高中数学一年级《用样本估计总体（1）》

用样本估计总体（1）高一年级数学主讲人：数据的数字特征数据的收集数据的直观表示用样本估计总体统计用样本的数字特征估计总体的数字特征用样本的分布估计总体的分布情境与问题某学校高一年级有80位学生，他们的身高数据如下（单位：cm）：161168166168152152163164170167143166153165168167163157160159153169172175165161158172147164171149158155169150173170162157152180178158162164172165165155163178159168161151166168165158162165163166174163163175165160161177163170155156161169167151

已知这组数的总体平均数为163.2，总体标准差为7.6.用简单随机抽样的方法从总体中抽取容量为10的样本3次，分别计算样本平均数与样本标准差，并与总体对应的值进行比较.

编号1161216831664168515261527163816491701016711143121661315314165151681616717163181571916020159211532216923172241752516526161271582817229147301643117132149331583415535169361503717338170391624015741152421804317844158451624616447172481654916550155511635217853159541685516156151571665816859165601586116262165631636416665174661636716368175691657016071161721777316374170751557615677161781697916780151编号样本69165781691016727158411526817565174801516316322169编号样本74170351694115265174751554516236150491651716342180编号样本341553315853159316625165216873163761564317817163平均值164.3标准差7.9平均值164.0标准差9.2平均值163.1标准差6.5简单随机抽样结果第一次第二次第三次总体平均值164.3164.0163.1163.2标准差7.99.26.57.6

从上面的结果可以看到，用样本的均值和标准差来估计总体的均值和标准差的时候是有误差的.实际上，样本的均值和标准差可能等于也可能小于或大于总体的均值和标准差，但是当样本容量越来越大的时候，估计的误差很小的可能性将越来越大.结果分析

如果我们没有某中学高一年级学生的身高情况，又没有条件逐一调查，我们应该如何抽取样本来估计总体呢？

在分层抽样的情况下，如何利用每层样本的数字特征来估计总体的数字特征呢？

尝试与发现

在考察某中学高一年级的学生身高时，如果采用分层抽样的方法，抽取出男生20人，女生15人，得到了男生身高平均数为170，方差为16，女生身高平均数为165，方差为25.怎样估计总体的平均数与方差？

方法1直接用男生或女生的平均数和方差作为总体的估计值.方法2

用男生和女生两层样本数字特征的算术平均数作为总体的估计.总体均值的估计值为：.

总体方差的估计值为：.

总体均值的估计值为：170（165）总体方差的估计值为：16（25）.

设通过分层抽样的方法抽取了m名男生，n名女生的身高作为样本，其中m名男生的身高为：

平均数为，方差为，

n

名女生的身高为：平均数为，方差为，

设样本的均值为，样本方差为

.方法3方法3设抽取了m名男生身高分别为：平均数为，方差为，

抽取了n

名女生身高分别为：平均数为，方差为，

样本均值记作，样本方差记作.由已知，得，.方法3所以，同理，则，由已知，以及，得，总体均值的估计值为：167.86,

总体方差的估计值为：26.49.

实际上，如果采用分层抽样的方法，并且知道各层的平均值和方差及各层人数，通常利用下面的公式计算得到样本的均值和方差，从而对总体进行估计.

上面采用了三种方法对总体进行了估计，由于方法3体现了各层抽取人数不同这一点，因此用这种方法计算得到的样本的数字特征来估计总体显然更加合理，这种方法也是

大数据时代经常使用的方法.匀

这节课我们通过例子学习了如何用样本的数字特征估计总体的数字特征，课堂上给出的实例是用样本的均值、标准差和方差估计了总体的均值、标准差和方差，我们也可以用样本的中位数、众数等数字特征来估计总体相应的数字特征.此外，我们讨论