甘肃省兰州某中学2024-2025学年高二年级下册阶段检测数学试题（含答案解析）

甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高二下学期阶段检测数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.直线4:5x-y+l=0J2：（3加一2）尤+殁-2=0,若贝U实数加的值为（）

A.0B.1C.0或1D.；或1

2.已知等差数列｛%｝满足q=2,公差dwO,且%,%成等比数列，则1=

A.1B.2C.3D.4

3.用0,1,…，9十个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数为（）

A.652B.648C.504D.562

4.已知点/,B,C为椭圆。的三个顶点，若V48c是正三角形，则。的离心率是（）

A.yB.-C.逅D.—

2332

5.已知圆C：（x-l）2+（y-2）2=5,直线/：mx+y-2m-3=0,则直线/被圆C截得的弦

长的最小值为（）

A.1B.V3C.2D.2百

6.如图，过抛物线j/=2px（p>0）的焦点厂的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,

若忸C|=2忸尸且|第=3,则。=（）

2

7.已知双曲线/-匕=1的左、右焦点分别为片，耳，点尸在双曲线上，且/片产工=120。,

3一

的面积为

试卷第1页，共4页

A.2百B.V3C.2若D.V5

22

8.已知双曲线==l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为耳、F2.过月向一条渐近线作垂

线，垂足为尸.若1Pgi=2,直线尸片的斜率为正，则双曲线的方程为()

二、多选题

22

9.设椭圆C：土+匕=1的焦点为《、F2,M在椭圆上，则

A.胸|+匹|=8B.用的最大值为7,最小值为1

C.|町||四"的最大值为16D.△孙旦面积的最大值为10

10.设等差数列｛%｝的前项〃和为S.，公差为d,已知名=12,S12>0,%<0.贝I]()

A.%〉。

B.—4<d<—3

C.S〃<o时，〃的最小值为13

D.S〃最大时，n=7

11.下列结论正确的是()

A.已知点尸(尤,力在圆C：(x-l『+(y7)2=2上,则x+y的最大值是4

B.已知直线日-〉-1=0和以河(-3,1),N(3,2)为端点的线段相交，则实数上的取值范

2

围为一§4k41

C.已知点尸(。力)是圆/+/=/外一点，直线/的方程是°尤+力=/，则直线/与圆相

离

D.已知直线4：mx-y+2=0,/2：x+my+2=0,则存在实数机，使得乙和4关于直

线x+y=0对称

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.已知数列｛见｝满足％=〃2-4〃，且｛凡｝为递增数列，则彳的取值范围是.

13.为进一步了解学生的学习和生活，某校选派6名老师去4B,C三个学生家中进行家

访活动，每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，则不同的安排方式有

种.

14.点M为抛物线V=8x上任意一点，点N为圆x2+/-4x+3=0上任意一点，且

则的最小值为.

四、解答题

15.已知圆C和直线乙：2x-y-4=0，：x-y-2=0,若圆C的圆心为(0,0),且圆C经过直

线4和4的交点.

(1)求圆c的标准方程；

⑵过定点(1,2)的直线/与圆C交于W,N两点，目MN=2C，求直线/的方程.

16.已知抛物线C：x2=2py(〃>0)上一点尸(m,2)到其焦点下的距离为4.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点尸且斜率为1的直线/与C交于4,3两点，。为坐标原点，求AO/2的面积.

17.已知椭圆少:，+，=1(°>8>0)的离心率为母，短轴长为2.过点(0,-2)的直线/与

椭圆少交于4,8两点，O为坐标原点.

(1)求椭圆少的方程；

⑵设。为48的中点，当直线/的斜率为1时，求中点。的坐标.

、123n21

18.已知数列｛%｝满足一+—+—+…+—=2—I.

。34"

(I)求数列｛%｝的通项公式；

⑵若数列低｝满足b„=a2n,求数列出｝的前n项和.

2

19.已知双曲线C:/-匕=1,直线/交双曲线于/、3两点.

3

(1)若/过原点，P为双曲线上异于/、3的一点，且直线H、网的斜率七,、七&均存在，

求证：kpA，kpB为定值；

试卷第3页，共4页

⑵若/过双曲线的右焦点与，是否存在X轴上的点/(〃7,0),使得直线/绕点B无论怎么转

动，都有而•砺=0成立？若存在，求出M的坐标：若不存在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

《甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高二下学期阶段检测数学试题》参考答案

题号12345678910

答案CDBCDBBDABCAC

题号11

答案AD

1.C

【分析】根据直线垂直的充要条件列方程求解即可.

［详解］/［-LZ2——m—即加2-加=0,解得机=0或加=1.

故选：C.

2.D

【分析】先用公差d表示出出，％，结合等比数列求出(

【详解】。2=2+解密=2+4",因为生,。2，“5成等比数列，所以(2+d)2=2(2+4d),解得d=4.

【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求

解的关键.

3.B

【分析】应用乘法原理计算求解.

【详解】用0,1,…，9十个数字，

先取百位数有9种情况，因为无重复数字再取十位数有9种情况,最后个位数字有8种情况。

所以可以组成无重复数字的三位数的个数为9x9x8=648.

故选：B.

4.C

【分析】首先由题得到朋二在寿，结合/=/+c2,即可求得e.

【详解】无论椭圆焦点位于x轴或V轴，根据点A,3,C为椭圆。的三个顶点，

若V/3C是正三角形，则26=J/+/,即/=362,即/=3(/-/),

即有2/=302,则e2=g,解得e=乎.

故选：C.

5.D

【分析】求出直线/所过定点，定点在圆内，因此当定点和圆心连线与直线/垂直时，弦长

答案第1页，共12页

最短，由勾股定理可得结论.

【详解】直线/方程变形为（x-2）〃z+y-3=0,

（x—2=0{x=2

由3=0得1=3,即直线/过定点（2,3），

圆心为C（l,2）,半径为石，

定点到圆心距离为d=7（2-1）2+（3-2）23〈亚，即定点在圆内部，

所以当定点和圆心连线与直线/垂直时，弦长最短，

最短弦长为2折下=26.

故选：D.

6.B

【分析】分别过点A,8作准线的垂线，分别交准线于点E,D,设忸尸|=。，根据抛物线

定义可知忸必=。，进而推断出/BCD的值，在直角三角形中求得。，进而根据助〃FG,

利用比例线段的性质可求得。.

【详解】

如图，分别过点A,8作准线的垂线，分别交准线于点E,D,

设忸尸|=°,则由18cl=2|8尸|得：忸C|=2a,

由抛物线定义得：忸判=忸可=°,

由此可知在直角三角形8DC中，NBCD=30°,

在直角三角形4EC中，VM=3,

由抛物线定义得：|/同=3,.1|/C|=3+3a,••・2|/同=|/。,

「.3+3。=6,从而得a=l,

答案第2页，共12页

123

-BD//FG,-解得夕=不

p32

故选：B

7.B

【解析】先根据双曲线方程得到4==百,C=2,设户用=%,I尸工="可得,I"?一"I=2。=2.

由4尸旦=120。,在蝴尸与根据余弦定理可得:寓阊2=|尸盟2+1尸用2_21尸鼻尸可©os120°,即

可求得答案.

2

【详解】•••x2-^-=l

3

a=l,b=V3,c=2

VP在双曲线上，

^\PFt\=m,\PF2\=n

\m—n\=2a=2-----①

由/片产乃二120。

在物尸鸟根据余弦定理可得：

席「=附2+俨"―2|尸制PF\cos120°

故16=+"2_2加〃[

BP：16=m2+n2+mn②

由①②可得用〃=4

直角坐尸石的面积5此出=；归2讣忸7小3/片尸耳=：加"sinl2(J=△

故选:B.

【点睛】本题考查求椭圆中三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆定义和椭圆中三角形面积

求法，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

8.D

ebb,,

【分析】先由点到直线的距离公式求出6,设/尸里=e,由tane=©B=[得至由。尸|=〃，

|OR|=c.再由三角形的面积公式得到力，从而得到马，则可得到一^=1,解出0,代

Q+24

入双曲线的方程即可得到答案.

答案第3页，共12页

【详解】如图,

因为玛(c,o),不妨设渐近线方程为y=,即法一砂=0,

a

所以附二』『

yja+bc

所以6=2.

PF

设NPOK-e,则tane=0、=|。尸「小所以Q尸卜a，所以1。阊

,ab_2

因为ga6=；c•乃,，所以为=｝所以tan6="=上=力所以Xp=.,

c

xpxpa

所以尸„

因为£(-c,0),

ab

2a_a_V2

所以kpF]--22~

Q2Q+C+/+4a?+24

---\-c

C

所以近(/+2)=4a,解得,=V2，

22

所以双曲线的方程为土-匕=1

24

故选：D

9.ABC

【分析】由椭圆方程可得。=4/=g,c=3,根据椭圆的性质结合各选项的描述判断正误即

可.

【详解】由椭圆方程知：a=4,6=近,c=3，

答案第4页，共12页

：.\MFl\+\MF2\=2a=S,故A正确.

阿々L=a+c=7，|“GL="C=1，故B正确.

2

\MF}\\MF2\<（1^1+1^1）=16,此时M在椭圆左右顶点上，同时△肛耳面积也最大，

为3々，故C正确，D错误.

故选：ABC

10.AC

【分析】根据%=6&+%）>0，%<0，即可得到％>°，进而即可判断A；根据&>°，

%<0,。3=12,。6+。7>0，从而歹U出。3和d的方程组,求解即可判断B；结合A选项知。7<°，

从而得到几=13%<0,再结合几>0,进而即可C；结合选项A和B知，当1V〃V6时，

a„>0,当"27时，a„<0,进而即可判断D.

【详解】对于A,由每2>0,则兀=（"1+32）x12=&+；7）X12=6（&+&）>0,又％<0,

则。6〉。，故A正确；

对于B,结合选项A知R〉。，％<0,a6+a7>0,

a,=12+3d>0

24

又生=12,所以%=12+4d<0,解得3,故B错误；

a6+%=24+7d>0

对于C,结合选项A知几=（%+3*13=13%<0,又%>0,所以S,,<0时，〃的最小值

为13,故C正确；

对于D,结合选项A和B知，当时，«„>0,当时，a„<0,所以当其最大时，

n=6,故D错误.

故选：AC.

11.AD

【分析】利用三角代换可判断A；求出直线船->-1=0所过定点，结合图形可判断B；

利用点到直线的距离公式可判断C；转化为寻找对称点问题，即可判断D.

【详解】A选项：因为点尸在圆C上，所以

x+y=1+V2COS6Z+1+V2sincr=2+2sin||<4

答案第5页，共12页

IT

当c=7时，x+y取得最大值4,故A正确;

(%—0

B选项：由上(》一0)-(y+l)=O,所以卜二_],即直线自7-1=0过点尸(0,-1),

2

因为直线和线段相交，故只需左2左两=1或左故B错误;

r2

C选项：圆f+/=/的圆心(0,0)到直线/的距离为d=而点尸是圆/+/=/的

yja2+b2

圆外一点,

所以

即"==r故直线与圆相交，故c错误;

D选项：在乙上任取点«,加+2),则关于直线x+y=0对称的点坐标(-皿-2,T),

代入(方程—加一2+，〃(一。+2=—2〃"=0,得：①当fwO时，m—0,②当f=0时，山为任

意实数；故D正确.

故选：AD.

12.(-叫3)

【分析】数列｛%｝为递增数列，则。向-。“>0,做差即可求出彳的取值范围.

【详解】解：｛4｝为递增数列，则。向-。“>0,所以

%+]—(/"=("+1)—2(〃+1)—+An-2〃+1—2>0,即2n+1,eN),所以几<3.

故答案为:(f3).

【点睛】本题考查已知数列的单调性求参数的取值范围，做差法是判断数列单调性的常用方

法，属于基础题.

13.90

【分析】由排列、组合知识及两个计数原理，结合分组分配问题求解即可.

答案第6页，共12页

【详解】选派6名老师去/,B,。三个学生家中进行家访活动，

每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，选派方案为：1,1,4；

不同的安排方式有：C：A；=Sx3x2xl=90（种）

2x1

故答案为：90

14.2

【分析】画图，找出抛物线焦点，化简圆的普通方程为标准方程，根据圆外一点到圆上点的

最短距离以及抛物线定义得出最值.

【详解】抛物线/=8x的焦点为（2,0）,抛物线的准线为/:x=-2,

圆丁+/一代+3=0变形为=1,

则圆心为抛物线V=8x的焦点尸，半径为R=l.

点/为抛物线/=8x上任意一点，当三点/、N、/共线，取最小值，最小值为

所以1Mpl+|MN|取最小值时,即\MP\+-1取最小值，

如图，过点M作ME，/于点E,由抛物线定义可知，|〃/|=|旌|,

所以|皿?|+|初^以初?|+|即|-1=|〃?|+|腔］-1可尸£|-1,当尸、M、E三点共线，当|尸闵=3

时，等号成立.|人画+限时23-1=2.

15.(l)x2+/=4

⑵x=1或3x-4y+5=0.

答案第7页，共12页

【分析】(1)根据题意联立直线4和4的直线方程，求得交点(2,0),进而求得半径

r=7(2-0)2+(0-0)2=2,即可得解；

(2)根据题意，结合垂径定理求得圆心到直线/的距离1=「二(手了，讨论直线/的斜

率不存在和存在两种情况进行讨论，即可得解.

-2x-y-4=00可得\」x=2

【详解】(1)首先由

所以直线4和4相交于点(2,0),

所以圆C的半径r=J(2-0)2+(0-0)2=2,

所以圆C的标准方程为x2+/=4.

(2)当直线/的斜率不存在时，方程为x=l,代入圆C方程为犬+，=4可得y=±g,

此时ACV=26，符合题意，

当直线I的斜率存在时，设直线方程为了=网》-D+2,

根据题意圆心到直线I的距离为d=卜-(等尸=V4^3=1,

|一左+2|3

所以解得笈=],此时直线方程为3x-4y+5=o,

所以直线/的方程为x=l或3x-4y+5=0.

16.(1)x2=Sy；(2)8A/2.

【分析】⑴解方程2+4=4即得解；

(2)求出|481和",即得解.

【详解】解：(1)由已知及抛物线定义可得2-(-§)=4,；.p=4,.•.抛物线C的方程为N

=8y-

(2)由(1)可得尸(0,2),：.l：y=x+2,设N(xi,”)，B(如”)，

将/方程代入C方程整理得y-12y+4=0,；.y/+・y2=12,|48|=y/+y2+p=16,

I21I-

原点O到直线l的距离为d=,=V2,

/+(-1)-

/.△OAB的面积S=；x|xd=8&.

答案第8页，共12页

r2

17.(1)—+/=1

【分析】(1)利用椭圆次的短轴得出b,结合离心率代入9=,从而求得

a

椭圆方程;

(2)写出直线方程和椭圆联立，利用中点坐标公式求得点的坐标;

【详解】(1)因为短轴长为2,所以6=1,

因为椭圆少的离心率为"，所以9="

2a2

解得。=2,

所以椭圆印的方程为土+「=1.

4

(2)当直线/的斜率为1时，直线/的方程为>=x-2.

y=x-2

由2得5/-16x+12=0,

——+y=1

14'

设/(国,必),8(%,%)<(%,%).

则A>0,Xj+%2=，

所以毛=土产=|，代入直线得为=/_2=：_2=_|.

【分析】(1)根据递推公式求出％=声，检验”=1时是否成立即可求解;

(2)结合(1)得到或=/，利用错位相减法即可求解.

答案第9页，共12页

123n……

【详解】(I)由题意知：一+—+—+—+—=2一I①

02。3

当〃=I时，得％=I.

当n22时，?+'+'+…+2〃-1―1②

①-②得：/=2〃'则an=,

anL

检验：%=1成立，故％=(「

2〃

(2)由(1)可知：bn=a2n=,

令S“二4+4+a+…+或=2x；+4x(；y+6x(；)5+…+2〃x(；)2"T③

；S“=2x(1)3+4x(1)5+6x(；y+…+(2〃-2)x(j)2-1+2«x(1)2"+1④

③-④得：：S“=2xg_2〃x(52.+2[(1)3+(1)5+…+(I)2-1]

3s-2X】2〃x(〜叫2x9""。"

422,1

1------

4

化简得：S“=(-与)x(；)”+与

19.(1)证明见解析.

⑵存在，M(-1,0)

【分析】(1)设点/(%%),8(-%,-%),P{m,n),分别表示左刃,如,再根据点尸在双曲线

上，可得证；

(2)当直线斜率存在时，设直线方程为＞=安-2),/(无],必)乃(乙必)，

联立直线与双曲线，结合韦达定理，可将疝.丽=0恒成立转化为

(m2-4m\k2-3m2-5k2+3=0,所以[加;冽，，解得机=-1,

''[-3m2=-3

当直线斜率不存在时，直线方程为x=2,此时4(2,3),8(2,-3),由血.而=0可解得机=-1.

【详解】(1)设点/X。,%,3-x。,-%,P(m,n),贝匹出=—迎晶=—迎，

'''/m-x0m+x0

答案第10页，共12页

P

尸iF2%

2_2

则%/=）