安徽省安庆市某中学2024-2025学年高三年级下册2月检测数学试题

安徽省安庆市第一中学2024-2025学年高三下学期2月检测数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合”={(x,y)ly=x},集合N={(x,y)|2x-y=l且x+4y=5},是pwN的

()条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分又不必要

2.己知2i-3是关于x的方程2x2+px+4=0(p,qeR)一个根，则[=()

A.-10B.26C.-26D.13

3.根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得至I]/=2.974.已知产(/23.841)=0.05,

依据小概率值。=。.05的独立性检验，以下结论正确的是()

A.变量x与y独立

B.变量X与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05

c.变量x与y不独立

D.变量X与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05

4.在VA3C中sinA=—,sinB=—贝！JcosC的值为（）

16「56c16f56c16.56

A.-----B.—C.—或---D.-----或一

656565656565

5.已知<l,a5<l,则实数〃的取值范围是（）

A.-l<a<——B.~—<a<0

22

C.0<Q<一D.一<Q<1

22

6.在孟德尔豌豆试验中，子二代基因型为DD,Dd,dd,其中D为显性基因，d为隐性基因，

且这三种基因型的比为1:2:1,如果在子二代中任意选取2株豌豆进行杂交试验，那么子三

代中基因型为dd的概率为()

r、,、S”3〃+2

7.已知分别为等差数列｛q｝，色｝的前〃项和，冒=赤不，设点A是直线2c外一点，

点P是直线3c上一点，且再5=胃空点+九正，则实数力的值为（）

4

89c221

A.——B.——C.——D.——

25252525

8.设。是含数1的有限实数集，f（x）是定义在。上的函数，若/（X）的图象绕原点逆时针

旋转g后与原图象重合，则在以下各项中，F⑴的可能取值只能是（）

6

A.6B.且C.也D.0

23

二、多选题

9.平面。垂直于平面夕，且下列命题正确的是（）

A.平面。内一定存在直线平行于平面£

B.平面a内已知直线必垂直于平面夕内无数条直线

C.平面a内任一条直线必垂直于平面夕

D.过平面。内任意一点作交线/的垂线，则此垂线必垂直于平面夕

10.一动圆M与。G：x2+y2+6x+8=0,QC2：，+y2-6x=。都相切，则动圆圆心M的轨迹

方程可能情形是()

2

A.x2=l(x<-1)B.x-^=l(x>l)

2222

C.---上-=1(尤4-2)D.--^-=l(x>2)

45、745v7

11.扇形的中心角为60。，所在圆半径为抬，它按如图I、图H两种方式有内接矩形

CD跖.已知图I：矩形CM尸的顶点C。在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧A8上，顶点尸

在半径Q4上，设NEOB=6.图H：点M是圆弧AB的中点，矩形CDEF的顶点RE在圆弧AB

上，且关于直线对称，顶点CI分别在半径。氏。4上，设NEOM=g（）

试卷第2页，共4页

AA

E

D

'B

图I图n

6

A.图I矩形CD所面积最大值是2

^

3

B.图I矩形CDE/面积最大值是

C.图II矩形CDM面积最大值是6-36

D.图H矩形COM面积最大值是6-

三、填空题

12.抛物线y=加"？0)的焦点坐标是.

13.在平行六面体中，底面ASCD是边长为。正方形，侧棱AA的长为6,

且NAAB=ZA.AD=120°,则AQ的长为.

1-2X

14.已知实数％V满足x<ey<l且yln_x-ylny=F，则,-2x的最小值为.

四、解答题

15.一个车间有3台机床，它们各自独立工作，其中A型机床2台，8型机床1台.A型机

床每天发生故障的概率为0.1,B型机床每天发生故障的概率为0.2.

⑴记X为每天发生故障的机床数，求X的分布列及期望E(X)；

(2)规定：若某一天有2台或2台以上的机床发生故障，则这一天车间停工进行检修.求某

一天在车间停工的条件下，8型机床发生故障的概率.

16.已知数列｛%｝的前"项和为S”,q=2,q+[=2S“+2(〃wN*)

(1)求数列｛%｝的通项公式

(2)在an与。用之间插入n个数，使这〃+2个数组成一个公差为4的等差数列.设

1

7T=—1+—1+—1+•­•+—

nnGN，求I,；

I^^2^^3f.

22

17.已知双曲线E:土-匕=1与直线/：丁二履+机(4。±2)有唯一的公共点加，

416

⑴若/与直线1=半交于点M证明：以MN为直径的圆过双曲线石的右焦点;

⑵过点M且与/垂直的直线分别交x轴，y轴于A(x,0),8(0,y)两点.当点〃运动时，求点

尸(x,y)的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

18..如图，正方形ABC。的边长为。，尸，。分别为边上的点.

(1)若ACPQ是等边三角形，求△AP。的面积

⑵△APQ的周长为2a,

(i)求ZPCQ的大小：

(ii)若。=0+1,。是AC的中点，设S为△PC。的面积，将△AP。沿PQ折成直二面角

A'-PQ-C,求当S取最小值时，直线AP与平面A'。。所成角的正弦值.

19.已知函数/(x)="-ln(x+«z),其中m21.

(1)设x=0是函数/(x)的极值点，讨论函数A》)的单调性；

(2)若＞=/(尤)有两个不同的零点七和马,且玉＜。＜/，

(i)求参数m的取值范围；

V1

(ii)求证：e*—ln(x2—xl+l)＞e—1.

试卷第4页，共4页

《安徽省安庆市第一中学2024-2025学年高三下学期2月检测数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BBADCADBABACD

题号11

答案AC

1.B

【分析】根据条件可得N曙由此可得答案.

,[2x-y=l,(x=l

【详解】由/,得，J

[x+4y=5[>=1

・.•N={(U)},

:.N窿M,

:“M是pwN的必要不充分条件.

故选：B.

2.B

【分析】将x=2i-3代入方程可得(2p-24)i+10—3p+q=0,进而列方程组求解即可.

【详解】将尤=2i—3代入方程2x2+px+夕=0,

W2（2i-3）2+^（2i-3）+^=0,

即（2p-24）i+10-3/7+q=0,

2〃-24=0

所以解得P=12应=26.

10—3p+q=0

故选：B.

3.A

【分析】根据42=2.974<3.841作出判断.

【详解】由于/=2.974<3.841,故变量1与V独立，A正确，BCD均错误.

故选：A

4.D

IT

【分析】根据正弦值的大小分析可得0<A<?<8,进而求cosA,cos8,再根据

4

cosC=-cos(A+B)结合两角和差公式运算求解，注意cosB的符号.

答案第1页，共15页

【详解】因为9<也<±，BPsinA<sin—<sinB,可知0<A<¥<5,

132544

且sinA=—,sinB=—,则cosA=Jl-sin2A=—,cosB=±Vl-sin2B=±—,

135135

-J-Pn4_/曰/.n\An..n1235416

右cosB=—,可得cosC=一cos（A+B）=-cosAcosB+smAsmB=-----x—H——x—=------；

513513565

若cos5=-3,可得cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-x—+—x—=—；

5V713513565

综上所述：cosC的值为-普或If.

6565

故选：D.

5.C

【分析】根据指数函数、幕函数及对数函数的单调性解不等式可得，的取值范围.

【详解】•••指数函数y=在R上为减函数，

,'由出<1=出得,a>Q，

•.•累函数v-1在R上为增函数，

y-x

••由Q§<]=]3倚,a<l,

0<<1,

；•10g|4g<1可化为log”!<1=log/,

0<4<1时，指数函数y=log0X在（。,+8）上为减函数，

**•0<Q<—.

2

故选：C.

6.A

【分析】由条件概率与全概率公式求解即可.

【详解】记事件3：子三代中基因型为血，因父本中含。。时子三代为血的概率为0,故

父本基因选择如下：

记事件A：选择的是Dd,记事件4：选择的是如、dd,记事件4：选择的是Dd、

dd,

答案第2页，共15页

则尸（4）=Lx』=L,F（A,）=—x—=—,P（>l3）=2x—x—=—,

'"224'）44163424

在子二代中任取2株豌豆杂交，分以下三种情况讨论：

若选择的是A/、Dd,则子三代中基因型为dd的概率为；P（B|A）=；，

若选择的是面、dd,则子三代中基因型为面的概率为；尸（冏4）=1,

若选择的是dd,则子三代中基因型为㈤的概率为P（B|A）=g.

综上，P（B）=尸（A）•尸（B|A）+P（4>P（8|4）+P（A）•尸（3%）

因此，子三代中基因型为㈤的概率是

故选：A.

7.D

【分析】设邑=（3〃+2）〃匕r=（4"+5）〃左，利用三点共线得号&+几=1,根据等差数列

的性质求得，可得答案.

4

（3〃+2）成

【详解】■=（女工0）,不妨设邑二（3〃+2）成工=（4〃+5）成，

（4〃+5）成

因为P,民C三点共线，所以空&+彳=1,

%+。7X7

所以字+1/和法二2

------x5

2

7M21+2)5_23

----7------TX-=

5M20+5)725

2aA.46.,,21

所以"+'=行+'=1"=一石

故选：D.

8.B

【分析】利用函数的定义即可得到结果.

【详解】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转£JT个单位

0

后与下一个点会重合.

答案第3页，共15页

我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=6，B,o时，此时得到的圆心角为工，

0,然而此时x=0或者x=l时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个

x只能对应一个y,因此只有当x=白，此时旋转?，此时满足一个x只会对应一个y,

故选B.

【点睛】本题考查函数的定义，即“对于集合A中的每一个值，在集合B中有唯一的元素与

它对应”（不允许一对多）.

9.AB

【分析】根据面面垂直、线面垂直、以及线线垂直的判定和性质，对每个选项进行逐一分析，

即可判断和选择.

【详解】对A：因为/u面则平面a内只要是平行于/的直线，都平行于平面故A

正确；

对B：在平面夕内作直线/的垂线机，则修_1面。，则"?垂直于平面。的任意直线；

故平面。内已知直线必垂直于直线加，以及与冽平行的无数条直线，故B正确；

对C：平面。内垂直于两平面交线/的直线才垂直于平面£,故C错误；

对D：过平面a内，且在交线/外的一点作交线/的垂线，则此垂线必垂直于平面夕，故D

错误；

故选：AB.

10.ACD

【分析】求出圆C|、圆G的圆心坐标和半径，讨论圆Af与两圆的位置关系，结合双曲线的

定义可得结果.

【详解】由题意得，圆方程可化为（尤+3『+/=1,故G（_3,0）,圆G半径4=1,

圆G方程可化为（尤一3）2+丁=9,故G（3,。），圆G半径々=3,

.•.两圆的圆心距rd=6,

由CG|＞石+4得两圆相离，设动圆〃的半径为R,圆心

答案第4页，共15页

M

Oc2

图1图2

①如图1,当动圆M与圆C］外切，与圆C2内切时，阳。1|=尺+1,|加。2|=尺-3,故

\MQ\-\MC2\=4<6,

根据双曲线的定义，点M的轨迹是以G（-3,0）,G（3,o）为焦点的双曲线的右支，其中

%=2,c=3,故伪=J9-4=亚，

2

点M的轨迹方程为M-上=1（x22）,选项D正确.

45

②如图2,当动圆M与圆C|内切，与圆C2外切时，|MCJ=R-I,|MC2|=R+3,故

|MGHMG|=4<6,

此时点M的轨迹是以G（-3,0）,G（3,o）为焦点的双曲线的左支，结合①可知点M的轨迹

③如图3,当动圆M与圆C1,C2均外切时，|MG|=R+1,|MC?|=R+3,故附G|-|MG|=2<6,

此时点M的轨迹是以G（-3,0）,G（3,。）为焦点的双曲线的左支，其中出=Lc=3,故

&2=19-1=2A/2,

,2

・••点M的轨迹方程为一=l（x<-l），选项A正确.

8

④如图4,当动圆M与圆G，G均内切时，|峥|=氏—1，|加。2卜R—3,故|MG|TMG|=2<6,

答案第5页，共15页

此时点M的轨迹是以G(-3,0),G(3,o)为焦点的双曲线的右支，结合③可知点M的轨迹

2

方程为=1(x21),选项B错误.

故选：ACD.

11.AC

【分析】分别用角夕、。表示出矩形的面积SCDEF=^sin(26+巴)——-,

o2

S3F=6sin(2e+：)-36,再结合三角函数的性质，求得最大值即可判断选项.

【详解】如图I所示，在直角AO即中，

由扇形AOB的中心角为60。，所在圆半径为行，

可得QD=Jocose,ED=CF=V3sin61.

又CD=OD-OC=6cos。--0二=7§cose-sine,

tan60°

所以So?所=EDCD=石sine(V§cos6-sine)=Ssinecose-Gsin?。

当26+6=^,即8=弓时，

矩形CDEP的面积最大，最大值为".

2

如图n所示，设直线分别交OE,C尸于点N,尸,

图II

由/E0M扇形AOB的中心角为60。，所在圆半径为名,

则EN=FP=忘inR,于是ED=2J§sinO，

又CD=PN=ON-OP=yficosm---=6c°s（p-3sinc?,

tan30°

2

所以SCDEF=ED•CD=2指sin夕（V5cos。-3sin。）=6sin^cos^>-6V3sin^

答案第6页，共15页

=3sin20-3^3(1-cos2°)=6sin120+yj-3^3,

当功+g=g时，即。二看时，矩形。£史尸的面积最大，最大值为6-36.

3乙12-

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于结合图形特点及三角恒等变换公式将矩形CDEb的面积

表示出来，进而求解即可.

i2-

【分析】将抛物线方程化为标准形式再读取焦点坐标.

【详解】抛物线的标准方程为炉=工＞,则焦点坐标为(0，：］

故答案为：

13.42a2-2"+及

【分析】根据空间向量的运算来求得正确答案.

【详解】AC^AB+AD+A^,Aq2=(AB+AD+AA^

222

=AB+AD+AAt+2AB-AD+2AB-A^+2AD-A^

—Q2+a2+/—ab—ab—2a?—2ab+Z??,

所以|猬卜y/2a2-2ab+b2.

故答案为：y/2a2-2ab+b2

14.2-21n2

【分析】首先通过对数运算法则对已知等式进行变形，构造函数/(%),利用导数判断其单

YY

调性，再根据函数值相等及单调性得到In—与x的关系，进而得到--2x关于尤的表达式,

yy

构造新函数g(x),通过求导判断其单调性来求解最小值.

答案第7页，共15页

/X尤2l1n-XXIn*X

【详解】Y加^一旦以二丁,;.加一==,.•.—^=—,即_Z=土，

e>e二e*如上/

ye,

设〃x)=g，则上式表明/卜n：［=/(x),

求导得/(6=乓,当0<x<l时，了'(力>0"("在(0,1)上单调递增，

由于Ovxveyvl

YYY

In—=x,.•.—=e',--2x=e'-2x,令g(x)=e*—2x(x<l),

g<x)=e*-2,当0<x<ln2时，g'(x)<O,g(x)单调递减;当l>x>ln2时，g(x)>O,g(x)

单调递增，

g(x)min=g(ln2)=2-21n2.

故答案为：2-ln2.

15.(1)分布列见解析,0.4；

⑵N

23

【分析】(1)求出X的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望；

(2)根据给定条件，利用条件概率公式计算即得.

【详解】(1)X的可能值为0,1,2,3,

P(X=0)=(l-0.1)2x(l-0.2)=0.648,

P(X=l)=2x(l-0.1)x0.1x(l-0.2)+(1-0.1)2x0.2=0.306,

=2)=0.12x(1-0.2)+2x(1-0.1)x0.1x0.2=0.044,

=3)=0.12x0.2=0.002,

所以X的分布列为：

X0123

P0.6480.3060.0440.002

期望E(X)=Ox0.648+1X0.306+2x0.044+3x0.002=0.4.

(2)记事件A为“车间停工”，事件3为8型机床发生故障”,

答案第8页，共15页

贝(JP(A)=P(X=2)+P(X=3)=0.046,P(AB)=0.1x(l-0.1)x0.2x2+0.12x0.2=0.038,

P(AB)0.03819

因此P(B|A)=

P(A)-0.04623

所以某一天在车间停工的条件下，区型机床发生故障的概率为二1Q.

16.(1)%=2X3〃T

⑵5y

【分析】（1）由。的关系，作差即可求解；

（2）由题意得到力=生二，再结合错位相减法求解即可；

Z7+1

【详解】（1）解：当“22时，由a向=21+2可得%=2S“T+2,

上述两个等式作差可得an+l-an=2an,可得an+l=3a„,

a2=2St+2=2at+2=6,又4=2,满足。=3,

所以，数列｛%｝是以2为首项，以3为公比的等比数列，故%=2x3"。

(2)解：0)由题意可得4=%+「4-=2*3"_2*3"1=生］

〃+1〃+1n+1

二匚八【7234n+1

所以‘(=时+£？+中+…+1F'

n

则!T=^-T+^-T+---+

3〃4x314x324X3〃T4X3〃

上述两个等式作差得

52/+5

8-8x3"

因此’片73

17.（1）证明见解析

22

⑵^-去=1（〉工0）,轨迹是焦点在x轴上，实轴长为20,虚轴长为10的双曲线（去掉两

个顶点）

【分析】（1）联立直线与双曲线方程消去九可得x的一元二次方程，利用△=（）,可得

答案第9页，共15页

/=4（攵2—4）,可得点M的坐标，进而可得N的坐标，计算成7.丽可得结论.

（2）过点M且与/垂直的直线方程为y+3=-；（x+竺］,可得尤=_迎,>=_也,

消去

mmJmm

参数可得点P（x,y）的轨迹方程.

【详解】（1）联立方程416―’

y=kx+m,

2

可得（4一女2）%2-2Amx-m-16=0,

因为有唯一公共点且左w±2,

则A=4左2疗—4（4-左2）（_病-16）=0,

整理得病=4（公-4）,

一AR一/km4m）

可解侍点

其中km^Q.

即El/LKV,即以MN为直径的圆过双曲线E的右焦点.

（）由（）知，过点且与/垂直的直线方程为；4k

21My+3=-XH-----

mkm

20k20k20

可得A,P

mmm

20k20

即Rn％=----,y=—

mm

2八

E2400左2400fm呼=1。。+4y2,

贝|「尤二———7-------+4=100+

mm,'214m

答案第10页，共15页

即二—二=1,其中ywO,

10025

22

所以点尸（x，y）的轨迹方程是工-乙=1（力0）,轨迹是焦点在X轴上，实轴长为20,虚轴

10025■

长为10的双曲线（去掉两个顶点）.

18.⑴（2一⑹/

⑵⑴45。；（ii）专

【分析】（1）根据几何性质可得？OCQ?BCP15°,由此得到£＞。=82=（2-出“，表示

AP,A。即可得到答案.

（2）（i）设BP=x,DQ=y,?BCPa,?DCQ匕，根据条件结合两个和的正切公式可得

tan（a+R）=l,由此可得结果.

（ii）建立空间直角坐标系，利用空间向量可得线面所成角的正弦值.

【详解】（1）二•四边形ABC。为正方形，ACPQ是等边三角形，

CD=CB,CQ=CP,?CDQ?CBP90。,？PCQ60,

/.cos?DCQ—=—=cos?BCP,

CQCP

由彳力CQ,5CP?(0°,90°)^?£>CQ1BCP15°.

Vtanl50=tan(600-45o)=^-^=2-A/3,,.-^=—=2-V3,BPDQ^BP=(2-

(71+6CDCBI

AP=AQ=a-(2-G)a=(若-1)a,

△的面积为：。()

•••APQAP?A2-73a1.

(2)(i)设BP=x,DQ=y,2BCPa,?DCQb,贝IjAP=a-羽AQ=a-y,

△APQ的周长为2〃，PQ=2a-(a-x)-(a-y)=x+y,

在直角三角形APQ中，由尸Q2=AQ2+AP得，（x+y）2=（a_x）2+g_y）2,整理得,

a(x+y)=。2-xy,

3

,.x7y.，/7\tana+tanb*+y)_[

・tantz=—,tanZ?=—,,・tan(〃+Z?)=-----------------=―a—―a=

aa')1-tanatanb]a2-xy'

aa

答案第11页，共15页

VO<a+/3<90,：.a+/3=45°,故NPCQ=90。-45。=45。.

（ii）由（i）知ZPCQ=45°,设/8CP=a,0。<a<45。，则ZDCQ=45°-a,

CB1+V2CD_1+也

cosacosa'cos（45°-a）cos（450-a）

（1+后（1+回2

AS=1-CP-Cg-sin450

20cosa・cos（45。-a）2sinacosa+2cos2a

（l+>/2）2（1+忘）2

sin2a+cos2a+1l+VIsin（2a+45°）

V00<a<45c,/.45°<2。+45°<135°,

当2a+45。=90。时，sin（2e+45。）有最大值，最大值为1,此时S有最小值,

当S取最小值时，NBCP=NDCQ=225,且CP=CQ="亚

~cos22.5°

由tan45。=、1,四'=匕门22.5>0得，tan225=应-1,

1-tan222.5°

BP=r>2=«?tan22.5°（及+1）?（01）=1,AP=AQ=0,PQ=42AP=2.

如图，取尸。中点H,连接AH,S,则四人PQ,C”人PQ,故A,H,O,C四点共线,

由折叠得，A'H±PQ,故/A"C为二面角A'-PQ—C的平面角，

且A”=A组=；PQ=1,OH=AO-AH=；AC-AH=与（四1）-1=^.

•.•二面角A-PQ-C为直二面角，A'"_LC",故直线A酎,P。,CH两两垂直.

答案第12页，共15页

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///"/

。HP%

如图，以目为原点，分别以麻，加，丽的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则A(O,O,l),P(1,O,O),2(-1,0,0),O1当

...褥,破=A^d=

w2

A'Qn=-x-z=0

设平面AOQ的法向量为。=(%y,z),则＜

----J2

AO-h=--y-z=0

令y=2,贝!Jx=_0,z=0,故"=(_后,2,后)，

I/.a|AP司2J2J2

设直线ArP与平面AOQ所成的角为凡则sin3=|cos(^P,力卜L__U=垃\'，

直线AP与平面A