第3章 函数的概念与性质 章末重难点归纳总结（解析版）

第3章函数的概念与性质章末重难点归纳总结

呐数的梆析

定义域

呐数的三亚半解析式

L函数的概念

仅域

相等讷傲的则版定义域和解析式相同

自然语盲解析式图像法

一函数的发不方法

定义法

用中iWtl

数

的

概

念■T函数的竹质

与

性

顺奇怏ft

定义

为怏性与单洲仙

图像

次咕散铁型二次的数微小

的数的应用

H分股咕数铁串基本不等式模型

重点一函数的箫析

重球点二的数的三要素

函数的概

念与性质重难点三的数的性防

重点四重函数

重点一函数的辨析

【例1】（2022.全国.高一单元测试）若函数y=/（x）的定义域为{x|-3Vx<8,x*5},值域为

{y\-l<y<2,y^0},则y=/（x）的图象可能是（）

【解析】选项A中，当x=8时，y=o,不符合题意，排除A；选项C中,存在一个x对应多个y值，不是

函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0,不符合题意，排除D.故选：B.

【一隅三反】

1.（2022•全国•高一专题练习）下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（)

【答案】B

【解析】B中，当x>0时，y有两个值和X对应，不满足函数y的唯一性，A,C,D满足函数的定义，故

选：B

2.（2022•全国•高一专题练习）下列变量x与>的关系式中，不能构成了是*的函数关系的是（）

A.x-y=lB.x2-y=1C.x-2y2=iD.yfx-2y=1

【答案】C

【解析】对A,由=l得y=x-i是函数关系;

对B,由Y-y=l,得y=/_l是函数关系;

对C,由尤-2y2=1,得y2=g（x_i）,此时y值不唯一，不是函数关系；

对D,由&-2y=1,得y=是函数关系，故选：C

重难点二函数的三要素

【例2】（1）（2022•江苏省）函数〃x）=7匕+石]的定义域为（）

A.[1,2]B.（1,2）C.（1,2]D.[1,2）

（2）（2022.湖北黄石）已知函数〃x+2）的定义域为（-3,4）,则函数g（x）=的定义域为（）

A/3X-1

A-B-加C-加D.面

【答案】（1）C（2）C

fx-l>0[X>1/、/■,

【解析】由题意得：2_x>0解得尤<2'即AH的定义域为°，2]•故选：C.

（2）因为函数/'（x+2）的定义域为（-3,4）,所以“X）的定义域为（T6）.又因为3x-l>0,即所以

函数g（x）的定义域为故选：C.

【例2-2]（2022・湖南・湘阴县教育科学研究室高一期末）已知函数〃6=号为奇函数.

（1）求实数6的值；

⑵若对任意的xe[0,l],有了（2V-履-耳+|<0恒成立，求实数人的取值范围.

【答案】⑴人=-1

⑵I"

【解析】（1）:函数〃x）=手的定义域为R,且为奇函数，，/（0）=1+6=0,解得6=-1,经验证：

〃力=娱=2=?为奇函数，符合题意，故6=-1；

（2）•：f（x）=2x--,.•./（X）在R上单调递增，>/（-l）=1-2=-j.'：f（2x2-kx-k）+^<0,则

f（2^-kx-k）<~=f（-\）,又函数〃x）在R上单调递增，贝"2/一版一左<一1在xe[0,l]上恒成立，

0q3

k>2（x+1）H-----一4在x£[0,1]上，旦成立，设g（x）=2（%+1）H-------—4,令，=x+1,则，£[1,2],函数y=2，H—在

X+1X+1f

上递减，在[祗,2]上递增，当r=l时，y=5,当r=2时，y=y，故g⑺皿*=?-4=|,则左,，

.•.实数%的取值范围为

【一隅三反】

1.（2022・全国•高一专题练习）已知函数/（x+1）定义域为[1,4],则函数〃尤-1）的定义域为.

【答案】[3,6]

【解析】因〃x+1）的定义域为[1,4],则当UW4时，2<x+l<5,

即〃x）的定义域为[2,5],于是〃％-1）中有2WX-1V5,解得3WxW6,

所以函数〃彳-1）的定义域为[3,6]

故答案为：口,6]

2.（2022•全国•高一专题练习）若函数》=三百的值域是—.

x+2

【答案】（-s，2）u（2,+s）

【解析】'=2-三，，尸2,.•.函数的值域是：（一s,2）"2,+s）.故答案为：（一8,2）u（2,+s）

3.(2022•全国•高一专题练习)已知函数〃同=?七，则/(x)的值域是.

【答案】

,C11••.〃”的值域为]。,；，故答案为:0,1

【解析】x+222,..。v-2—~

尤2+22

4.(2022・全国•高一)函数/x={U的值域是_______________(用区间表示)

-x+5,1VXW3

【答案】[0,4]

【解析】当-2?x1时，/(x)=(x+l)2,为开口向上，对称轴为x=-l的抛物线，所以/(x)e[0,4),

当1WXW3时，/(x)=r+5,为单调递减函数，所以〃x)e[2,4],

综上：/(x)e[0,4],即/⑴的值域为[0,4].故答案为：[0,4]

5.(2022•全国•高一单元测试)已知函数“X)的定义域为B,函数/'(1-3x)的定义域为A=：/，若HxeB,

使得。>/一%+1成立，则实数。的取值范围为

【答案】0|，+力

"1111「]]

【解析】.."(I—3尤)的定义域为A=-,1，，;4x41,-241-3x4;，则B=-2,-.令g(x)=f一％+1,

玉eg,使得a>/_x+i成立，即。大于g(x)在-2,；上的最小值.：g(尤)=(x-g)+1,；.g(x)在

-*]上的最小值为...实数a的取值范围是住,+8

L4j16116

重难点三函数的性质

【例3-1](2022•湖北省汉川市第一高级中学高一期末)已知函数〃%)是定义在(-8,0)U(0,+«)上的奇函

数，且〃-1)川若对于任意两个实数力”(。收)且为f,不等式"?:仁)<0恒成立，则不

等式4(x)>0的解集是()

A.(-ao,-l)u(0,l)B.(-00,-1)u(l,+co)

C.(-1,0)51,小)D.(-l,0)U(0,l)

【答案】D

【解析】由题可知，"X)在区间(0,+8)上单调递减，

又“幻为奇函数，则/(f)=-/(x),且/(-1)=0,故/(1)=0,

设g(尤)=V(x),贝I］g(-x)=-V(-x)=#(x)=gCO，故g(x)为偶函数，

又g(x)在区间(-8,0)上单调递增，在区间(0,+功上单调递减，

又g(-l)=g(l)=0,所以g(尤)>。的解集为(-l,0)U(0,l),

即4(无)的解集为(T,。)(0,1).

故选：D.

【例3-2X2022•全国•高一单元测试)(多选)已知定义域为R的函数“X)在上为增函数，且/'(x-1)

为偶函数，则()

A.〃x)的图象关于直线x=-1对称B.“X)在(-1,+8)上为增函数

C./(1)=/(-2)D./(-3)</(0)</

【答案】AD

【解析】因为/'(x-1)为偶函数，且函数/(X)在(一》,-!)上为增函数,

所以/'(X)的图象关于直线x=—1对称，且/'(X)在(T,")上为减函数，所以A正确，B不正确;

因为的图象关于直线x=T对称，/(1)=/(-3)^/(-2),所以C不正确;

因为的图象关于直线x=—1对称，所以〃0)=〃—2),/(一£|=，一目，又〃无)在(一方一1)上为增

函数，所以即/(一3)〈/⑼一口，所以D正确.故选：AD.

【例2-3］.(2022•贵州黔西•高一期末)已知函数〃6=与、是定义在上的奇函数，且〃1)="

(1)求加,〃的值；

(2)判断了(x)在上的单调性，并用定义证明;

【答案】⑴〃7=0,〃=1

(2)〃外在［-1』上单调递增，证明见解析

【解析】(1>是定义在［-U］上的奇函数，:"(。)=-机=。，解得：机=0；

/⑴j

经检验：当m=0,〃=1时，=则“一到二一"二一/⑴，.•.“X)为奇函数;

•X十A十L

:.m=0,n=l.

（2）〃％）在［-1』上单调递增，证明如下：

设-1?玉x2?1,

,f（YX%X］_X2（X；+1）-X|（X；+1）_%尤2（&―.）+（%—%）_（%—%）（占尤2—1）

,•八"一八J-二一百一（考+i）G；+i）-—（考+ij（x；+i）-G+D储+i）；

x,x2<1,Xj-x2<0,Xj+1>0,片+1>0,

・•.“X）是在［-M］上单调递增.

【一隅三反】

1.（2022•全国•高一单元测试）若函数〃彳）=狈2+2%-1在区间（-8,6）上单调递增，则实数。的取值范围是

A・卜川B.［-川C.］一”

【答案】A

【解析】当即0时，函数〃力=2尤-1在R上单调递增，

所以/•（*）在（-j6）上单调递增，则a=0符合题意；

当。力0时，函数是二次函数，又“X）在（-*6）上单调递增，

——>61

由二次函数的性质知，Sa,解得-.a<0.

a<06

综上，实数a的取值范围是［一：，。］,

O

故选:A.

2.（2022•全国•高一单元测试）（多选）关于函数y=，4-（x+l『,下列说法正确的是（)

A.在区间上单调递减B.单调递增区间为［-3,-1］

C.最大值为2D.没有最小值

【答案】ABC

【解析】由"（x+lpNO得-34x41,即函数y=,4-（x+l『的定义域为13,1］.

令t=4-（x+l）2,贝卜=4-（x+iy的图象是开口向下，对称轴为x=—1的抛物线,

所以函数r=4-（尤+1）2在［-3,-1］上单调递增，在［-1,1］上单调递减，

又》=〃单调递增，所以y=j4-（x+l『在［-3,T上单调递增,在［-1,1］上单调递减，故A,B正确；

222

ymax=^4-（-1+1）=2,当x=-3时，y=^4-（-3+1）=0,当x=1时，y=^4-（1+1）=0,贝Uymin=°,

故C正确，D错误.

故选：ABC.

/、\ax—\,x<a,、

3.（2022・贵州遵义局一期末）（多选）设函数〃尤）=2。_,、，“尤）存在最小值时，实数。的值

Ix—2,cix+1,x2a

可能是（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】ABC

./、［ax-l,x<a

【解析】解：因为/尤=,;I、，

［x-2ax+l,x>a

若a>0,当时〃x）=at-l在（Yo,a）上单调递增，当x--8时/⑴--oo,此时函数不存在最小值；

/\f—1,x<0/、

若4=0,则”x）=21此时AH=-1,符合题意；

IX+X_U11dli

若a<0,当x<a时/■（力=<^一1在（^0,4）上单调递减，

当时/（x）=x2-2tzx+l,

二次函数、=尤2-2依+1对称轴为x=a,开口向上，此时在,,+（»）上单调递增，

,.fez<0

要使函数/（x）存在最小值，只需片+］，解得aW-L

综上可得」0}.

故选：ABC

4.（2021.贵州・遵义航天高级中学高一阶段练习）（多选）哥函数〃x）=（加一5"?+7）--6在（0,+“）上是增

函数，则以下说法正确的是（）

A.m=3

B.函数/'（X）在（-8,0）上单调递增

C.函数/■（%）是偶函数

D.函数的图象关于原点对称

【答案】ABD

【解析】因为幕函数〃月=（疗-5加+7）/-6在（0,+向上是增函数，

所以1m2:根；7一\解得加=3,所以外力=1,

[m-6＞0

所以〃—）=（_尤）3=一尤3=_〃司，故/"）=三为奇函数，函数图象关于原点对称，

所以“X）在（-8,0）上单调递增；故选：ABD

重点四募函数

【例4】1（2022•全国・高一）已知幕函数y=/（x）的图象过点2,一，则下列关于/（尤）说法正确的是（

I4

A.奇函数B.偶函数

C.在（0,+8）单调递减D.定义域为[0,+8）

【答案】C

【解析】设幕函数＞=/（尤）=无“。eR,由题意得：2。=显,a=-＞,

42

N1

故y=/（x）=x2=尸，定义域为（0,+s）,故D错误；

定义域不关于原点对称，＞=/（尤）为非奇非偶函数，A,B错误；

33

由于-：＜0,故y=/（x）=J5在在（0,+8）单调递减，C正确，故选：C

【一隅三反】

m

1.（2022.全国•高一专题练习）如图所示是函数了=.（兀、weN*且互质）的图象，则（）

A.根、〃是奇数且一＜1B.优是偶数，”是奇数，且生＞1

n