乘法公式与几何背景问题综合训练（重难点培优）解析版-2024-2025学年苏科版七年级数学下册

乘法公式与几何背景问题重难点综合训练

一、解答题

1.（21-22七年级下•江西抚州•阶段练习）完全平方公式：（a±6）2=。2±2成+/经过适当的变形，可以

解决很多数学问题，

（1）①若x+y=6,x2+y2-28,贝!Jxy=；

（2）若2a+b=6,ab—4,则（2a—b）2=；

⑵如图，C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设力B=8,两正方形的面积和Si+S?

=44,求△2FC的面积.

【答案】(1)①4；②20

(2)5

【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用：

(1)先求出(X+y)2=62,则久2+2xy+y2=36,再由/+y2=28即可得到答案;

(2)根据(2a—b)2=(2a+6)2—4ab进行求解即可；

(3)设力C=a,BC=b,根据Si+$2=44,得到&2+/=44,根据4B=8,得到a+b=8,据此得到

a2+2ab+b2=64,贝加6=5,可得图中△4尸C的面积为5.

【详解】(1)解：@-：x+y=6,

(x+y)2=62,

x2+2xy+y2=36

\'x2+y2=28,

28+2xy=36

J.xy=4；

故答案为：4；

(2)V2a+fo=6,ab=4,

・•・(2a-b)2=(2a+6)2-4ab=62-4x4=20,

故答案为：20；

(2)解：设ZC=a,BC=b,

22

；・Si=a,S2=bf

,/Si+S2=44,

a2+b2=44,

-：AB=8,

.'.a+b=Q,

(a+b)2=82

a2+2ab+b2-64

2ab+44=64,

ab—10

/.^ab—5

图中的面积为5.

2.(23-24七年级下•贵州贵阳•阶段练习)如图，用4个长是a,宽是6的长方形拼成了一个如图2所示的"回

形”正方形.

⑴由图可知，因为拼图前后的面积不变，所以可得恒等式：;

(2)利用(1)中得到的恒等式，解决下面的问题：已知2(x+y)=10,2(%-y)=2,求久y的值.

【答案】⑴4ab=(a+b)2—(a-Z?)2

⑵6

【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用图形面积的关系证明勾股定理.

通过观察可以得大正方形边长为a+上小正方形的面积为a—6,利用大正方形面积减去小正方形面积即为

阴影部分的面积，得出答案；

(2)由(1)的结论变形后即可得出盯的值.

【详解】(1)解：由拼图前后4个长方形的面积不变，可得4ab=(a+b)2—(a—b)2,

故答案为:4ab=(a+4)2—(a—)2.

(2)解：根据条件可得：x+y=5,x—y=l,

4xy=(x+y)2—(%—y)2=25—1=24,

故xy=6.

3.(23-24七年级下•全国•单元测试)数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，4种纸片是边长

为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b,宽为a的长方形.并用4种纸片一张，8种纸

片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形.

⑴请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：；方法2：；

⑵观察图2,请你写出代数式：(a+b)2,a2+b2,ab之间的等量关系；

⑶根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：a+6=5,a2+b2=13,求ab的值；

②已知(2020-a)2+(a—2019)2=5,求(2020—a)(a—2019)的值；

【答案】⑴(a+b)2,a2+b2+2ab

(2)(a+b)2—a2+b2+2ab

⑶①ab=6；(2)-2

【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景、正方形的面积以及长方形的面积，利用完全平方公式的变

形求值，解题的关键是掌握完全平方公式.

(1)正方形面积可以从整体直接求，还可以是四个图形的面积和；

(2)根据两种方法所表示的面积相等可解答；

(3)①利用完全平方公式的变形求解即可；

②设2020-a=x,a-2019=y,贝！U+y=l,然后利用完全平方公式的变形求解即可.

【详解】(1)解：方法L大正方形的面积为(a+6)2；

方法2：大正方形的面积为a?+b2+2ab,

故答案为：(a+b)2,a?+炉+2ab；

(2)解：由(1)可知(a+b)2=a?+炉+2ab；

故答案为：(a+b)2=a2+》2+2ab；

(3)①ra+b=5,

(a+b)2=25,

•••a2+b2+2ab=25,

又va2+b2=13,

ab=6；

②设2020—a=x,a—2019-y,则x+y=l,

(2020-a)2+(a—2019)2=5,

x2+y2—5,

(%+y)2=x2+2xy+y2,

...孙=。+加二(")=三=一2,

2

即(2020—a)(a—2019)=xy=-2.

4.(23-24七年级下•全国•单元测试)如图①是长为a,宽为6的长方形，将这样四个形状和大小完全相同

的长方形拼成如图②所示的大正方形，中间是一个小正方形(阴影部分).

⑴请你用两种不同的方法表示图②中小正方形(阴影部分)的面积：

方法一：S小正方形=;方法二：S小正方形=•

⑵根据(1)中小正方形面积的两种不同的表示方法，下列等式中：①(a+6)(a—b)=a2—/)2；②(a+6)2

=(a—6)2+4a6,能够验证成立的是(填序号).

⑶应用⑵中验证成立的等式，解决问题：已知m+n=12,mn=11,求m—n的值.

【答案】(l)(a+b)2—4ab,(a—b)2

(2)②

(3)m—n=±10

【分析】本题是完全平方式的实际应用，完全平方式经常与正方形的面积公式和长方形的面积公式联系在

一起，要学会观察图形.

(1)观察图形可确定：方法一，大正方形的面积为(a+b)2,四个小长方形的面积为4昉，中间阴影部分的

面积为S=(a+b)2—4ab；方法二，图2中阴影部分为正方形，其边长为a—b,所以其面积为(a—b)2；

(2)由(1)中表示的两种方法相等即可求解；

(3)根据(2)的关系式代入计算即可求解.

【详解】(1)解：方法一：S小正方形=(a+b)2-4ab.

方法二：S小正方形=(a—b)2；

(2)由(1)得，(a+b)2—4ab=(a—b)2

(a+b')2=(a—b)2+4ab.

能够验证成立的是②；

(3)由(2)得，(m+几)2—4nm=(m—n)2

\'m+n=12,mn=11,

A122-4x11=(m-n)2,

(m—n)2=100

.\m—n=±10.

5.(23-24七年级下•浙江宁波・期中)如图1是一个长为2爪、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四

块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.

⑴你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于；

(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.

①；

②.

⑶观察图2你能写出(7M+冗)2,(爪―71)2,6打三个代数式之间的等量______.

⑷用完全平方公式和非负数的性质求代数式2/+4%+3y2_18y+32的最小值.

【答案】(l)m-n

(2)①(m—n)2@(m+n)2—4mn

(3)(m—n)2=(m+n)2—4mn

(4)3

【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到

的代数式的值相等列式是解题的关键.

(1)根据阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽解答；

(2)①根据正方形面积公式求解，②用总面积减去四个相等的长方形面积即可.

(3)阴影部分的面积相等，结合(2)可得出答案.

(4)利用完全平方公式将原式变形为2(x+1)2+3(y—3/+3,再根据非负数的性质可求出最小值为3.

【详解】(1)解:由图可知，阴影部分小正方形的边长为：m-n；

(2)①根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为(巾-几)2,

②还可以用总面积减去四个相等的长方形的面积，即表示为(巾+n)2-4mn；

(3)阴影部分的面积相等，结合(2)可得出(m—n)2=(zn+n)2—4nm；

(4)2久2+4久+3y2—18y+32

=2x2+4x+2+3y2—18y+27+3

=2(x+l)2+3(y-3)2+3

V2(x+l)2>0,3(y-3)2>0,

.-.2(x+l)2+3(y-3)2+3>3,即最小值为3.

6.(22-23七年级下•浙江温州•期中)如图1,是一个宽为a,长为46的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成

四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个"回形"正方形(如图2).

⑴观察图2,请你用等式表示(a—方尸，(a+6)2,ab之间的数量关系：.

Q

(2)根据(1)中的结论，如果久+y=5,xy=~,求代数式(x—y)2的值.

【答案】(l)(a+b)2=(a-b)2+4ab

⑵16

【分析】本题考查完全平方公式的几何背景和平方差公式，用不同的方法表示图形的面积，熟练掌握完全

平方公式的几何背景的计算方法是解题的关键.

(1)表示出大、小正方形的边长和面积，根据面积之间的关系得出结论；

(2)由(1)的结论得(x+y)2=(x—y)2+4xy,再整体代入即可.

【详解】(1)由图2可知，大正方形的边长为(a+b),小正方形的边长为(a—b),大正方形的面积可以表示

为：(a+6)2或(a—b)2+4ab,

(a+ft)2=(a—b)2+4ab,

故答案为：(a+b)2=(a-b)2+4ab；

(2)由(1)得：(x+y)2=(x—y)2+4xy,

：.52=(x-y)2+4xy,

(%—y)2=16.

7.(22-23七年级下•江苏常州•期末)如图1,已知纸片4是边长为acm的正方形，纸片B是相邻两边长分别

为xcm,ycm的长方形，且纸片4B的周长相等.

Z中手印

(图I)(图2)(图3)

(1)当a=5时.

①若x>6,求y的取值范围；

②如图2,以纸片B的相邻两边为边长分别向外作正方形C,D,若纸片B的面积比纸片4的面积小10cm2,求C,D

的面积之和；

(2)如图3,将纸片4B叠合在一起，记阴影部分的周长为

®M=(用含羽a的代数式表示)；

②若关于X的不等式M<12恰有3个正整数解，则a的取值范围是.

【答案】⑴。<y<14；370

(2)2a+2x；2<a<3

【分析】本题主要考查了代数式表示数，不等式的应用，对于(1)①，根据4,2的周长相等，可得

4a=2(x+y)=20,再结合x>6可得答案；②，由题意可得xy=一10,再结合*+y=10可得解；

对于(2)①，先表示阴影部分周长，可得解；

②，由①得2x+2a<12,再结合不等式M<12有3个正整数解可得答案.

【详解】(1)①••】，8的周长相等，a=5,

.*.4a=2(%+y)=20,

.\x=10—y.

：x>6,

10—y>6,

.\y<4.

Vy>0,

AO<y<4；

②由题意，得%y=小—io=25—10=15.

*.*%+y=10,

x2+y2=(%+y)2—2xy=100—30=70,

AC,。的面积之和为70；

(2)①由题意，阴影部分周长

M=2a+2(a—y)+2y+2(x—a)=2a+2a—2y+2y+2%—2a=2a+2x.

故答案为：2a+2%；

②由①得，2x+2a<12,

/.%+a<6,

••xV6—d.

又不等式M<12恰好有3个正整数解，

?.x<6-a恰好有3个正整数解，

***3<6—aW4,

/.2<a<3.

故答案为：2<a<3.

8.(22-23七年级下•四川成都・期末)通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等

式.

如图1是一个长为4a、宽为6的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四块小长方形

拼成一个"回形"正方形(如图2).

⑴根据上述过程,写出(a+6)2、(a—b)2、ab之间的等量关系:_；

(2)类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式.观察图3,把一个大正方

体分割成如图所示的小长方体和小正方体，从中可以得到一个恒等式：_；

⑶两个正方形力BCD,CEFG如图4摆放，边长分别为x,y(x>y),若这两个正方形面积之和为34,且

BE=8,求图中阴影部分面积.

【答案】⑴(a+b)2=(a-b)2+4ab

(2)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(3)T

【分析】本题考查了完全平方公式，

(1)从"整体"和"部分"两个方面分别用代数式表示图2的面积即可；

(2)从"整体"和"部分"两个方面分别用代数式表示图3的面积即可；

(3)设正方形力BCD的边长加，正方形CEFG的边长为“，由于两个正方形面积之和为34,且BE=8得m2+

n2=34,m+n=8,用代数式表示阴影部分的面积代入计算即可得；

掌握完全平方公式的结构是解题的关键.

【详解】(1)解：图2"整体"上是边长为a+b的正方形，因此面积为(a+b)2,图2中间"小正方形"的边长

为a—b,因此面积为(a—b)2,四个小长方形的面积和为4ab,

所以有(a+b)2=(a—b)2+4ab,

故答案为：(a+6)2=(a-b)2+4a6；

(2)解：图3〃整体〃上是棱长为a+b的正方体，因此体积为(a+b)3,分割成的8个部分的体积和为。3+3

a2b+3ab2+b3,

所以有(a+力>=a3+3a2b+3ab2+b3,

故答案为：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；

(3)解：设正方形ZBCO的边长加，正方形CEFG的边长为小

由于两个正方形面积之和为34,且BE=8,

m2+n2=34,m+n=8,

*.*(m+n)2=m2+n2+2mn,

即64=34+2mn,

mn=15,

*.*(m+n)2=(m+n)2—4nm=64—60=4,

.•.771—=2或m—71=—2(舍去)，

二S阴影部分=S^BCD+SDFG

11

=—9+—n(m—n)

11

=—(m+n)(m—n)+—mn

11

=-x8x2+-xl5

_31

9.(23-24七年级下•广东佛山•阶段练习)如图1,A纸片是边长为Q的正方形，8纸片是边长为b的正方形,

C纸片是长为从宽为。的长方形.现用A种纸片一张，8种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方

形.

⑴请用两种不同的方法求图2大正方形的面积.

方法1：:方法2：;

(2)观察图2,请你写出下列三个代数式：(a+b)2,a2+b2,ab之间的等量关系

⑶①根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：若a+6=5,a2+b2=11,求ab的值；

②已知(％-2023)2+(光—2025)2=52,求久-2024的值.

【答案】⑴(a+b)2,a2+b2+2ab

(2)(a+b)2=a2+b2+2ab

⑶①ab=7；②x—2024=±5.

【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，灵活完全平方公式的变形是突破本题的关键.

(1)根据面积的两种算法求解即可;

(2)利用(1)的结论列出等式即可;

(3)根据完全平方公式变形代入即可.

【详解】(1)解:大正方形面积按照边长的平方可得：(a+6)2,

按照大正方形的组成可得：a2+b2+2ab.

故答案为：(a+b)2,a2+b2+2ab；

(2)解：由图②可得：(a+b)2-a2+b2+2ab.

故答案为：(a+b)2=a2+/+2ab；

(3)解：①：a+6=5,a2+b2=11,

2ab=(a+b)2—(a2+b2)=52-11=14,

•••ab=7.

②：(x—2023)2+(x—2025)2=52,

•••(x-2024+l)2+(%-2024-l)2=52,

设m=x—2024,贝!](m+1)2+(zn—1)2=52,

m2=25,

(x-2024)2=25.

Ax-2024=±5.

10.(2025七年级下•全国•专题练习)【阅读学习】

做整式的乘法运算时借助图形，可以由图形直观地获取结论.

例1：如图1,可得等式a(6+c)=ab+ac.

例2：如图2,可得等式(a+26)(a+6)=a?+3ab+2b2.

【问题解决】

(1)如图3,将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的大正方形.若用不同的形

式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来.

(2)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：已知a+6+c=11,ab+6c+ac=38.求a2+/)2+c2的

值.

【拓展应用】

(3)利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积.如图4,将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，

BCG三点在同一直线上，连接BDBF.若这两个正方形的边长满足a+6=10,ab=20,请求出阴影部分的

面积.

图1图2

b

图3图4

【答案1(1)(a+b+c)2=a?+/++2ab+2bc+2tic；(2)45；(3)20

【分析】(1)先用正方形的面积公式表示出面积，再用几个小正方形和小长方形的面积的和表示大正方形

的面积，由两个结果相等即可得出结论.

(2)由(1)可知,a2+b2+c2=(a+b+c)2-(2ab+2bc+2ac),代入数值计算即可；

(3)根据题意得到a?+=60,再米用数形结合得到阴影部分的面积为S正方形4BCD+S正方形ECGF—

-S^BFG，计算即可；

本题考查了几何面积与多项式的关系，正确掌握多项式变化与几何面积的关系，通过等面积法理解因式分

解结果以及规律.

【详解】解：(1)•••正方形面积为(a+b+c)2,

小块四边形面积总和为：a2-+b2+c2-+2ab+2bc+2ac

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.

(2)由(1)可知，

a2+b2+c2={a+b+c)2—(2ab+2bc+2ac)=121—2X38=45.

(3)a+b=10,ab=20,

(a+b)2=a2+b2+2ab=a2+b2+40=100,

a2+b2=60,

阴影部分的面积为：S正方形4BCD+^sE^^ECGF~^AABD—^ABFG

=a2+b2—|a2—/(a+6)=^(a2+b2—ab)=|X(60—20)=20.

11.(22-23七年级下•陕西咸阳•期中)【问题背景】通过对同一面积的不同表达和比较来理解整式乘法公式

是常见的办法.如图1,边长为a+b的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形(如

【探索归纳】

①若将图1中的大正方形看作一个整体，则它的面积是(用含a,6的式子表示);

②图2中4个部分的面积之和是(用含a,b的式子表示)；

③因此，可以得到等式：.

【学以致用】简便计算：

①1052；

②3.142+6.28X6.86+6.862.

【拓展应用】若图2中的长方形的长(b)与宽(砌的值分别为12—爪和加一3,且满足(12—爪)(机-3)=18,

请求出(12-m)2+(m-3＞的值.

【答案】探索归纳：①(a+b)2；②a2+2a6+*(3)(a+b)2=a2+2ab+b2；学以致用：①11025；

②100；拓展应用：45

【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握数形结合思想是解答本题的关键.

探索归纳：①根据图形列式即可；

②根据图形列式即可；

③结合①和②以及图形列式计算即可；

学以致用：

①运用完全平方公式简便运算即可；

②运用完全平方公式简便运算即可；

拓展应用：逆用完全平方公式即可解答.

【详解】解:探索归纳：①若将图1中的大正方形看作一个整体，则它的面积是(a+b)2,

故答案为：(a+b)2；

(2)a2+ab+ab+b2-a2+2ab+b2；

故答案为：。2+2时+炉；

③(a+b)2=a2+2ab+b2,

故答案为:(a+b)2=a2+2ab+b2-

学以致用：

2

①1052=(100+5)2=1002+2X100x5+5=10000+1000+25=11025

②3.142+6.28x6.86+6.862=(3.14+6.86)2=102=100；

拓展应用：由b=12—Tn,a=Tn—3,则a+b=12—+m—3=9,ab=(12—m)(m—3)=18,

所以a?+炉=(a+b)2—2ab=92—2X18=45.

12.(23-24七年级下•江苏淮安,期末)如图，AB=a,P是线段4B上任意一点，在同一侧分别以4P,BP

为边作正方形力PC。、正方形PBEF.设4P=x.解答下列问题(用含a、％的代数式表示)

⑴①正方形PBE尸的边长为二

②求这两个正方形的面积之和S；(需化简)

(2)若乂＜a1,连接DF、BD、BF,求图中阴影部分的面积.

【答案】⑴①a—久；②S=2/_2ax+a2；

(2)|x2+|a2—ax

【分析】本题考查完全平方公式的几何背景.

(1)①直接求得a-X；②根据正方形的面积公式进行计算即可；

(2)利用阴影部分的面积=s正方形4PCD+S正方形PBEF+S^XFCD—S44BD—S^EFB，据此计算即可得出答案.

【详解】(1)解：①由于AP=X,AB=a,贝l]8P=a—x,

故答案为：a-x；

②所以两个正方形的面积之和为S=x2+(a-%)2=2x2-2ax+a2；

(2)解：•.•正方形4PCD、正方形PBEF,4P=x,BPa-x,

CF=PF-PC=a—x—x=a—2x,

・・・阴影部分的面积=S正方形4PCO+S正方形PBEF+S△尸co—S^ABD—^AEFB

111

=x2+(a—x)2+—x•(a—2x)——x-a——{a—%)2

111

=%，9+—(a—x)29+—x-(a—2%)——%•a

1111

=%2+—a2-ax+—%2+—ax—x2——ax

=+la2一©

13.(23-24七年级下•辽宁沈阳•期末)(1)如图1,是一个长和宽分别为加，〃的长方形纸片，如果它的长

和宽分别增加a,b,所得如图2长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式为(TH+a)(n+b)

(2)①如图3,是几个正方形和长方形拼成的一个边长为a+b+c的大正方形，用不同的方法表示这个

大正方形的面积，得到的等式为(a+b+c)2=_

②已知a+b+c=15,a2+Z?2+c2=77,利用①中所得到的等式，求代数式ab+be+ac的值.

(3)如图4,是用2个正方体和6个长方体拼成的一个棱长为a+b的大正方体，通过用不同的方法表示这

个大正方体的体积，求当a+b=5.9,ab=4.5时，代数式足+/的值.

【答案】(1)mn+mb4-na+ab；(2)(l)a2+fo2+c2+2(ah+be+ac)；②ab+be+ac=74；(3)

125.729

【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用图形的面积和体积来得到数学公式，关键是灵活进行

数形结合来分析.

(1)由图形面积的两种不同表示方法可得等式；

(2)①由图形面积的两种不同表示方法可得等式；

②由等式利用代入法即可求解；

(3)由图形体积的两种不同表示方法可得等式，利用代入法即可求解.

【详解】解：(1)大长方形的长为(m+a),宽为(n+b),面积为(m+a)(n+b),

也可表示为四个长方形的面积nrn,mb,na,ab的和，

/.(m+a)(n+b)=mn+mb+na+ab,

故答案为：mn+mb+na+ab；

(2)①如图3,是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为a+6+c的大正方形,

用不同的方法表示这个大正方形的面积，

得到的等式为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+be+ac)；

故答案为：a2+抉++2(ab+be+ac)；

②：a+b+c=15,a2+b2+c2=77,

152—77+2(ab+be+ac),

ab+be+ac=74；

(3)如图4,是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为a+b的大正方体,

整体上大正方形的体积为(a+6)3,

23

组成大正方体的2个小正方体和6个小长方体的体积的和为+3ab+3ab2+b,

.,.得到的等式为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；

•1a+b=5.9,ab=4.5,

a3+b3

=(a+b)3—3a2b—3ab2

=(a+b)3—3ab(a+b)

=205.379-79.65

=125,729.

14.(23-24七年级下•河北沧州•期末)如图a是一个长为2机、宽为2〃的长方形(根>九)，沿图中虚线用剪

刀均匀分成四块小长方形，然后按图b形状拼成一个正方形.

⑴请分别用两种不同的方法表示图b中阴影部分的面积：方法一：;方法二：;

⑵观察图依直接写出代数式(??1+九)2,(m—n)2,7Tm之间的关系；

⑶利用(2)的结论，尝试解决以下问题：

①已知m+九=7,mn=6,求。n—九产的值；

②已知：(4-%)(5-x)=6,求(9一2%)2的值.

【答案】⑴(血一九)2,(m+n)2—4mn

(2)(m—n)2=(m+n)2—4mn

⑶①25；②25

【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用：

(1)可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用大正方形的面积减去四个小长方形的面积,

得阴影部分的面积；

(2)根据大正方形面积等于阴影面积加四个小长方形的面积可得出三个代数式之间的等量关系，然后计算

验证即可；

(3)①根据(2)中的等量关系可得，代入计算即可；②根据(4—x)(5—x)=6,(5-%)-(4-x)

=5—%—4+x=1,结合(2)中的等量关系，即可求解.

【详解】(1)解：方法1：阴影部分正方形的边长为(m—九)，则阴影部分的面积为：(TH—几)2；

方法2:阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积，即(血+几)2—4血71;

故答案为：(血一九)2,(m+n)2—4mn；

(2)解：・・,两种方法表示的阴影部分面积相等，

(m—n)2=(m+n)2—4mn,

(3)解：(1)Vm+n=7,mn=6,

(m—n)2—(m+n)2—4mn=72—4x6=25；

②V(4-x)(5-x)=6,(5-x)-(4-x)=5-x-4+x=l,

(9-2x)2

=[(4-x)+(5-x)]2

=[(4—%)—(5—%)]2+4(4—x)(5—x)

=l2+4X6

=25

15.(23-24七年级下•四川成都•期末)通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式.

⑴如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形及长宽分别为a和b的两个长方形，利用

这个图形的面积可以验证公式」

(2)若孙=8,x+y-6,求/+y2的值；

⑶如图②，在线段CE上取一点D,分别以CD、DE为边作正方形ABC。、DEFG,连接BG、CG、EG.若阴影

部分的面积和为9,△CDG的面积为3.求CE的长度.

【答案】⑴(a+b)2=a2+b2+2ab

(2)x2+y2=20

(3)CE的长度为6

【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，完全平方公式变形求值；

(1)从"整体"与"部分"分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案;

(2)根据久2+y2=(x+y)2一2孙整体代入计算即可；

(3)设正方形48CD的边长为正方形CDEF的边长为n,由题意可得mn=6,m2+n2=24,根据

(m+n)2=m2+n2+2nm求出m+ri的值即可.

【详解】(1)解：图①从"整体上"看是边长为a+6的正方形，因此面积为(a+b)2,拼成图①的四个部分

的面积和为a?+2ab+b2,

所以有(a+b)2=a2+2ab+b2,

故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2；

(2)xy=8,x+y=6,

:.x2+y2=(x+y)2—2xy

=36-16

=20；

(3)设正方形4BCD的边长为小，正方形CDEF的边长为n,由题意可得，

11

mn=6,7+-m(m—n)=9

即加+九2_mn=18,

・•・m2+n2=24,

(m+几)2=m2+n2+2mn

=24+12

=36,

m>0,n>0,

m+n=6,

即CE=m+n=6.

16.(23-24七年级下•江西九江•阶段练习)实践操作：从边长为。的大正方形中剪掉一个边长为6的小正方

形(如图1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).

图I图2

(1)上述操作能验证的等式是一(请选择正确的一个)

A.a2—2ab+fe2=(a—h)2B.b2+ab=b(a+b)

C.a2—b2=(a+b)(a—b)D.a2+ab=a(a+b)

启发应用：请结合(1)选出的等式，利用其结论完成下列各题：

⑵计算：(1-4)*(1一专)*(1-1)*”*(1一联)

(3)计算1015-2X992+972

11

【答案】⑴C；(2)募(3)8

【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题关键.

(1)分别表示出两个图形中阴影部分的面积，即可列出等式；

(2)利用(1)得出的等式化简各个括号内的式子，再计算有理数的加减法与乘法即可得到答案；

(3)首先将式子转化成10/—992+972—992,然后利用平方差公式求解即可.

【详解】解：(1)图1中阴影部分的面积为：a2-b2；图2中阴影部分的面积为：(a+b)(a—b),

a2—b2—(a+b~)(a—b~)

，上述操作能验证的等式是〃—/=(a+b)(a—方)

故选：C；

⑵(1一击)x(1—专)x(-9X…x(l一小)

=(1-勺(1+3(1-白(1+2(1…(1-2(1+得

132435911

=-X-X-X-X-X-X--X—X—

2233441010

111

=2xTo

——11•

20,

(3)1012-2X992+972

=1012-992+972-992

=(101+99)(101-99)+(97+99)(97-99)

=200x2+196x(-2)

=8.

17.(23-24七年级下•浙江杭州•阶段练习)如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为6的小正方形，图2

是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为Si，图2中阴影部分面积为S2.

⑴请直接用含a和6的代数式表示Si=,S2=；写出利用图形的面积关系所得到的公式

(用式子表达)；

⑵应用公式计算：0一/)(1一+)。一号)…(1一盛)

1

(3)应用公式计算：(5+1)(52+1)(54+1)…(532+1)(564+1)+-

【答案】⑴az—＞；(a+b)(a—b)；a2—b2=(a+b)(a—b)

⑵黑

⑶〉rl28

【分析】本题考查的知识点是平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算，解题关键是熟练掌握平

方差公式.

(1)结合对应图形面积公式即可得解；

(2)逆用平方差公式即可求解；

(3)运用平方差公式，将(5+1)(52+1)(54+1)…(532+I)(564+1)+；转变为;(5_1)(5+1)(52+1)

(54+1)-(532+1)(564+1)+《即可求解.

22

【详解】(1)解：依题得：Sr=a—b,S2=(a+b)(a—b),

2222

v(a+6)(a—6)=a4-ah—ab—b=a—bf

・•・利用图形的面积关系所得到的公式为小—按=(Q+h)(a_4

故答案为：a2—b2；(a+b)(a—b)；a2—b2=(a+b)(a—6).

(2)解：由(1)得：a2-b2=(a+b)(a-6),

•1-原式=(i+9(1—3(1+3(1—3(i+3(i—3…0+/)a—募)a+盛)a—壶)'

1324352023202520242026

^2X2X3X3X4X4X'"^X^X^X^)

12026

——X---•

22025'

_1013

―2025,

(3)解：根据(1)中所得关系式可得，

原式=1(5-1)(5+1)(52+1)(54+1)…(532+1)(564+1)+；,

=於2_1)(52+1)(54+1)-(532+1)(564+1)4-1

="(5128_1)+]

5128

一~4~,

18.(23-24七年级下•广东佛山•期中)乘法公式的探究及应用：

图①图②

⑴如图①，可以求出阴影部分的面积是_(写成两数平方差的形式)：

如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是_:(写成多项式乘法的形式):

比较左、右两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式一(用式子表达)

(2)运用你所得到的公式，计算1003x997的值：

【答案】⑴a?—抉,(a+b)(a—b),a2—b2=(a+b)(a—b)

(2)999991

【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用：

(1)利用正方形的面积公式即可求出图①阴影部分面积；仔细观察图形就会知道图②中长方形的长，宽,

由面积公式就可求出面积，根据图①和图②中的阴影部分面积相等，即可得到对应的等式；

(2)把原式变形为(1000+3)X(1000—3),利用平方差公式就可方便简单的计算.

【详解】(1)解：利用正方形的面积公式可知图①中阴影部分的面积=。2—〃；

由图②可知长方形的宽是a—b,长是a+b,

面积是(a+b)(a-b)；

V图①和图②中的阴影部分面积相等，

a2—£>2=(a+b)(a—b)

故答案为：a2—b2,(a+b)(a—b),a2—b2=(a+b)(a—b).

(2)解；1003x997

=(1000+3)X(1000-3)

=10002-32

=1000000-9

=999991.

19.(21-22七年级下•江西抚州•期中)阅读材料：

已知:%满足(9—%)(%—4)=4,求(9一%)2+(久一4/的值.

设9—x=a,x—4=b,

则ab=(9—x)(x—4)=4,a+Z)=(9—x)+(x—4)=5,

因此(9—x)2+(x—4)2=a2+b2=(a+b)2—2ab=52—2X4=17.

用上面的方法解下列问题：

⑴已知：(5—x)(久一2)=2,求(5—久尸+(x—2)2的值；

(2)如图，已知正方形2BCD的边长为x,E、F分别是边40、DC上的点，AE=1,CF=3,分别以MF、DF

为边作正方形.

①MF=,DF=(用含久的式子表示)；

②若长方形EMFD的面积是48,试求阴影部分的面积.

【答案】⑴5

(2)0x-l,x-3；②32

【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，平方差公式.应从整体和部分两方面来理解完全平方公式

的几何意义；主要围绕图形面积展开分析.

(1)设5—x=a,x—2=6,贝!]ab=2,a+b=3,再根据(5—x)2+(%—2尸=a2+/=9+6)2—2ab

进行求解即可；

(2)①正方形4BCD边长为x,贝口D=CD=BC=x,再由DE=MF结合图形可以表示出MF与DF；

②设久一1=a,%—3=b,贝1Jab=48,a—b=2,据此可得(a+b)2=(a—b)2+4ab=196,则

a+b=16,阴影部分面积=(%—l)2—(%—3)2=a2—b2=(a+b)(a—b),据此代值计算即可.

【详解】(1)解：设5—%=a,X—2=b,

ab=(5—x)(x—2)=2,a+&=(5—x)+(x—2)=5—x+x—2=3,

・•・(5—x)2+(%—2)2

=a2+b2

=(a+6)2—2ab

=32—2x2

=9—4

=5；

(2)解：①:四边形EMFQ是长方形、AE=1,四边形"BCD是正方形、

・•.AD=CD=BC=x,DE=MF,

:,MF=DE=AD-AE=x-l,DF=CD-CF=x-3,

②^.^长方形EMFD的面积是48,

・•・MF・DF=(x—l)(x—3)=48,

设1—1=a,x—3=5,

ab=.•・MF•DF=(x—1)(%—3)=48,a—b=(%—1)—(%—3)=%—1—%+3=2,

・•.(a+力尸=(a—b)2+4ab=22+4x48=196,

・•.a+b=±16,

又a+Z?>0,

•••a+h=16,

・・・阴影部分面积=MF2-DF2=(x-l)2-(x-3)2=@2_抉=(Q+_ft)=16x2=32

即阴影部分的面积是32.

20.(22-23八年级下•广东佛山•期中)材料：对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积或体积，可以得

到一个数学等式.

⑴如图1,将一个边长为。的正方形纸片剪去-一个边长为b的小正方形，根据剩下部分的面积，可得一个

关于“，b的等式：

图1

请类比上述探究过程，解答下列问题：

⑵如图2,将一个棱长为。的正方体木块挖去一个棱长为6的小正方体，根据剩下部分的体积，可以得到等

式：a3一/=__________,将等式右边因式分解，即a3—〃=；

⑶根据以上探究的结果，

①如图3所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数...，按此规律拼叠到正方形力BCD,其边长为

19,求阴影部分的面积.

②)计算：(>/21+1)—(V21—1)

图3

【答案】⑴一炉=9+b)(a—b')

(2)a2(a—b')+ab(a—b')+fa2(a—b),(a—b)(a2+ab+b2)

⑶①200②128

【分析】(1)利用两种方法求出阴影部分的面积，即可得出结论；

(2)利用两种方法求剩余的立方体的面积，即可得出结论；

(3)①根据整个阴影部分的面积等于各部分小阴影部分的面积之和，结合(1)中结论，进行求解即可；②

根据(2)中结论，进行求解即可.

【详解】⑴解：阴影=。2-b2=(a+b)(a—b),

关于a,6的等式为：d2,—b2—(^a+b)(a—b),

故答案为：a2-&2=(a+6)(a—b).

(2)解：由题意，得：

a3-b3=a2(a-b)+ab(a—b)+62(a-Z?)=(a-6)(a2+ab+b2)；

故答案为：a2(a—b)+ab(a—b)+h2(a—b),(a—b)(a2+ab+fo2)；

(3)解：①S=192-172+152-132+…+72-52+32-l2

=(19+17)(19-17)+(15+13)(15-13)+…+(3+1)(3-1)

=(19+17+15+13+……+3+1)x2

=iy^xl0x2

=200.

@(V2i+1)3-(VH-1)3=(vn+1-V21+i)[(V2i+1)2+(V21+i)(V2i-1)+(V21-1)2]

=2[(22+2V21)+(21-1)+(22-2V21)]

=2x(22+20+22)

=2x64

=128.

【点睛】本题考查因式分解的应用.正确的识图，利用两种方法表示面积和体积，是解题的关键.

21.(22-23七年级下•重庆沙坪坝•阶段练习)如图1是长为4a,宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分

成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个〃回形〃正方形(如图2).

图1图3

⑴观察图2,请你写出(a+b)2、(a—力)2、ab之间的等量关系：；

Q

(2)根据(1)中的结论，若x+y=5,xy=1,求(x—y)2的值；

⑶请求解下面实际问题：

如图3,已知正方形A8CD的边长为x,E,F分别是AD、DC上的点，且45=1,。尸=3,长方形EMFD的面积

是48,分别以MF、DF为边长作正方形MFRN和正方形GFD”，求阴影部分的面积.

【答案】(l)(a+6)2—(a—b)2=4ab

(2)16

⑶28

【分析】(1)根据图形的面积可得到(a+6)2,(a—b)2,ab之间数量关系；

(2)根据(1)的结论，利用完全平方公式变形求值即可求解；

(3)根据题意找出题中各线段之间的数量关系和等量关系，设a=x—3,b=x-l,即ab=48