量子力学第2版李同伟课后答案

PAGE第一章习题解答1．利用玻尔——索末菲量子化条件，求（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场，玻尔磁子，试计算动能的量子化间隔，并与及的热运动能量相比较。解：（1）方法一：玻尔——索末菲量子化条件为1、2、3···对于一维谐振子，，即这是一个椭圆方程，半长轴，半短轴。 椭圆面积由，得到能量量子化条件为1、2、3···方法二：因为一维谐振子的运动方程为，所以。利用量子化条件得（2）电子在垂直于磁场方向的平面里以某一确定线速度作半径为的圆周运动，则广义动量——角动量是守恒量，与此广义动量相对应的广义坐标是。则 又，所以。因此电子轨道的可能半径为1、2、3···电子的动能动能的量子间隔为热运动能量为2．应用玻尔——索末菲量子化条件，计算一个在铅直方向作弹性往复运动的小求的允许能级。解：的积分区：最高点，。所以的变域：。所以 3．应用玻尔——索末菲量子化条件，求限制在箱内运动的粒子的能量。箱的尺度为、、。解：粒子在箱子内是自由的，动量是守恒量，在与箱碰撞时，动量反向，但数值不变，即弹性碰撞。选箱的三度为坐标轴，利用量子化条件4．由黑体辐射公式导出维恩位移律：能量密度极大值所对应的波长与温度成反比，即（常数）。并近似计算的数值，准确到两位有效数字。解：由能量密度的公式：则由解得：即令，则解得所以5．在附近，钠的价电子能量约为，求其德布罗意波长。解：6．两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相同，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？解：两个光子转化为正负电子对，要求光子的最大波长，即要求产生的正负电子对静止，由能量守恒得（是电子的静止质量）第二章习题解答1．设一粒子的状态用归一化波函数描述，问在薄立方体内找到粒子的几率。解：因为粒子出现在体积元中的几率为，所以在内找到粒子的几率为2．设粒子的状态用归一化波函数描述，问在球壳内找到粒子的几率。解：因为粒子出现在点的领域内的几率为所以在球壳内找到粒子的几率为3对一维自由粒子（a）设波函数为，试用哈密顿算符对运算，验证。说明动量本征态也是哈密顿量（能量）本征态，本征值为。（b）设粒子在初始（）时刻，，求。（c）设波函数为，可以看成无穷多个平面波的叠加，即无穷多个动量本征态的叠加。试问是否是能量本征态？（d）设粒子在时刻，求。解：（a）因为所以（b）因为是能量本征态，所以（c）由于是无穷多个动量本征态的叠加，所以它也是无穷多个能量本征态的叠加，因此它不是能量本征态。（d）因为，所以因此利用，得4假设一个粒子的初始状态是两个定态的线性迭加：（为使题目简单化，假设常数和是实数。）那么任意时刻的波函数是什么？求出几率密度并描述其运动形式。解：很显然，几率密度以正弦形式振动，角频率是；这当然不是一个定态。但是注意它是（具有不同能量的）定态的线性迭加，并且这种迭加会产生运动。5在t=0时刻一粒子由下面的波函数描述式中A、a和b是常数。（1）归一化（即求出以a和b表示的A）。（2）作为x的函数画出的草图。（3）在t=0时刻在哪里最有可能发现粒子？（4）在a的左边发现粒子的几率是多少?对b=a和b=2a两种极限情况验证你的结果。（5）x的期待值是多少?解：（1）（2）（3）在处最有可能发现粒子。（4）当时，；当时，。（5）6一个自由粒子的初始波函数为其中和是正的实常数。（1）归一化。（2）求出。（3）以积分形式写出。（4）讨论极限情况（很大和很小）。解：（1）归一化（2）（3）（4）当很大时，是一个尖锐的峰值，比较宽泛，即位置精确而动量很不确定；当很小时，范围较宽，是一个尖锐的峰值，即动量精确而位置很不确定。第三章习题解答1．一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的本征函数。解：由方程 在及区域，，粒子不可能到达。即在及区域，。在区域，。令，则方程变为此方程的通解为因为在处连续，即，所以。因为在处连续，即，所以（）。因此故与相应的波函数为由归一化条件得所以3一个处在一维无限深势阱中的粒子，其初始波函数是（1）画出的图形然后求出。（2）求出。（3）测量能量得到结果为的几率是多少？（4）求出能量的期望值。解：（1）（2）因为所以（3）测量能量得到结果为的几率是（4）求出能量的期望值6．在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：。证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。解：一维势场中运动的粒子满足的薛定格方程为因为是空间反演不变的，所以即即与是属于同一本征值的本征态。由于它们描写的是同一个状态，因此之间只能相差一个常数。两个方程可相互进行空间反演而得对方，所以所以可见，，即当时，，具有偶宇称；当时，，具有奇宇称。所以，当势场满足时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。5设粒子处于半壁无限高的势场中求粒子能量本征值，以及至少存在一条束缚能级的条件。解：势函数把空间分成三个区域，满足的薛定谔方程分别为显然，。方程简化为令，，则方程进一步简化为方程的通解为所以下面由波函数的标准条件定解。由于波函数有限，所以，有在处，由波函数的连续性可得取，则在处，由单值性和连续性、可得得把、代入，得此即能量本征值满足的超越方程。该方程只能数值求解或用作图法求解。下面讨论束缚态存在的条件。令，，则它们的交点就是束缚态能级满足的解。由图知，至少存在一个束缚态的条件为6．分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为求束缚态的能级所满足的方程。解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。定态薛定格方程为对各区域的具体形式为Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ：Ⅳ：对于区域Ⅰ，，粒子不可能到达此区域，故。且（1）（2）（3）对于束缚态，有，令，，，则 （4）（5）（6）各方程的解分别为利用波函数的有限性：因为有限，所以，因此。利用波函数及其一阶导数的连续：因为，所以，因此；因为，所以（7）因为，所以（8）因为，所以（9）因为，所以（10）由（7）、（8）得(11)由（9）、（10）得（12）令，则（11）式变为（13）联立（12）、（13）得，要此方程组有非零解，必须解方程把代入即得此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。附：从方程（10）之后也可以直接用行列式求解。第四章习题解答1．求证：解：上式左边的分量为同理所以2．设算符、皆与它们的对易子对易。证明：，。解：利用数学归纳法证明。当时，，显然成立。设时，成立，则所以同理可证3．一维谐振子处在基态，求（1）势能的平均值；（2）动能的平均值；（3）动量的几率分布函数。解：（1）（或利用）所以（2）或。（3）所以，动量几率分布函数为4．氢原子处在基态。求（1）的平均值；（2）势能的平均值；（3）最可几半径；（4）动能的平均值；（5）动量的几率分布函数。解：（1）的平均值为其中利用了。（2）势能的平均值为（3）电子出现在球壳内出现的几率为令，则。当时，为几率最小位置。因为所以，是最可几半径。（3）因为，所以动能的平均值为其中利用了。（5）因为，所以其中利用了。动量几率分布函数5．一刚性转子转动惯量为，它的能量的经典表示式是，为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：（1）转子绕一固定轴转动；（2）转子绕一固定点转动。解：（1）设该固定轴沿Z轴方向，则有哈米顿算符因为无关，所以这是一个定态问题。其本征方程为令，则方程变为取其解为（可正可负可为零）。由于波函数是单值得，应有，所以有，所以，，，……因此转子的定态能量为（，，，……）可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。其定态波函数为为归一化常数，它可由归一化条件求得：所以转子的归一化波函数为综上所述，除外，能级是二重简并的。（2）取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为因为无关，所以这是一个定态问题。其本征方程为式中，设为的本征函数，为其本征值。令，则方程变为此即为角动量的本征方程，其本征值为其波函数为球谐函数所以转子的定态能量为可见，能量是分立的，且是重简并的。6设粒子处于一维无限深方势阱中证明处于能量本征态的粒子讨论时的情况，并与经典力学计算结果比较。解：因为，所以经典物理中，中粒子处于范围内的概率为，则时，量子与经典结果一致。7．设时，粒子的状态为求此时粒子的平均动量和平均动能。解：波函数变形为可见，动量的可能值为、、、、，动能的可能值为、、、、，对应的几率应为、、、、。归一化常数可由归一化条件求得所以，动量的平均值为动能的平均值为8.设粒子处于一维无限深势阱中设粒子处于基态（），。设时刻阱宽突然变为，粒子的波函数来不及变化，即试问：对于加宽了的无限深势阱是否还是能量本征态？求测得粒子处于能量本征态的概率。解：对于加宽了的无限深势阱，粒子能量本征值和本征态分别是显然，不再是能量本征态。由于阱宽突然变宽，粒子的波函数来不及变化，所以能量仍保持为。可按展开所以测得粒子处于能量本征态的概率为。9．一维运动粒子的状态是其中，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子的平均动量。解：（1）先求归一化常数，由所以波函数为动量的几率振幅为动量几率分布函数为（2）粒子的平均动量为10．在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数描写，为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。解：一维无限深势阱中粒子的能量的本征函数和本征值分别为能量的几率分布函数为，且把归一化所以所以第五章习题解答1利用氢原子能级公式，讨论下列体系的能谱：（a）电子偶素（positronium，指束缚体系）；（b）原子（muonicatom），指平常原子中有一个电子被一个粒子代替；（c）子偶素（muonium，指束缚体系）。解：氢原子能级公式（a）电子偶素，能级。（b）原子，能级。（c）子偶素，能级。2对于氢原子基态，求电子处于经典禁区（）（即区域）的概率。解：氢原子基态波函数电子处于经典禁区（）的概率3一质量为的粒子在下面的势场中运动求粒子的基态能量和归一化波函数。解：中心力场中，径向方程为基态，则令，则时因为，所以，有因为，所以波函数归一化4一质量为的粒子在一圆圈（周长为）上运动。如果还存在函数势，，请写出系统的所有能级和相应的归一化波函数。解：薛定谔方程为式中，转动惯量，为圆半径。令，则因为，则时，有利用连续性条件得归一化，得5在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并度，与三维各向同性谐振子比较。解：哈密度算符、、相互对易，而且都是守恒量。所以的本征函数和本征值分别为给定后，有下列种组合方式所以能级的简并度为。的本征态的宇称为。三维各向同性谐振子，的本征函数和本征值分别为给定后，有下列组合方式所以，能级简并度为二维各向同性谐振子与三维各向同性谐振子的能级分布均匀，能级间隔都是。第六章习题解答1．求在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。解：分别在坐标表象与动量表象下计算在动量表象中的矩阵元，应该得到同样的结果。首先在坐标表象中计算。这时，有在动量表象中的矩阵元为其次，在动量表象中计算。这时，有在动量表象中的矩阵元为2．求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。解：基矢：；能量：；对角元：（因为）当时，上面的推导用到了3．求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。解：定态薛定谔方程为即两边乘以，得令，，则跟课本式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为式中为归一化因子，即4．求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。解：5．设已知在的共同表象中，算符和的矩阵分别为求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵和对角化。解：的久期方程为得所以，的本征值为。的本征方程其中为的本征函数在共同表象中的矩阵。当时，有所以由归一化条件取，则当时，有所以由归一化条件取，则当时，有所以由归一化条件取，则由以上结果可知，从和的共同表象变到表象的变换矩阵为矩阵在自身表象中的矩阵为对角化矩阵，对角元素为它的本征值，则同理可得，的本征值为，归一化的本征函数分别为的对角化矩阵为6设矩阵和满足，，。（a）证明；（b）在表象中求出的矩阵表示（设本征态无简并）。解：（a）由和，得（b）设的本征值方程为，所以又，所以，因此的矩阵表示为设的矩阵表示为由，得由，得由，得所以若取，则第七章习题解答1.如果是的本征态，对应的本征值为，那么，波函数和也都是的本征函数，对应的本征值分别为和。（南京大学2002年）证明：因为所以同理2设两个粒子做一维谐振动，考虑它们之间的相互作用，体系的哈密顿量为（忽略，为正常数）求体系能量本征值。解：令利用，，得且所以因此令，，则这样，体系就变成了两个相互独立的谐振子，所以，能量本征值为7-3某体系的能量算符为 其中，。试求体系的能量本征值。解：令b=ua+va+ 解：令bH且则bb=于是H=53a+a+23a于是HH比较得u=ku=2/所以H能量本征值E7-4一个量子系统，其哈密顿算符可写为 其中为实数，、为数，算符及满足。试求系统的能量本征值。提示：因为为厄米算符，所以。6在粒子数表象中哈密顿。（1）把化成标准谐振子哈密顿，求能量本征值。（2）把看成微扰，求能量本征值至二级近似。解：（1）哈密顿变形为令，，则且能量本征值为（2）令，其中，，则所以，能量一级修正为能量二级修正为所以能量本征值为7在表象（为基矢）中，的子空间的维数为3。求在此三维空间中的矩阵表示。再利用矩阵方法求出的本征值和本征态。解：在表象中，的矩阵元为在的子空间中当时，，有由此得设的本征方程为所以有解的条件解得，，所以，。当时，有得，，所以利用归一化条件，得所以同理8．设体系处于态，求的观察值。解：设的本征方程为把用、、做展开：在表象下，的矩阵表示为又因为在表象下，的矩阵表示为所以有解的条件解得，，所以，。当时，有得，，所以利用归一化条件，得，所以同理所以于是因此，在态下，的观察值和对应的概率及平均值分别为01/41/21/4第八章习题解答1求互相垂直的均匀电场和磁场中的带电粒子的能量本征值。解：设电场沿方向，磁场沿方向，则选Landau规范，，且，满足粒子的哈密顿量为选取为守恒量完全集，可选取能量本征函数为其中、为本征值，可取任意实数。能量本征值方程为所以变形为式中。该式与一维谐振子能量本征值方程相似，所以能量本征值为是以为变量的一维谐振子能量本征值函数，即式中。2设电子囚禁在二维各向同性谐振子场中，。如再受到沿轴方向的均匀磁场的作用，取矢势，（a）求电子的能级和本征函数。（b）分别讨论和两种极限情况以及能级简并度的变化。解：（a）因为，所以因此，哈密顿量为式中，。为了方便，以下把电子沿轴方向的自由运动分离出去，集中讨论电子在平面内的运动，这样极坐标系下因为，所以选（）作为守恒量完全集，利用二维各向同性谐振子的结论，得能量本征值和本征函数分别为（b）若，则系统变为二维各向同性谐振子，哈密顿量变为能量本征值和本征函数分别为能级的简并度为。若，则系统变为均匀磁场中的电子，哈密顿量变为能量即朗道能级。能量本征函数和本征值分别为式中。下面考察能级简并度。因为，所以，对给定，当时，所有态能量都相同，因此简并度为无穷大。3电子被限制在x-y平面内运动，在Z方向有一均匀磁场B，此外没有其它势。回答下列问题：（1）定义规范不变的动量，求对易式；（2）利用上述对易关系式和一维谐振子问题的类比求电子的能量本征值。解：（1）处于磁场中电子的哈密顿为其中所以因为，，所以（2）一维谐振子的哈密顿量为令则其能量本征值为该题中，令则式中，。它与一维谐振子哈密顿量极其相似，所以能量本征值为第九章习题解答1．设一维谐振子的哈密顿算符为，再加上微扰，系统的哈密顿算符为试用微扰法求能量近似值。解：所以实际上所以展开式的前三项正是微扰法的结果。2．在表象中，若哈密顿算符的矩阵形式为其中，、为小的实数，且。求能量至二级修正，并与精确解作比较。解：因为所以下面求能量的精确解。能量的本征方程为久期方程所以3．设哈密顿算符的矩阵形式为求其精确的本征值；若，求其本征值至二级近似。解：先求精确解：久期方程再求近似解：显然，它是精确解的近似。4一维无限深势阱（）中的粒子，受到微扰作用求基态能量的一级修正。解：一维无限深势阱能量的本征解为能量一级修正对基态，有8平面中的转子的哈密顿量为，为转动惯量。（a）求转子的能级和能量本征函数；（b）设转子具有电偶极矩，受到弱电场（平面内）的作用，，利用一级微扰论计算转子能级和波函数；（c）如外加电场极强，转子将不能自由转动，只能局限在一个很窄的角度（）附近小振动，。求振动能级和本征函数。解：（a）平面的转子的能量本征值方程其本征函数为相应能量本征值除外，其它能级二重简并。（b）微扰哈密顿矩阵元为