安徽省部分学校2024-2025学年高二年级下册3月联考数学试题（解析版）

安徽省部分学校2024-2025学年高二下学期

3月联考数学试题

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡

上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题

的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知函数/（x）=co&x—l,则lim/（兀+’）_"兀）=（）

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】B

【解析】因为/（x）=cosx—l,

所以/'（%）=-sinx,

所以4111/（兀+‘）­""=''（兀）=-sinn=0.

故选：B.

2.已知等差数列｛4｝的前"项和为S"，若［0=1，则与=（）

19

A.—B.10C.19D.38

2

【答案】C

【解析】因为数列｛。“｝是等差数列，

所以=19（。；颉）=19=19%）=19.

故选：C.

3.下列求导的运算正确的是（）

1

B.呵x

\2Jxln2

1

C.=(/+3%2)eD.(ln(4x+l))=

4x+l

【答案】C

【解析】对于A,=1+二=1±^,故A错误;

Vx)xx

/\

1]

对于B,log^xi]___dn2，故B错误;

I2)xln—

2

对于c,(x3e-v)=3x2-ex+%3-ex=(x3+3x2)ex,故C正确;

/\，[4

对于D,(ln(4x+l))=4x-----二------,故D错误.

''"4%+14%+1

故选：C

117

4.已知单调递减的等比数列｛4｝满足%4=77，见+“5=二，贝1J4o=()

6432

11

A.----B.C.512D.1024

1024512

【答案】A

1…1「17

【解析】在等比数列｛4｝中,〃2。4---，所以=---，又4+〃5=---，"1>“5，

646432

解得a=—,a=—

x2532

设｛4｝的公比为小

1

贝内4=幺=正’解得

%

因为｛。“｝单调递减，所以qng.Go=«i/

故选：A

5.已知点P是抛物线C：V=4x上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为4,到

直线〃2：2x—y+3=0的距离为4,则4+4的最小值是(

A.1+迈「3

B.75亚

55

【答案】B

【解析】抛物线C:9=4x的焦点为尸(1,0),准线方程为x=—1,

过点尸作EE_L机，交直线机于点E,

由抛物线的定义可知，4=|PF|,

/、I।12—0+31I—

所以当尸在线段防上时，4+4取得最小值，(4+4).=仁目=^~1=卮

m，"V5

故选：B.

6.在平面直角坐标系中，A(0,3),5(0,—l),点尸满足|PA|=2|PB|,则面积的最

大值是()

81632

A.2B.—C.—D.—

333

【答案】C

【解析】设点P(x,y),因为|P4|=2|PB|,所以Jj+(y—3)2=2j4+(y+l)2,

整理得x2+(y+g］吟，

所以点尸的轨迹是以1o,-g］为圆心，以|为半径的圆，

Q

所以点尸到直线AB的最大距离4^=-，

所以△总面积的最大值为s=却4mx=gx4义|=g.

故选：C.

7.己知定义域为R的函数/(%)满足且/(%)+/'(%)＜0,则不等式/(x+1)

e

〉-4的解集是()

e

A.(2,+co)B.(-co,2)C,(0,+co)D.(-oo,0)

【答案】D

【解析】令g(x)=exf(x),则g'(x)=e*"(x)+/'(x)］＜0,所以g(x)在R上单调递减,

因g(l)=e7(l)=l,所以不等式/(x+l)＞」可变为产"(》+1)〉1,即

e

g(x+l)>g⑴，

所以X+1<1,即尤<0,所以不等式/'(x+l)〉」的解集为(—8,0).

e

故选：D.

8.郑国渠是秦王赢政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的

堤坝.如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为/,点A,B分别在堤坝斜面

与地面上，过点A,B分别作直线/的垂线，垂足分别为C,。，若AC=3,8=4,50=2,

二面角A—/—5的大小为120。，则AB=()

【答案】D

【解析】因AB=AC+O)+DB，

^\AB\2=\AC+CD+DB\2=\AC\2+\CD\2+\DB\^+2ACCD

+2CDDB+2ACDB

=32+42+22+0+0+2X3X2XCOS60°=35，

所以|而|=后.

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

22

9.已知曲线C:-------=1,则下列结论正确的是()

m+1m—3

A.当相£(—1,3)时，曲线。表示椭圆

B.当〃2d(-00,-1)U(3,+8)时，曲线C表示双曲线

C.曲线C可能表示两条直线

D.曲线C不可能表示抛物线

【答案】BD

m+1>0

【解析】若曲线。表示椭圆，则3-机〉0,解得加£(-M)U(L3),故A错误；

加+1w3-机

若曲线C表示双曲线，贝|J(〃7+1)(〃L3)>。，解得〃ZG(—8,—1)U(3,+8),故B正确;

曲线C不可能表示两条直线，故c错误；

无论相取何值，曲线C都不可能表示抛物线，故D正确.

故选：BD.

10.已知函数y=/(x)的导函数y=/'(%)的图象如图所示，则下列说法正确的是()

A.函数y=/(x)的图象在x=—1的切线的斜率为0

B.函数y=/(x)在(1,2)上单调递减

C.%=-1是函数、=/(尤)的极小值点

D./(2)是函数y=/(x)的极大值

【答案】AD

【解析】由图可知/'(-1)=0,所以函数y=/(x)的图象在X=—1的切线的斜率为0,故

A正确；

由图可知xe(1,2)时，f'(x)>0,所以函数y=/(x)在(1,2)上单调递增，故B错误；

由图可知"(一”,2)时，/'(%”0,所以函数丁=/。)在(—8,2)上单调递增，%=—1不

是函数y=/(x)的极小值点，故C错误；

由©选项可知函数丁=/(£)在(-(»,2)上单调递增，由图可知xe(2,+<»)时，f'(x)<0,

所以函数V=/(尤)在(2,+8)上单调递减，

故x=2是函数y=/(x)的极大值点，/(2)是函数y=/(x)的极大值，故D正确.

故选：AD.

11.将小个数排成〃行〃列的一个数阵，如：

%』q,2“1,3•••%,"

出,1。2,2〃2,3•..。2.”

“3,1〃3,2%,3•.•%"

氏」%,2%,3.an,n

该数阵第一列的n个数从上到下构成以d为公差的等差数列，每一行的〃个数从左到右构

成以d为公比的等比数列(其中d〉0).已知见I=&4+1，记这1个数的和为

S,则下列说法正确的有（）

A.d=2B.%7=512

C.a.j=(2z-l)x27-1D.S="2(2”—1)

【答案】ACD

【解析】因为ai,i=L%j=%4+l，所以1+4d—d3+1<解得d=2Cd—0,d——2舍去)，

故A正确；

66

%」=%」+2x4=1+2x4=9,a51=a5j-2=9x2=576,故B错误；

7-17-1

aiA=+2(z-l)=1+2(z-l)=2z-l,atj=a”x2=(2z-l)x2,故C正确；

aaa+a

s=(«i,i+q,2+q,3+.,,+q,，J+(々2,1+%+i.?,+42,”)+,,•+(q，」+n,i+«,3+,1,n.n

।3(1—2\5(1—2")1—2")(l+2I)c

1-21-21-21-22IJ

♦CT，

故D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

X2

12.函数/(x)=21nx+］的图象在x=l处的切线方程是.

【答案】6x-2y-5=0

12

【解析】由已知，得了(1)=个尸(%)=_+1,所以析”)=3,

2x

所以所求切线方程为y-g=3(x—1),即6x—2y—5=0.

故答案为：6x-2y-5=0.

13.已知数列｛4｝的前〃项和为S”,若(2"一=(2〃+l)%(neN+),%=1,则

§50=------------------

【答案】2500

【解析】因为(2"-1)%=(2"+加,,

所以苧L=m(〃eN+),所以数列［善、］是常数列，

2n+l2n-V7

因为=-4—=1,所以

2n-l2x1-1

萌”„(1+99)x50

所以工。=-----------=2500.

故答案为：2500.

22

14.己知双曲线C:三—斗=1(。〉0,6〉0)的左、右焦点分别为耳，鸟，过点片的直线/

与双曲线C的右支和左支分别交于点A,B,若AAG工的面积为人2,且AAK耳的面积

是片心面积的2倍，则双曲线C的离心率为.

【答案】岳

【解析】因为闺闾2=|A片「+|A8「―2,片M^cosN片Ag,

所以4c2=(|肺］—|A闾F+21纳慎用a-cosN耳小)

=4a2+4|A^||A^|sin2幺产,

即|4耳||4闾=/耳?鸟,

sm——-——-

2

因为心"2=:M用|4用sinN斗蜗

b2

1b-2sin^^cosW2

—X-------------------—b

2.2^FAF22-ZEAF,

sm——X-——2-tan——-——='

22

所以tan——!——-=1,所以——!——^=一，即/44月=一,

2242

设忸耳|=加,忸闾=2。+加，由△加；耳的面积是谯面积的2倍，得|A4|=2加,

则|AB|=zn,|A/s|=Im—la,

在△A3K中，|45『+|”「=|和「，

所以根*+(2nz-2a)2=(2a+m)~,解得m=3。，

所以|AfJ=6a,1=4a,

因为|A<+|A闾2=|草才，

所以(6〃)2+(4〃)2=(2C)2,得C=®,

即e=-=,

a

所以双曲线C的离心率为9.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.己知G)G:—2x—4y+4=0与。x2++6x+2y+a=0只有~■条公切

线/,且公切点为点尸是/上异于点M的一点，过点尸作0G的另一条切线，切点为

(1)求a的值及直线/的方程；

(2)若AaMN是等腰直角三角形，求直线PN的方程.

解：(1)0G可化为(x—Ip+(y—2)2=1,圆心G(L2),半径弓=1,

可化为(x+3y+(y+l)2=10—。，圆心C?(—3,—1),半径&.

因为0G与0。2只有一条公切线，所以两圆内切，|。1。21=卜—修，即

5=|y/10-a-11,解得a=-26.

两圆相减，得公切线/的方程为8x+6y—30=0,即4x+3y—15=0.

(2)由题意，得|PM|=|PN|,若是等腰直角三角形，

所以NMPN=90。，檄kpMkpN=<,

43

由(1)可知直线的斜率勺”=—-,所以直线PN的斜率kpL—.

34

设直线PN的方程为3x-4y+2=0,

所以点G到直线PN的距离d=13-：+刈=1,解得；I=0或；I=10.

所以直线PN的方程为3x—4y=0或3x—4y+10=0.

,、2a

16.已知数列｛«„｝满足an+l=,%=2.

(1)求证：数列是等比数列，并求数列｛4｝的通项公式；

n

(2)求数列《,的前n项和Sn.

24。“+421

解：⑴因为q=2,4+1所以，0,---=一+—

4+44+12。“an2

所以一二+2=2(11)

一+—

an+l2\an2)

11

11+万

因为一+7=lwO,所以华一二2,

421|1

册2

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列,

[an2J

111_2

所以一+j=2"T,即1_2H-1.

a.22--

nn

(2)因为t一=n-2--,

a„2

所以S=lx2°+2x21+3x22+---+/2-2n-1-f-+-+-+

(2222)

_.123nn(n+1)

22224

令(=1X20+2X21+3X22+——+〃・2"T,

27；,=1X21+2X22+3X23+L+n-2n,

1_o,,

两式相减，得-T“=l+2+22+---+2"-1-n-2"=^y-n-2"=(l-n)-2"-l.

所以7；=5-1)2+1,

所以S,=S-1>2"—次士D+l.

4

19

17.已知函数/(x)=]X—(Q+1)元+alnx(a>0).

(1)讨论函数/(%)的单调性；

(2)若求证：对\/菁,九2£(°，十0°)且玉。冗2，都有"一/('2)+〃>0.

4x,-x2

1

解：(1)因为/(x)二,必9一(〃+i)x+Mn%，

定义域为(0,+8)，

所以/(x)=x-(tz+l)+-=X-)x+a=(xT)(x—a).

XXX

当Ovavl时，令/''(x)>0,得Ovxva或x>l,令/'(%)v。，得

所以函数/(x)在(0,〃)上单调递增，在3J)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

当。=1时，r(x)=0匚t20恒成立，所以函数/(X)在(0,+8)上单调递增.

X

当。>1时，令/'(x)>0,得0cx<1或x>a,令/'(x)<0,得l<x<a,

所以函数/(%)在(0,1)上单调递增，在(1,。)上单调递减，在3+«)上单调递增.

(2)不妨设为<%，则占一%2<0，要证对v%,%e(0,+°o),

RP/H+〃>u,

%-x2

只需证/(%)一/(%)<一。(不一42)，即需证/(%)+叫</(x2)+ar2.

构造函数g(x)=f(x)+ax=-^x2-x+alnx,则要证g(xj<g(%2)，

需证函数g(x)在(0,+8)上为增函数，

因为g'(x)=x—l+3226—l〉2j』—l=0,

xV4

所以函数g(x)在(0,+8)上为增函数成立，

x

所以当。〉工时，对\/石,为e(0,+oo)且石力羽，都有“"J~f(2)+a>Q

4-一七一/

、一r42}(461)

18.已知椭圆C中心为坐标原点，对称轴为无轴与y轴，且C经过点L飞-,-T-,—

(1)求C标准方程；

(2)若尸是C的右焦点，过E作两条互相垂直的直线4,4，直线乙与C交于A,8两

点，直线4与C交于。，E两点.求四边形ADBE面积的取值范围.

解：(1)设C的方程为m/+期2=],

/-1,1

2m=—

将点1,代入，得3]解得，2

220

7\—m+—n=l,n=l.

[24

无2

所以C的标准方程为三+>2=1.

2-

(2)由(1)可知，a=\[2,,b=1,c=1,

当直线人的斜率为o,直线4的斜率不存在时，|A4=2J5,QE|=JL

当直线4的斜率不存在，直线，2的斜率为o时，|A31=3,|。石|=2点,

所以四边形AD3E的面积S=工|A3IIDE|=Lx2后X0=2.

22

当直线4,4的斜率存在且不为o时，设直线\的方程为

丁=左。-1),人(石，,),5(%2，%)，

y=k(x-l),

联立《x22得(1+2左2)为2一4左2%+2左2—2=0,

丁,=，

由题意得A〉0,%+々=2/-：

121+2421-1+242

2[X242―220(42+1)

所以|AB|=J1+左之-x|=A/1+k1

2Xl+2k2~~~l+2k2

,2行价+1)

同理DE=---J-I,

112+k2

四边形ADBE的面积

4伏2+11

(1+2左2)(2+左2)

。4〃4

s=---------------=--------------

令”左2+1(/>1),贝U(2Z-l)(Z+l)_J_+l+2

所以当』=工，即左=±1时，Smin=—,所以g<S<2.

t299

19.在平面直角坐标系O-孙中，任何一条直线都可以用依+外+c=0(其中a,dceR,

02+1+〃#0)表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点

P(2,3)在直线/上，0=(2,1)是直线/的一个方向向量，则直线/上任意一点。(尤,y)满足

而//G,化简得直线I的方程为％-2y+4=0.而在空间直角坐标系O-xyz中.任何一个

222

平面的方程都可以表示成依+by+cz+d=0(其中a,b,c,deR,Ma+ZJ+C^0)，

类似的，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面.

(1)若点F(l,0,0),G(2,l,l),H(0,2,0),求平面FGH的方程；

(2)求证：4=(0力,<?)是平面依+勿+。2+。=0(«2+//+02力0)的一个法向量；

(3)已知某平行六面体钻。。一4月£。1，平面A531A的方程为2x—y+2z+l=0,

平面BCC[Bi经过点R(0,1,2),S(l,l,3),7(2,2,4),平面4的方程为"一3y+2近-3=0,

求平面ABB^与平面ACQA夹角的余弦值.

解：⑴W=(1,1,1),FH=(-1