第五章 一元函数的导数及其应用 单元综合测试卷（解析版）

第五章一元函数的导数及其应用单元综合测试卷

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.若函数在x=l处的导数为2,则妈/0+及-川）=（）

A.2B.1C.yD.6

【答案】B

【解析】由函数f（x）在x=l处的导数为2,得/⑴=2,

福zr/(1+Ax)-/(1)1/(1+Ax)-/(1)L，小।

所以hm-------------=—hm-------------=—/(1)=1,

-2Ax2-Ax2

故选：B

2.已知函数/(X)=»,g(x)=2co&x,则()

A.(x)=。,g'(%)=-2sinxB.(x)=2t,g'(x)=-2sinx

C./r(x)=O,g'(x)=2sinxD.fr(x)=2t,g'(%)=2sinx

【答案】A

【解析】由题意，r(x)=O,g[x)=-2sinx,

故选：A.

3.2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成

绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力.设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程/（单位：m）

与时间，（单位：s）之间的关系为/（。=2/+耳/,则当，=3s时，该运动员的滑雪速度为（）

A.7.5m/sB.13.5m/sC.16.5m/sD.22.5m/s

【答案】B

【解析】由题意，/'（r）=4r+a＞故当f=3s时，该运动员的滑雪速度为/'⑶=4x3+[3=13.5.

故选：B

4.函数的定义域为开区间（。,6）,导函数/'（X）在（。力）内的图象如图所示，则函数在开区间（。㈤

内有极小值点（）

【答案】A

【解析】由导函数尸(x)在区间(。,6)内的图象可知，函数/(力在(。,6)内的图象与x轴有四个公共点，

在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极

小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右第四个交点处导数左正右负，

它是极大值点.所以函数/'(X)在开区间(。,6)内的极小值点有1个.

故选：A.

2

5.函数y=cos2x-Inx+yjx+1的J图像可能是()

A.1

\:4A,

\X

C.1D./

【答案】D

【解析】因为丫=/(尤)=«»2¥」11卜+4¥2+1)定义域为区，

又/(x)+/(t)=cos2xIn(x+J%2+1)+cos(-2x)-ln卜％++1j=cos2x-ln(x2+l-x2)=0,

所以yFos&Jnk+JxAl)为奇函数，函数图象关于原点对称

，故排除A、B,

cos2x+_23+6+1)sin2x=

-21n(x+v^2+l)sin2x,

X+G+]V77T7771

于是得广(0)=1,即函数/(x)图象在原点处切线斜率大于0,显然选项C不满足，D满足,

故选：D

6.设定义在［0,+句上的函数/(x)wO恒成立，其导函数为尸(x),若/(力-"+1)/(力皿彳+1)<0,则(

A.2/(1)>/(3)>0B.2/(1)</(3)<0

C.2/(3)>/(1)>0D.2/(3)</(1)<0

【答案】B

【解析】由题意，在［0,+“)上的函数，(X)HO恒成立，

构造函数g(x)=^p则/X+111——，

0［0,+8)上与-f(x)ln(x+1)="x)(x+l)］；(x)ln(x+l)<0,即g，⑺<0,

团g(x)在［0,+动上单调递减，而g(0)=0,故0>g(l)>g(3)

团0>电^>上土=虫丝，可得2/⑴</(3)<0.

/(D/⑶〃3)」何小

故选：B

7.给定函数/(x)=(x-l)e)则下列结论不正确的是()

A.函数f(x)有两个零点B.函数f(x)在。,包)上单调递增

C.函数〃x)的最小值是TD.当a=-l或“20时，方程〃力=。有1个解

【答案】A

【解析】因为/(x)=(x-l)e"所以析(力=*,

由掰^)>0,得尤>0,所以〃x)在(0,+8)单调递增，

由/'(力<0,得比<0,所以/(%)在(-8,0)单调递减,

又因为x<0，"x)=(x-l)eX<0恒成立，/(1)=0,/(0)=-1,结合单调性可知，大致图像如下:

对于A选项，由图像知，函数只有一个零点，故A错误；

对于B选项，函数的单调递增区间为（0,+S）,而（L+＜»）U（0,+＜»）,所以函数/（x）在（1,+8）上单调递增，故

B正确；

对于C选项，函数的最小值是=故C正确；

对于D选项，由图像可知，当。=-1或时，方程/（司=。有1个解，故D正确.

故选：A.

8.若。＜玉＜%4。都有尤21n玉-xjn尤2＜玉-工2成立，则。的最大值为（）

A.-B.1C.eD.2e

【答案】B

1+In%,1+In.1+Inx,、—Inx

【解析】原不等式可转化为----L＜------令——则:（无）=一，

玉％2XX

当xe（O,l）时，f\x）＞Q,则/（x）单调递增；当x«l,+s）时，r（x）＜0,则单调递减.

由于0＜占44都有了（占）＜/（%）,

所以函数〃尤）在（。,同上单调递增，

所以,

所以。的最大值为1.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.游人游玩的湖边常设有如图所示的护栏柱与柱之间是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定的一条（粗

细与质量分布）均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.如果建立适当的平面

直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数=3产+/,其中。＞0,则下列关于悬链线函数〃元）的

性质判断中，正确的有（）.

A./(x)为偶函数

B.〃x)为奇函数

C.的最小值为a

D.的单调递增区间为(0,+巧

【答案】ACD

(XXA

【解析】函数“X)的定义域为R,且==〃尤)，尤)为偶函数，故A正确，B错误;

>0'>0,^f(x)>^x2y[e^e^=a>

当且仅当「一丁；时取等号，即x=0时取等号，故C正确；

，2尤、

2

当x>0时，0a>O,0eT_i>o>回力"),。，

回/(x)在(0,+8)上单调递增，由偶函数的性质可知，f(x)在(-8,0)上单调递减，故D正确.

故选：ACD.

10.已知函数y=的导函数y=_f(x)的图像如图所示，则下列结论正确的是()

A.x=c时，/'(x)取得极大值B.x=d时，/(x)取得最小值

C./(«)</(&)</(c)D./(e)</(rf)</(c)

【答案】ACD

【解析】结合导函数的图像可知，在(a,c)上单增，则〃a)<〃6)<〃c),C正确；在(c,e)上单减,

则D正确；

由于显然““不是最小值，B错误；又〃x)在(a,c)上单增，(c,e)上单减，则x=c时，/⑴

取得极大值，A正确.

故选：ACD.

11.下列命题中是真命题有()

A.若尸(%)=0,则/是函数的极值点

B.函数y=T(x)的切线与函数可以有两个公共点

C.若函数〃%)=*-1113-2在区间(后上+D(丘N)上有零点，贝心的值为0或3

D.若函数〃x)的导数/(x)VI,且/⑴=2,则不等式〃x)>x+l的解集是(F1)

【答案】BD

【解析】A：例如〃x)=x3在尤=0处导数广(0)=0,但当x<o时，函数“X)单调递增，当x>0时，函数“X)

也单调递增，故。不是函数/(尤)的极值点，故A选项错误；

B：例如〃x)=sinx,xe[0,3句，在点的切线y=l与有两个交点，故正确；

C：函数/(x)=x—Inx—2在区间(后(+1)(%eN)上有零点,故/㈤必+1)<0,则

(k-tok-2)(k+1-ln(Z:+1)-2)<0,明显b0,代入％=3,得(l-ln3)(2-ln4)>0,不符合零点存在定理,

故C错误；

D：令g(x)=/(x)—x—1,则有/(x)=1(x)—l<0,g(l)=/(l)-l-l=0,故g(x)>0的解集是(F,l),

故〃x)>x+l的解集是(-孙1),正确；

故选：BD.

12.已知函数/(x)=xcosx—x—sinx,贝|()

A.〃x)在卜兀，可上单调递增

B.〃x)在［-兀，兀］上单调递减

C.在［-2兀,2可上有2个极值点

D.在［-2兀,2兀］上有4个极值点

【答案】BD

【解析】e［-27t,2?i］,f(-J:)=-A-CO&X+X+sinx=-f(x),所以〃x)为奇函数,

,

对于A,/(x)=cosx-xsinx-l-costr=-Asinx-l,

当xe［O,可时,xsinx>0,所以广(x)<0,即在［0,可上单调递减，

因为/'(X)为奇函数，所以/(X)在［-兀，0］上单调递减，故A错误，B正确;

/,(x)=-xsinx-l,-^-g(x)=-xsinx(xe[-27i,27i]),g(-x)=-xsinx=g(%),

所以g(x)为偶函数，g'(尤)=—(sinx+xcosx),

当xe0,1-时，sinx>0,xco&x>0,所以g〈x)4O,g(无)单调递减,

因为g(x)为偶函数，所以当xe-pO时，g(x)单调递增,

当xe-兀厂］时，sinx>0,xcosx>0,所以g，(x)4O,g(无)单调递减,

因为g(x)为偶函数，所以当无epTT时，g(x)单调递增，

当xeJi,—时，sinx<0,xcosx<0,所以g，(x)NO,g(元)单调递增,

因为g(x)为偶函数，所以当XC时，g(x)单调递减,

当xw-2n,~—时,sinX<0,xcosx<0,所以g〈x)20,g(x)单调递增,

因为g(x)为偶函数，所以当尤e另，2兀时，g(x)单调递减,

g(2兀)=-2兀sin2兀=0

g(兀)=-7isin7i=0,y=-ysin7=-pg(0)=-OsinO=0,

\乙J乙乙乙

g(-2K)=-27isin(-27i)=0,

g(-7t)=-Tisirni=0,兀

2

所以g(x)的图象为

如图

图象与X轴有四个交点，从左往右依次设为不々,无3，匕，

当2兀,不)时/'(x)<0,f(x)单调递减,

当彳丸占,多)时/<x)>。，〃x)单调递增,

当彳€(%2，演)时/''(x)<。，/(尤)单调递减,

当)«玉,%)时/(x)>0,/(X)单调递增,

当x«%，2兀)时r(x)<0，〃X)单调递减,

所以/■(%)在占,3,w，%处有四个极值，故D正确，C错误.

故选：BD.

第II卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知〃x)=x(x+lnx),则“无)在尤=1处的切线方程是.

【答案】y=3x-2

【解析】已知当x=l时"1)=1,

由/'(x)=(x+lnx)+x，+[,得广⑴=3

根据点斜式可得：y—l=3(x—l)ny=3x—2

故答案为：y=3x-2

14.已知函数〃尤)的定义域为R,它的导函数1(x)的图象如图所示，则函数y=〃x)+l的极值点有

【解析】由题意可知y=/(x)+l,y'=f'(x)

由图象可知，当x<0时，/,(%)>0,y>0,y=〃x)+l递增；

当0<x<2时，r(x)<0,y'<0,y=F(x)+l递减，

当x>2时，r(x)>0,y>0,y=〃尤)+1递增；

故尤=0,x=2为函数的极值点，

故答案为：2

15.若点P是曲线上任意一点，贝IJ点P至U直线y=x-3的最小距离为.

【答案】0

【解析】由已知，设点。(%,%)曲线y=%2-lnx-1」二一点，则有%=/2-1叫-1,

因为y=%2_1nx一1,所以y，=2%—L所以川个)=2%0,

X%。

所以曲线y=f-In%-1在。(%,%)处的切线斜率为％=2%-，,

工0

22

则曲线y=尤2-lux-1在Q(x,%)处的切线方程为y-(X-lnx-l)=(2x--)(x-x),即y=(2x--)x-%-lnx.

0oo0%o00x。00

要求得曲线y=Y_lnx-l上任意一点，到直线y=x-3的最小距离即找到曲线上距离直线最近的点，即

k^2x0--=l,解得%=1或(舍去)，

此时，以点。(1,。)为切点，曲线的切线方程为：y=x-i,

此时，切点。(L0)为曲线上距离直线>=》-3最近的点，即点p与点。重合,

最小距离为直线，=无-3与直线y=x-l之间的距离，设最小距离为d,

所以d=尸一(一到二夜

故答案为：0.

16.已知函数〃x)=cos尤-一二,/(X)为Ax)的导函数，则下列结论正确的个数是

①当xe(-l,0)时，/(x)<0；

②函数/'(X)在,1,5上只有一个零点；

③函数“X)在上存在极小值点.

【答案】2

【解析】①当九£(-1,。)时，cosx<l,-^―>1,

X+1

所以"x)=cosx一士<0,故①正确;

11

②/'(X)=-sinx+令p(x)=一sinx+

(X+l)2'(X+l)2'

2

则p'(x)=_cos%_

(X+l)3'

因为曰-1目，所以p(x)<0,所以/(X)单调递减,

因为…>0,咱…目<。，

根据零点存在定理可得，3x0ek|l使得/'(%)=0,

所以函数/（X）在卜1，TJ上只有一个零点，故②正确；

③因为函数/‘（X）在‘吟）上单调递减，且只有一个零点七的母，

所以当XW（-1,毛）时，r（无）＞0,当xe［xo，T时，（（无）＜0,

所以Ax）在（-l,x0）上单调递增，在、。胃］上单调递减，

所以为为Ax）在，I,1）上的唯一极大值点，故③错误，

所以正确的个数为2.

故答案为：2

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.（10分）

已知函数〃尤）=lnx,g（x）=tanx.

⑴求曲线y=g（x）在匕遥二］处切线的方程；

（2）若直线/过坐标原点且与曲线y=f（x）相切，求直线/的方程.

7.2

cosx+sin-x

2g

cos~X,所以

2尤-y+1-—=0

切线方程为:,整理得'2

（2）/（力=山"，所以‘⑺一了，设切点坐标为（%，1n%）k=—

,所以切线斜率为不

则切线方程为：y-lnXo=L（x-x。），又因为切线过原点，所以将（0,0）代入切线方程得Tn毛=▲•（-%）,

解得x0=e,所以切线方程为：y-l=-（x-e）,整理得x-ey=0.

e

18.（12分）

新冠肺炎疫情期间，某企业生产的口罩能全部售出，每月生产x万件（每件5个口罩）的利润函数为

。（同=3（单位：万元）.（注：每间结果精确到小数点后两位.参考数据e2=7.39,

e

12—Inx,x7

e3x20.09)

⑴当每月生产5万件口罩时，利润约为多少万元?

（2）当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？

120

"5）=一一x5?+4x5-5=—=6.67

【解析】（1）当》=5时，33，故当每月生产5万件口罩时，利润约为6.67万元

12

—x+4%—5,0<x<7,

（2）因为利润函数为P（x）=j3

12—lux----，龙27

11?

故当0<%<7,夕。）=-§/+4彳一5=-§（%—6丫+7,此时当》=6,0。）„13；［=7.

P3［「33_

当了27时,p（x）=12-hix----,p'（x）=-一+==一丁，当7<x<e3,>0,止匕时p（x）单调递增,当

XXXX

X>e3,pr（x）<0,此时P（x）单调递减，

故当尤=e3。20.09时，p(x^=12-lne3--=12-3-1=8

«'/IllaXeS

综上，当x=20.09时，所获月利润最大.

19.(12分)

已知函数/(x)=x2+aInx.

⑴当a=—2,求函数的极值；

（2）若函数g（x）=/（尤）+—在［2,4］上是单调增函数，求实数。的取值范围.

X

【解析】（1）函数〃尤）的定义域为（Q+00）,

当a=—2时，产(X)=2「=2(XT)(X+1),

XX

当无变化时，（⑺，“X）的变化情况如下:

X(0,1)1(1,+co)

-0+

“X)单调递减极小值单调递增

团极小值是/⑴=1,无极大值

2(%)=+6ZInXH—％)—2xT............-

⑵I，x,x>0,6V7Xx2,

回函数g(x)在［2,4］上是单调增函数，

团g'(尤”0在［2,4］上恒成立，即a2：-2/在［2,可恒成立，

29

令h(x)=——2x2,/(%)=--一4%<0在［2,4］上恒成立，

xx

皿(X)在［2,4］单调递减,

0/z(%)max=/?(2)=-7,0(?>-7

所以，实数。的取值范围是［-7,包)

20.(12分)

已知函数/(x)=e*(依2-x+1).

⑴求曲线y=/(x)在点(。"(。))处的切线的方程；

(2)若函数，(无)在x=0处取得极大值，求a的取值范围.

【解析】(1)由/(6=e*(--x+1)可得(⑺=e—ax?-x+i+2ax-l)=e,lax?+2办-尤)，

所以左=/'(0)=0,/(0)=1,

故曲线y=/(尤)在点(0J(0))处的切线的方程、=1；

(2)由(1)可得/■'(>)=xe*(ax+2a_1)

当a=0时，/'(X)=-xex,

当x<0时，r(x)>0,〃无)单调递增；当x>0时，f'M<0,f(x)单调递减；

所以此时/(X)在x=0处取得极大值，满足题意；

1-2/7

当awO时，令/'(%)=xe"(ax+2Q-l)=0,解得％〔=0,x=----

2a

下面对，进行分类讨论

①当a=g时，r(x)=1xV>0,f(x)在R上单调递增，无极值点，舍去；

②当时，

当x〈宁或x>0时，尸(犬)>0,f(x)单调递增；当一<x<0时，/(x)<0,单调递减,

此时f(x)在x=0处取得极小值，故舍去；

③当。＜0时，

当x＜宁或x＞0时，_f（x）＜0,“X）单调递减；当亍＜x＜0时，/（x）＞0,/（X）单调递增,

此时〃x）在x=0处取得极大值，满足题意；

④当0＜。＜；时，

当天＜0或无＞7^时，/（无）＞0,/（X）单调递增；当0＜x＜L券时，/,（x）＜0,7•（》）单调递减,

此时f（x）在x=0处取得极大值，满足题意；

综上：。的取值范围为（-8,g）

21.（12分）

已知函数/（x）=-x3+加-4,其中a为实常数.

⑴当"=3时，求曲线y=〃x）在点。，/⑴）处的切线方程；

（2）讨论〃尤）的单调性；

⑶若存在%«0,+8）,使得不等式/'（无。）＞0成立，求实数。的取值范围.

【解析】（1）/（尤）=一炉+3/-4,/（尤）=-3龙？+6x,

所以〃1）=一2"'（1）=3,

所以切线方程为丫一（一2）=3（尤-l）,y=3x-5.

（2）〃力的定义域为区，/'（%）=-3/+2办=-3{1一：0）,

当a＜0时，“X）在区间（-巩|4，（0,+8）j’（司＜0"（外递减；

在区间怦,0）,/（无）＞0,〃.递增.

当a=0时，/（x）＜0,/（x）在R上递减.

当a＞0时，f（%）在区间（一8,0）,（|'。,+8）J（x）＜0,/（x）递减;

在区间，»,/（同＞0"（月递增.

（3）由（2）知:

当aVO时，/（%）在（。,+8）上递减，/（x）</（O）=-4<O,