)222424

=—x4x2x2x——i——x2x2x------x2x2x—=2

2422242

又和均为等边三角形，...幽=31=7?下3.

设向量函与疝的夹角为e,则

2

・•・直线AM和CN夹角的余弦值为3.

J_

17.⑴3

2

⑵3

2

⑶5

【分析】（1）设出事件，运用条件概率公式求解即可;

（2）设出事件，运用全概率公式求解即可;

（3）设出事件，运用贝叶斯概率公式求解即可.

【详解】（1）记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件8表示“两个球都是红球”,

3

小）=常10

C2QC23

则尸⑷=得磊尸（皿昭亮93

故10

（2）设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件。表示“从甲箱中抽球”，事件。表示“抽到红球”,

则尸©=|[,%）=:|/（%）=＞（床）=|,

__14232

可得p（M=尸（CM+P（CZ））=P（C）P（0C）+P（C）尸

3

P（C）P（D\C）

P（C[Z））=

--2-=5

（3）在（2）的条件下3

18.（1）证明见解析

巫

⑵5

7

⑶4

【分析】（1）利用中位线得出线线平行，可得出面面平行，由面面平行的性质证明即可;

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角的正弦即可；

（3）设"（°，°，加）（°〈加"），利用向量法求直线与直线BE所成角即可得解.

【详解】（1）取中点尸，连接MF,NF,如图所示:

因为M，尸为中点，所以MF//8Z）,

又因为平面ADE,ADu平面出阳，所以九0//平面ADE,

因为Nr为中点，2E为P4PC中点，所以NF〃AC，DE〃AC

所以NF"DE,又因为NFU平面BOE,DEu平面RDE,

所以NF//平面50E,

又因为N/c儿/尸=尸，NF,MFu平面FMN,所以平面尸儿W//平面5DE,

又因为九Wu平面尸儿W,所以MV〃平面ADE.

（2）・•・平面PAC，平面/8C,平面R4Cc平面A8C=ZC,尸/‘AC,

尸/（=平面尸力（7,;.夕4_1平面尸/（7.

•.•/8<=平面/8。，；.PALAB,又NBAC=90°,

则以A为坐标原点，"民"。，/尸所在直线分别为x/，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系,

则8（2,0,0）,C（0,2,0）,0（0,0,2）,£（0,1,2）,

所以丽=（0,-1,2）,丽=（2,0-2）,DE=（0,1,0）

设平面BDE一个法向量为元=（尤/，z）,

n-DB=0（x-z=0

所以匕•诙=0,所以（k。，

令x=l,则/=°，z=l,所以"=（L°』），

设直线CE与平面BDE所成角为。,

所以।।国◎5,

Vio

所以直线CE与平面所成角的正弦值为飞一.

（3）设〃（0,0,机）（04机V4）,且N（l,l,0）,

所以而=（-1,-1,心）,砺=（-2,1,2）,

IcosNH,BE\=「1211+二时=27

所以J/+2.J1+4+43,解得4

19.(1)答案见解析

(2)两个极值点.

k>-Q<k<-

⑶6或6

【分析】(1)求导，利用一次型含参讨论求得单调性；

(2)求导，求“(X)的极值点个数即为求“(X)的变号零点个数；

，/、，6k+3kx2]

°'(x)=ex1---------——

(3)求导，整理得Ie'A易知，。(°)=°户=°为一个零点,

分后4°和左>0分类讨论.

【详解】⑴/(X)的定义域为RJ'Oe-左，

当上40时，/'(x)>()J(x)在R上单调递增

当人>0时，由f'(x)<°,得x«