河南省许昌市部分校2024-2025学年高一（下）期中数学试卷（含解析）

河南省许昌市部分校2024-2025学年高一（下）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.复数（4+。一（1+5»）的虚部为（）

A.-4B.4C.-4iD.4i

2.已知力（一2,1）,B（4,-5）,点P满足衣=：同，则点P的坐标是（）

A.（-3,3）B.（-8,7）C.（1,-2）D.（10,-11）

3.设△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,若a=A=^,stnC=旺,贝!jc=（）

44

A.乎B.<6C.苧D.<3

4.已知p,qeR,复数-2+i是关于x的方程/+px+q=o的一个根，贝!j2p-q的值为（）

A.5B.4C.3D.2

5.下列说法正确的是（）

A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥

B.直角三角形绕一条边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥

C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥

D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台

6.已知向量2,3满足五•石=一20,且3=（-3,4）,则向量2在向量3上的投影向量为（）

A.（-12,16）B.（12,-16）C.（-y.y）D.

7.P是△ABC所在平面上一点，满足|而-丽|-|而+玩-2月?|=0,则AABC的形状是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

8.已知△ABC的外接圆的半径为1,X=y,点G满足83+而+元=6,且而•希=布・记贝IU4BC

的面积为（）

A/3D3<3c方c3/3

A•7B.丁C.正D.—

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知耳，孩是同一平面内的两个不共线向量，则下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A.五一2否'和4否'一2瓦>B.部+£和可一西’

C.司（+2瓦和区D.2瓦-瓦和3瓦+部

10.己知Zi，Z2为复数，则下列说法正确的是（）

A.若Z]-z2>0,则Z]>z2B.若Z]=Z2,则Z1+Z2为实数

C.Z1Z1=|z/2

D.若㈤=\z2\,则燹=zj

11.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是

从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形4BCDEFGH的边长为，2点P是正八边形

4BCDEFG”边上任意一点，则下列说法正确的是（)

图1

K.~HC=(/2+1)AB

B.P?•丽的最小值为一，

C.AP-荏的最大值为1+2/2

D.若P在线段BC上，且存=机屈+?1而，则m+n的取值范围为［1,2+，！］

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知复数z满足2z-3z=-2+53则z=

13.如图，矩形。4B'C'是水平放置的平面四边形。ABC的直观图，其中

O'A'=10,O'C=5,则原四边形0aBe的面积与周长的数值之比为

庐_2

14.已知△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且3a=bcosC-ccosB,则一二=,cosA

az

的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

设meR,已知复数zi=3+/ni,且2式1一3。为纯虚数.

⑴求加的值和|zi-34；

(2)若复数Z2=z](a+，)(aeR)在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a的取值范围.

16.(本小题15分)

已知向量2=(2,—1),b=(3,5).

⑴求|2人用；

(2)若向量笠=(―1,小)，且〃丸求小的值；

(3)求与2+3垂直的单位向量的坐标.

17.(本小题15分)

(1)已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2和6,高为3,求该正四棱台的体积；

(2)已知圆锥的表面积为)，且它的侧面展开图是一个半圆，求该圆锥的底面直径；

(3)己知棱长为2的正方体的所有顶点都在球的球面上，若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球的表

面积和圆柱的体积.

18.(本小题17分)

已知△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且(6—a)(b+a)=c(b—c).

(1)求角4的大小；

(2)若6=2,c=3,点。是边BC上的一点，且黑求4。的长；

(3)若AABC是锐角三角形，b=1,点E为力B的中点，求CE的取值范围.

19.(本小题17分)

设平面内两个非零向量而，元的夹角为，，定义一种运算“凶”：沅国元=|沅||元|s讥0.试求解下列问题：

⑴已知向量诡3满足m=YIU,|山=3,(a-h)1b,求＞(8)万的值;

(2)若向量3满足1好+秃K0),石=(无2，%)(好+羽大。)，求证：a®b=\xry2-x2y1l；

⑶已知向量五=(4,一一),K=(―,一一—),ae(o5)，求五⑤阴勺最小值.

\'、3cosasinayvsinacosay'21

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解:复数(4+i)—(1+5。=3—4i的虚部为一4.

故选：A.

利用复数的减法运算求解即可.

本题考查复数的基本概念，是基础题.

2.【答案】C

【解析】解：设P(x,y),则/=(x+2,y-l),AB=(6,-6),

由於=：四得：(久+2,”1)=(3,-3),

4学二3,解唬"

•••P(l,-2).

故选：C.

可设PQ,y),然后根据羽=2荏即可求出乃y的值，从而得出点P的坐标.

本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的数乘运算，是基础题.

3.【答案】D

【解析】解：因为a=2，I,X=psinC=

由正弦定理念=短，嗡=a解得c=c.

4T

故选：D.

根据正弦定理即可求解.

本题考查了正弦定理，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：因为复数一2+i是关于％的方程/+P久+q=0的一个根，

所以一2—i是关于久的方程/+px+q=0的另一个根，

由韦达定理可得，｛号秀二晨”

解瞰蛰

所以2p-q=2x4-5=3.

故选：c.

由题意可知，一2-i是关于久的方程/+p久+q=0的另一个根，再利用韦达定理求解.

本题主要考查了实系数一元二次方程虚根成对定理，考查了韦达定理，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：对于4棱锥的侧面三角形要有公共的顶点，故A错误；

对于B：直三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到的旋转体是圆锥，故8错误；

对于C：当棱锥的各个侧面的顶角之和是360度时，各侧面构成平面图形，构不成棱锥，

由此推导出如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥，故C正确;

对于棱台的上、下底面要求互相平行，故。错误.

故选：C.

根据空间几何体的概念，逐项检验即可得到结果.

本题考查几何体的结构特征，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：向量2,3满足17=—20,S.b-(-3,4),

则向量旨在向量月上的投影向量为碓X1=引=片,一刍.

故选：D.

结合投影向量的公式，即可求解.

本题主要考查投影向量的求解，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，也考查了模长公式应用问题，是基础题.

根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出正•四=0,即前，荏，ATIBC是直角三角形.

【解答】

解：P是△48C所在平面上一点，且|丽一丽|一|丽+丽一2刀|=0,

■■.\CB\-|(而-的+(PC-P1)|=0,

即|函=屈+码，

■■.\AB-AC\=\AB+AC\,

两边平方并化简得正•存=0,

•••AC1AB,

Z.A=90°,

则△ABC是直角三角形.

故选：B.

8.【答案】A

【解析】解：由于△力BC的外接圆的半径为1,4=等，所以m=2,解得a=4,

由于，点G满足襦+而+屈=6,所以点G为△ABC的重心，

且W•丽=布•》，则芯•芯=0,故AG1BC,

所以△ABC为等腰三角形，

设4B=4C=久，利用余弦定理：/+*2—2久,％.cos:=3,解得x=1,

故SAABC=gxlxlx?=今

故选：A.

直接利用向量的垂直的充要条件以及向量的线性运算求出△ABC为等腰三角形，最后利用正弦定理，余弦

定理和三角形的面积公式求出结果.

本题考查的知识点：正弦定理和余弦定理以及三角形的面积，向量的垂直的充要条件，向量的线性运算，

主要考查学生的运算能力，属于中档题.

9.【答案】BCD

【解析】解：对于4选项，因为4e2—2e1=—2(e]—2e2),则e1—2e2和4e2—20共线，故A错误；

易知出+3和一切不共线，q+2c2和/不共线，2%-3和3?2+%不共线，故bC,£＞正确.

故选：BCD.

根据平面向量的基底向量即可求解.

本题考查了平面向量的基底向量，属于基础题.

10.【答案】BC

【解析】解：对于4,令zi=l+i,z2=i,满足Zi—Z2〉0,但虚数无法比较大小，故A错误；

对于8,设Zi=a+bi(a,bER),

则Z2=a—bi,

故Zi+z2=a+bi+a—bi=2a为实数，故5正确；

对于C,设ZI=c+di(ctde/?),

222

则Z]Zi=(c+di)(c—di)=c+d=\zr\,故C正确；

对于。，令Z]=1,z2=i,满足氏|=忆21但黄Hz：,故。错误.

故选：BC.

结合特殊值法，以及共辗复数的定义，复数模公式，即可求解.

本题主要考查共轨复数的定义，复数模公式，是基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解：对于4由正八边形的结构特征可知：AB//CH,

乙ABC=4BAH=135°,贝UNAHC=45°,

所以比=(YI+1)荏，故A正确；

对于8,由正八边形的结构特征可知，

当点P在边BC,CD,DE,EF,FG,GH,从4上时(不包含48两点)，

PA,方的夹角为锐角，此时两•丽>0,

当点P在48上时，设杼=4荏，Ae[0,1],则丽=(1—4)才航

则可•丽=-AAB-(1-A)AB=(Z2-A)AB2=2(M-4),

当4时，丽.丽取得最小值—全

综上所述，可•丽的最小值为《，故8正确；

对于C,由题意可知，当点P在边CD上时，都在荏方向上的投影最大，

最大值为4B+BCcos450=AB+ABcos45°=(1+号AB,

根据数量积的几何意义，

可得布•希的最大值为(1+苧)AB?=2+，！，故C错误；

对于D,设前=x能，则丽=四+而

=AB+xBC=AB+x(BA+AH+~HC)

=(V-2x+1)AB+xAH=mAB+nAH,

所以m=2x+l,n=x,

所以m+n=(Y1+l)x+16[1,2+故£>正确.

故选：ABD.

由题意，易得AH〃AB及AH,AB的大小关系，即可判断4易得当万•而取得最小值时，点P在2B上时，

进而可判断8；根据数量积的几何意义可得当点P在边CD上时，而•四取得最大值，即可判断C；设前=

xBC,再根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可判断£>.

本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题.

12.【答案】2+i

【解析】解：设工=a+WR),贝(jz=a-bi,

所以2z—3z=2(a+bi)—3(a—bi)=2a+2bi—3a+3bi=—a+5bi=-2+53

所以仁：=12,解得｛：=；,

(56=5(-0=1

所以z=2+i.

故答案为：2+i.

设2=。+沅(£1"€/?),贝暇=a一bi,利用复数的运算，以及复数相等的定义求解.

本题主要考查了复数的运算，考查了复数相等的定义，属于基础题.

13.【答案】2/2

【解析】解：根据题意,直观图矩形。AB'C'中,02'=10,O'C=5,

设B'C'与y’轴交于点。'，

如图：/D

/o'A'7

易得C'D'=O'C'=5,即。'为B'C'的中点

O'D'=572,

还原原图如图：

y1

______________B

.X-.X.

0Ax

其中。A=O'A'=10,0D=20'D'=10/2-

易得。C=425+200=15,

故原四边形OABC的面积S=ODxOA=10072.

周长/=2X（。4+OC）=50,

故原四边形。4BC的面积与周长的数值之比与它=

故答案为：

根据题意，由斜二测画法作出原图，计算原图的周长和面积，计算可得答案.

本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题.

14.【答案】3芋

【解析】解：因为3a=bcosC—ccosB,由余弦定理得3a=bcosC—ccosB=6•"'——c-~,

2ab2ac

整理得3a2=*c2,所以个=3,

立巴基=2+丝>2尹

b2+c2—a22<2

所以cos/=

2bc2bc3c3b-73c3b

当且仅轻=条即心辰时等号成立，所以c°s4的最小值为竽.

故答案为：3；芋.

根据余弦定理即可求解.

本题考查了余弦定理，属于中档题.

15.【答案】-1；5；

(-3,》

【解析】解：(1)复数Zi=3+mi,且Z](l-3i)=(3+mi)(l-3i)=3+3m+(m-9)i为纯虚数,

L。,即….

[Z1=3—i,可得z1—3i-3—4i,

则|zi-3i|=J32+(-4)2=5；

(2)复数Z2=Zi(a+i7)=(3-i)(a+i7)=3a-1-(3+a)i,在复平面内对应的点位于第三象限,

f3a-1<01

"(-(3+a)<O'解传_3<a<s-

••・实数a的取值范围为(-3,》

(1)利用复数代数形式的乘除运算及复数模的公式求解即可;

(2)由已知条件列出不等式组求解即可.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础

题.

16.【答案】5<2；

8

3；

,4>A4T-5/44..-4/415AA44.

(41，41)改(41，41),

【解析】解：(1)由已知，2N—3=(1,—7),所以=J12+(-7)2=5逅；

(2)由已知，a+c=(l,m—1),b=(3,5),

因为a+3)〃丸所以5-3(6-1)=0,解得爪=*

(3)由已知，a+b=(5,4),与2+3垂直的向量可取胃=(4,一5)或(一4,5),

d的单位向里为面=布4=(R-，b)或(b，b),

故与2+3垂直的单位向量的坐标为(察,宅箸)或(二察，察).

根据平面向量的线性运算和数量积坐标运算对各小题进行求解.

本题主要考查平面向量平行的坐标表示、平面向量数量积的运算，属于基础题.

17.【答案】52；1；127r.

【解析】解：(1)正四棱台上、下底面的边长分别为2、6,棱台高为3,

所以正四棱台力BCD-&B1GD1的体积为U=|x3x(22+62+V22x62)=52.

(2)设圆锥的底面半径为r,母线长为/,

由题意知2口=Til,

所以2=2r,

则圆锥的表面积S表=7ir2+1(2厂)2=当，

37r

Nf=z，即7=

37r42

所以2r=1.

(3)设球的半径的r,

因为棱长为2的正方体的所有顶点都在球的球面上，

所以2r=2，W,即r=C,

依题意圆柱的底面半径也是r,高是2r,

圆柱的体积V=nr2-2r=6v3兀，

球的表面积S=471T2=4兀x^=127r.

(1)根据棱台体积公式即可求出正四棱台的体积;

(2)设圆锥的底面半径为丁，母线长为1,根据侧面展开图是一个半圆，得到27r丁=山，再由圆锥的表面积为

;求解即可；

(3)按圆柱体积和球的表面积公式计算即可.

本题考查几何体体积与表面积的计算，属于中档题.

18.【答案】4=*

唱1).

【解析】解：(1)因为(b—a)(fo+a)=c(b—c),所以拉+c2—a2=be,

由余弦定理得cos力=?心装彩又46(。㈤，所以力与

(2)由余弦定理得M=b24-c2—2bccosA=22+32—2x2x3cos^=7,即a=1,

Q2+C2—庐_(T)2+32—22_2s

所以cosB=

2ac2xV_7x37

又点。是BC上的一点，且需=|，所以8。=乎,

2

在44BD中，由余弦定理得=BA2+BD2_2B4.BDcosB-3+(学>—2x3x学文学=嘿

即2D6/3

(3)设荏=m,A£=n,则瓦=n-m,\m\=c,\n\=b=1,所以m-n=1C,

AB•=m-(n—m)=

又△ABC是锐角三角形，所以，一一<2,

AC-BC=n•(n—m)=

所以CE=

又〈<c<2,所以/2<1,即苧WCE<1,即CE的取值范围是［¥，1).

Z4ZZ

(1)根据余弦定理即可求解；

(2)根据余弦定理即可求解；

(3)根据锐角三角形即可求解.

本题考查了解三角形，属于中档题.

19.【答案】3；

证明见解析;

16

T

【解析】解：(1)由同=|