第7章 三角函数 单元综合检测（解析版）-2024-2025学年高一数学（沪教版必修第二册）

第7章三角函数单元综合检测

一、填空题

1.函数V=tan(x+f的定义域为.

【答案】｛%|%H]+/nT,/cCz｝

【分析】定义域满足％+与H5+左冗(fceZ).

【解析】丫=12口(％+。的定义域满足%+方。]+所1(fcGZ),即％W5+Mr(fcGZ).

故答案为：｛%[%W]+kn,kEz].

2.函数〃x)=2sin(x+"的圆频率是.

【答案】1

【分析】根据函数解析式判断即可.

【解析】因为〃x)=2sin1x+t，

所以〃x)的圆频率为1.

故答案为：1

3.函数7=38$。丫-])的严格单调递减区间是

JT2兀

【答案】E+—,Ed-----,keZ.

|_63

【分析】利用余弦函数的单调区间的求法直接求解.

【解析1因为y=3cos-g：令2kji<2x--1-<2kn+7i,A:GZ,

jr27r

求得^7i+—<x<hi+—,A:GZ,

TT27r

可得函数的严格单调递减区间为kTi+-,k7i+—,keZ.

63

故答案为：析+?,而+=,k&Z.

63

4.函数>=2-sinx最大值为.

【答案】3

【分析】根据sinxe[-1,1]即可求解.

【解析】因为sinxe[-l,l],

所以当sinx=-l时，函数V=2-sinx有最大值为2-(-1)=3.

故答案为：3.

5.已知函数/(x)=sin(x+。)(0>0)是偶函数，则。的最小值是

【答案】：

【分析】由诱导公式及三角函数的奇偶性即可判断.

【解析】因为/(x)=sin(x+0)(0>0)是偶函数，

TT

所以0=,+hi«£Z,又0>0,

TT

所以当左=0时，。取最小值,.

故答案为：3

6.函数歹=3sin2x+2esinxcosx+cos2x,xw0,^的值域为.

【答案】」4］

【分析】由三角恒等变换得〃x)=2sin12x-j+2,再整体代换求解值域即可.

［解析］y=3sin2x+2V3sinxcosx+cos2x=3--~~。。戏'+百sin2x+1+。。戏”

._,.JC—_兀兀5兀

因为xw0,—,所以，

2J6Lo6

所以sin12x-胃e-pl,所以2sin12x-胃+2e[l,4],

所以函数V=3sin2x+2V^sinxcosx+cos2x,xe0,-|-的值域为[1,4].

故答案为：[1,4]

7.已知函数〃x)=sinx+6cosx,若/(X)的图像关于(私。)中心对称，则最小的正实数机=

2万2

【答案】c兀

【分析】先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的对称性即可得解.

[解析]f(x)=sinx+V3cosx=2sin

兀71

令x+—=而，得x=E——,kwZ,

所以最小的正实数切=7

故答案为：y.

8.若函数了=/(%)的图像可由函数y=3sin2x-Gcos2x的图像向右平移0(。＜0(兀)个单位所得到，且函

数＞=/(%)在区间［。,万］上是严格减函数，贝.

.2万.2

【答案】―/

【分析】利用三角恒等变换化简＞=3sin2x-6cos2x,根据图象平移变换得到了=/*)的表达式，结合函

数的单调性确定0(0兀)，即可求得答案.

【解析】由题意得＞=3sin2x-gcos2x=2百sin(2x-—),

6

则/(x)=2V3sin［2(x-0)-巴］=26Sin(2x-2^--),

66

JT冗冗Sjt

当0,—时，2x-2(p——£［一20——,-----2勿，

_2J666

函数y=/(x)在区间［o,［1T上是严格减函数，

故乙+2E＜-2(p--＜--2^?＜-+2hi,kGZ,即(p＜---kit^(p＞---kit,kGZ,

266233

兀2兀

贝！J0=一§-kn^keZ,而0＜。＜兀，故。=,

2兀

故答案为：y

9.已知/eR,实数。＞0,/(x)=^sinLx+|Y函数了=的部分图像如图所示，若该函数的最小正

【答案】2

【分析】根据函数图象得到/=2,再根据该函数的最小正零点是当，由2sin(当0+0求解.

12\126)

【解析】解：由图象知：4=2,因为该函数的最小正零点是五，

所以2sin(二=0,贝|£^0+乙=兀，即。=2.

(126)126

故答案为：2

10.已知RM>0,函数歹=Vasins-cosGX在区间［0,2］上有唯一的最小值-2,则①的取值范围

为.

5KIE]

【答案】

【分析】先用辅助角公式得到弓jr兀c兀

V=2sin,x-结合xe［0,2］得到。——,2a)——求出

o66

o兀3兀7兀)

2a)——G得到答案.

6T?T)

【解析】y=sincox-coscox=2sin

71c71

因为XE[0,2],0〉0,所以—,2co——

666

因为函数V=2sin在％e［0,2］上有唯一的最小值2

所LL,以I2C。-萨兀「f3兀7兀1571IE)

解得oe

7’高

附

故。的取值范围是21

5TT11叫

故答案为:

11.声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数

y=4sin。兀"某技术人员获取了某种声波，其数学模型记为了="«),部分图象如图所示，对该声波进行逆

9

向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足"(/)=sin27rr+历sin0n/(O<@<8),其中

“I；卜-0.866,则。=.(参考数据：V3«1,732)

0,又〃⑴=0,可得0=3或0=6,又1不是〃(X)

95

【解析】由//«）=sin2ji/+历sinG兀/（0<G<8）,且"«—0.866,

99

由图可知H（l）=sin27i+msinG7i=j^sin07i=0,

故0兀=kn,kGZ,即0=k,kGZ.

5兀

因为0<。<8,且sin—690,所以。=3或。=6.

由图可知，1不是X(x)的周期,

当69=6时，H（t）=sin2jitH----sin6nt,

99

此时7/（/+1）=51112兀（，+1）+m51116兀（才+1）=sin27i/+—sin6^=

周期为L不符合题意.

9

当0=3时,H(Z)=sin2nt+—sin3nt,易知，满足题意.

综上，。=3.

故答案为：3.

12.已知N=>=5布［0一m")+5指［］一夕+看〃),〃21,〃€］\},常数夕满足0<0<.，若集合A中恰有6

个元素，则。的取值构成的集合为.

【分析】根据/y=sin［e-/〃J+sin［m-e+7J,〃21,〃eN）,集合有6个元素，利用和差化积进行

求解，利用函数的性质求解.

【解析】由/=卜y=sinL?--nl+sinly-^+-^77l,n>l,neN

TTTTIf

设a=（p——n,/3=——（p+—n,

656

rjm.z,a+/3+（a-.a+4一（a一4）

贝1Jy=sma+smp=sin-----j------+sm------j------

c.a+Ba-B_.it（it兀）

=2sin----cos----=2sm——cos—〃+---（p

2210（610）

所以函数/（叼=2$也白0$（3+去-夕］,最小正周期，一反

由集合A有6个元素，则可得到在半个周期内存在6个不同的值，即

C.兀/兀兀\兀「兀兀）

2sin—cos—I----（p—2sin—cos—x12H----（p

10（610）10（610）

化简COS［cos［去一夕］一sin《sin（去一0j=cos［今一,即tan（今一°J=6一2,

又由0<0<:，tan^|=tan^-^=2-V3,

匚匚【、1兀兀qn兀兀11兀

所以---<p=----,U（p=一+—=---

1012121060

1ITI

故答案为:

60

【点睛】方法点睛：本题主要运用和差化积的求解公式，再运用三角函数的性质进行求解.

二、单选题

13.下列函数的最小正周期是2兀的是（）

A.sinx+cosxB.sinxcosx

C.si・n2-x+cos2xDr\.s•nr2x-cos2x

【答案】A

【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.

【解析】对A,sinx+cosx=V2sinx+,周期7=2兀，故A正确；

|2兀

对B,sinxcosx=—sin2x,周期T=一=7i,故B错误；

22

对于选项C,sin2x+cos2x=l,是常值函数，不存在最小正周期，故C错误;

一、2兀

对于选项D,sii?x-cos'=-cos2x,周期「=万=无，故D错误，

故选：A.

14.设/(x)=sin2x+百cos2x,将函数y=/(x)的图像沿x轴向右平移弓个单位，得到函数y=g(x)的图

像，贝U()

A.函数》=g(x)是偶函数

B.函数N=g(x)的图像关于直线x=5对称

TTTT

C.函数〉=g(x)在上是严格增函数

D.函数y=g(x)在上的值域为[-6,2]

【答案】D

【分析】利用两角和的正弦公式化简的解析式，再根据三角函数的变换规则得到g(x)的解析式，最后

根据正弦函数的性质一一判断即可.

/I—\(、

【解析】因为/(x)=sin2x+gcos2x=2—sin2xd-----cos2x=2sin2x+—,

将函数＞=/(X)的图像沿X轴向右平移9个单位得到g(x)=2sin=2sin2x,

6

Xg(--x)=2sin(-2x)=-2sin2x=-g(x),所以g(x)=2sin2x为奇函数，故A错误;

因为g(jj=2sin12xr2sin7T=0,所以函数kg(x)的图像不关于直线x=]对称，故B错误;

TT'11J।JI

当xe时2xe-,7t,因为y=sinx在-,n上单调递减,

JTJT

所以函数y=g(x)在上是严格增减函数，故C错误；

.「兀2兀1I-「兀4兀]LL,,.cV3,

当“£时2x*T?-，所以sm2x£--—,1,

_63J3」[_2

则g(x)e[g2],即函数kg(x)在py上的值域为卜百,2],故D正确.

故选：D

15.已知函数/'(x)=gsin2x+cos2x.若存在匕，”[-兀,2兀],使得/"⑷/'&)=4,则J-t2的最大值为

713K

A.B.兀C.D.2兀

2~2

【答案】D

【分析】由题意可知/亿)=2,〃幻=2或者/&)=-2,/&)=-2,即可求解.

【解析】由/(x)=百sin2x+cos2x=2sin]2x+看

因/⑷〃幻=4,必有/&)=2,〃幻=2或者/>⑷=-2,f(tj=-2,

由2x+〃=2E+乌，2x+—=2/ai~-,分另！J得至!Jx=左兀+5，x=kn~-.

626263

一_|5兀兀77rl1、,.I7C2兀5兀].,,.

于是4，G1---,或者Jf2G।J得%T2的取大值为2兀.

[666J[333J

故选：D.

16.已知函数〃x)=cosx+：的定义域为(0,+e),将“X)的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：

工,々，......,xn......,对于正整数〃有如下两个命题：甲：("-l)n<x“<”兀；乙：

斗-'~~尸一恒成U;贝I()

A.甲正确，乙正确B.甲正确，乙错误

C.甲错误，乙正确D.甲错误，乙错误

【答案】A

【分析】将函数的零点转化为函数图象的交点，作出大致图象由零点存在性定理分区间讨论即可判定甲乙

命题.

【解析】/(力的零点，即为函数>=cosx与函数>=图象在(0,+8)交点的横坐标.

又注意到xe(O,+8)时，-J<0,

X

左EN时，cos(兀+2析)=-1<-----——,

兀+2加

*IZX|兀CT7T-|.

左EN,xw[0,万—5+2^71,5+2标7J时，cosx>0.

据此可将两函数图象画在同一坐标系中，如下图所示.

呜+2可=-->0

甲命题，注意到kEN时,尹2版

偌+2E

1!>0

/(兀+2砌=-1+<0,

兀+2左兀—+2kn

2

结合图象可知当〃=24-1,左EN*,7i,rmo〃一1)兀,〃兀).

xGH-l)7i,in兀/兀）.故甲正确;

当n=2k,左£N*,n

乙命题，斗一（2〃；）兀表示两点（x0,o）与（〃-£|兀可间距离，

由图象可知，随着〃的增大，两点间距离越来越近，

万（2〃+1）乃|

即当一'2>—2恒成立•故乙命题正确;

故选：A.

【点睛】思路点睛：由零点存在性定理结合余弦函数、反比例函数的图象，分区间讨论可判定甲，而乙命

题转化为两点（七,0）与3卜,0）间距离，根据图象分析即可.

三、解答题

17.已知函数/（x）=2cos2x+cos（2x-］）-l.

⑴求函数/（X）的在［0,和上单调递减区间；

（2）若函数”X）在区间［0,%］上有且只有两个零点，求〃?的取值范围.

【答案】⑴/爷；

⑵丹严）・

63

【分析】（］）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再求出相位的范围，并借助正弦函数的性质

求出递减区间.

JT

（2）由x的取值范围求出2x+§的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.

【解析】(1)依题意，f(x)-2cos2x+cos(2x-y)-1=cos2x+cos2xcos—+sin2xsin—

33

sin2x+—cos2x二百sin(2x+£),

223

当山0,兀］时，2X+；呜争,由产若哆哈

7T77r

所以函数/（X）的在［0,汨上的单调递减区间为［展,£］.

（2）当xe［0,〃7］时，2x+je［p2/77+1］,又函数/（x）在区间［0,加］上有且只有两个零点，

即函数＞=sinx在号,2%+学只有两个零点，

7T5冗4TT

因止匕2兀＜2m+—＜3兀，解得一＜m＜——,

363

所以〃?的取值范围为［三57r,4;兀）.

18.某同学用"五点法”画函数［（x）=sin（0x+e）（0＞O）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据,

如下表：

兀3兀

3X+(p0712兀

2~2

715712兀1171

XA

612T~V2

sin(G%+9)01A-i0

⑴请在答题卷上将上表△处的数据补充完整，并直接写出函数＞=/（x）的解析式;

⑵设0=l，e=O,g(x)=/2(x)+/(x)/Kf0,yj,求函数y=g(x)的值域;

【答案】(1)补充表格见解析，〃x)=si“2x+W

(2)r_0,7^2—+f

兀兀

CD------\-（p=—

12,解方程组即可得0#,进一步可据此完成表格;

【分析】（1）由表得

2兀3兀

G）--------\-（D=—

32

（2）由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简g（x）的表达式，进一步通过整体换元法即可

求解.

7171

a)'—+(p=—

12,解得0=29=m，

【解析】（1）由题意

2713716

CO--------\-(p-——

32

所以函数y=〃x）的解析式为〃x）=sin（2x+2,

令2x+巴=0时，角军得％=_■—,当％时，2x+女=7t,sin2x+女工0,

612126I6j

将表中A处的数据补充完整如下表：

713兀

CDX+(p0712兀

2T

71兀5兀2兀11兀

X五

"126nT

sin(G%+e)010-10

(2)若G=1,0=O,

则g(x)=sin2x+sinxsin一1]=sin2x+sinxcosx

_l-cos2x1.0_V2.<TIY1(「八兀1)

-------------1—sin2x-sin2x-----H—xG0,—

222142112P

因为xe0,q,所以2x-；e--考，

L2j4L44J

jjnijsin^2x-—e--^-,1,

/n_1_-i

所以函数y=g(x)的值域为0,---.

19.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简

车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心。距离水面的高度为1米.设筒车上

的桨个盛水简尸到水面的距离为y（单位：米）（在水面下则夕为负数）.若以盛水简尸刚浮出水面时开始计

算时间，则了与时少I（单位：秒）之少的关系为y=/sin（0/+°）+K,其中/>0,0>0,冏<].

⑴求40,夕,K的值；

（2）当fe（40,50）时，判断盛水筒尸的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向

下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由.

S7T元

［答案［（1）/=5,K=-,a）=—,（P=~~

2306

（2）处于向下的运动状态，理由见解析

【分析】（1）由圆的半径、周期性以及锐角三角函数即可求解;

（2）结合⑴可得y=5sin［鼻-l+g，

/e[0,+”），从而根据t的取值范围可得的取值范围,

V306）2

即可判断了单调性，进而即可得到盛水筒P的运动状态.

【解析】（1）如图，设筒车与水面的交点为M,N,连接。”，

过点尸作尸于点8,过点。分别作。于点。，OCLPB于点C,

27rlT7T

因为筒车转一周需要1分钟，所以。=:=三，故=

5

-

。21

在RMOMD中,-

一---

O52

TTTT

所以/COM=/OA®=—,即。=一一.

66

（2）盛水筒尸处于向下运动的状态，

结合（1）可得了=+],re[0,+oo）,

oJZ

则当％w（40,50）时，--f—-,—,此时歹单调递减，

所以盛水筒尸处于向下运动的状态.

20.已知函数/'（工）=5也公疝11。'+。05近。05晨-85'2苫，（其中左eN*,xwR）

⑴当人=1时,求函数“X）的严格递增区间;

（2）当左=1时，求函数g（x）在上的最大值（其中常数。＞0）；

（3）若函数〃x）为常值函数，求上的值.

71

【答案】⑴kn,kn,+-,A-eZ；

至0<Y

仅用⑴3214

（3）k=3.

【分析】（1）当左=1时，化简为/（%）=5加5加+85犹051一852、=1一（：0$2%,再由2版《2x«2防C+兀，

kez,求解即可；

（2）由（1）得〃x）=2sin2x,从而g（无）='[,、=—]『，令"ZsiEc,先求得/曰0,不,贝I]转

aIjIxIciI4sinxk2

化为求g（x）=〃（'）=?二，/e1（）q的最大值，分“e]o：和两种情况求解即可；

（3）由函数/（X）为常值函数，采用赋值法求得上的值，再代入验证即可.

【解析】（1）

当左=1时，/(x)=sinxsinx+cosxcosx-cos2x=1一cos2x

兀

由2左兀<2x<2he+7i,ksZ,得kji«x4ICTI+—,ksZ.

IT

故〃X）的严格递增区间为配碗十万,丘z.

(2)

由(1)可知，当左=1时，/(x)=l-cos2x=2sin2x,

则g”/\石/(x吊)2sin2x

a+4sin4x

令"ZsiYx,当时，贝1]21£(0弓,所以COS2XE--,1

则l-cos2x£(()q,即[《O弓.

1

于是g(x)=M，)=

a

—+t

z9-

①r____<___—____]

当

QGa时

-巴+j2\at2，当且仅当，=V^时，最大值为2「；

(4

X-

②当时，J=-+^|o,|上递减，贝M"）在上是增函数，则当"I时，最大值为丁\,

4t<2<224Q+9

4a9

----,0<a<—

4

综上所述，g(x)111ax=2、

oy

〔4a+94

(3)

由函数〃x)为常值函数，令x=0,则原式=0,

令x=：,则原式=sinW-(-l『=0n左=4〃-1(“为正整数)；

令I二乙，贝U原式=-cos”四一cos"-=0,即COS”C=-COS，—,

kkkkk

TT?71

因为左=4〃-1(〃为正整数)，即左为正奇数，所以cos：=-cos丁，

kk

BPcos—+cos—=0,贝U2cos2四+cos工一1=0,

kkkk

TTJT1

解得cos；=-l或cosf=：,

kk2

又因为左=4"-1("为正整数)，所以4=3.

当左=3时，原式为

sin3xsin3x+cos3xcos3x-cos32x=sin3xsinxsin2x+cos3xcosxcos2x-cos3lx

=sin3xsinx(l-cos2x)+cos3xcosx(1-sin-)-cos32x

=sin3xsinx+cos3xcosx-sin3xsinxcos2x-cos3xcosxsin2x—cos32x

=cos2x-sinxcosx(sin3xcosx+cos3xsiwc)-cos32x

=cos2x-sinxcosxsin4x-cos3lx=cos2x-sin22xcos2x-cos32x

=cos2x(l-sin22x)-cos32x=cos32x—cos32x=0.

所以当后=3时，函数〃x)为常值函数.

【点睛】关键点睛：第三问的关键是抓住函数/(x)为常值函数，因此可以采用赋值法先确定左的值，再代

入验证即可.

21.对于函数>=/(x),xeR,如果存在一组常数4，t2,tk(其中人为正整数，且0=。<马<…〈人)

使得当x取任意值时，有〃x+fJ+"x+&)+…+/卜+幻=0则称函数尸为皖级周天函数”.

⑴判断下列函数是否是"2级周天函数”，并说明理由：①工(x)=sinx；②力(x)=x+2；

(2)求证:当0=3〃+2(〃eZ)时，g(x)=cos(s)是"3级周天函数”；

(3)iSg|^/i(x)=a+Z>cos2x+ccos5x+6/cos8x,其中b,c,d是不全为。的实数且存在加eR,使得

h(m)=4a,证明：存在”eR,使得

【答案】⑴工(x)是,力(x)不是；理由见解析

⑵证明见解析

⑶证明见解析

【分析】(1)令“0,%=兀，然后化简，根据定义可知;

27r4冗

⑵令“0,”鼻，「三，然后化简，从而得证;

(3)若a＜。，贝1］〃(%)=4。＜0,取〃=加，则〃(〃)＜0