第五章 一元一次方程（十大题型清单） （原卷版）-2024-2025学年北师大版七年级数学上册

第五章一元一次方程（题型清单）

01思维导图

等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等

一

如果a=b•那么a±b=b±c°

元

式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍然相等。

一如果a=b,那么ac=bc;如果a=b（cwO）,那么⑥=（1）

次

方合并同类项）

程解一元一次方程合并同类项与移项

W]|把等式一边的某项变号后移到另一近

解一元一次方程（二）--去括号与去分母

实际问题与一元一次方程

02知识速记

知识点1一元一次方程

1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程;

标准式：ax+b=0（x是未知数，a>b是已知数，且aWO）；

2.方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值

知识点2等式的性质

等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等;

如果a=b,那么a土c=b土c;

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等;

如果a=b,那么ac二be;如果a=b,cwO,那么@；

知识点3：含参一元一次方程

1

1、次数含参：主要考察一元一次方程定义

2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题

3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数

知识点4：解一元一次方程

解一元一次方程的步骤：

L去分母

两边同乘最简公分母

2.去括号

(1)先去小括号，再去中括号，最后去大括号

(2)乘法分配律应满足分配到每一项

注意：特别是去掉括号，符合变化

3.移项

(1)定义：把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边；

(2)注意：①移项要变符号；②一般把含有未知数的项移到左边，其余项移到右边.

4.合并同类项

(1)定义：把方程中的同类项分别合并，化成“ax=b”的形式(awO)；

(2)注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变.

5.系数化为1

(1)定义：方程两边同除以未知数的系数a，得x=-；

a

(2)注意：分子、分母不能颠倒

知识点5：一元一次方程的实际应用

审:弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系

设:设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量列:根据题目中的数量关系、相等关

系、倍数关系以及若干倍多或少个数字列方程

解:解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值验:检验所求的解是否符合题意，

是否符合实际意义。

03题型归纳

题型----元一次方程的定义

2

例题：下列方程中是一元一次方程的是（）

A.2%=3yB.x=9

C.x2+|（x-1）=1D.2=x

例题：已知方程（k-l）x四+1=0是关于工的一元一次方程，则方程的解等于（）

A.1B.0C.-1D.-

2

巩固训练

1.下列方程是一元一次方程的是（）

A.3%—5y=2B.

,333

r7

C.2x2+9%=0D.7x-2=-

X

2.把方程含=1.5的分母化为整数，可得方程（）

A.-=1,5B.-=15C.—=1.5D.­=15

7777

3.已知关于x的方程（3。+1）/一q%+4=0是一元一次方程，则〃的值为（）

A.0B.-C.1D.--

33

4.已知（a-l）x|a|+3=10是关于％的一元一次方程，贝la的值为.

题型二等式的性质

例题：运用等式性质进行的变形，正确的是（）

A.若ac=be,则a=bB.若巴=%则a=b

cc

C.若2a—b=4,贝Ub=4—2aD.若一1%=6,则％=2

巩固训练

1.已知等式。=力，下列变形不正确的是（）

A.3a-2=3b—2B.-3a=-3bC.—=—D.a+1=b-1

55

2.在物理学中，导体中的电流/跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：1=\去分母得

R

IR=U,那么其变形的依据是（）

A.等式的基本性质1B.等式的基本性质2

C.分数的基本性质D.去括号法则

3.如图，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放（）个。.

3

\A^\A/\p/\A^\C/\rp/\nA/\?/

△△△

A.1B.2C.3D.4

4.将方程3%+y=6写成用含式的代数式表示y为（）

A.y=6—3xB.y=3x—6C.T-2D-久=2*

题型三一元一次方程的解

例题：已知％=2是关于％的一元一次方程2%+m-4=0的解,则7H的值为（）

A.0B.2C.D.1

巩固训练

1.下列方程中，解是x=T的是（）

1.31,Y3

A.-2x=4B.12%—3=-1C.——X—1=——D.——X+1=-

2424

2.整式nix-的值随久取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值：则关于x的方程-7nx+

n=8的解为.

X-10123

mx—n-8一4048

3.若x=2是方程8—3x=a久的解，则口=

4.若x=0.5是关于x的方程2a比一36-5=0的解，则代数式3a-9b-10=

题型四解一元一次方程

例题：解下列方程:

(1)3%=2%+1；(2)3%+2=4(2x+3)；

23x4-1。,0.2—xy.1—3%

(3)--------------=Z；(4)---------1.5=------

一34'70.32.5

巩固训练

1.下列各题正确的是（）

A.由7x=4%-3移项得7x-4x=3

B.由与二=1+辞去分母得2(2%—1)=1+3(%—3)

4

C.由2(2久-1)-3(%-3)=1去括号得4x-2-3%-9=1

D.由2(x+l)=x+7去括号、移项、合并同类项得x=5

2.将3(x-1)-2(x-3)=5(1-%)去括号得()

A.3K—1—2.x—3=5—xB.3x—1—2,x+3=5—x

C.3%―3—2%—6—5-5%D.3%—3—2%+6=5—5久

3.解方程：

(1)5%+2=-8；(2)3%-4(2%+5)=%+4；

/八%

x-1x+2_4-x⑷的—2一x涓+1

(3)36~21.

4.解下列方程

(1)3%-4=29(2)3%-2=-5(%+2)

3X-2

(3)4x-3(20-x)+4=0(/八4X)+=1=

2

5.解方程：

XY2x4-1

(l)5(y+6)=9-3(1-3y)⑵言--=1-----

24

6.解方程：

.2%-1《xx+3

(1)4-3(比-1)=9—x；Z(2)x-----1=------

-364

5

题型五同解方程

例题：已知方程2x=l-2（2x—3）的解和关于英的方程8—k=2（x+|）的解相同，求k的值.

巩固训练

1.若关于x的方程2光+3爪一1=0和方程5—30+1）=2同解，则爪的值等于.

2.若关于x的方程2x+3m-1=0和方程5-3（久-•1）=2同解，则的值等于.

3.关于x的方程6x+7=19与3久=18—3m的解相同，则机等于（）

A.-4B.-2C.-1D.4

题型六一元一次方程之利润问题

例题：某超市为了吸引消费者，将甲种商品降价30%,乙种商品降价20%开展优惠促销活动，已知甲、

乙两种商品的原销售单价之和为2000元，某顾客参加活动购买甲、乙两种商品各一件，共付1520元.

（1）甲、乙两种商品的原销售单价各是多少元？

（2）若在这次促销活动中乙种商品仍可获利20%,求乙种商品每件的进价是多少？

巩固训练

1.商店里把一件上衣按进价加20%作为定价，可总卖不出去，后来又按定价降价20%,以192元出售.卖

出后，这次生意盈亏为（）

A.亏48元B.亏8元C.不亏也不赚D.亏12元

2.某商店一件衣服标价280元，以七五折售出可获利25%,则这件衣服的进价是元.

3.列一元一次方程解实际问题:重庆某水果超市销售沃柑和纽荷尔两种柑橘类水果,该超市第一次用6300

元购进沃柑和纽荷尔两种水果，其中纽荷尔的件数比沃柑件数的一半还多25件.沃柑和纽荷尔两种水

果的进价和售价如下表：

类别沃柑纽荷尔

6

进价（元/件）2230

售价（元/件）2940

（1）该超市购进沃柑和纽荷尔两种水果各多少件？当这次购进的水果全部销售后，共获利多少元?

（2）该超市第二次购进沃柑和纽荷尔两种水果的进价与第一次相同，其中沃柑的件数不变，纽荷尔的件数

是第一次的3倍，沃柑按原价销售，纽荷尔打折销售，第二次购进的两种水果都销售完所获得的总利润

比第一次获得的总利润多800元，求第二次纽荷尔是按原价打几折销售.

4.商品甲的成本是定价的80%；商品乙的定价是275元，成本是220元.现在商店把1件商品甲与2件

商品乙配套出售，并且按它们的定价之和的90%定价出售.这样每套可获得利润80元.问商品甲的成

本是多少元？

5.近年来，随着人们对健康生活的追求，体育健身越来越受到人们的喜爱和追捧，某体育器材专卖店的4、

B两款体育器材非常畅销，进货价和销售价如下表：

a款器材B款器材

进货价/（元/个）4030

销售价/（元/个）5645

（1）该专卖店用1100元购进了4,B两款器材共30个，求两款器材分别购进多少个？

（2）该专卖店进货时，A款器材的进货量是B款器材的一半，将进货的体育器材全部售出，共获利润1380

元.求两款器材分别购进多少个？

题型七一元一次方程之工程问题

例题：列一元一次方程解应用题

新蒲新区某校举办体育文化艺术节，七（2）班为了宣传班上开展的活动，由甲、乙两位同学制作宣传

展板.已知甲同学单独完成需要4天，乙同学单独完成需要6天.

7

(1)甲、乙合作需要_____天完成；

(2)若由乙同学先做1天，再由甲、乙两位同学合作完成.问还需几天可以完成展板的制作？

巩固训练

1.完成某项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成.现在甲先做了3天，乙再参加合做，求完

成这项工程甲、乙合做了多少天.若设完成此项工程甲、乙合做了久天，则下列方程中正确的是()

A.—+-=1B.—+—=1

128128

C.-+-=1D.三+二+二=1

12812128

2.一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成.已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要

6天.

(1)甲、乙合作需要天完成；

(2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成.问还需几天可以完成这项工程？

3.哈佳高铁建设工程中，有一路段由甲、乙两个工程队负责完成.甲工程队单独完成此项工程需60天,

比乙工程队单独完成此项工程多用30天，若甲先施工6天，再由甲、乙合作完成剩余工程.

(1)甲、乙还需要合作多少天完成？

(2)如果甲工程队每天需工程费500元，乙工程队每天需工程费700元，若甲队先单独工作若干天再由乙

工程队完成剩余的任务，支付工程队总费用24000元，求甲队工作的天数.

4.劳动教育课程已经成为中小学生的必修课，被纳入人才培养的全过程.云南某中学整理学生的劳技作

品，由一名老师整理要45h完成.现计划由一部分老师先做lh,然后再增加3名老师与他们一起做5h,

可完成这项整理工作.假设每位老师的工作效率相同，应先安排多少名老师整理？

题型八一元一次方程之行程问题

例题：周末，小明和爸爸在3000m的环形绿道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑

行结束后两人有如图所示的对话.

8

爸爸，你要10分钟

才能第一次追上我.

飞7不过我骑完一圈

时你才骑了半圈.

⑴请根据他们的对话内容，求出小明的骑行速度；

(2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸在跑道上相距1000m?

巩固训练

1.如图，沿着边长为90米的正方形，按ATB—……方向，甲从力以63米/分的速度，乙从B

以72米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时是在正方形的某个顶点处，则这个顶点是()

A.顶点AB.顶点8C.顶点CD.顶点。

2.轮船往返A、B两港之间，逆水航行需要3小时，顺水航行需要2小时，水流速度为3千米/时，则船

在静水中的速度是千米/时.

3.A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米.若两

人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16千米？

4.一群驴友排成一列在野外旅游，队长在队伍中，数了一下他前后的人数，发现前面的人数是后面的两

倍，他往前超了7位驴友，发现前面的人数和后面的人数一样.

(1)这群驴友一共有多少人？

9

(2)这群驴友要过一座320米长的独木桥，为安全起见，相邻两个驴友间保持固定的距离，行走速度为5

米/分，从第一位驴友刚上桥到全体通过独木桥用了106分钟时间，请问相邻两位驴友间的距离是多少

米？

5.一只救生船从港口开到出事地点要行840千米，船速每小时20千米，船上一架直升飞机，每小时可

飞行220千米，中途飞机起飞，提前到出事地点，这样从船离港到飞机到达出事地点一共用了10小

时，飞机在船离港后多长时间起飞？

题型九一元一次方程之方案设计问题

例题：当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体.某公司

计划购买50个羽毛球拍和久个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5元，

经协商拟定了如下两种优惠方案(两种优惠方案不可混用)：

方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球；

方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款.

⑴若x=100,请计算哪种方案划算；

(2)若久＞100,请用含乂的代数式分别把两种方案的费用表示出来；

(3)请你帮助公司写出x取值不同时的所有划算的购买方案.

巩固训练

1.某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房

客共六三，大比小多二一.后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人.

(1)求该房客大人，小孩各有多少人？

10

（2）假设店主李三公推出两种订房方案：

方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠，

方案二：大人原价，小孩半价.

若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？

2.甲地欲往外地运输一批水果，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时，其它主

要参考数据如下：

运输工具途中平均速度（千米/时）运费（元/千米）装卸费（元）

火车100152000

汽车8020900

（1）如果运往乙地，汽车的费用比火车的费用多1100元，求甲、乙两地间的路程；（费用包含损耗、运费

和装卸费）

（2）如果运往丙地，已知甲、丙两地间的路程为100千米，通过计算选择哪种运输方式比较合算.

3.2024年4月1日-15日，是第41届中国洛阳牡丹文化节，某旅游酒店计划印制一批彩色宣传册.现

有甲、乙两个广告公司提供印制业务.甲公司的收费方式为每套彩色宣传册按定价5元的九折收费，另

收取1500元的服务费；乙公司的收费方式为每套彩色宣传册按定价5元收费，1500元的服务费按六折

优惠，且甲、乙两个广告公司都规定一次印制数量不少于1000册.

（1）设共印制彩色宣传册式式21000）套.甲广告公司收费一元乙广告公司收费一元（用含”的式子表示）；

（2）该旅游酒店选用哪个广告公司所需费用较少？请通过计算说明.

4.小王看到两个商场的促销信息如图所示.

11

乙商场海报

1.购买不超过100元不给予忧惠.

2、的实付过门00元但又不如过

200元的.全部打9.5折.

3.购买超过200斤的.200元那

而分打9.2折，超过200元的

那部分打8折.

(1)当一次性购物标价总额是200元时，在甲、乙商场实际付款分别是多少元？

(2)当标价总额是多少元时，在甲、乙商场购物实际付款一样多？

(3)小王两次到乙商场分别购买标价98元和150元的商品，如果他想只去一次该商场购买这些商品，你

能帮他计算可以节省多少元吗？

题型十一元一次方程之数轴动点问题

例题：如图，已知数轴上点A表示的数为6,8是数轴上在点A左侧的一点，且A,8两点间的距离为

10.动点尸从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t〉0)秒.

―，BQ一尸二

'10'6_

⑴数轴上点B表示的数是;

⑵动点。从点2出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P,。同时出发.求：

①当点P运动多少秒时，点尸与点。相遇？

②当点P运动多少秒时，点尸与点。间的距离为8个单位长度？

巩固训练

12

1.如图，已知数轴上点A表示的数为4,点8是数轴上在点A左侧的一点，且4、8两点间的距离为8,

动点尸从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.

«QBO<-PA

IlI11A

(1)数轴上点8表示的数是」

(2)运动1秒时，点P表示的数是」

(3)动点。从点8出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、。同时出发，当

点P运动一秒时，点尸与点Q相遇.

2.【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具,如图①，若数轴上点4点3表示的数分别为。方(6>a),

则线段AB的长(点A到点B的距离)可表示为b-a.

AB

।i>iiiii[i1111111111A

ab-8-7-6-5-4-3-2-1012345678

①②

【问题情境】数轴上三点A,B,C表示的数分别为a,b,c,其中A在原点左侧，距原点4个单位，b

是最大的负整数，C在原点右侧，且4c=9,如图②，动点〃从A出发，以每秒1个单位长度的速度沿

数轴向左匀速运动，与此同时，动点N从点C出发，以每秒2个单位长度速度沿数轴向右匀速运动，一

只电子狗。从3出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设移动时间为/秒(t>0).

【问题探究】

(l)a-,b—,c-•

(2)在数轴上是否存在一点P,使得力P=2BP,若存在，求点P对应的数；若不存在，说明理由.

(3)如果在C处竖立一块挡板，当电子狗。到达C时，被挡板弹回，以同样的速度向相反的方向运动，

问：当f为何值时，电子狗。到M,N的距离相等？并求出此时电子狗Q的位置.

3.数轴上有A,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系,

则称该点是其它两个点的“关联点”.

13

ABC

IiI1I1»

012345

(1)如图，数轴上点A,B,C三点所表示的数分别为1,3,4,点8到点A的距离AB=_，点8到点C

的距离是一，因为AB是BC两倍，所以称点B是点A,C的“关联点”.

(2)若点A表示数-2,点8表示数1,下列各数-1,2,4,6所对应的点分别是6,。2，。3(4,其中是点A,

B的“关联点”的是」

(3)点A表示数-15,点8表示数为20,P数轴上一个动点.

①若点P在点B的左侧，且点P是点A、B的“关联点”，求此时点尸表示的数；

②若点P