2025中考数学二轮复习：圆中的重要模型之辅助线模型（八大类）解析版

专题6圆中的重要模型之辅助线模型（八大类）

在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助

线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专

题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。

模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形）

【模型解读】己知/8是。。的一条弦，连接CM,OB,则//=/B.

在圆的相关题目中，不要忽略隐含的己知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径

构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个

端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题

例1.（2022•山东聊城•统考中考真题）如图，AB,CD是。0的弦，延长N2,CD相交于点P.己知4=30。，

ZAOC=800,则亜的度数是（）

【答案】C

【分析】如图，连接08,OD,NC,^^ZOAC+ZOCA=1000,再求解NR4O+NPCO=50。，从而可

得N3Q4+NCOD=260。，再利用周角的含义可得/300=360。-80。-260。=20。，从而可得答案.

【详解】解：如图，连接08,OD,AC,

0ZAOC=80°,IZZOAC+ZOCA=100°,回/尸=30°,ElZPAO+ZPCO=50°,

BOA=OB,OC=OD,^ZOBA=ZOAB,ZOCD=ZODC,

国NOBA+ZODC=50°,国ZBOA+ZCOD=260°,

0ZBOD=3600-800-2600=200.回8d的度数20。.故选：C.

【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握"圆

心角与弧的度数的关系"是解本题的关键.

例2.（2023•南召县中考模拟）如图，。。的直径AB与弦CD的延长线交于点E,若DE=OB,NAOC=84。,

A.42°B.28°C.21°D.20°

【分析】利用。B=DE,O8=OD得至！］。O=DE,则NE=NDOE,根据三角形外角性质得/1=NDOE+NE,

所以/1=2/E,同理得到/厶。C=NC+NE=3/E,然后利用/E=1/49C进行计算即可.

【解答】解:连结。。，^0,'：OB=DE,OB=OD,：.DO=DE,：.ZE=ZDOE,

'：Z1=ZDOE+ZE,：.Z1=2ZE,而。C=。。，：.ZC=Z1,

：.ZC=2ZE,：.ZAOC=ZC+ZE=3ZE,AZE=^AOC=fx84°=28°.故选：B.

【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、

等弧等）.也考查了等腰三角形的性质.

例3.（2023•江苏沐阳初三月考）如图，己知点C是。。的直径AB上的一点，过点C作弦。E,使CO=CO.若

A£）的度数为350,则BE的度数是

【答案】105°.

【分析】连接。D、0E,根据圆心角、弧、弦的关系定理求出/AOD=35。，根据等腰三角形的性质和三角形

内角和定理计算即可.

【解析】解：连接。。、0E,

YA£）的度数为35。,.•.N400=35。,：CD=CO，：.ZODC=ZAOD=350,

•/OD=OE,二ZODC=ZE=35°,.'.ZDOE=180°-ZODC-ZE=180°-35°-35°^lW°,

•\ZAOE=ZDOE-ZAOD^IO^-SS^S0,.*.ZBOE=180°-ZAOE=180°-75°=105°,

••.BE的度数是105。.故答案为1050.

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的

弦也相等.

例4.（2023年山东省淄博市中考数学真题）如图，A/RC是。O的内接三角形，AB=AC,ZBAC=1200,

。是BC边上一点，连接AD并延长交。。于点E.若AD=2,DE=3,则。。的半径为（）

【分析】连接。40CCE,根据等腰三角形的性质得到/B=ZACS=30。，根据等边三角形的性质得到

AC^OA,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.

【详解】连接OA,OC,CE^\AB^AC,NBAC=120°,0ZB=ZACB=30°0ZAOC=60°,

回。4=。c,ElAA。E是等边三角形,回AC=OA,

^ZAEC=ZACB=3Q°,ACAD=ZEAC,0^ACD^^AEC,/.——=——，^AC1=AD-AE,

ADAC

^AD=2,DE=3,;.AC=VA£>xAE=J2x（2+3）=何，

.•.OA=AC=J市，即。。的半径为Ji万，故选：A.

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性

质，熟练掌握相似三角形的判定和性质度量是解题的关键.

模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题）

【模型解读】己知48是。。的一条弦，过点OE丄N3,贝UNEnBE,0F+4が=。*。

るZ

在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过

弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半

径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

一般有弦中点、或证明弦相等或己知弦相等时，常作弦心距。

例1.（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD

是矩形.当餐盘正立且紧靠支架于点/,。时，恰好与2c边相切，则此餐盘的半径等于cm.

【答案】10

【分析】连接。4,过点。作。E丄3C,交BC于点E,交AD于点ド，则点E为餐盘与BC边的切点，由

矩形的性质得AD=BC=16,AD//BC,ABCD=AADC=90°,则四边形CDFE是矩形，OE±AD,得

CD=EF=4,ZAFO=900,AF=£>F=8,设餐盘的半径为Xs7，则a4=。E=x，OF=x-4,然后由

勾股定理列出方程，解方程即可.

【详解】由题意得：BC=16,CD=4,

如图，连接。4,过点。作。E丄3C,交BC于点E,交AD于点E，则NOEC=90。，

•••餐盘与8c边相切，.•.点E为切点，•.•四边形ABCD是矩形，

.-.AD=BC=16,AD//BC,/BCD=ZADC=90。,•••四边形CDEE是矩形，OE^AD,

.・.CD=EF=4,ZAFO=90°,AF=DF=-AD=-xl6=8,

22

设餐盘的半径为x,则04=OE=x,:.OF=OE-EF=x-4,

在RtVAFO中，由勾股定理得：AF2+OF2=0^,

即82+(X-4)J尤2,解得:x=10,•••餐盘的半径为10,故答案为:10.

【点睛】本题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

例2.(2023年四川省广安市中考数学真题)如图，A/RC内接于。。,圆的半径为7,ZB4C=600,则弦BC

的长度为•

【答案】7厶

【分析】连接。氏。C,过点0作。D丄3C于点。，先根据圆周角定理可得4OC=2/BAC=120。，再根

据等腰三角形的三线合一可得/3。0=60。，BC=2BD,然后解直角三角形可得亜的长，由此即可得.

【详解】解：如图，连接。氏。C,过点。作。D丄BC于点。，

•■■ZB4C=60°,.'.ZBOC=2ZBAC=120°,

QOB=OC,OD±BC,.-.ZBOD=-ZBOC=60°,BC=2BD,

2

回圆的半径为7,；.。3=7,二8。=。8-Sm60°=上6,

:.BC=2BD=］責,故答案为：7&.

【点睛】本题考査了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三线合一，熟练掌握圆周角定理和解直角

三角形的方法是解题关键.

例3.（2021•湖北中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》

中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆，如图2,己知圆

心。在水面上方，且。。被水面截得的弦AB长为6米，。。半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点，

则点C到弦AB所在直线的距离是（）

图1图2

A.1米B.（4-夕）米C.2米D.（4+77）米

【答案】B

【分析】连接。C交AB于D,根据圆的性质和垂径定理可知。C丄AB,AD=BD=3,根据勾股定理求得。D的

长，由CD=OC-0D即可求解.

【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为AB的中点，

连接。C交AB于D,贝I］。（：丄AB,AD=BD=^AB=3,

在Rt△。a。中，。A=4,AD=3,：.。d=ヾoバーAI"^-32=近,

/.CD=OC-0D=4-新，即点C到弦AB所在直线的距离是（4-近）米，故选：B.

水面

【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键.

例4.（2023•广东广州•九年级校考自主招生）如图所示，圆。的直径A3与弦MN相交于点P.己知圆的直

径AB=4,NAPN=45。，则M尸+NP?的值是()

C.4A/3D.4

【答案】B

【分析】过点。作OC丄MN,于点C,连接QV,根据题意可得OC=PC,进而根据垂径定理，有NC=MC,

进而将Mア+NP2转化为20^2,即可求解.

【详解】解：如图所示，过点。作OC丄ACV,于点C,连接ON,则NC=MC,SZAPN=450SOC=PC,

SMP2+NP2=(NC-PC^+(NC+PC^2(NC2+PC2)-2(NC2+OC2)=2ON2

EIAB=4回。N=2I3MP2+NP2=2x2?=8故选：B.

【点睛】考查垂径定理，等腰直角三角形的性质等，把式子MF+NP2进行变形是解题的关键.

模型3、遇求角可构造同弧的圆周角(圆心角)

【模型解读】如图，己知/、B、p是ロ。上的点，点C是圆上一动点，连接NC、8C,则ロス呢=丄ロス。瓦

2

例:1.(2023•四川巴中•统考中考真题)如图，O。是AABC的外接圆，若NC=25。，则NBAO=()

【答案】D

【分析】连接。B,首先根据圆周角定理得到ZAO3=2NC=50。，然后利用半径相等得到04=03,然后

利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可.

^AB=AB-NC=25°,国ZAO3=2/C=50°,

SOA=OB,0ZBAO=ZABO=|x(180°-ZAOB)=65°.故选：D.

【点睛】本题考査了圆周角定理：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于

这条弧所对的圆心角的一半，等边对等角和三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点.

例2.(2022•黑龙江哈尔滨•校考模拟预测)如图，点P是。。上一点，若NAOB=70。，则NAPS的度数为

C.1350D.1600

【答案】B

【分析】取优弧上一点&连接ACIC,由圆周角定理，得NACB=35。，运用圆内接四边形对角互补求解.

【详解】解：如图，取优弧上一点&连接ACIC,则N4鄧=ラ/4。3=35。，

0ZAPB=1800-ZACB=1450.故选：B

【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形；由相关定理得角之间的数量关系是解题的关键.

例3.（2023秋•重庆•九年级校考阶段练习）如图，一块直角三角板的30。角的顶点p落在。。上，两边分别

交。O于A、3两点，若。O的直径为8,则弦A3长为（）

A.8B.4C.2拒D.2&

【答案】B

【分析】连接AO,BO,求出EIAC）B=2E]APB=60。，得到EIAOB为等边三角形，即可求出AB长.

【详解】连接AO,BO,0OA=OB,

国找B所对的圆周角是回APB,找B所对的圆心角是回AOB,0APB=3OO,

00AOB=20APB=6O°,03AOB为等边三角形，0AB=AO,

【点睛】本题考查的是圆周角和圆心角，根据题意作出辅助线，得到等边三角形是解答此题的关键.

例4.（2023•辽宁鞍山•统考中考真题）如图，AC,BC为。。的两条弦，D,G分别为AC,BC的中点，。。的

半径为2.若NC=45。，则DG的长为（）

3L

C.—D.~J2

【答案】D

【分析:1连接04。氏AB,圆周角定理得到NAOB=2/C=90。，勾股定理求出AB,三角形的中位线定理,

即可求出。G的长.

【详解】解：连接。4,OB,AB,

〇〇〇的半径为2.ZC=45°,SOA=OB=2,ZAOB=2ZC=90°,回AB=gV+。庁=2逝，

0。，G分别为AC,BC的中点，回DG为AABC的中位线，回。G=gAB=0.故选D.

【点睛】本题考查圆周角定理和三角形的中位线定理.熟练掌握相关定理，并灵活运用，是解题的关键.

模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形）

【模型解读】如图，己知/8是口。的直径，点C是圆上一点，连接4C、BC,贝リロスC8=90。。

C

如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90。的圆

周角的构造。

例1.（2023•辽宁营ロ•统考中考真题）如图所示，4。是。。的直径，弦BC交A。于点E,连接A5,AC,

若ZBAD=30°,则ZACB的度数是（）

C.70°D.60°

【答案】D

【分析】如图所示，连接CD,先由同弧所对的圆周角相等得到N3CD=N54D=30。，再由直径所对的圆周

角是直角得到—48=90。，贝リZACB=ZACD一NBCD=60°.

【详解】解：如图所示，连接CO,0ZBAD=3O°,^ZBCD=ZBAD=30°,

ElAD是。。的直径，回/ACD=90。，SZACB=ZACD-ZBCD=60°,故选D.

【点睛】本题主要考査了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确求出NACO,N3CD的

度数是解题的关键.

例2.（2022•山东泰安•统考中考真题）如图，A3是国。的直径，ZACD=ZCAB,AD=2,AC=4,则国。的

A.2GB.3五C.2石D.^5

【答案】D

【分析】连接C。并延长C。交回于点及连接/E,根据。/=。&可得a48=GL4CE,从而得至り/E=40=2,

然后根据勾股定理，即可求解.

【详解】解：如图，连接C。并延长C。交国于点E,连接/E,^OA^OC,^ACE^CAB,

SZACD=ZCAB,^CD^CE,EAD=A£-^AE=AD=2,

【点睛】本题主要考査了圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，勾股定理是解题的关键.

例3.（2022•四川巴中•统考中考真题）如图，AB为O0的直径，弦8交AB于点E,BC=BD，NCDB=300,

AC=25则。E=()

A.—B.代C.1D.2

2

【答案】C

【分析】连接3&根据垂径定理的推论可得/8回CD,再由圆周角定理可得a4=®CD8=30。，根据锐角三角函

数可得/E=3,N8=4,即可求解.

【详解】解：如图，连接3g

EIAB为。。的直径，BC=BD，^AB^CD,回aR4C=团CD3=30°,AC=2^3,SAE=ACcosABAC=3,

AC

®AB为。。的直径，^AB^-------------=4,®O/=2,WE=AE-OA=1.故选：C

cosDBAC

【点睛】本题主要考査了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，特殊

角锐角函数值是解题的关键.

模型5、遇90。的圆周角连直径

【模型解读】如图，己知圆周角ロB/C=90。，连接3C,则2C是口。的直径。

遇到90。的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。

例1.（2022•辽宁营ロ•统考中考真题）如图，点/,B,C,D在。。上，AC±BC,AC=4,ZADC=300,则

8c的长为（）

A.4gB.8C.4A/2D.4

【答案】A

【分析】连接AB,根据AC/3C可得AB为。。的直径，又根据ムDC=3O。得到NABC=30。，故在直角三

角形中，利用特殊角的三角函数即可求出BC.

【详解】解：连接AB,

QAC±BC,.\ZACD=900,.:45为。。的直径，•.•/4£)c=30。，../ASC=300,

BC=---=。=46

在RtAABC中,---—tanZ.ABC,tanZABC頁..故选：A.

BC

【点睛】本题主要考查圆周角定理，解三角形，解题的关键是掌握公式、定理。

例2.（2023•四川达州•统考二模）如图，半径为|•的。A经过原点。和点C（0,l）,8是y轴左侧。4优弧上

C.受D.0

3

【答案】B

【分析】设。A与x轴的另一个交点为。，连接8,如图，则NCDO=NCe。，根据圆周角定理和勾股定

理求出00=20，然后根据tan/CBO=tannCDO求解即可.

【详解】解：设。A与x轴的另一个交点为。，连接8,如图，则NCDO=NCH9,

®NCOD=90°,®C£＞是。A的直径，回。A的半径为ラ，回CD=3,0C（O,1）,1aoe=1,

在直角三角形COD中，根据勾股定理可得：D0=げM=20，

13tanZCBO=tanZCOO=—=—^=—；故选：B.

OD2V24

【点睛】本题考查了圆周角定理、三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，正确添加辅助线、灵活应

用转化的思想是解题的关键.

例3.（2023•重庆•统考中考真题）如图，O。是矩形至8的外接圆，若A3=4,AD=3,则图中阴影部分

的面积为•（结果保留万）

【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到國＞=5,再根据圆的面积及矩形的性质即可解答.

【详解】解：连接3D,国四边形ABC。是矩形，国3D是。。的直径，

国AS=4,AD=3,国33=みが+A。2=5,回。。的半径为ら,

25

同。O的面积为フル，矩形的面积为3x4=12,

4

国阴影部分的面积为325%-12；故答案为235万-12；

44

【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键.

模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直）

【模型解读】如图，己知直线/B连与圆。相切于点C,连接。C,则。C丄/瓦

己知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的

有关性质解题。

例1.（2022•黑龙江哈尔滨•校考模拟预测）如图，如图，必、PB分别切。。于点A、B,点C为优弧相上

一点，若NACB=NAPB,则NACB的度数为（）

A.67.5°B.62°C.60°D.58°

【答案】C

【分析】要求/ACB的度数，只需根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接。1，。3；再根

据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解.

【详解】

解：连接。AOB,回上4、p3分别切。。于点A、B,

SOArAP,OB±BP,^ZPAO=ZPBO=9G°,0ZAOB+ZAPS=180°,

0ZAOB=2ZACB,ZACB=AAPB,03ZACB=180°,0ZACB=6O°,故选：C.

【点睛】此题考查切线的性质，圆周角定理，以及四边形的内角和，熟练掌握切线的性质是解本题的关键.

例2.（2023年重庆市中考数学真题）如图，AC是。。的切线，8为切点,连接04,。。.若ム=30。，AB=2a,

BC=3,则。C的长度是（）

A.3B.2AC.屈D.6

【答案】C

【分析】根据切线的性质及正切的定义得到。3=2,再根据勾股定理得到。C=岳.

【详解】解：连接。8,国AC是〇。的切线，3为切点，SOB±AC,

I3ZA=3O°,AB=2け，国在7?レ。物中，OB=AB・tan/A=2艮立=2,

3

EI3C=3,El在rな。3（7中，OC=dOB2+BC*=屈，故选C.

【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键.

例3.（2022春•湖北武汉•九年级统考自主招生）如图，AB是圆。的直径，3C是切线，3是切点,弦AD"。C,

CO与54的延长线交于点E,BC=AB,则f=

【答案】B

【分析】连接。。，由AD〃OC及Q4=QD,即可得到/COB=NCOD,从而可证得△■c/△。。。，即

可证得直线CO是。O的切线，进而根据AD，OC,可得ED=2a,设半径为厂，E4=a,在Rt△£■O£＞中，

勾股定理求得。，即可求解.

【详解】证明：如图，连接。。，•••OA=OD,•••ZDAO=ZADO.

又・.・A。〃。。，•••ADAO=NCOB,ZADO=ZDOC,二NCOB=NC。。.

'OB=OD

在八OBC与AODC中，＜NCOB=ZCOD,:.AOSC^AODC(SAS),/.ZCBO=ZCDO,

OC=OC

又•••3C丄AB,••ZCBO=ZCDO=90°,二。。是。。的切线；^CD=CB,

设半径为厂，E4=a,则CD=3C=AB=2r,

“EAEDEAAO1,

0AD//OC,回---=---,回---=---=—,则nED=2AE*=2a,

AODCEDDC2

在RtAE。。中，OD?+DE?=EO?,Sr2+(2aY=(r+a^,解得：r=—a,国色工三二上

【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握切线的

性质与判定，平行线分线段成比例是解题的关键.

模型7、证明切线的辅助线(证垂直或直角)

【模型解读】证明直线N2是□。的切线.

遇到证明某一直线是圆的切线时：

（1）有点连圆心：当直线和圆的公共点己知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证

明该直径与直线垂直。如图，己知过圆上一点C的直线4S,连接。C,证明。CD4B,则直线4s是□0的

切线.

（2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线

的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点。作。（7ロ/5,证明。C等于口。的半径，则直线N5

是□。的切线.

例:1.（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）如图，A3为0。的直径，如果圆上的点。恰使/ADC=ZB,

求证：直线CO与。。相切.

【答案】见详解

【分析】由等腰三角形的性质和圆周角定理得出/。D4+NADC=90。，则CD丄。D,再由切线的判定即可

得出结论.

【详解】证明：如图，连接。。，•••04=。り，.•.ム=n。。4,

・.・AB为。。的直径，:.ZADB=90°,/.ZA+ZB=90°,

・.・ZADC=NB,.-.ZODA+ZADC=90°,即NCDO=90°,..C。丄。。，

•.•。。是。。的半径，•••直线C。与。。相切.

【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握

圆周角定理和切线的判定是解题的关键.

例2.（2023秋•福建福州•九年级校考阶段练习）如图，OA=OB=5,AB=8,00的直径为6.求证：直

线A3是。0的切线.

【分析】过点。作OD丄于点。，根据三线合一和勾股定理求出。£>的长，即可.

【详解】解：过点。作00丄AB于点。，

0OA=OB=5,AS=8,0AD=BD=4,0OD=7AO2+ZM2=3>

国0。的直径为6,回。。为。。的半径，

y.OD±AB,El直线AB是。。的切线.

【点睛】本题考查切线的判定.熟练掌握切线的判定方法，是解题的关键.

例3.（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，AABC内接于。。，AB为。。的直径，延长AC到点G,

使得CG=CB,连接G3,过点C作C。〃63,交AB于点ド，交点。。于点。，过点。作。E〃AB.交GB

的延长线于点瓦

⑴求证：。e与。。相切.⑵若AC=4,BC=2,求BE的长.

【答案】⑴见详解⑵二血

【分析】（1）连接。。，结合圆周角定理，根据CG=CB,可得NCGB=NCBG=45。,再根据平行的性质

ZACD=ZCGB=450,即有48=2ZACD=90。，进而可得/。。e=4。。=90。，问题随之得证；

（2）过C点作CK丄AB于点K,先证明四边形証。戸是平行四边形，即有3E=。p，求出

1Ac2

AB=^AC2+BC2=2^5-即有。D=40=08=ス48=石，利用三角形函数有sm乙4兩=弁=下，同理

1423

cosZASC=-^=,即可得KC=BCxsinAABC=,KB=BCxcosAABC=,进而有OK=OB—KB=^^r,

OFOP^5

-即可得。ド=』OK=9X」=且，在RtaoDド中，有

再证明△CKFSADOp，可得京一ェ-44

99^53

DF=，。D2+。ド2=二3，问题随之得解.

【详解】(1)连接。。，如图,

国AB为。。的直径，SZACB=90°,0ZGCB=90°,

^CG=CB,0ZCGS=ZCBG=45°,国Cハ〃GB,ElZACD=ZCGB=45°,

^ZAOD=2ZACD=90°,即。D丄AB,SDE//AB,ElZODE=ZAOD=90°,

园半径OD1OE,®。E与。。相切;

(2)过C点作CK丄AB于点K,如图,

^CD//GB,DE//AB,(3四边形BEDF是平行四边形，例BE=DF,

0AC=4,BC=2,回ん?=ノ4c2+屈2=2お‘SOD=AO=OB=^AB=^5,

AC21

EICK丄AB,国ZCKB=90°=ZAC3,国在Rt^ACB,sinZASC=—=-^,同理cosNA8C=j,

42

回在RGKCB中，CB=2,^KC=BCxsinZABC=-j=,KB=BCxcosZABC=-^

3

00K=OB-KB=忑,^CKYAB,ODLAB,国。ハ〃CK,

OFOP_5

OFOF5

^ACKF^^DOF,国FK一CK一4~4,国

FK+OFOK~9"

SOF=-OK=-x^==—,国在RtAOD尸中，PF=^OP~+OF1=-^,邑BE=DF=土逝.

99石333

【点睛】本题是一道综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行四边

形的判定与性质，三角函数以及勾股定理等知识，掌握切线的判定以及相似三角形的判定与性质，是解答

本题的关键.

例4.（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）如图，四边形ABCD内接于。。，AB为。O的直径，过点。

作上丄3C,交BC的延长线于点F，交54的延长线于点E,连接BD.若NE4D+N班方=180。.

2

⑴求证：E戸为。。的切线.（2）若BE=10,sinZBDC=-,求。。的半径.

【答案】⑴见解析（2）。0的半径为4

【分析】（1）连接。。，根据同角的补角相等，得到/山不=/543，等角的余角相等，得到/DFF=厶瓦）,

等边对等角，得至9ZDBF=ZABD=NODB,推出。。〃3p，得到NO£>E=NP=90。，即可得证；

（2）连接AC,推出NE=/54C=N8DC,利用锐角三角函数求出砂的长，设。0的半径为厂，证明

AODES^FE,列出比例式进行求解即可.

【详解】（1）证明：连接。。，

13Z£AD+ZBDF=180°,Z£4D+ZBAD=180°,SZBDF=ZBAD,

回AB为。。的直径，DF丄BC,EZADB=90°,ZBFD=90°,

ElZBDF+ADBF=ABAD+ZABD=90°,^ADBF=AABD,

^OB=OD,0ZDBF=ZABD=NODB,0OD〃BF,

SZODE=ZF=90°,即：ODLEF,

又。。为。O的半径，回政为。。的切线；

(2)连接AC,贝リ：/BAC=/BDC,

13AB为。。的直径，ElZACB=90°=ZF,^AC^EF,

国ZE=ZBAC=NBDC,在RtABFE中，BE=10,sinE=sinZBDC=-,

国BF=BE-sin£=10x—=—,

33

设〇O的半径为厂，则：〇^=OB=r,OE=BE-OB=10-r,

ElOD//BF,旦AODES^BFE,0-----=------,即：2010,

BFBE—

0r=4:®。O的半径为4.

【点睛】本题考査圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和

性质.题目的综合性较强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键.

模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点）

当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。

利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。

例1.（2022•湖北恩施・统考中考真题）如图，在RtA/8C中，EIC=900,NC=4,8c=3,国。为RtA/3C的内切

圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留万）.

【答案】5--

4

【分析】利用切线长定理求得国。的半径，根据S^S^ABC-（S扇彩EOF+S^DOF）-S正方形CDOE列式计算即

可求解.

【详解】解：设切点分别为。、E、F,连接。。、OE、OF,

EGO为Rt△48C的内切圆，EL4E=N尸、BD=BF、CD=CE,OD^BC,OESAC,

EEC=90°,El四边形CDOE为正方形，EIELE"。尸m3^0£)=360。-90。=270。，

设国。的半径为尤，贝リCD=CE=x,AE=4F=4-x,BD=BF=3-x,

®4-x+3-x=5,解得x=l,

2701

0S^S^ABC-（S„EOF^S„DOF}-SX^CDOE=x3x4-£Tl_xlxl=5-.故答案为：5-キ.

236044

【点睛】本题考查了切线长定理，扇形的面积公式，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键.

例2.（2023秋•浙江•九年级专题练习）如图，在AABC中，AB+AC=^BC,AD丄BC于D,oo为qBC

的内切圆，设。。的半径为R，AO的长为か，则g的值为（）

【答案】A

【分析】根据三角形内切圆的特点作出圆心和三条半径，分别表示出AASC的面积，利用面积相等即可解决

问题.

【详解】解：如图所示：。为"LBC中/ABC、ZACB,N54C的角平分线交点，过点。分别作垂线交A3、

AC、BC于点、E、G、F,

^^ABC=^^AOB+^^oc+$メ℃=/^®，R+/3C・R+54C，R=/R（A8+AC+3C）,

-.AB+AC^BC,.-.S^BC=^R^BC+BCy^R~BC,

ヽ11818.-.—=—=-ヽ

♦.♦AZ）的长为厶，；•S^ABC•レ，~~=—BC•h,.'.h——R,/?8氏8>故选：A.

【点睛】本题考查了三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据己知条件利用三角形

A3C面积相等推出关系式是解题关键.

例3.（2023•广东广州•统考中考真题）如图，AABC的内切圆。/与3C,CA,AB分别相切于点。，E,尸,

若。1的半径为，，ム=e,则（族+CE-BC）的值和/FDE的大小分别为（）

A.2，，90°-aB.0,90°-aC.2r,90°ーーD.0,90°ーー

22

【答案】D

【分析】如图，连接/p，/e•利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可.

【详解】解：如图，连接ZF,広.

B\BF=BD,CD=CE,IFLAB,/E丄AC,

^BF+CE-BC=BD+CD-BC=BC-BC=O,ZAFI=ZAEI=90°,

0ZE/F=18O°-a,0ZEDF=-ZEIF=90°--a.故选：D.

22

【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性

质，属于中考常考题型.

课后专项训练

1.（2023•重庆•统考中考真题）如图，AC是。。的切线，3为切点，连接atOC.若ム=30。，45=26,

BC=3,则OC的长度是（）

C.ぶD.6

【答案】C

【分析】根据切线的性质及正切的定义得到。3=2,再根据勾股定理得到。C=が.

【详解】解：连接03,国AC是〇。的切线，8为切点，0OB1AC,

0ZA=3O°,AB=2旧,回在Rレ。AB中，OB=A8・tan/A=26x走=2,

3

国3C=3,回在/?か。3中，OC=Jdな+8C2=屈，故选C.

【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键.

2.（2022•黑龙江哈尔滨•校考模拟预测）如图，如图，抬、依分别切。。于点A、B,点C为优弧"上

一点，若/ACB=NAPB,则NACS的度数为（）

【答案】C

【分析】要求/ACB的度数，只需根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接04,。3；再根

据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解.

【详解】解：连接。A。8,国ル、p3分别切。。于点A、B,

国。A丄ム卩,。3丄BP,^APAO=APBO=9Q°,0ZAOB+ZAPS=180°,

[?]ZAOB=2ZACB,ZACB=ZAPS,回3NACB=180°,0ZACB=60°,故选：C.

【点睛】此题考查切线的性质，圆周角定理，以及四边形的内角和，熟练掌握切线的性质是解本题的关键.

3.（2023年四川省宜宾中考数学真题）如图，己知点AB、C在。。上，C为AB的中点.若/54c=35。,

则/403等于（）

A.140°B.120°C.110°D.70°

【答案】A

【分析】连接。C,如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案.

【详解】解：连接。C,如图所示：

•.•点AB、C在。。上，C为A8的中点，.•.8C=AC，•••/2。C=厶。c=3/4。2,

VABAC=35°,根据圆周角定理可知NBOC=2N54C=70。，:.ZAOB=2ZBOC=140°,故选：A.

【点睛】本题考査圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键.

4.（2023年四川省凉山州数学中考真题）如图，在。。中，。A丄BC,ZADB=300,8C=26，则。C=（）

【答案】B

【分析】连接。8,由圆周角定理得/403=60。，由Q4丄8c得，NCOE=NBOE=600,CE=BE=6,

在RSOCE中，由OC=-计算即可得到答案.

sin60

【详解】解：连接。B，如图所示，

vZADB=30°,.-.ZAOB=2ZADB=2x30°=60°,

OALBC,:.ZCOE^ZBOE^60°,CE=BE==BC=Lx2^=拒,

22

在RGOCE中，ZCO£=60°,CE=^>,"sin60°&，故选：B.

【点睛】本题主要考査了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，垂

径定理，添加适当的辅助线.

5.（2023年重庆市中考数学真题）如图，A3为0。的直径，直线CO与。。相切于点C,连接AC,若

ZACD=50。，则/BAC的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】连接。C,先根据圆的切线的性质可得NO8=90。，从而可得/OC4=40。，再根据等腰三角形的

性质即可得.

【详解】解：如图，连接OC,

•.•直线C£＞与。。相切，..OC丄CD,.•.ZOCD=900,

•.•ZACD=50°,:.ZOCA=40°,■.■OA=OC,:.ZBAC=ZOCA=40°,故选：B.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键.

6.（2023•广东•一模）如图，AS是。。的直径，BC交。。于点。，OE丄AC于点E,下列说法不正确的

是（）

A.若DE=DO,则DE是。。的切线B.^AB=AC,则OE是。。的切线

C.若CD=DB,则DE是。。的切线D.若DE是。。的切线，则AB=AC

【答案】A

【分析】根据4B=A&连接AD,利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，。。是

△ABC的中位线，OD//AC,然后由。E丄A&得到/。。E=90。，可以证明。E是。。的切线，可判断8选项正

确；若。E是。。的切线，同上法倒推可证明AB=AC,可判断。选项正确；

根据8=BD，AO=BO,得到。D是AABC的中位线，同上可以证明。E是。。的切线，可判断C选项正确；

若DE=DO,没有理由可证明。E是。。的切线.

【详解】解；当AB=AC时，如图：连接AD,

•.•厶B是。。的直径，.•.厶。丄8C,：.CD=BD,'：AO=BO,.•.。。是AABC的中位线，：.OD//AC,

•：DE±AC,；.。e丄。。，.\。E是。。的切线，所以B选项正确；

当。E是。。的切线时，如图：连接ムD,

♦..。e是。。的切线，...。e丄。。，,：DE±AC,：.OD//AC,.•.。。是AABC的中位线，：.CD//BD,

•.•4B是。。的直径，.•.厶。丄BC,.•.A。是线段BC的垂直平分线，.•.48=4&所以。选项正确；

当8=8。时，又ム。=8。，.•.。。是AABC的中位线，：.OD//AC,

V