安徽省蚌埠市2025届高三年级下册适应性考试数学试题（含答案）

安徽省蚌埠市2025届高三下学期适应性考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

I.已知全集。={0,123},集合8={0,1},贝!()

A.0B.{2}C.{3}D.{2,3}

2.“x>l”是“/>x”的（

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知1是虚数单位,复数z=士,则z的共甄复数是（）

12.「12.12.

A.」+匕B.----------1C.-+-1D.----1

55555555

4.已知三棱锥尸-45。的体积为1,V/5C是边长为2的正三角形，且尸4=2,则

直线为与平面4%所成角的正弦值为（）

]_

A.D.1

2

5.已知x］。弓

-V3+2V2D73+272r1+2指D—1+2^6

666•6

6.已知数列{%}的前刀项和为S〃，，=%+］-2且4=1,则)

A.数列{%}是等比数列B.a2a4=alC.4+。7＜。5+。6

D.数列也}是等比数列

7.在四边形力方⑶中，2万=3皮，次=（1,&），AD=（A/2,-1）,则该四边形的面积

为（）

l515

A.4B.2V2C.-D.—

24

8.已知抛物线/=2川（。>0）的焦点为R经过点尸的直线/与抛物线相交于点

P,0（点尸在第一象限），若|尸尸|=2］。/|,则直线/的斜率为（）

A.1B.V2C.V3D.2A/2

二、多选题（本大题共3小题）

9.进入3月份后，受冷暖空气的共同影响，我市气温起伏较大.现记录了3月上

旬（1日-10日）我市的日最高气温如下（单位：。C）：24,23,3,4,7,12,

12,16,15,19,则下列说法正确的是（）

A.3月上旬我市日最高气温的极差为20℃B.3月上旬我市日最高气温的

平均数为13.5℃

1/14

C.3日TO日我市日最高气温持续上升D.3月上旬我市日最高气温的60%分

位数为15.5°C

22

10.已知双曲线C：二一匕=1(%>0)的一条渐近线方程为X-2了=0,点片，F2

m2

分别是c的左、右焦点，点4，4分别是c的左、右顶点，过点鸟的直线/与c相

交于R0点，其中点尸在第一象限内，记直线P4的斜率为小直线P4的斜率为

鱼,贝I()

A.双曲线。的焦距为2而B.\PF,\-\PF2\=4^2C.|PQ|>4行D.

2X3XY<0

11.已知函数〃X)=2'二'八其中a为实数，则下列说法正确的是

x-ax+\,x>Q,

()

A.当。22时，/(x)有最小值

B.当。<0时，/(x)在R上单调递增

C.V«eR,/(x)的图象上都存在关于y轴对称的两个点

D.当。=2时，记尸(x)=/(/(x))T,若/(x)有5个零点，贝

三、填空题(本大题共3小题)

12

12.已知x>0,了>0,x+v=l,则一+一的最小值为__________.

xy

13.在V/2C中，48=6,AC=3,点。在8C上且CD=220,则4D的取值范围

是.

14.已知函数/(x)=sin(0x+°)(。>0,0<0柠)，若/(一：］=1，/g)=°，且

“X)在区间上单调，贝.

四、解答题(本大题共5小题)

15.已知椭圆a4+p-=1(«>^>o)的离心率为|■，点尸卜,£|在椭圆「上.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵过点0(0,6)的直线(非y轴)交椭圆于48两点，以为直径的圆经过

原点。，求直线46的方程.

16.已知函数/(x)=ln(ax)+—,其中Q〉0.

x

(1)当”=1时，求函数/(%)的图象在％=1处的切线方程;

(2)若/(x)2In”恒成立，求a的取值范围.

2/14

17.如图，在四棱锥P-48C。中，P/_L平面48CD,AB=BC=CA=2,

(1)求证：8。2平面尸/C；

⑵求平面PA8与平面”D夹角的余弦值.

18.某市举行中学生排球比赛，甲、乙两所学校代表队争夺比赛的冠军，比赛采用

三局两胜制.根据以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为0.6,

0.4,且每局比赛的结果相互独立.

(1)求甲代表队夺冠的概率；

⑵比赛开始前，工作人员采购了5个新球作为比赛用球放在袋子中，新球一经使

用就变成“旧球”，“旧球”可继续使用.每局比赛前，裁判员从袋中的5个球中

随机取出一个球用于比赛，且局中不换球.每局比赛结束后，将本局使用的球放回

袋中，与袋中原有的球混合.记甲、乙两校代表队决出冠军后，袋中新球数量为

X求随机变量X的分布列与数学期望.

19.已知有穷数列/：a},a2,­­■,am(m>3,mcN),设

S={x\x=aj-ai,\<i<j<m},记S中元素的个数为|S|.

⑴若数列40,2,4,12,求集合S,并写出|S|的值；

⑵若/是单调数列，求证：的充要条件是“力为等差数列”；

⑶若切=2〃+1,neN*，数列/由1,2,3,4,­••,n,2〃这(〃+1)个数组成，且

这(〃+1)个数在数列A中至少出现一次，求|S|的取值个数.

3/14

参考答案

1.【答案】D

【详解】由补集的定义可知，,夕={2,3}.

故选D.

2.【答案】A

【详解】因为/>'，所以x<0或x>l,

则x>l可以推出一>x,但/>x不能推出x>l.

故“尤>1”是“/>x”的充分不必要条件，

故选A.

3.【答案】B

i“2+i）-l+2i12.

【详解】因为Z=13rM嵩---F—1,

555

12

所以z的共钝复数为-二-二匚

故选B.

4.【答案】C

2

【详解】AABC是边长为2的正三角形，其面积为：SAABC=^-X2=

因为三棱锥尸-ABC的体积为1和底面积S,ABC=C

[3

得：展;xS,43CX〃=]XG><〃=1.解得：h=—r==A/3.

设直线PA与平面ABC所成角为。，所以sin6=-^=".

PA2

故选C.

5.【答案】A

【详解】因为xe04所以

2亚1162后-6

故选A

6.【答案】B

【详解】对于A,由S“=a”+「2,可得S,i=%-2（〃22）,

4/14

两式相减得s,-S,T=a„+1-2-(a„-2)(77>2),所以=an+l-a„(n>2),

所以%+1=24(〃22),所以乎=2(〃22),

当”=1时，£=。2-2,又％=1,所以出=3,所以二*=3,

ax

所以数列｛%｝不是等比数列，故A错误；

对于B,由A可知，数列｛。“｝去掉第一项，可构成以。2=3为首项，2为公比的等比

数列，

所以a2a4=。；，故B正确；

对于C,由A可得％;仁、”

所以%+%=3x22+3x25=108,%+4=3x2*+3x24=72,

所以&+%>/+&，故C错误；

对于D,由C可得岳=1,星=3+1=4,邑=4+6=10,

所以曾建，所以数列｛SJ不是等比数列，故D错误.

故选B.

7.【答案】C

【详解】由方=(1,8)，ZO=(V2,-l)-<^A8-Z5=(1,V2).(V2,-1)=V2-V2=0,

所以方_L25，所以LBD=T48MH=gxJl+2xJ2+1=m，

又2次=3觉，所以反=：冠，所以匹卜1洞=乎，

12I—HI---412

^BCD=-X-\^\\AD\=-X-X3=1,

LL35

所以SABCD=S0BCD+S/B0=1+5=5,

故选C.

8.【答案】D

【详解】设加是准线，过尸作PNL加于N,过。作加，加于M,过。作。"，尸N

于H,如图，

则|尸尸|=|两|,|。尸|=|鼐］,又|尸用=2|。用,所以|RV|=2|0M|,

所以|PH|=|NH1=|QM\=\QF\,所以坦用=小尸0『-|所=2^\QF\,

所以tanAHPQ=2©叫=2也

\PH\10^1

直线斜率为2vL

故选D.

5/14

9.【答案】BD

【详解】对于A,3月上旬我市日最高气温的极差为24-3=21℃,故A错误;

对于B,3月上旬我市日最高气温的平均数为

对于C,3日-10日我市日最高气温不是持续上升，8日到9日气温是下降的，故C

错误；

对于D,气温由低到高排列为3,4,7,12,12,15,16,19,23,24,

又10x60%=6,故3月上旬我市日最高气温的60%分位数为"士蛆=15.5。。，故D

2

正确.

故选BD.

10.【答案】ABD

【详解】A选项，双曲线C：^-£=1(m>0)的渐近线方程为/=±、区》，

m2Vm

又一条渐近线方程为x-2尸0,故P=L解得加=8,

2

故,=8+2=10,解得c=厢，故双曲线。的焦距为2而，A正确；

B选项，由A知，a=&=2&,由双曲线定义得|尸耳|-|尸旦1=2。=4也，B正确；

C选项，7^(710,0),当直线/与x轴垂直时，

放-5=1中，令x=时，y=,故IP。1=,C错误；

D选项，4卜2后,0),4(2^。)，

222

设尸(九〃)，则可〒1，即〃2=彳-2,

6/14

,___2

k卜_n________4________________=J_,D正确.

12-m+2s/2m-2y/2~m2-8~m2-8-4

故选ABD

11.【答案】ACD

【详解】对于A,当时，当xVO时，〃x)=2x3工，函数单调递增，值域为

(0,2],

当％>0时，/(X)=X2-6ZX+1,对称轴为％

最小值为/(|)=^|J-«-^+l=-^+l<0,所以/(x)有最小值；

对于B,当。<0时，当xVO时，/(x)=2x3\函数单调递增，

当x>0时，f{x}=x2-ax+\,对称轴为x=]<0,函数单调递增，

其中2X3°>02-〃.0+1,所以在R上不单调递增，故B错误；

对于C,设点(xJ(x))(x>0)关于V轴对称的点为(-xj(-x)),需满足

/(-x)=/(x),

f(x)=x2—ax+1,f(—x)=2x3',即x?—ox+1=2x3x>

设g(无)=2X3-X-X2+«X-1(X>0),则g(0)=l>0.

解法一：因为g(x)=2x3T-f+ax-1在(0,+s)的图像是连续不断的，当xfy时,

所以VaeR,函数g(x)在开区间(0,+⑹内总有零点，故C正确;

解法二：u(x)=2x3-JC-l,v(x)=-x2+ax,当x>max{a,0}时，v(x)<0,当x>log32

时，M(X)<0,所以当x>%=max{0,a』og32}>0时，g(x)=〃(x)+v(x)<0,

所以对于任意的VaeR,函数g(x)在开区间(0,x°)内有零点，故C正确;

〃、2xy,x<0,

对于D,当。=2时,f(x)="j2c,c图象如图所示:

lx-2x+l,x>0,

解/一2x+l=l(x>0)得x=2,解f-2x+l=2(x>0)得x=l+也.

尸(x)=/(/(x))T的零点就是关于x的方程尸(x)=/(/(x))T=0(记作①)的实数解

的个数.

令〃=/(无)，=则方程①的解集为对于关于“的方程/(")=r(记作②)的

每一个瓦的值，所得到的关于X的方程y(x)=〃(记作③)的所有的不同的解的集

合，换言之函数尸(x)的零点的集合X={N/(〃x))=4=何〃x)="J(")=/},根据题

意cardX=5.

7/14

方程②的解是函数>=/(〃)和V=f的交点的横坐标，可以参照y=f(x)的图象与直

线了=:的交点的横坐标估计个数和范围；方程③的解是函数了=/(尤)的图象与直线

>="的交点的横坐标，其中”是方程②的每一个解.

方程③有解时，必有〃上o,方程②有解，必有此0,

因此下面可以只考虑此o的情况和方程②中的非负实数解.

(1)当7=0时，方程②有一个非负实数解〃=1,方程③有且只有2解，故方程①

只有2解，不合题意；

(2)当时，②只有2个非负实数解%此且。<小<1<"2<2,

对于内方程③有三个解，对于物方程③有两个解，

这5个解是直线〉=%/=%和函数/(x)的图象的5个不同交点的横坐标，

由图可知显然是不同的，所以这时方程①共五个解，即函数*x)有且只有5个零

点，符合题意；

(3)当f=l时，②只有1个非负实数解〃=2,此时方程③有两个解，所以方程①

有2解，即尸(x)只有2个零点，不合题意；

(4)当止(1,2),方程②只有1个非负解〃且2<支<1+后，此时③只有1个解，不

合题意；

(5)当/=2时，方程②有两个解，%=0或2</<l+0，

对于%=0,方程③有1个解；对于2<%<1+拒，此时方程③有1个解，故方程①

只有2个解，不合题意；

(6)当fe(2,+8),方程②只有一个解“且〃>2,此时方程③只有1个解，故方程

①只有1个解，不合题意.

综上所述，若尸(x)有5个零点，贝UO<X1,故D正确，

故选ACD.

12.【答案】3+2拒/2及+3

【详解】由题意得工+冬/1+日❶+了>1+2+4注3+2也，

xy\xyJxy

当且仅当上=2时，即尤=0-1/=2-收时取等号.

xy

13.【答案】(3,5)

【详解】

由题意，以力为坐标原点，N8方向为无轴建立平面直角坐标系,

8/14

设/8公=仇。«0,兀),

因为在V/BC中，AB=6,AC=3,

则^(0,0),5(6,0),C(3cos6»,3sin6>),

又点。在BC上且C£>=28D,

设Z)(x,y),贝UCD=(x-3cos0,y-3sin0),DB=(6-x,-y),

又丽=2丽，贝U(x-3cose,_v-3sin6)=2(6-x,-y),

解得x=4+cos6,y=sin。，所以AD=(4+cos。,sin6),

所以=(4+cos6)2+(sin6)2=17+8cos<9,

因为cos。e（-1,1）,所以西、（9,25）,贝l］画e（3,5）,

所以的取值范围是（3,5）.

・田g、18

14.【答案】—

【详解】设函数/（X）的周期为T,由

结合正弦函数图象的特征可知,

itTiTkT771T左T7z

—+—=—I-----=—=—I------，左wN.

34421242

T-77t一

----,co=—(1+2t)#€N

故―30+2后厂§1+2左)7

7

又因为y（x）在区间底句上单调，所以,7i7ir故Y，

232

所以—r~―r>—k<N

切以3(1+2左)3

兀71

即+0=〃兀(〃wZ)且0<(P<-，

所以，当k=0时，co=—,=-—+WTI(HGZ),9〉工或夕<0,舍.

当k=\时，co=­,9=一生+〃兀(〃EZ),(p=—,符合条件.

77''7

当k=2时，G)=一,(p=------+«7l(77GZ),°〉一或。<0,舍.

77v72

由I、I1871

所以幻二7,9=7.

22

15.【答案】⑴土+匕=1

129

(2)y=±V6x+6

c1

【详解】(1)由e=—=彳，得”=2c,则/=4/=〃+。2,所以〃=3。2,

a2

9/14

将点尸卜,|］代入椭圆方程得卷+.=1,解得,2=3,

所以椭圆的标准方程为《+仁=1.

129

（2）依题意直线斜率存在，设直线48的方程为，=丘+6,并设点4,6的坐标

分别为（国,必）,（%，%）・

（方法一）

\y=kx+6,、，

联立方程，2…打消去y得（3+4/）/+48丘+108=0,

3

依题意，△=（48左了一4x108（4〃+3）=144（4左2—9）>0,：.\k\>-,

口—48左108

且西+%=----7T，再入2=----7T，

123+4左2123+4左2

依题意方.砺=0，即再入2+（句+6）（生+6）=0,

整理得（左2+1）再%2+6左（再+%2）+36=0,

”K，2108（7—48左,八

从而（上+1）----+6k-------y+36=0,

3+4左23+4左2

3

「・216—36左之=0,解得左=_遥，k2=469满足|左>5.

从而直线4夕的方程为>=±46x+6.

（方法二）

将尸丘+6即6=>-丘代入3—+4/=36,得3/+4/=（y-kx）2,

整理得，3卜］+241+3-后2=0,

3

依题意，A=（24）2—4x3（3—左2）>0,：.\k\>~,

依题意，&•匹==仁=-1,解得左=±&，满足/>：,

xxx232

所以48的方程为歹=±y［6x+6.

16.【答案］（1）>=1

⑵a>-

e

【详解】（1）当“=1时，/（x）=lnx+-,贝

XXX

10/14

所以/'(1)=0,又/(1)=1,

则所求切线方程为y=L

(2)/(x)2Ina=In(tzx)+—>ln6z^>lnx+—>0,其中1>0,

XX

所以问题转化为。2-xlnx(x>0)恒成立，

记g(x)=-xlnx,贝!jg'(x)=Tnx-l,

令g'O)>0,得0<%<,；令gf(x)<0,得%>,，

ee

所以g(x)在(o,j上单调递增，在+8)上单调递减，

g(x)的最大值为所以。

ee

17.【答案】(1)证明见解析

⑵4

【详解】(1)因为/O=cr>,AB=BC,所以8。是线段/C的中垂线，

即BDYAC,

又PN_L平面ABCD,8。u平面ABCD,则BDVPA,

由尸/nZC=Z,PA,NCu平面P/C,

所以AD1平面尸/C.

(2)设3。与/C相交于点O,取PC的中点。，连接。。.因为8。是线段/C的中

垂线，

所以。是NC的中点，则。。〃力，且OQ=；P/=1.

由尸/_L平面/8CA,AC,3。匚平面/8。。，得P4_L/C,PAA.BD,

所以OQL/C,OQYBD.

由条件，可求得OB=JBC2-OC2=6，OD=yJcD2-OC2=273>

以赤，OC，而分别为X轴，y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,

易得40,-1,0),5(73,0,0),C(0,l,0),。(-2百,0,0),P(0,-l,2).

Q

Ao、\

B

___UUl

设平面FAB的法向量为nx=(xl,yl,zl),PA=(0,0-2),尸B=(j3,l,-2),

n,-PA=—2Z]=0I-

由,———►i—，取项=1,则必=—A/39Z]=0,

々・尸5=>/3再+弘一24=0

所以平面尸的一个法向量为成=(1,-6,0).

11/14

设平面产⑶的法向量为第=(工2，%/2),PC=(0,2,-2),而=(—2月,1,—2),

n?•PC=2%-2z=0

由《一——►r-?，取为=2百，贝！J%=-1，z2=，

n2-PD=-2>/3%1+y2-2z2=0

所以平面PCD的一个法向量为％=(-1,2百,2百).

7

所以平面尸48与平面PCD夹角的余弦值为历

18.【答案】(1)0.648

(2)分布列见解析；期望为2.8928

【详解】(1)记甲代表队夺冠为事件4甲代表队以比分2:0夺冠为事件4，比分

2:1夺冠为事件4，

尸(4)=0.6x0.6=0.36,

P(4)=60.6x0.4x0.6=0.288,

P(A)=P(4)+P(A2)=0.36+0.288=0.648,

所以甲代表队夺冠的概率为0.648.

(2)比赛2局结束的概率为0.6x0.6+0.4x0.4=0.52,

比赛3局结束的概率为1-0.52=0.48,

随机变量X的可能取值为2,3,4,

P(^=4)=0.52x1+0.48x|x1=0.1232,

43

P(X=2)=0.48x-x-=0.2304,

44214

P(X=3)=0.52x-+0.48x-x-+0.48x—x—=0.6464,

55555

故随机变量X的分布列为

X234

p0.23040.64640.1232

E(X)=2x0.2304+3x0.6464+4x0.1232=2.8928.

19.【答案】(1)S={2,4,8,10,12},|S|=5

⑵证明见解析

(3)2〃

【详解】(1)因为％=0,%=2,%=4,%=12,贝!］尤=%—卬,14，</4双的可能

情况有：

电一％=2,%%=4,%—4=12,a3~a2=2,a4—a2=10,a4-a3=S,

所以S={2,4,8,10,12},|S|=5.

(2)“充分性”：4为等差数列:%,%+d,%+2d,…，％+O-l)d

(dwO).

12/14

贝1x=%-4=［%+(/-1)即_［。］+(7—1)引=(1<z<j<m),

J—能取从1到优-1的每个整数，故5={4,2乩3分-,(冽一1)4},

因此

“必要性”：不妨设/为递增数列：4,外，…，金，作运算并比较如下：

电-%<%-4<%-%<,,<%-%，共("7-1)个互不相等的数，同理

a3-a2<a^-a2<a5-a2<---<am-a2<am-ax,共(〃2-1)个互不相等的数.

a4-a3<a5-a3<a6-a3<---<am-a3<am-a1<am-ax,共(mT)个互不相等的数.

«„,-i<a,„-am_2<am-娱<…<am-a2<am-ax,共(mT)个互不相等的数，

由|S|=/n-l及力的有穷性，知

==a

。2—Q]='''m~〃加一1.

即/为等差数列.

(3)因为数列/由1,2,3,4,…，n,2〃这(〃+1)个数组成且项数为2〃+1,所

以数列/中必有相等的项，则任意两项的差值可能为0,±1,±2,±3,…，+n,

±(n+1),±(M+2),•••,±(2n-l),

其中，必有OeS,对于f=l,2,3,…，2n-l,t和T至少有一个属于S,

所以2〃4|S区4»-l.

(方法一)

①当数列力为