第二十八章 锐角三角函数 单元测试（含解析）-2024-2025学年人教版数学九年级下册

第二十八章锐角三角函数单元测试

一、单选题

1.如图，在V4BC中，/C=90。，BC=4,AB=5,cos/的值为（）

5

D.

3

2.如图，正方形4BC£＞中，将边2C绕点3逆时针旋转至BE,连接CE,DE,若

ACED=90°,贝!Jsin/ECO的值是（）

3.如图，V4BC内接于。。，NC是。。的直径，P是。。上一点.若4C=4,

C.26D.473

4.如图，在V45C中，N4C2=90。，点。为N8的中点，连接CD.若3C=4,CD=3则

sm^ACD的值为（）

BC

2B.3「V5

A.-X-/•----D.旦

343

5.在RtZXZBC中,ZC=90°,BC=3,AC=4,则sin/=().

43_43

A.-B.一C.一D.

5534

6.已知sin/='，

且为锐角，则=().

2

A.30°B.45°C.60°D.75°

在中,

7.RtZSZBCZC=90°fAB=5,BC=4,则Z8的正切值为（)

34八34

A.-B.一C.-D.

4355

8.小颖在国际龙舟竞渡中心广场点尸处观看200米直道竞速赛.如图所示，赛道为东

西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30。方向上，终点B位于点尸的北偏东60。方向上,

42=200米，则点尸到赛道N8的距离约为（）（参考数据：V3®1.732）.

86.6米C.87.5米D.88.5米

9.如图，菱形的边长为2,点C在〉轴的负半轴上,抛物线>=依2过点瓦若

C.—D.1

2

10.如图，将激光笔倾斜固定在长方体水槽工处，开启激光笔发射一束红光线，水槽中不

装溶液介质时，发现光斑恰好落在c处，此时/P/C=45。，当向槽内缓缓加入溶液介质上

升至。处时，光斑随之缓缓移至尸处.已知E为N5的中点，AB=36cm,作出

法线与3c的交点//,测得折射角/尸0H等于30。，则光斑移动的距离CF为（）

A.9cmB.-—、cmC.（18—6j3）cmD.（24—6j3）cm

11.如图，口/BC。的对角线4C,8。交于点。，AB=2BC,。石平分。交45于点

E,交4c于点F.若8=36，且则。月•斯的值为（）

A.6B.8C.9D.12

12.如图，在V48c中，CD_L48于点。，coM=；,/B=l+V^/C=2,则N-/C2的度

数为（）

A.45°B.75°C.90°D.105°

二、填空题

24

13.在V45C中，45=25,AC=30ftanZ5=y,。是5C上一点，过点。作。£1/。

交/C延长线于点区若笠=9,则笑的值为_____.

CD4CA

14.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFG”组成的一个大正

方形4BCD.连接ZE,DE,若工处=25%尸，则tanNB4F=.

DC

AB

15.如图，小海想测量塔的高度，塔在围墙内，小海只能在围墙外测量.这时无法测得

观测点到塔的底部C的距离，于是小海在观测点A处仰望塔顶，测得仰角为再往塔的

方向前进机的＞0）米至观测点5处，测得塔顶的仰角为力（尸＞々＞0）,点A、B、C在一直

线上，小海测得塔的高度为米（小海的身高忽略不计，用含尸的三角比和”的

16.如图，在中，ZACB=90°,/B=60。，3c=4,点〃与点N分别在边4C与8C

上，NCNM=30。,将ACW沿翻折得到VCW,连接NC'并将NC'绕点/逆时针旋

转30。得到NE,连接CE,则CE的最小值为.

三、解答题

17.计算：V4-(7t-3)0-10sin30o+(-l)2＜，25+f-

18.如图，在RtZk/BC中，NABC=90。,点。为线段Z2上一点，过点A作NC的垂线交CD

的延长线于点E.

E

B

图1图2

⑴如图1,若4/C=30。，tanZACE=^,BC=3,求线段C£的长度.

（2）如图2,若4c=4E,点下为线段延长线上一点，连接所交线段48于点G,且

ZBCD=ZCAF,求证：BG=-CF.

2

19.已知VN2C内接于。。，是。。的直径，过点2作。。的切线，与/C的延长线相交

于点。，点£在。。上，CA=CE,CE与N2相交于点足

图①图②

（1）如图①，若/。=53。，求，4BC和/BCE的大小;

（2）如图②，若NBAE=/BAC,04=3,求CD的长.

20.乒乓球桌的侧面简化结构（如图所示）是轴对称图形，台面23=274cm（台面厚度忽

略不计）且与地面平行，高度为72cm（台面N3与地面之间的距离），直线型支架尸£与。尸

的上端瓦厂与台面N8下方相连，尸£与的下端P,。各是一个脚轮（脚轮大小忽略不计）,

直线型支架CG与的上端C,。与台面相连，下端G,H与P£，8相连，圆弧形支架

ACS

GH分别与尸在点G,“相连，且QD1AB,已知所=106cm,—

Q

tan/ECG=tan^FDH=-.求EG的长度.

参考答案

题号12345678910

答案BCCABAABAc

题号1112

答案BB

1.B

【分析】本题考查了求余弦，勾股定理，勾股定理求得/C,然后根据余弦的定义即可求

解.

熟练掌握余弦的定义是解题的关键.

【详解】解：,•・在VNBC中，ZC=90°,BC=4,AB=5,

•1•AC=y/AB2-BC2=A/52-42=3，

,AC3

cosA=---=—,

AB5

故选：B.

2.C

【分析】过B作垂足为尸，根据两个三角形全等的判定定理，确定

△BCF知CDE(AAS),从而根据全等三角形的性质得到CF=DE,再根据将边BC绕点B逆

时针旋转至BE,确定ABCE为等腰三角形，结合“三线合一”得到BF是CE边上的中线，进

而EF=CF=DE,BPCE=2DE,在中，CE=2DE,设DE=a,则CE=2a,由

勾股定理得到=,利用正弦值定义求解即可得到答案.

【详解】解：过B作8CE,垂足为尸，如图所示：

:.ZBCF+ZDCE=90°,

■：ZBCF+ZFBC=90°,

NDCE=ZFBC,

在V2C尸和ACDE中,

/BFC=90°=ZCED

<ZBCF=ZCDE

BC=CD

.-.△SCF^ACDE(AAS),

；,DE=CF,

•・・将边BC绕点B逆时针旋转至BE,

/.BE=BC,

•・•BFVCE,

由“三线合一”可得BF是CE边上的中线，即斯=。/=。后，

CE=2DE,

在Rt^CDE中，CE=2DE,选DE=a,则CE=2a,

由勾股定理得到CD=ylDE2+CE2=45a，

.._DE_a_V5

..sin/ECD==—产—=—,

CD4ia5

故选：C.

【点睛】本题考查求正弦值，涉及正方形的性质、全等的判定与性质、等腰三角形的判定与

性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何概念、判定与性质是解决问题的关键.

3.C

【分析】根据圆周角定理，余弦函数的应用解答即可.

本题考查了圆周角定理，余弦函数的应用，熟练掌握定理和函数是解题的关键.

【详解】解：「NC是。。的直径，P是。。上一点.

ZBPC=ABAC=30°,ZABC=90°,

：.AB=ACcosZBAC,

•・•/C=4,

AB=4xcos30°=2Vs,

故选：C.

4.A

【分析】本题考查解直角三角形，锐角三角函数，熟练掌握解直角三角形的性质是解题的关

键；

根据题意，求得的长度，进而求解即可；

【详解】解：・••//CB=90。，点。为N8的中点,

CD=AB=AD,

AB=2CD=6,ZACD=/A,

•/-/BC42

smZACD=smZAA==—=—；

AB63

故选：A

5.B

【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，由勾股定理求出斜边45的长，再根据正弦

的定义计算即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键.

【详解】解：如图,

vZC=90°,BC=3,AC=4,

AB=SIAC2+BC2=A/42+32=5,

,ABC3

sinA==—,

AB5

故选：B.

6.A

【分析】本题考查特殊角的三角函数，根据特殊角的三角函数值即可求解，熟记特殊角的三

角函数值是解题的关键.

【详解】解：・・・sin/=；,且//为锐角，

・・・44二30。，

故选：A.

7.A

【分析】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，根据勾股定理求出NC,再根据正切的

定义求解即可.

【详解】解：,••在Rt2\Z8C中，ZC=90°,AB=5,BC=4,

•1•AC=ylAB2-BC2=3，

故选：A.

8.B

【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添

加适当的辅助线是解题的关键.

过点P作垂足为尸，设尸C=x米，然后分别在RtA4PC和RdCAP中，利用锐

角三角函数的定义求出NC,8c的长，再根据22=200米，列出关于x的方程，进行计算即

可解答.

【详解】解：过点尸作尸43,垂足为C,

在RtA4PC中，ZAPC=30°,

回

•••^C=PC-tan30°=—x（米），

3

在RtZxCAP中，NCPB=60°,

•••JBC=CPtan60°=V3x（米），

•••AB=200米，

.-.AC+BC=200,

巧

••.—x+73^=200,

3

x=50。®86.6，

.•.PC=86.6米，

・・•点P到赛道AB的距离约为86.6米，

故选：B.

9.A

【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质及解直角三角形，过点B作

轴交7轴于点。，求出3点的坐标，代入即可求解，求出8点的坐标是解题的关

键.

•・•ZAOC=60°,

・•./BCD=60°,

/71

・•・BD=BCsinZBOC=2x^=6，CD=2cos60°=2x-=1,

川―3),

把川-百3)代入”办2,

-3=3〃,

•••a=-l,

故选：A.

10.C

【分析】本题主要考查矩形的性质与判定、三角函数及等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩

形的性质与判定、三角函数及等腰直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得

/ACB=NPAC=45。,四边形0〃。。是矩形，则有3£=CD=O〃，然后根据三

角函数可得HF=O//-tan3()o=6VL进而问题可求解.

【详解】解：:/PNC=45°,AP//BC,

ZACB=APAC=45°,

vBE1BC,CD1BC,ED//BC,ED=BC,

四边形E8CD是矩形，

同理可得OHCD也为矩形，

BE=CD=OH,

ZACB=45°,ZOHC=90°,

.•.△OHC是等腰直角三角形,

OH=HC,

•・•£为N8的中点，AB=36cm,

.-.BE=-AB=18cm=OH=HC,

2

•；NHOF=3G°,

■■HF=OHtan3Q°=,

CF=HC-HF=（1S

故选C.

11.B

【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定根据已知条

件得出4048=60。，AD/E是等边三角形，得出。8=6石，则。£=40=6,

证明△/£＞尸所得出竺="=」，进而求得访=2,。b=4,即可求解.

DFAD2

【详解】解：••・四边形是平行四边形，

AD=BC,AB//CD

■.■AB=2BC

AB=2AD,

・・・DE平分N4DC交4B于点E,AB//CD

ZDAE=ZCDE=NDEA

*'•DA=DE9

・•・AB=AE+EB=AD+EB=2AD

EB=AE

・・・E是45的中点

•・•□/BCZ）的对角线/C,BD交于点O

DO=BO

.-.EO//AD

•：OEIBD

・•・AD_LDB

D41

cos/DAB=----=—

AB2

・•・/DAB=60°

ADAE是等边二角形,

■■■OD=3y/3，

:•DB=6人

：.AD=DB=6

tan60°

DE=AD=6

•・•EO//AD

•••△ADFs^OEF

EF_OE1

•.而一万一万

,-.EF=-DE=2,DF=-DE=4

33

尸・斯的值为8

故选：B.

12.B

【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，三角函数的定义，特殊角的三角函数值，先

根据cos/=；,求出44=60。，得出/4CD=30。，解直角三角形得出CD=6,4D=1,

求出tan/DC3=g2=^=l,得出/DC5=45。，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的

CDV3

关键.

【详解】解：,cos/=；,

/.ZA=60°f

.-.ZACD=90°-60°=30°,

•・,AC=2,

A7]

.­.C£>=^Cxsin60°=2x^-=V3,AD=ACxcosA=2x-=l,

■：AB=1+6,

BD=V3,

tanZDCS=—=^5=1,

CDJ3

NDCB=45°,

/./ACB=ZACD+ZDCB=75°.

故选：B.

27

13.—

2

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正切函数，勾股定理.过点/作/P，8c于点P,

Ap24

过点E作交3c的延长线于点凡由正切函数得tan/B=蕨=万和48=25,求

得4P=24,BP=7,在RbNBP中，求得CP=18,推出8C=25,由胆=’,求得

CD4

4

BD=5,CD=20fPD=2,进而得tan4CP=tan/EC/,设防=4左，CF=3k,贝|

T~)p1FF4k

CE=5k,。产=20+3左，由正切函数tanND4P=——=—,tan/EDF=——=---------,即

AP12DF20+3左

可求解.

【详解】解：过点4作ZPLBC于点尸，过点£作后方交5C的延长线于点R如图所

/K：

AP〃EF,

4P24

在RLABP中，tan/B=----=—,

BP7

・•・设/尸=24〃，BP=7a,

•・•AB=25,

・・.252=（7Q）2+（24Q）2,

解得a=1,

••・/尸二24,BP=7,

在RtzUBP中，

-AC=30f

-CP=yjAC2-AP2=43（）2—242=18，

・•.BC=BP+CP=7+\8=25,

BD1

CD4

BD=5,CO=20,PD=BP-BD=2,

FF4

tanZECF=——二一

CF3

设£b二4左，CF=3k,

CE7EF?+CF2=5左，

.'.DF=CD+CF=20+3k,

DP21

在VA^APD中,tanZDAP=——=——=一

AP2412

-DEIAD,

ZDAP=90°-ZADP=ZEDF,

EF

在Rt△。既中，tanZ^DF=——

DF

4

解得：k=~,

：.CE=5k=效,

9

AC3027

•••CE-20-T.

V

27

故答案为：—.

【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理以及求角的正切值，设

BF=CE=DH=AG=a,BE=CH=DG=AF=b,得HE=ERF=FG=GH=b—a,

AB=BC=CD=DA=y/a2+b2＞根据以力。。=2S△/时得方程/+〃=3",解方程求出

4=三好即可得解.

b2

【详解】解：设BF=CE=DH=AG=a,BE=CH=DG=AF=b,

.•・HE=ERF=FG=GH=b-a,AB=BC=CD=DA=sja2+b2，

~—b2--ab--a2

222

=a2+b2-—b2-—ab--a2

222

=-a2+—b2-—ab,

222

S"BF=；Qb，

..c7v

•u^ADE=-Q^ABF，

1

：.—a2+—b2-—ab=2x—ab,

2222

整理得，a2+b2=3ab,

2

aa

+1=3

和3a

+1=0,

~b

3+V5或Q3-

解得，-

b2b2

♦:a<b,

ar

:.—<],

b

ci3--\/~5

b2

3-V5

•••tanNBAF=—

b2

故答案为：上电

2

m

15.---（-答----案---不--唯-一）

cotcr-cotp

【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰角的定义，要求学生能借助仰角找到直角三角形

各边之间的联系，从而求解.在氏以/。。中，//的对边是CQ,邻边是/C,则

cotA=,表示出ZC=xcota,在心△BDC中，表示出8C=xcot/7,结合AB=AC-BC

即可求解.

【详解】解：设CQ=x米.

在RMADC中，cotA-,

CD

AC=CDcotZ=xcota,

•・•在RQBDC中,cotZDBC=——

CD

BC=CD•cot/DBC=xcot(3,

'：AB=AC-BC,

/.xcota-xcotf3-m,

m

x=---------------

COt6Z-COty0

m

答：塔的高度约为1——万米.

COtdf-COtp

m

故答案为:

cotcr-cot。•

16.6-2V3/-2V3+6

【分析】由折叠的性质得，^C'NM=ZCNM=30°,CN=C'N,证明ACNC是等边三角形得

/CC'N=/C'CN=60。，可得点C'在与C2夹角为60。的射线上运动，设CC交N8于点G，

证明ACGB是等边三角形得/。。d=60。,。避=8。=4,由/A4c=30。可知将逆时针

旋转30。后所得线段AC2在AC上,证明VG/C'gVC2/E(SAS)，求出ZAC2F=ZCC2E=60°,

得出点£在直线C2尸上运动，作CHLEQ于点、H,则当E与H重合时，CE的值最小.求

出C"=6-26即可求解.

【详解】解：连接CC并延长，

•.•在Rt^ABC中，N4CB=90°,ZB=60°,BC=4,

:.ZBAC=30°,

AB=2BC=8,

AC=:82-42=473，

由折叠的性质得，zcw=ZCNM=30°,CN=C'N,

ZCNC=60°,

.•.△CN。'是等边三角形，

NCC'N=NC'CN=60°,

.•.点C在与C8夹角为60°的射线上运动,

设CC交N5于点q,

QZC'CN=60°,ZB=60°,

.MCCd是等边三角形，

NCQB=60°,CAB=BC=4,

AQ=8-4=4,ZACIC=120°,

•.•4/C=30°,

・•・将ACt逆时针旋转30°后所得线段在/C上,

AC2=ACl=4,CC2=4A/3-4,

.•.^F=^C2-COS30°=2A/3,

QZC,AC2=ZCAE=30°,

ZC,AC=ZC2AE,

QlACl=AC2,AC'=AE,

.•VG/C3VG/E(SAS),

ZAC2E=ZAQC=120°,

ZAC2F=NCC[E=60°,

・••点E在直线C2尸上运动，

作CXLEC?于点〃，则当£与〃重合时，CE的值最小.

・•.CE的值最小值为6-26.

故答案为：6-25/3.

【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角

形，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，确定点C和点E运动的轨迹是解答本题

的关键.

17.-2

【分析】本题考查了实数的混合运算，算术平方根，零指数幕，特殊角的三角函数值，乘方

运算，负整指数塞运算，根据相关法则正确运算是解本题的关键.分别进行算术平方根，零

指数累，乘方，负整指数累运算，最后相加减即可.

【详解】解：V4-(71-3)°-10sin30°+(-1)2025+Qj

=2-l-10x--l+3,

2

=2—1—5—1+3,

=—2.

18.(1)2710

(2)证明见解析

【分析】(1)由直角三角形的性质得/C=28C=6,进而由锐角三角函数得/E=2,再根

据勾股定理即可求解；

(2)如图2,作于点。，可证A/BC咨AE04(AAS),得到=BC=AQ,

由是等腰直角三角形，可证得/出8=/8工4=45。，得到A4=8尸，进而可证明

△F8G也AE0G(AAS),得到0G=BG=,又由/3=即，HQ=BC彳导BQ=CF,据此

即可求解.

【详解】(1)解：•••ZABC=：90°,NBAC=30°,BC=3,

■.AC=2BC=6,

■.■AE1AC,

ZCAE=90°,

•・•tanZ.ACE=—,

3

AEAE1

•,就一工-3’

*'•AE=2,

•1•CE=-JAE2+AC2=V22+62=2M;

(2)证明：如图2,作EQL/B于点°,

E

vEQVAB,AC.LAE,

・・・ZEQA=ZEAC=90°,

：.ZQEA+ZQAE=90°,NQAE+NBAC=90。,

.・.ZQEA=ABAC,

•：NABC=90。,

・•・/ABC=ZAQE,

在V45C和△E。/中，

ZABC=ZAQE

</BAC=NQEA,

AC=AE

・・・"BC%EQ4（AAS）,

/.AB=EQ,BC=AQ,

-AC=AE,ZEAC=90°f

・•・△4CE是等腰直角三角形，

NACE=/AEC=45。,

・・・/BCD+ZACE+ZCAB+/ABC=180°,

ZBCD+ZCAB=45°9

・・・/BCD=ZCAF,

.•.NCAF+NC4B=45。,

即/FAB=45°,

："FAB=/BFA=45。,

・•・BA=BF,

在与4/06中，

ZEGQ=ZFGB

<ZEQG=ZFBG=90°,

EQ=BF

尸BG会△£0G(AAS),

.-.QG=BG=^BQ,

•：AB=BF,AQ=BC,

：.BQ=CF,

:.BG=-CF.

2

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，余角性质，角平分线的

定义，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的

关键.

19.⑴/4BC=53。，/BCE=16。

⑵百

【分析】(1)利用切线性质得出90°,结合直径所对圆周角是直角得N/C2=90。,

根据同角的余角相等求出=ND=53。.由同弧所对圆周角相等得

NAEC=NABC=53。,再根据C4=CE得出/C4E=/CEN,最后利用三角形内角和定理

求出//CE,进而由/3(%=//。3-44。石算出/8。£的度数.

(2)连接OC、OE,根据圆周角定理及=推出E)80C=E18OE,通过全等三

角形判定证明ACO尸部后。尸，得到4F垂直平分CE,从而得出/C=/£,结合C4=CE判

定为等边三角形，得出NN2C=60。，在Rt/X/BC中求出3c的长.算出一。2c的

度数，在RtZSBC。中利用正切函数求出CD的长.

【详解】(1)解：Q2。是。。的切线，

:.ZABD=90°,

Z