安徽省蚌埠市2025届高三年级下册适应性考试数学试题（含答案解析）

安徽省蚌埠市2025届高三下学期适应性考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知全集"={0』,2,3},集合3={0,1},则乐8=()

A.0B.{2}C.{3}D.{2,3}

2.“x>l”是“—>一，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知i是虚数单位，复数z=白，贝|z的共轨复数是（）

2-1

12121212

A.——+-iB.---------iC.-+-iD.------i

55555555

4.已知三棱锥夕-ABC的体积为1,VA5C是边长为2的正三角形，且B4=2,则直线B4

与平面ABC所成角的正弦值为（）

B.f「V3

A-—2.-D.1

2

sin[x-]J=§,贝ljcosx=()

5.已知

A—^/3+2A/2RV3+2V2「1+276-1+2新

666-6~

6.已知数列{%}的前〃项和为S”,5“=%-2且4=1,则（

A.数列{4}是等比数列B.a2a4=afC.。4+%＜。5+。6

D.数列电}是等比数列

7.在四边形A8CD中，2AB=3DC，AB=（1,72）,而=（也-1）,则该四边形的面积为（）

l515

A.4B.2-\/2C.—D.

T

8.已知抛物线y?=2px（P>0）的焦点为E经过点P的直线/与抛物线相交于点P,Q

（点尸在第一象限），若|PF|=2|QF|,则直线/的斜率为（）

A.1B.72C.拒D.272

二、多选题

9.进入3月份后，受冷暖空气的共同影响，我市气温起伏较大.现记录了3月上旬(1日

-10日)我市的日最高气温如下(单位：。C)：24,23,3,4,7,12,12,16,15,19,则

下列说法正确的是()

A.3月上旬我市日最高气温的极差为20℃B.3月上旬我市日最高气温的平均数为

13.5℃

C.3日-10日我市日最高气温持续上升D.3月上旬我市日最高气温的60%分位数为

15.5℃

22

10.已知双曲线C：上-上=1(m>0)的一条渐近线方程为尤-2y=0,点K，F?分别是

m2

c的左、右焦点，点A，4分别是c的左、右顶点，过点F?的直线/与c相交于P,Q点，

其中点尸在第一象限内，记直线PA的斜率为K，直线尸&的斜率为则()

A.双曲线C的焦距为2而B.131—1尸6|=4&C.|尸。|>40

D.k'k?=~

11.已知函数/(x)=21其中。为实数，则下列说法正确的是()

[X-ax+l,x>0,

A.当2时，/(x)有最小值

B.当。<0时，/(x)在R上单调递增

C.VaeR,7(元)的图象上都存在关于了轴对称的两个点

D.当。=2时，记/(x)=f(/(x))T,若网幻有5个零点，贝

三、填空题

12

12.已知x>0,7>0,x+y=\,则—+一的最小值为____.

尤y

13.在VABC中，AB=6,AC=3,点。在上且CD=23D,则AD的取值范围是.

14.已知函数/(x)=sin(ox+e)(o>0,0<^<1),若/,：[=1，/^=0,且在

区间上单调，贝'

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.已知椭圆C：m+2=1(°>6>0)的离心率为:，点尸3,，在椭圆C上.

ab，12/

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵过点。(0,6)的直线(非y轴)交椭圆于A,8两点，以48为直径的圆经过原点O,

求直线A2的方程.

16.已知函数/。)=111(以)+幺，其中a>0.

⑴当。=1时，求函数的图象在尤=1处的切线方程；

⑵若/>0)2In。恒成立，求。的取值范围.

17.如图，在四棱锥尸-ABCD中，PAL平面ABC。，AB=BC=CA=2,AD=CD=屈,

⑴求证：3£>2平面夫4?；

(2)求平面的与平面PCD夹角的余弦值.

18.某市举行中学生排球比赛，甲、乙两所学校代表队争夺比赛的冠军，比赛采用三局两胜

制.根据以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为0.6,0.4,且每局比赛的

结果相互独立.

(1)求甲代表队夺冠的概率；

(2)比赛开始前，工作人员采购了5个新球作为比赛用球放在袋子中,新球一经使用就变成“旧

球”，“旧球”可继续使用.每局比赛前，裁判员从袋中的5个球中随机取出一个球用于比赛，

且局中不换球.每局比赛结束后，将本局使用的球放回袋中，与袋中原有的球混合.记甲、

乙两校代表队决出冠军后，袋中新球数量为X,求随机变量X的分布列与数学期望.

19.已知有穷数列A：%,a2,am(m>3,mcN),设S={x|x=%一生,1<i<jVm},

记S中元素的个数为IS|.

⑴若数列A：0,2,4,12,求集合S,并写出|S|的值；

(2)若A是单调数列，求证：TS|=加-1"的充要条件是“A为等差数列”；

（3）若机=2w+l,neN*,数列A由1,2,3,4,...»n,2〃这（w+1）个数组成，且这（〃+1）

个数在数列A中至少出现一次，求IS|的取值个数.

试卷第4页，共4页

《安徽省蚌埠市2025届高三下学期适应性考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DABCABCDBDABD

题号11

答案ACD

1.D

【分析】根据补集定义，即可求解.

【详解】由补集的定义可知，。3={2,3}.

故选：D

2.A

【分析】根据充分性和必要性两方面判断即可；

【详解】因为所以x<0或无>1,

贝!Jx>l可以推出Y>X,但尤2>x不能推出X>1.

故“尤>1”是“Y>x”的充分不必要条件，

故选：A.

3.B

【分析】先利用复数的除法法则求出复数z,再求z的共轨复数.

ii（2+i）-l+2i12.

【详解】因为-------F—1

2^i-（2-i）（2+i）555

17

所以z的共软复数为-”旨.

故选：B.

4.C

【分析】由体积和底面积，可求出顶点P到底面AABC的垂直高度h,进而由直线与

平面所成角的正弦值等于该直线与平面内某条直线（投影）形成的直角三角形中，计算即可求

得结果.

【详解】AABC是边长为2的正三角形，其面积为：SABC=是X于=6.

△ADC彳

因为三棱锥尸-ABC的体积为1和底面积S4ABe=#）,

113

得：V=-xSiABCx/z=-x73x/I=l.^f：h=-j==^.

答案第1页，共16页

设直线PA与平面ABC所成角为。，所以豆皿=幺=走.

PA2

故选：C

5.A

【分析】利用同角的正余弦函数的平方关系求得cos[x-]｝进而利用

£

3

所以cosx=cos][x—g]+g=cos[x—g'osg-sin[x-g]sing

2A/211V32A/2-A/3

=----------X------------X--------=----------------------.

32326

故选：A.

6.B

【分析】由题意可得叽=2(心2),又叫=3判断AB；计算可得4+%>%+〃6判断C；

a

an\

计算可得卜含判断D.

【详解】对于A,由S,=a向-2,可得S,T=4—2522),

两式相减得S.一S,T=ainl-2-(a„-2)(n>2),所以%=aM-an(«>2),

所以am=2%2),所以&a=2(在2),

an

当”=1时，Sl=a2-2,又4=1,所以a?=3,所以亍~=3,

所以数列｛q｝不是等比数列，故A错误；

对于B,由A可知，数列｛。“｝去掉第一项，可构成以外=3为首项，2为公比的等比数列,

所以a2a4=Y，故B正确；

对于C,由A可得见=f日l,n2=1\"

答案第2页，共16页

2534

所以。4+%=3x2+3x2=108,a5+a6=3x2+3x2=72,

所以%+%>%+/,故C错误;

对于D,由C可得5]=1,邑=3+1=4,53=4+6=1。，

所以93所以数列电｝不是等比数列，故D错误.

故选：B.

7.C

__.7—■

【分析】由题意可得通，而，可求得S.ABD，由。C=：A2,可求以BCD，从而可求四边

形的面积.

【详解】由通=(1,0),AD=(72,-1),可得相力=(1,®(仓-1)=应-应=。，

所以荏,亚，所以SAA.=J荏||而|=gx^/^^X勾■=■|,

又2径=3觉，所以诙=g而，所以“卜=竿，

S-BCO=gxgMk4=gxgx3=l,

所以S4BC0=S&BCD+SAABD=1+5=5.

故选：C.

8.D

【分析】作出准线加，过P,Q作准线，"的垂线，垂足分别为N,M,利用抛物线的定义把抛

物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用平面几何知识计算出直线/的斜率.

【详解】设加是准线，过尸作PN，〃z于N,过。作QM-L根于过。作QHLPN于a,

如图，

则11P尸|=|PN尸|=|又|尸产|=2|。尸|,所以|PN|=2|QM|,

22

所以|尸〃|=|7VW|=|QM|=|Q尸|,所以|QH\=7|P2|-|PH|=2^2\QF\,

\QH\2y/2\QF\

所以tanN"PQ==2夜

\PH\\QF\

直线斜率为20.

故选：D.

答案第3页，共16页

【分析】求得极差判断A；求得平均气温判断B；8日到9日气温是下降的可判断C；求得

60%分位数判断D.

【详解】对于A,3月上旬我市日最高气温的极差为24-3=21℃,故A错误;

24+23+3+4+7+12+12+16+15+19

对于B,3月上旬我市日最高气温的平均数为=13.5℃,

10

故B正确;

对于C,3日-10日我市日最高气温不是持续上升，8日到9日气温是下降的，故C错误；

对于D,气温由低到高排列为3,4,7,12,12,15,16,19,23,24,

又10x60%=6,故3月上旬我市日最高气温的60%分位数为"产=15.5℃,故D正确.

故选：BD.

10.ABD

【分析】A选项，根据渐近线方程得到方程，求出〃z=8,从而得到双曲线C的焦距；B选

项，双曲线定义得|尸耳I-1尸耳|=2a=4及；C选项，举出反例；D选项，设P(饵〃)，则

222

n

mn144r77

----------=1?故k,k=--------D正确.

822m2-84

【详解】A选项，双曲线C：工-.=1(m>0)的渐近线方程为y=±、E，

m2Vm

又一条渐近线方程为尤-2y=0,故=L解得加=8,

Vm2

故°2=8+2=10,解得°=河，故双曲线C的焦距为2如，A正确;

B选项，由A知，。=&=2&,由双曲线定义得|正耳|-|「区|=24=4及，B正确;

C选项，^(710,0),当直线/与x轴垂直时，

!-==1中，令x=M时，y=±—,故|尸。|=&<4后，C错误；

822

答案第4页，共16页

D选项，A(-272,0),4(272,0),

kk_nn_/_彳一」，D正确.

12m+2y/2m-25/2m2-8m2-S4

故选：ABD

11.ACD

【分析】分析x40和x>0的函数部分值域，然后综合研究判断A；利用分段函数单调性判

定方法分析判断B；构造关于〉轴对称的点，得到关于x的方程，进而转化为函数的零点问

题，利用零点存在定理判定C；利用数形结合法分析〃"）=/,的解的个数，确定/的

范围，判断D.

【详解】对于A,当“22时，当x40时，/（尤）=2x3，，函数单调递增，值域为（0,2],

当x>0时，f（x）=x2-ax+1,对称轴为x=,

最小值为培）=1口-4+1=-1+140,所以/Q）有最小值；

对于B,当时，当x<0时，f（x）=2x3x,函数单调递增,

当%>0时，f（x）=x2-ax+1,对称轴为％=?v。，函数单调递增,

其中2x3°>O2—a.o+i,所以/（%）在R上不单调递增，故B错误;

对于C,设点（X,“X））（X>O）关于y轴对称的点为（T,〃T））,需满足〃T）=/（X）,

/(x)=x2-ax+l,/(-x)=2x3-x,BP%2-ox+l=2x3-x,

设g（x）=2x3-JC-x2+av-l（x>0）,则g（0）=1>0.

解法一：因为8（力=2*37-犬+6-1在（0,+e）的图像是连续不断的，当x―田时,

g（x）--oo,

答案第5页，共16页

所以VaeR,函数g(x)在开区间(0,内)内总有零点，故C正确;

解法二:设〃(x)=2x3r-1,丫(%)=-%2+依，当x>max{a,O}时,v(x)<0,当x>log32时,

M(X)<0,所以当=max{0,a,log32}>0时，g(x)=〃(x)+v(x)<0,

所以对于任意的VqeR,函数g(x)在开区间(0,5)内有零点，故C正确;

“、2x3x,x<Q,

对于D,当。=2时,ftY)—《图象如图所示:

[x1-2x+l,x>0,

解Y_2%+1=1(%>0)得％=2,^x2-2x+l=2(x>0)得x=l+0.

/("=〃/3)一的零点就是关于工的方程尸(》)="/(动--0(记作①)的实数解的个

数.

令M=/(X),/(")=/,则方程①的解集为对于关于〃的方程/(")=，(记作②)的每一个〃

的值，所得到的关于X的方程/(%)="(记作③)的所有的不同的解的集合，换言之函数/⑴

的零点的集合X=/(/(%))=?}=卜I“X)="J(“)=”，根据题意cardX=5.

方程②的解是函数y=/(")和y=r的交点的横坐标，可以参照y=/(x)的图象与直线y=r

的交点的横坐标估计个数和范围；方程③的解是函数y=/(x)的图象与直线＞="的交点的

横坐标，其中"是方程②的每一个解.

方程③有解时，必有“20,方程②有解，必有此0,

因此下面可以只考虑此o的情况和方程②中的非负实数解.

(I)当公。时，方程②有一个非负实数解a=1,方程③有且只有2解，故方程①只有2解，

答案第6页，共16页

不合题意；

(2)当时，②只有2个非负实数解%,4且。<%<1<%<2,

对于对方程③有三个解，对于的方程③有两个解，

这5个解是直线y=%,y=%和函数/(X)的图象的5个不同交点的横坐标，

由图可知显然是不同的，所以这时方程①共五个解，即函数P(x)有且只有5个零点，符合

题意；

(3)当r=l时，②只有1个非负实数解"=2,此时方程③有两个解，所以方程①有2解,

即产⑴只有2个零点，不合题意；

(4)当te(l,2),方程②只有1个非负解"且2<M<1+及，此时③只有1个解，不合题意；

(5)当7=2时，方程②有两个解，/=0或2<〃2<1+3，

对于4=0,方程③有1个解；对于2<〃2<1+逝，此时方程③有1个解，故方程①只有2

个解，不合题意；

(6)当/«2,+8),方程②只有一个解"且">2,此时方程③只有1个解，故方程①只有1

个解，不合题意.

综上所述，若尸(无)有5个零点，则故D正确，

故选：ACD.

12.3+28/2五+3

【分析】利用代换1法，结合基本不等式求最小值即可.

【详解】由题意得,+2=1+2](》+封=1+2+2+223+2立，

xyyjxy

当且仅当2=岂时，即x=Ji-l,y=2-应时取等号.

故答案为：3+2A/2.

13.(3,5)

【分析】以A为坐标原点建立平面直角坐标系，NBAC=，,，e(0,兀)，可得A犷=17+8cos0,

利用即可求得AD的取值范围.

答案第7页，共16页

【详解】

由题意，以A为坐标原点，48方向为无轴建立平面直角坐标系,

设/区4c=，,eqo,7i）,

因为在VABC中，AB=6,AC=3,

则A（0,0）,8（6,0）,C（3cos03sin，

又点。在BC上且CD=2BD,

设Z）（x,y）,贝!|①=（x-3cos61,y-3sine）,9=（6-x,-y）,

又诟=2丽，贝!J（x-3cos，,y-3sin6＞）=2（6—x,-y）,

解得x=4+cos（9,y=sin6,所以AD=（4+cose,sine）,

所以=（4+cos3y+（sin0）2=17+8cos6,

因为cos6e（-l,l）,所以由、（9,25）,则由卜（3,5）,

所以AD的取值范围是（3,5）.

故答案为：（3,5）.

18

14.

【分析】根据函数在区间（右片）内的单调得出周期，进而求得。，通过极值点和零点条件

建立关于。和。的方程，结合（P的范围筛选合理解，验证单调性即可得出结果.

【详解】设函数/（X）的周期为T,由/卜：）=1，=0，

结合正弦函数图象的特征可知,

71itTkT7兀TkT

—+—=一十一=>—H-------左EN.

34421242

答案第8页，共16页

7兀2兀,o=g（l+2左），左eN

故3（1+2米）g。+2左）

又因为/(x)在区间上单调，所以，故T>?

L3L3

77T7T.-._

加所以以-3（7-1-+-2-左T）>—3nk<3,keN

71/

即co—+（p=rmynGZ)且。<0苦

所以，当左=0时，①=%,(p=一一-+n7i(neZ),'或。<。舍.

当k=l时，'0=——+〃兀(〃£Z),0=1，符合条件.

当左=2时，co=—,0=一3^+九兀(〃£Z),夕〉女或0<0,舍.

77v72

所以刃=?,"二】•

77

1Q

故答案为：—■

（2）y=±46x+6

【分析】(1)由己知可得。=2c,b2=3c2,代入点的坐标可求得椭圆方程;

(2)法一：设直线A3的方程为1=狂+6,并设点A,B的坐标分别为(国,%),(%,%),联

1ns

立直线方程与椭圆方程，由根与系数的关系可得芯+尤2=三2，玉々=廿%，由题意可

得西•砺=0,进而计算可求得左，可求直线A8的方程.法二：将直线方程代入椭圆方程可

得31?：+2左］?1+3-/=0,由题意可得I上|>|,士f=T，求解即可・

c1

【详解】(1)由e=£==,得a=2c,则/=4C2=〃+C2,所以〃=3/,

a2

将点尸13,3代入椭圆方程得'+.=1,解得,2=3,

22

所以椭圆的标准方程为工+匕=1.

129

(2)依题意直线48斜率存在，设直线A8的方程为〉=丘+6,并设点A,8的坐标分别为

(占,凹)，(x2,y2).

(方法一)

答案第9页，共16页

y=kx+6,

联立方程消去y得（3+4左2）/+48依+108=0,

3x2+4y2=36,

3

依题意，△=（48%）2—4x108（4左2+3）=144（4左2—9）＞0,

口-484108

且不+々=-----T，=-----7，

123+4左2123+4左2

依题意砺.砺=0，即玉%2+（何+6）（仇+6）=0,

整理得（42+1）%%2+6左（玉+尤2）+36=0,

11121、108么1—48%,

从而（左+1）-__—y+6k-~~~—y+36=0,

3+4左23+4左2

3

「・216—364之=0,解得勺=-而，左2=后，满足I左1＞万.

从而直线AB的方程为y=±«x+6.

（方法二）

将,二依+6即6=y-Ax代入3%2+4/=36,3x2+4y2=（y-kx）2,

整理得，3H+2（1+3-左2=0,

3

依题意，A=（2%y_4x3（3-公）＞0,：,\k\＞-,

依题意，A.A=lzL=_b解得左=±«，满足

x{x232

所以4B的方程为〉=±#x+6.

16.（l）y=l

（2）a2—

e

【分析】（1）求导，得到广⑴=0,利用导数几何意义求出切线方程;

（2）转化为-xlnx,令g（x）=-xlnx,求导得到单调性和最小值,即可得出结果.

答案第10页，共16页

111

【详解】⑴当〃=1时，/(x)=lnx+-,贝厅'(冗)=——

XXXr

所以/")=0,又/⑴=1,

则所求切线方程为y=L

(2)f(x)>Ind；=>\n(ax)+—>lndi=>lnx+—>0,其中％>0,

XX

所以问题转化为aN-xlnx(x>0)恒成立，

记8(%)=一九1口%,贝|g'(%)=-ln无一1,

令，(%)>。，得0<冗<,；令’(九)v。，得x>L

ee

所以g(x)在(0,：上单调递增，在上单调递减，

g(x)的最大值为g[']=L,所以

ee

17.(1)证明见解析

⑵工

10

【分析】(1)根据条件中的几何关系，说明&)_LAC,且加,以，即可证明线面垂直；

(2)根据垂直关系，以点。为原点建立空间直角坐标系，分别求平面R1B和平面尸6的法

向量，代入平面夹角的向量公式，即可求解.

【详解】(1)因为AT>=CD,AB^BC,所以80是线段AC的中垂线，

即BD_LAC,

又PA_L平面ABC£>,8Du平面ABC。，则BD_LX4,

由PAP|AC=A,PA,ACu平面PAC,

所以1平面PAC.

(2)设80与AC相交于点0,取PC的中点Q,连接0Q.因为8。是线段AC的中垂线，

所以。是AC的中点，则OQ〃丛，且。。=：旧1=1.

由PA_L平面ABC£>,AC,3£>u平面ABCD,得R4_LAC,PALBD,

所以OQLAC,OQ1BD.

由条件，可求得OB=JBC2_OC2=6，OD=y]CD2-OC2=273-

以丽，OC>而分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

易得4(0,-1,0),B(g,0,0),C(0,l,0),D(-2A/3,0,0),尸(0,-1,2).

答案第11页，共16页

p

ZA

_,___*viva,—

设平面B45的法向量为々=(a如4),PA=(0,0-2),PB=(6」,一2)，

n,•PA=-2Z]=0

由〈——►[―，取西=1,则％=—v3，Z]=0,

勺•PB=VS%,+%-2Z]=0

所以平面R4B的一个法向量为1=(1,-6,0).

设平面PC。的法向量为e=(%,%,Z2)，PC=(0,2,-2),PD=(-2A/3,1,-2),

fn?•PC=2y?-2z?=0「「

由<______r,取%=26,则％=T，Z2=2V3,

n2-PD=-2真再+%-2z2=0

所以平面PCD的一个法向量为第=(T2石,2石).

7

所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为—

18.(1)0.648

⑵分布列见解析；期望为2.8928

【分析】(1)甲代表队以比分2:0夺冠为事件A，比分2:1夺冠为事件4,分别求得P(A),

尸(4),可求甲代表队夺冠的概率；

(2)随机变量X的可能取值为2,3,4,分别求得对应的概率，可得分布列，进而可求数

学期望.

【详解】(1)记甲代表队夺冠为事件A,甲代表队以比分2:0夺冠为事件A，比分2:1夺冠

为事件为，

P(Aj)=0.6x0.6=0.36,

P(4)=C0.6x0.4x0.6=0.288,

答案第12页，共16页

尸(A)=尸(A)+P(A,)=0.36+0.288=0.648,

所以甲代表队夺冠的概率为0.648.

(2)比赛2局结束的概率为0.6x0.6+0.4x0.4=0.52,

比赛3局结束的概率为1-0.52=0.48,

随机变量X的可能取值为2,3,4,

P(X=4)=0.52x1+0.48x|x1=0.1232,

43

P(X=2)=0.48x-x-=0.2304,

44214

P(X=3)=0.52x-+0.48x-x-+0.48x-x-=0.6464,

55555

故随机变量X的分布列为

X234

p0.23040.64640.1232

E(X)=2x0.2304+3x0.6464+4x0.1232=2.8928.

19.(1)S={2,4,8,10,12},|S|=5

(2)证明见解析

(3)2n

【分析】(1)利用列举法写出符合题意的所有的S的取值可能，得出|S1的值；

(2)“充分性”:A为等差数列：a,,ax+d,a1+1dq+(mT)d(d力0).则%-4—,

可知x=a厂q的最大值为(NT"，最小值为d,|S|=加-1成立；反之若|S|=M-1,不妨

设A是递增数列，推理可得am-%<am-am_2<am-am_3<...<am-a2<-q,可得数列

A是等差数列；

⑶当数列A由1,2,3,2"这”+1个数组成，则任意两个不同的数作差，差值只可能为

±1,±2,±3,---,+(«-1)和士(2〃一1),±(2〃-2)广.,土〃,共4〃-2个值，又因为1,2,3,…,〃,2”这〃+1

个数在数列A中共出现N=2〃+l次，所以数列A中存在％=%(■/),所以OeS,则可得

出2心|5区4"-1,再说明|S|可以取得2〃〜4〃-1之间的所有整数，得到|S|的值为2”.

【详解】(1)因为%=0,%=2,%=4,a4=U,贝"=a厂J4N的可能情况有：

%—q=2,a3-ai=4,a4-c^=12,a3-a2=2,a4-a2=10fg-q=8,

答案第13页，共16页

所以S={2,4,8,10,12},|S|=5.

(2)“充分性"：A为等差数列：%,%+d,q+2d,…，aA+(m-l)d(dwO).

则x=%-%=[%+(J-l)d]-[%+(z-1)J]=(j-i)d(1<z<j<m),

•能取从1到zn-1的每个整数,故5={/2〃,3公..,(1-1)心,

因此|S|=m-l.

“必要性”：不妨设A为递增数列：q,5,…,am,作运算并比较如下：

a2-al<a3-al<a4-a1<---<am-a1,共(加-1)个互不相等的数，同理

a3-a2<a4-a2<a5-a2<---<am-a2<am-a},共。九一1)个互不相等的数.

ali-a3<a5-a3<a6-a3<---<am-a3<am-a2<am-ax,共(加一1)个互不相等的数.

am~an,-l<—am-2<一。”一3一。2V一%,共(771-1)个互不相等的数，

由|S|=,"-1及A的有穷性，知

。2—Q]==。4—。3=•,•=Q机—am-\•

即A为等差数列.

(3)因为数列A由1,2,3,4,",2〃这(a+1)个数组成且项数为2”+1,所以数列A

中必有相等的项，则任意两项的差值可能为0,±1,±2,+3,±n,±("+1),±("+2),…,

士(21),

其中，必有Oe