第4章 三角形（单元测试·培优卷）-2024-2025学年北师大版七年级数学下册（含答案）

第3章平面直角坐标系（单元测试•培优卷）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其

中只有一项符合题目要求）

（24-25八年级上•浙江温州•期中）

1.四根木棒的长度分别为12cm,8cm,6cm,5cm.从中取三根，使它们首尾顺次相接组

成一个三角形.则下列取法中不能组成一个三角形的是（）

A.12cm，8cm,6cmB.12cm,8cm,5cm

C.12cm,6cm,5cmD.8cm,6cm,5cm

（24-25八年级上•福建福州•期中）

2.如图，已知△4BC中，点。在8C上,使△NAD2△/CD不一定成立的条件

是（）

A.平分N8/CB.AD1BCC.。是8c的中点D.DA=DC

（2022•浙江杭州•模拟预测）

3.如图，正五边形/3CDE中，AFCD,则/A4尸的度数是（）

C.60°D.72°

（23-24七年级下•辽宁丹东•期末）

4.如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的3x3网格，图形/BCD中各个顶点均为格

点，设=ZBCD=p,NBAD=y,则的值为（）

试卷第1页，共8页

C.60°D.75°

（2025•河北保定•一模）

5.一台起重机的工作简图如图所示，吊杆与吊绳的夹角为80。，在同一平面内，将

逆时针旋转45。后到的位置，则吊杆与所连吊绳的夹角a为（）

C.35°D.45°

（24-25八年级上•浙江舟山•期末）

6.过NA4c内一定点D,作一条直线环，交23于点£,交/C于点F,下列四种作法，“EF

面积最小的是（）

（24-25八年级上•安徽池州•期末）

7.如图，在四边形48co中，Z5=ZC=120°,AB=6cm,BC=8cm,CD=12cm,点尸

在线段上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点。在线段8上由点C向点。匀速

运动，若以点尸、C、。为顶点的三角形与ANB尸在某一时刻全等，则点。运动速度为（）

cm/s.

试卷第2页，共8页

D

A.2B.4C.2或4D.2或3

（23-24七年级下•重庆•期中）

8.如图，在△ABC与△/斯中，4C、£三点在一条直线上，N4EF+NB4F=180°,

AC-CE

NBCE=NBAF,AB=AF,若8C=24,所=14,则-------的值为（）

AE

（24-25八年级上•湖北武汉•期中）

9.如图，在中，NB4c=90°,CD是△/BC的角平分线，4ELCD于点£,连

接BE,AB=6,AC=8,BC^IO,贝限48后的面积是（）

（2024•山西临汾•一模）

10.如图1,一副三角尺的△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=10cm,ZBAC=90°,O

是斜边8c的中点，含30。角的直角三角尺的直角顶点放在点。处，记作AOM,NE=30。,

直角边O尸与边OC在同一条射线上.如图2,把AOEr绕点。逆时针旋转，OF与边AC交

于点N,OE与边AB交于点M,得到下列结论.®OM=ON-②ZBMO=NONA；③四

边形/MCW的面积为定值且为25cm-@BM+CN=l0cm.其中，正确的结论有（）

试卷第3页，共8页

图1图2

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

（24-25七年级上•江苏苏州•期末）

11.如图，直线4B〃CD,ZS=48°,/D=26°,则—E的度数是.

（24-25八年级上•河南新乡•期中）

12.如图，在△N2C中，AD=DE,AB=BE,44=80。，则NCEZ）=.

（23-24八年级上•陕西咸阳・期末）

13.如图，CA平分/BCD,CD=CB,ABLAD,延长交2c于点E,则=

度.

（23-24八年级上•河北张家口•期中）

14.已知△A8C和A4CR1,NB==30°,AB=AlB}=5,AC=AxCt=3,已知

试卷第4页，共8页

ZC=n°,则/C]=.

（24-25八年级上•河北唐山•期中）

15.如图，己知：AB//DE,AC//DF,BC//EF,BM+CN=EF-MN.

（2）如果图中不规则的图形NBAffiWC图上阴影，则S（阴影）与S（四边形EAWF）的大小关系是

（填“＞、＜或="）.

（23-24八年级上•贵州毕节•期末）

16.如图，四边形ABCD是等腰梯形，上底CD=6cm,过点C作CE，,且CE=8C=13cm,

连接。若的面积为36cm2,则AB的长为cm.

（23-24七年级下•四川宜宾•期末）

17.在△4BC中，NCAB=8。。,AB=2,/C=3,点E是边48的中点，的角平分

线交8c于点D作直线4D,在直线4D上有一点P,连结尸C、PE,则目的最大

值是.

（23-24八年级下•黑龙江哈尔滨•开学考试）

18.在△4BC中，AHLBC,AE.CD相交于点尸，FG±AC,ZBAF=ZHAG,

试卷第5页，共8页

ZDFA=ZAFG,AD=CE,若2FG=3EF,贝l|——=

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

（24-25八年级上•安徽池州•期末）

19.如图，CE平分△4BC的外角N/C。，且CE交出的延长线于点£.

⑴若48=32。，/£=36。，求/A4c的度数；

（2）试猜想NB、ZE三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想.

（24-25九年级下•江苏泰州•阶段练习）

20.如图，在△NBC和中，AB//CD,给出下列信息①=CE；②AC=CD；

③ZB=NE

（1）请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并

说明理由.你选择的补充条件是,结论是.（填写序号）

（2）在（1）的条件下，AB=6,CA-3.5,求/£的长

（24-25七年级下•全国•课后作业）

21.如图，已知ZX/BC和ACOE均为直角三角形，NACB=NCED=9。。,AC=CE,ABVCD

于点尸.

试卷第6页，共8页

A

(1)试说明：△48C丝△<?〃£；

(2)连接NE,若EA平分NCED,ZD=60°,求NE4B的度数.

(24-25七年级上•海南僧州•期中)

22.如图，在△4BC中，过点2作E是2c的中点，连接。E并延长交NC于尸

点.

(2)当HE_L3C、AF=1、8。=2时，求4B的长.

(24-25八年级上•河北唐山・期中)

23.如图，在四边形/BCD中，N8=〃=90。，点瓦厂分别在边48,4。上，AE=AF,

CE=CF,连接/C.

(2)若N3=8,CD=6,求四边形/8CD的面积；

(3)猜想ZDAB+NECF与ZDFC之间的数量关系，并证明你的猜想.

(24-25八年级上•湖南邵阳•期末)

24.(1)如图①，已知：ZUBC中，NA4c=90°,AB=AC,直线加经过点/,BD1m

于D,CE_L加于E,求证：△,ABD=ACAE；

(2)拓展：如图②，将(1)中的条件改为：△4BC中，AB=AC,D、/、E三点都在直

试卷第7页，共8页

线加上，^5.ZBDA=ZAEC=ABAC=a,a为任意锐角或钝角，请问结论。E=BZ)+C£

是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)应用：如图③，在△ABC中，28NC是钝角，AB=AC,ZBAD>ZCAE,

ABDA=AAEC=ABAC,直线仅与8c的延长线交于点尸，若BC=2CF,△/2C的面积是

16,求与ACEF的面积之和.

试卷第8页，共8页

1.c

【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键.根

据三角形的三边关系定理逐项判断即可得.

【详解】解：A、因为6+8>12,所以长度为12cm,8cm,6cm的三根木棒能组成一个三角

形，则此项不符合题意；

B、因为5+8>12,所以长度为12cm,8cm,5cm的三根木棒能组成一个三角形，则此项不

符合题意；

C、因为5+6<12,所以长度为12cm,6cm,5cm的三根木棒不能组成一个三角形，则此

项符合题意；

D、因为5+6>8,所以长度为8cm,6cm,5cm的三根木棒能组成一个三角形，则此项不

符合题意；

故选：C.

2.D

【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、

SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形

全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.根据三角形全

等的判定定理，逐一验证即可.

【详解】解：A.4D平分/B4C,

ABAD=ACAD,

在△4RD和中，

ABAD=ACAD

<AB=AC,

AD=AD

:.^ABD^AACD(AAS),

故A正确，不符合题意；

B.•••ADIBC,

ZADB=ZADC,

在和A/CZ)中，

答案第1页，共22页

ZADB=ZADC

<ZB=ZC,

AD=AD

;"BDg"CZ>(AAS),

故B正确，不符合题意；

c.•・•。是的中点，

BD=CD,

在和中，

AB=AC

<AD=AD,

BD=CD

.\AABD^AACD(SSS),

故c正确，不符合题意；

D.DA=DC无法证明AABD出AACD,

故选：D

3.B

【分析】连接/C,AD,正五边形NBCDE中，得到4B=4E=BC=DE,NB=NE,证

得A48C%/ED,根据全等三角形的性质得到ZB/C=/E4D,AC=AD,根据等腰三角形

的性质得到NCAF=ZDAF,即可得到结论.

【详解】解：连接4C,AD,

AB=AE=BC=DE,/B=NE,/BAE-108°,

在△4BC和“瓦？中

AB=AE

</B=/E

BC=ED

"BC知AED,

答案第2页，共22页

ABAC=/EAD,AC=AD

AF1CD

ZCAF=ZDAF

ZBAF=NEAF=-/BAE=54°.

2

故选B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质，正确

的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

4.B

【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形外角的性质，根据全等三角形的判定与性质可

得NECB=NGBA,从而可得乙48c=90。=a,再根据三角形外角的性质可得£+7=45。,

即可求解.

【详解】解：如图，BE=AG,NBEC=ZAGB=90°,EC=GB,

.-.ABEC^AGB(SAS),

ZECB=ZGBA,

ZECB+ZEBC=90°,

：.ZGBA+ZEBC=90°,

；.NABC=90°=a,

N0+NCBD=90。,ZCBD+ZABD=90°,

NABD=/3,

■■ZADF=/LABD+ABAD=45°,

.-./?+/=45°,

••^-^-r=90°-45°=45°,

故选：B.

答案第3页，共22页

5.C

【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键.

首先根据题意可得：AXB//A,C,然后由两直线平行，内错角相等，即可求得42c4的度数,

又由三角形外角的性质，求得答案.

【详解】解：如图所示：

设与逆时针旋转45。后吊绳交与点C,/。43=80。，

AXB//A2C,

.../A2c4=ZO^B=80°,

•••ZA2CAl=Za+NA20c,ZA2OC=45°,

.•./a=80°—45°=35°.

故选：C.

6.D

【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，构造全等三角形，结合三角形面积进行判

断即可.

【详解】解：如图①，DE=DF,4D工E'F；过点E作EM〃AC交EF于点、M,贝I」

①

­."ZADE'=ZADF'=90°,

Z3<90°,Z4<90°,

Zl>90°,Z2>90°,

在ADME和ADF'F中，

答案第4页，共22页

Z1=Z2

<ZADE'=NADF'=90°,

DE=DF

r

・•・八DMEmADFF,

'S&DME一'ADPF'

S^DF'FVSADEE'，

+

IS“EF=S四边形/瓦邛，+S亦小S“EF=§四边形ZED?'gEEf

如图②，。四=。尸,。尸34。,过点£作四，石尸于点〃；则/EMZ)=90。,

②

•・・/FFD=90。,

・•.ZEMD=ZFFrD,

在和ADFF'中，

/EMD=AFF'D

<Z3=Z4,

DE=DF

:.ADEM咨小DFF',

.V=Q

,•2bDEM一°ADFF，

SADEMVSADFF"

•••^AAEF=S四边形4应户+SADFF，SAAEF~S四边形4£7W+SADEE'，

SANE/VSANE尸；

如图③，DE=DF,DE」AB,

答案第5页，共22页

B

2

---Q

AF'”'Fc

M

③

•・•/力ED=90。,

.-.Zl<90°,

尸'。是钝角,

过点歹作尸垂足为点M,

在ADEE'和ADFM中,

/DE，E=AM

,/2=N3

DE=DE

・•・ADEEW^DFM,

SADEE'_S4DFM，

..v>v

•u^DFM*ADF'C'

•••SADE-SADF'C，

•••S“E尸二S四边形4瓦用'+SADFC，^^AE'F'=S四边形4瓦）p+S.DEE'

户,；

综上，面积最小的是D选项，

故选：D.

7.D

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点尸运动时间为/秒，点。运动速度为

vcm/s,则BP=2tcm,CQ=vtcm,根据ZB=ZC=120°,可得小BAP义八CQP或小BAP会八CPQ,

再根据全等三角形的性质，即可求解.

【详解】解：设点尸运动时间为，秒，点。运动速度为vcm/s,则AP=2%cm,CQ=vtcm,

.-.CP=（8-2/）cm,

•・•NB=NC=120。,

ABAP^ACQP或ABAPaCPQ,

答案第6页，共22页

当/尸会ACQP时，C0=43=6cm,BP=CP=^BC=4cm,

2t=4,解得：t=2,

••・2V=6,

解得：V=3cm/s；

当ABZ尸也△。尸。时，CP=AB,BP=CQ=v/cm,

：,2t=vt,解得：v=2cm/s；

综上所述，点。运动速度为3cm/s或2cm/s.

故选：D

8.A

【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据三角形外角性质、邻补角定义及角的和

差求出=/BCA=/AEF,利用AAS证明,根据全等三角形的性

质得出5c=4E=24,CA=EF=14,贝1」"=/七-。4=10,据此求解即可，熟练运用全等

三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.

【详解】解:,・,NBCE=/BAF,/BCE=/B+/BAE,NBAF=NBAE+ZFAE,

・•.ZB=ZFAE,

-ZAEF+ZBAF=180°,ZBCE+ZBCA=180°,/BCE=/BAF

・•.ZBCA=ZAEF,

在/\ABC和AFAE中，

ZBCA=ZAEF

<ZB=ZFAE,

AB=AF

・•・△43c四△E4E(AAS),

/.BC=AE=24,CA=EF=14,

・・・CE=AE—CA=U),

AC-CE14-10

••AE24~6f

故选：A.

9.C

【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质.延长

NE交8c于点尸，作与点M,利用角平分线的定义可证A/£C之AFEC(ASA),可

答案第7页，共22页

推出=FC=AC=S,再根据三角形面积可求得NM,从而得到$2时，最后利用

三角形中线的性质可知S/BE=；S.)BF，即可求得答案.

【详解】解：延长4E交2C于点尸，作8c与点"，如图所示,

AE1CD,CD是△4BC的角平分线,

NAEC=ZFEC=90°,NACE=AFCE,

在和AFEC中,

ZAEC=ZFEC

<EC=EC

/ACE=/FCE

，△/EC丝△在C（ASA）,

AE=EF,FC=AC,

vABAC=90°,AB=6,AC=8,BC=10,

/.BF=BC-FC=BC-AC=IO-S=2,

•/Sa”=-ABAC=-BC-AM,

△AHL22

,VABAC6x824

AM=----------=------=—,

BC105

112424

S=-BF・AM=—义2义——=—,

“A即RP2255

AE=EF,

,&_lv24_12

一'"BE-万，“时-J*-《，

故选：c.

10.A

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，连接NO,由于△/BC是等腰直角三角形,

根据等腰直角三角形的性质得/8=/C=45。，ZMAO=45°,AO=OC,AO1BC,利用

“人5人”易证得4M。/24义:。，则（W=0N,ZCNO=ZAMO,可判断①；得

ZBMO=ZONA,可判断②；由AMOAANCO得S^MOA=SNCO,可得四边形AMON的面积

答案第8页，共22页

=S""=；S”蛇，可判断③；由也得"=训，可得

BM+CN=AM+BM=AB=10f即可判断④

【详解】解：连接/O,如图，

••・△Z5C是等腰直角三角形，

ZB=ZC=45°,ZM4O=45°,AO=OC,AOLBC,

...OC=OB=AO,

•・•AMON=90°,

・•.ZNOA+ZAOM=ZCON+ZNOA=90°,

NCON=ZAOM,

在和ACON中，

ZMOA=ZNOC

<AOCO,

ZMAO=ZNCO

A/MO之ACNO(ASA),

：.MO=NO；故①正确；

②•:"MOACNO,

ZAMO=ZCNO,

ZANO=ZBMO,故②正确；

③AMOA知NOC,

SiMOA-$ANCO，

111,

ON

.•・四边形AMON的面积=S,AOM+S^AON=S.CON+S./=SAAOC=-S^ABC=-x-xl0xl0-25cm-,

即四边形NMON的面积为定值且为25cm2,故③正确；

(4)vAMOAWNOC,

,-.CN=AM,

答案第9页，共22页

BM+CNBM+AM=AB=10cm,故④正确，

所以，正确的结论是①②③④，共4个，

故选：A.

11.22°##22度

【分析】根据平行线的到现在可得，再根据“三角形的外角定理”即可求出-E的度数.

本题主要考查了平行线的性质和三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键.

【详解】解：如图，

AB

E

■：AB//CD,4=48。，

N1=NB=48°,

■：4=+

:.ZE=Z1-ZD

=48°-26°

=22°.

故答案为22。：

12.100°

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用SSS证明丝/XEB。得出

NBED=NA=80°,即可得解.

【详解】解：在△/AD和△E8D中，

AD=ED

<BD=BD,

AB=EB

AABDm△班。(SSS),

:.乙BED=//=80°,

ZCED=180°-ABED=100°,

故答案为：100。.

答案第10页，共22页

13.45

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，先根据SAS证明

△ABC冬4ADC,得出=然后根据等式的性质可得出/C*=/C鱼，最后结

合垂直的定义即可求解.

【详解】解：延长以交CD于尸，

；.NDCA=NBCA,

又CD=CB,AC=AC,

AABC^AADC(SAS),

.-.ZDAC=ABAC,

又ZDAF=ZBAE,

ADAC-ZDAF=NBAC-ZBAE,即Z.CAF=ZCAE,

•••ABLAD,

：.ZEAF=90°,

...ZCAF=NCAE=-ZEAF=45°,

2

故答案为：45.

14."。或

【分析】本题考查了全等三角形的判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明全等，讨论

当3C=4。］时，可得AABCa(SSS),则NQ=/C=废，当8CwBg时,由&C；=4G

可得N&C；q=NC：=”。，则问题可解

【详解】解：当8C=4G时，A/BC也A43G(SSS),

zc；=zc=«°

当BCw耳G时，如图,

答案第11页，共22页

•••4。=4£,

“qq=zc;=n°,

=180°-n°,

故答案为：废或180。-废

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，掌握全等三角

形的判定与性质成为解题的关键.

(1)由平行线的性质可得====再根据线段的和差可得

EF=BC,然后证明由全等三角形的性质可得Z)E="=5,最后根据

线段的和差即可解答；

(2)由全等三角形的性质可得S"C=S.OM，再根据面积的和差可得S(阴影)='ABC-SADMN，

S（四边形EMNR）=SADEF-S&DMN，即可解答.

【详解】解：（1）vAB//DE.AC//DF.BC//EF,

・•.NB=ZDMN=NE,NC=ZDNM=ZF,

•：BM+CN=EF-MN,

.­.EF=BM+CN+MN=BCf

“ABC知DEF（SAS）,

DE=AB=5,

.'.DM=DE-EM=5-1=4；

故答案为：4.

（2）,••△ABC义ADEF,

.V=Q

,•Q4BC-JDEF，

V-V_v

,*,S（阴影）=S“BC_S&DMN，口（四边形EAflVF）一口ADEFU&DMN，

答案第12页，共22页

S（阴影）-S（四边形EMNF）.

故答案为：=.

16.30

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，等腰梯形的性质

等等，过点E作斯1CD交。C延长线与尸，过点。作。GL/8于G,过点C作

于〃，先根据三角形面积公式求出防=12cm,证明知CFE（AAS）,得到

BH=EF=12cm,再证明A/G£>0A87/C（AAS）,得到NG=8//=12cm,进一步证明

GH=CD=6cm,则=/G+G8+5H=30cm.

【详解】解：如图所示，过点E作跖交DC延长线与尸，过点。作。GL/8于G,

过点C作CH_L4B于〃，

・・・△DCE的面积为36cm°,CD=6cm,

,-,-CDEF=36

2f

・•・EF=12cm,

•・,四边形45CD是等腰梯形，

CD//AB,AD=BC,NA=/B

•••CHLCD,

ZHCF=90°,

•.♦CELBC,

ZBCE=90°f

・・・/ECF=NBCH,

又・・•/CFE=/CHB=9。。,CE=CB,

:.△CHB"4CFEg0,

BH=EF=12cm,

vAD=BG/A=NB,ZAGD=ZBHC=90°,

■^AGD^BHC（AAS）,

AG=BH=12cm,

-DGLAB,CHLAB,

：.DG//CH,

答案第13页，共22页

同理可得。G_LDC,

GH=CD=6cm,

・•.AB=AG+GH+BH=^cm,

故答案为：30.

【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在/C上取点尸，使得/尸=/£=1,可知

"PF%APE(SAS),得PF=PE,可知|尸。-尸回=|尸。-尸尸区CP=/C-4F,利用转化

思想和线段的和差是解题的关键.

【详解】解：•.•点E是边的中点，

.t.AE=—AB=1,

2

在NC上取点尸，使得4F=4E=1,

•：/C4B的角平分线交2c于点。，

；./FAP=NEAP,

■■■AP=AP,

"PF注"PE(SAS),

：.PF=PE,

,-.\PC-PE\^\PC-PF\<CF=AC-AF^3-\=2,

故答案为：2.

18.2

答案第14页，共22页

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理等知

识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键.

过点A作/尸，。尸于尸，过点C作尸E于。，根据三角形内角和定理和等量代换得到

NADF=NBEA,得到NBOC=NCEF,则N4DP=/C£。，证明多ACEQ(AAS),得

出DP=EQ,AP=CQ,证明A/尸尸知。。尸(AAS),得出尸尸=。尸，证明

AAPF^AAQF(AAS),得出尸F=FG,贝!］。尸=FG,由2尸G=3EF,得出

2(EF+EQ)=3EF,推出E尸=2£0,典］DF=DP+PF=EQ+FQ=EQ+EF+EQ=2EF,

进而求解即可.

【详解】过点A作/尸，。尸于尸，过点C作C0,尸E于。，如图所示：

♦:ZBAF=/HAG

ZBAF-HAF=NHAG-HAF

,•"BAH=/FAG

vAHIBC,FGL.AC

・•.ZBHA=ZAGF=90°

ZB=ZAFG

•••ZDFA=ZAFG

・•・ZB=ZDFA

-ZDAF=ZDAF

・•・ZADF=ZBEA

/ADP=ZCEQ,

在尸和△CE。中，

NADP=NCEQ

<ZAPD=ZCQE=90°f

AD=CE

答案第15页，共22页

...△/£)尸会△CEQ(AAS),

:.DP=EQ,AP=CQ9

在“尸尸和△CQ?中，

ZAPF=ZCQF=90°

<ZAFP=ZCFQ,

AP=CQ

:.AAPF^CQF(AAS)9

：.PF=QFf

在A4尸尸和尸中，

ZAPF=ZAGF=90°

<NPFA=AGFA,

AF=AF

.•.△4PF也"QF(AAS),

PF=FG,

：.QF=FG,

•・・2FG=3EF,

2(EF+EQ)=3EF,

EF=2EQ,

:.DF=DP+PF=EQ+FQ=EQ+EF+EQ=2EF.

DFc

------2.

EF

故答案为：2.

19.⑴NA4c=104°

(2)NBAC=4B+2ZE,证明见解析

【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质；

(1)先求解NECD=ZB+ZE=68°,可得NACE=ZECD=68°,再利用三角形的外角的性

质可得结论；

(2)证明4CE=NECZ>,结合NECD=NB+NE,ABAC=AACE+AE=ZECD+ZE,

可得结论.

【详解】(1)解：・•・/B=32。,NE=36。,

答案第16页，共22页

NECD=NB+NE=32°+36°=68°,

vEC平分//CD,

ZACE=ZECD=68°,

ABAC=//CE+/E=68°+36°=104°；

(2)解：NBAC=2B+2NE,理由如下：

EC平分NACD,

ZACE=ZECD,

又•;NECD=NB+NE,

ZBAC=NACE+NE=ZECD+NE

=ZB+ZE+ZE

=/B+2NE,

即ABAC=NB+2ZE.

20.(1)条件①②，结论③(或条件①③，结论②；或条件②③，结论①)，理由见解析

(2)2.5

【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定

与性质是解题关键.

(1)补充条件是①②，结论是③，理由：先根据平行线的性质可得NB/C=NECD,再利

用SAS定理证出△NBC四△CED,根据全等三角形的性质即可得；补充条件①③，结论

②，理由：先根据平行线的性质可得NA4C=NECZ),再利用ASA定理证出

△4BC当MED,根据全等三角形的性质即可得；补充条件②③，结论①，理由：先根据

平行线的性质可得N8/C=NEC。，再利用AAS定理证出之△CEO,根据全等三角形

的性质即可得；

(2)先求出CE=/8=6,再根据=求解即可得.

【详解】(1)解：补充条件是①②，结论是③，理由如下：

■.■AB//CD,

ABAC=NECD,

在公4BC和△CED中，

AB=CE

<NBAC=NECD,

AC=CD

答案第17页，共22页

.•.△/5C也△CEO(SAS),

・•・NB=/E.

补充条件①③，结论②，理由如下：

•・•AB//CD,

・•.ABAC=ZECD,

在△/3C和△CEZ)中，

ZB=NE

<AB=CE,

NBAC=NECD

・•・△4BCdCED(ASA),

AC=CD.

补充条件②③，结论①，理由如下：

•♦・AB//CD,

ABAC=ZECD,

在和△CEQ中，

ZB=NE

<NBAC=NECD,

AC=CD

MABC-CED(AAS),

・•.AB=CE.

(2)解：•・•在(1)的三种情况下均有45=C£,

CE=AB=6,

-CA=3.5,

•••AE=CE-CA=2.5.

21.(1)见解析

(2)15°

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质和角的运算，熟练掌握

全等三角形的性质和判定是解题得关键.

(1)先求出=再根据ASA判定三角形全等即可；

答案第18页，共22页

(2)由△/8C之△COE,得48C=ND=60。，可求得NB4c=30。，由E4平分NCED,

求得NE4C=45。，根据角的和差计算即可求解.

【详解】(1)解：(1)因为/8_LCD,

所以NE4C+44c尸=90°.

因为乙1C5=9O。，

所以ZDCB+ZACF=90°,

所以/F4C=/DCB,

ABAC=NDCE

在△4BC和ACDE中，\AC=CE,

ZACB=ZCED

所以A48c也ACDE(ASA).

(2)解：因为△4BC0ACDE,

所以/48C=/D=60。，

所以/A4C=30。，

因为E/平分NCED,所以N4EC=，NC£O=45。，

2

所以ZEAC=90°-ZAEC=45°,

所以NEAB=NEAC-ABAC=45°-30°=15°.

22.⑴见解析

(2)3

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关

键：

(1)平行，得到ND=NCFE,NC=NDBE,中点，得到CE=8E,利用AAS,证明

△5DE段△CbE即可；

(2)全等三角形的性质，得到C/=80=2,进而得到/C=3,证明A/EC丝A/E8,得至1J

AB=AC即可.

【详解】(1)证明：・・・5O〃ZC,

/D=/CFE,ZC=/DBE,

•也是5C的中点，

CE=BE,

答案第19页，共22页

.・.△5D£%WE(AAS)；

(2)由(1)知：△8Z)£0ACFE(AAS),

：.CF=BD=2,

：,AC=AF+CF=3,

•・•AE1.BC,

・•.ZAEC=ZAEB=90°,

•・•AE=AE,BE=CE,

.•・^AEC=^AEB,

AB