几何图形中的最值问题（含隐圆）原卷版

模块二常见模型专练

专题32几何图形中的最值问题（含隐圆）

最值问题一阿氏圆问题

0氟题麴织

瓯（2020•广西・中考真题）如图，在RtABC中，A8=AC=4,点E,尸分别是AB,AC的中点，点P

是扇形AE尸的"上任意一点，连接BP,CP,则《BP+CP的最小值是.

雨（2019•山东・统考中考真题）如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A,

C两点，抛物线y=x?+bx+c经过A,C两点，与x轴的另一交点为B

（1）求抛物线解析式及B点坐标；

（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时，四边形AMBC

面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

（3）如图2,若P点是半径为2的。B上一动点，连接PC、PA,当点P运动到某一位置时，PC+^PA的

值最小，请求出这个最小值，并说明理由.

胆命题自限

模型建立：已知平面上两点4B,则所有符合空=%（%>0且4大1）的点户会组成一个圆.这个结论最先

PB

由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.

阿氏圆基本解法：构造三角形相似.

模型解读：

如图1所示，Q0的半径为「，点4B都在。0外，P为。。上的动点，已知r=k-OB.连接PA、PB,

则当“PA+k・PR'的值最小时，尸点的位置如何确定？

1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接0B-,

2：计算连接线段如长度；

3：计算两线段长度的比值其=k;

4：在必上截取一点a使得出=竺构建母子型相似：

OP0B

5：连接/C,与圆0交点为尺即4C线段长为以+伊阳的最小值.

本题的关键在于如何确定“4♦时的大小，（如图2）在线段如上截取勿使OC=k-r,则可说明△加。

与丛PCO相似，即k-PB=PG.

二本题求“PA+k-PB'的最小值转化为求“PA+PC的最小值，即4P、。三点共线时最小（如图3）,

时力。线段长即所求最小值.

勒留盅硼演

【变式1］（2022•全国•九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4,OB的半径为2,点P是。B

上的一个动点，则PD-1-PC的最大值为.

【变式2］（2022•全国•九年级专题练习）如图，在△ABC中，ZACB=90°,BC=12,AC=9,以点C为圆心,

6为半径的圆上有一个动点D连接AZXBD、CD,则2AD+33D的最小值是.

【变式3】（2022秋・浙江•九年级专题练习）如图所示，ZACB=60°,半径为2的圆。内切于—ACB.尸为

圆。上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于/ACB的两边，垂足为M、N,则PM+2/W的取值范围

【变式4］（2021.全国・九年级专题练习）如图1,在RTAA2C中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,圆C的

半径为2,点尸为圆上一动点，连接AP,BP,求：

'B(c/B

@AP+-BP,

2

@1AP+BP,

^^AP+BP,

④AP+3B尸的最小直

最值问题二胡不归问题

0凰题酒况

瓯|（2022.内蒙古鄂尔多斯.统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC=4,ZCAB=30°,AD±BC,

垂足为。，尸为线段AD上的一动点，连接尸8、PC.则B4+2PB的最小值为.

亟（2022•广西梧州・统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-gx-4分别与尤，y轴交于

点A,B,抛物线y=3了2+云+<?恰好经过这两点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点C的坐标是(0,6),将△ACO绕着点C逆时针旋转90。得到AECF，点4的对应点是点E.

①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；

_3

②若点尸是y轴上的任一点，求+E尸取最小值时，点P的坐标.

©命题内限

“PA+k-PB”型的最值问题，当k=l时通常为轴对称之最短路径问题，而当k>0时，若以常规的轴对称的

方式解决，则无法进行，因此必须转换思路.

1.当点P在直线上

如图，直线BM,BN交于点B,P为BM上的动点，点A在射线BM,BN同侧，已知sin/MBN=k.

过点A作ACLBN于点C,交BM于点P,此时PA+kPB取最小值，最小值即为AC的长.

证明如图，在BM上任取一点Q,连结AQ,作QDLBN于点D.

由sin/MBN=k,可得QD=k-QB.

所以QA+k-QB=QA+QDNAC,即得证.

2.当点P在圆上

如图，0O的半径为r,点A,B都在。O外，P为。O上的动点，已知r=k-OB.

在OB上取一点C,使得OC=k-r,连结AC交。O于点P,此时PA+kPB取最小值，最小值即为AC的

长.

证明如图，在。O上任取一点Q,连结AQ,BQ,连结CQ,OQ.

贝1JOC=k-OQ,OQ=k-OB.

而/COQ=NQOB,所以△COQS/\QOB,

所以QC=k-QB.

所以QA+k-QB=QA+QC>AC,即得证.

【变式1］（2022.湖北武汉.校联考一模）如图，在"CE中，CA=CE,场=30。，半径为5的。经过

点C,CE是圆。的切线，且圆的直径A8在线段AE上，设点。是线段AC上任意一点（不含端点），则

OD+^CD的最小值为.

【变式2］（2022秋・浙江•九年级专题练习）如图，正方形ABC。的边长为4,点E为边上一个动点，点

厂在边CD上，且线段£尸=4,点G为线段取的中点，连接BG、CG,则BG+gCG的最小值为.

【变式3】（2021春・全国•九年级专题练习）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点尸，且3尸=及.连

接CP,将线段PC绕点P逆时针旋转90。得到线段PQ.连接C。、DQ,则《D0+C。的最小值为一.

AD

【变式4](2021秋.四川达州•九年级达州市第一中学校校考期中)如图，矩形Q4BC的顶点A、C分别在工、

y轴的正半轴上，点8的坐标为(26,4),一次函数y=-*x+6的图象与边OC、AB,》轴分别交于点。、

E、F,NDFO=30,并且满足OD=8E,点M是线段DF上的一个动点.

(1)求6的值；

(2)连接ON,若AOZW的面积与四边形的面积之比为1:3,求点M的坐标；

(3)求/的最小值.

最值问题三隐圆问题

瓯(2022•山东泰安・统考中考真题)如图，四边形ABC。为矩形，AB=3,BC=4.点尸是线段8C上

一动点，点M为线段AP上一点.ZADM=ZBAP,则8M的最小值为()

A.—B.—C.Vo—D.^/13—2

252

距(2021・湖北十堰•中考真题)如图，四边形ABCD是正方形，A4BE是等边三角形，M为对角线(不

含B点)上任意一点，将绕点3逆时针旋转60。得到8N,连接EN、AM.CM.

(1)求证：AAWBsAEA®；

(2)①当”点在何处时，40+CM的值最小；

②当/点在何处时，AM+EW+CN的值最小，并说明理由;

(3)当AM+90+。欣的最小值为6+1时，求正方形的边长.

【模型二：动点到定点定长】

牢记口诀：

定点定长走圆周，定线定角跑双弧。

直角必有外接圆，对角互补也共圆。

勤曾就硼绕

【变式1】（2022秋.江苏泰州.八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）△A3C中，AB=AC=5,BC=6,

。是的中点，E为A5上一动点，点3关于OE的对称点E在△ABC内（不含△ABC的边上），贝IjBE长

的范围为

BDC

【变式2](2022.全国.九年级专题练习)如图，点A,2的坐标分别为A(6,0)，8(0,6),C为坐标平面内一点,

BC=2&M为线段AC的中点，连接。暇，当。加取最大值时，点M的坐标为.

【变式3】(2022秋•九年级课时练习)如图，在矩形A5CD中，AB=6,BC=8,点E、F分别是边AB、BC

上的动点，且EF=4,点G是E尸的中点，AG,CG,则四边形AGCD面积的最小值为.

【变式4】(2022秋•山东荷泽・九年级校考阶段练习)如图①，在等腰RtABC和等腰MBDE中,

ZBAC=ZBDE=90。,AB^AC,BD=DE,E为BC的中点，/为CE的中点，连接AF,DF,AD.

图①图②图③

(1)若AB=4,求AD的长度;

(2)若将绕点8旋转到如图②所示的位置，请证明AF=D尸，AFYDF■,

(3)如图③，在绕点8旋转的过程中，再将△ACf'绕点A逆时针旋转60。到1fAe尸，连接班"，若

AB^4,请直接写出防'的最大值.

最值问题四将军饮马问题

0

瓯（2020•江苏南通•统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=2,ZABC=6Q°,ZACB=45°,。是BC

的中点，直线/经过点£>,AELl,BF±l,垂足分别为E,F,则AE+BP的最大值为（）

C.2百D.3夜

地（2020•山东泰安・中考真题）如图，点A,B的坐标分别为42,0）,3（0,2）,点C为坐标平面内一点，8C=1,

点M为线段AC的中点，连接OM,则OM的最大值为（）

A.y/2+1B.V2+—C.2V2+1D.2A/2——

亟（2021・青海・统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8,点M在。C上且。M=2,N是AC上

的一动点，则DN+MN的最小值是.

R

命题西破

模型1：当两定点46在直线/异侧时，在直线/上找一点儿使外+阳最小.

B

连接前交直线/于点只点尸即为所求作的点.以+阳的最小值为

模型2：当两定点48在直线/同侧时，在直线/上找一点只使得外+户8最小.

B

.4

作点8关于直线/的对称点夕，连接四'交直线/于点只点夕即为所求作的点.以+阳的最小值为熊’

模型3：当两定点46在直线/同侧时，在直线/上找一点儿使得|尸4-尸耳最大.

连接48并延长交直线/于点P,点、户即为所求作的点，-PB\的最大值为AB

模型4：当两定点46在直线/异侧时，在直线/上找一点儿使得|尸4-2叫最大.

作点B关于直线/的对称点B',连接AB'并延长交直线/于点8点P即为所求作的点.|PA-P4的最大

值为AB'

模型5：当两定点48在直线/同侧时，在直线/上找一点匕使得旧-尸用最小.

连接眼作熊的垂直平分线交直线/于点只点夕即为所求作的点.目的最小值为0

模型6：点户在N478内部，在08边上找点。，勿边上找点C,使得△户周长最小.

分别作点户关于以、阳的对称点P‘、F",连接"'P',交0A、比于点C、。，点C、。即为所求.XPCD

周长的最小值为户'7

模型7：点户在N/1g内部，在08边上找点。，力边上找点C,使得外+3最小.

作点户关于仍的对称点“，过P'作P'C,勿交必，及?+切的最小值为户'C

串观巾硼演

【变式1］（2022秋•黑龙江佳木斯・九年级抚远市第三中学校考期末）如图，抛物线y=f-4x+3与x轴分

别交于A,8两点（点A在点8的左侧），与>轴交于点C,在其对称轴上有一动点M,连接M4,MC,AC,

则AVt4c周长的最小值是.

【变式2］（2022秋・安徽滁州•八年级校联考期中）如图，直线>=尤+4与x轴，了轴分别交于A和B,点C、

。分别为线段A3、OB的中点，尸为。4上一动点，当尸C+PD的值最小时，点尸的坐标为.

【变式3】（2022秋・全国•八年级专题练习）如图，点P是—AO3内任意一点，OP=3cm,点M和点N分

别是射线。4和射线08上的动点，ZAOB=30°,贝周长的最小值是.

【变式4］（2023秋•内蒙古通辽•九年级校考期中）如图，抛物线y=Y+6x+c与无轴交于A（-l,0）,3（3,0）两

（1）求该抛物线的解析式；

⑵观察函数图象，直接写出当x取何值时，y>0?

（3）设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小？

若存在，求出。点的坐标；若不存在，请说明理由.

最值问题五费马点问题

瓯（2019・湖北武汉・统考中考真题）问题背景：如图，将AABC绕点A逆时针旋转60。得到AADE,DE

与2。交于点尸，可推出结论：PA+PC=PE

问题解决：如图，在AM7VG中，MN=6,ZM=75°,MG=4后.点。是AMVG内一点，则点。到AM2VG

三个顶点的距离和的最小值是

模型解读：

△APC^AAQE,且△APQ为等边三角形,

.,.PC=QE,AP=PQ

.■.AP+BP+CP=BP+PQ+QE

当B、P、Q、E共线时,AP+BP+CP和最小

,曾巾硼演

【变式4（2021秋•四川成都•九年级成都实外校考阶段练习）如图，在sABC中，ZCAB=9Q°,AB=AC=1,

尸是ABC内一点，求丛+PB+PC的最小值为.

【变式2】（2022•广东广州•一模）如图，在氏柩ABC中，ZBAC=9Q°,AB=AC,点尸是AB边上一动点，作

尸。，BC于点。，线段AD上存在一点Q,当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，贝U尸£>=.

【变式3】（2022秋•全国•九年级专题练习）如图，已知矩形ABC。，^B=^,BC=6,点M为矩形内一点,

点E为BC边上任意一点,则MA+MD+ME的最小值为.

【变式4］（2022春・全国•九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4,点尸是正方形内部一点，求

产4+2P3+回C的最小值.

【培优练习】

1.（2022秋•重庆沙坪坝•八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）如图，E为正方形ABCD边AD上一点,

AE=1,DE=3,P为对角线上一个动点，则F4+PE的最小值为（）

A.5B.40C.2^/10D.10

2.（2022秋・浙江•九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数丁=-f+法+3的图像与x轴交

于A、C两点，与x轴交于点C（3,0）,若尸是x轴上一动点，点D的坐标为（0,-1）,连接PD,则应PD+PC

的最小值是（）

斗

BY\

7FT

A.4B.2+2五C.2比-D.

23

3.（2022・河南•校联考三模）如图1,正方形ABCD中,点E是BC的中点，点尸是对角线AC上的一个动点，

设AP=x,PB+PE=y,当点尸从A向点C运动时，y与尤的函数关系如图2所示，其中点M是函数图象

的最低点，则点〃的坐标是（）

图11图2

A.（472,375）B.（2V2,3A/5）C.（3,5,272）D.（375,472）

4.（2022秋・河北邢台•九年级统考期末）如图，O的半径是指，尸是：。上一动点，A是：。内部一点,

且AO=g,则下列说法正确的是（）

①心的最小值为V6-V3；②心的最大值为指+6；③当ZOAP=90°时,AB4。是等腰直角三角形;@/\PAO

3

面积最大为

A.①③④B.①②④C.①②③D.②③④

5.（2022春•九年级单元测试）如图，在RfABC和RfVADE中，ZBAC=ZDAE=90°,AC=AD=3,

AB=AE=5.连接BD,CE,将△ADE绕点A旋转一周，在旋转的过程中当/DBA最大时，zSACE的面积为

（）.

A.6B.672C.9D.90

一

6.（2022.福建厦门.福建省厦门集美中学校考一模）如图，在平面0直角坐标系中，直线y=31x-3分别与x

轴、y轴相交于点A、B,点、E、尸分别是正方形。4CD的边。£＞、AC上的动点，且=过原点。作

OHVEF,垂足为“，连接HA、HB,贝面积的最大值为（）

I1c

B

13+50

A.6+5近B.12C.6+3收

2­

7.（2022•山东济南・统考一模）正方形ABCD中，AB=4,点E、尸分别是C。、8C边上的动点，且始终满足

DE=CF,DF,AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角AA8G使得NAHG=90。，连接皮/.则引/

的最小值为（）

A.275-2B.2A/5+2C.710-72D.Jl0+V2

8.（2022・安徽蚌埠•统考一模）如图，Rt^ABC中，AB1BC,AB=8,BC=6,尸是；ABC内部的一个

动点，满足NPAB=/PBC,则线段CP长的最小值为（）

32

C.2屈-6D.2713-4

T

9.（2022秋・浙江•九年级专题练习）如图，在。中，点A、点B在O上，ZAOB=90°,。4=6,点C在

Q4上，且OC=2AC,点。是。3的中点，点M是劣弧48上的动点，则CM+2O0的最小值为

10.（2022秋・浙江•九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，AQ4）,8（4,0）,尸是第一象限内一

动点，OP=2,连接"、BP,则8尸+；4尸的最小值是.

11.（2022秋・浙江•九年级专题练习）如图，口A3co中ZA=60。，AB=6,AD=2,P为边CO上一点,

则也PD+2PB的最小值为.

12.（2022秋•九年级课时练习）在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、

A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为收：1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标

准矩形"ABCD中，如图所示，点。在0c上，且。。=4。，若G为BC边上一动点，当A4G。的周长最小

时，则里的值为.

13.（2022•广东汕头•统考一模）如图，在AABC中，ZC=90°,AC=8,AB=10,。是AC上一点，且CD

=3,E是2C边上一点，将AOCE沿。E折叠，使点C落在点尸处，连接2R则的最小值为.

14.（2022春•山东枣庄•九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的边长为6,ZABC=120",M是BC边

的一个三等分点，尸是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，的长是.

15.（2022秋•新疆乌鲁木齐•九年级乌鲁木齐市第九中学校考期中）如图，在AACE中，CA=CE,ZCAE

=30°,半径为5的。O经过点C,CE是圆。的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点。是线段AC上

任意一点（不含端点），则的最小值为.

16.（2022・全国•九年级专题练习）如图，已知,ABC,外心为0,BC=18,ZBAC=G0°,分别以AB,AC

为腰向形外作等腰直角三角形与"8,连接BE,CD交于点P,则。尸的最小值是.

O

B

17.(2022秋・江西上饶•八年级统考阶段练习)在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，其中

A(-M),8(4,3),C(4,T)处各有一颗棋子.

图1图2

⑴如图1,依次连接A,B,C,A,得到一个等腰三角形(BC为底边)，请在图中画出该图形的对称轴.

⑵如图2,现x轴上有两颗棋子尸，。，且PQ=1(P在。的左边)，依次连接A,尸，Q,B,使得AP+PQ+Q8

的长度最短，请在图2中标出棋子P,。的位置，并写出P,。的坐标.

18.(2022・四川成都•四川省成都市七中育才学校校考模拟预测)抛物线丫=依2+区+6分别交无轴于点

A(l,0),B(-3,0),交y轴于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于点D,点M为线段OC上的动点，点N为

线段AC上的动点，且MNLAC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)线段MN,NC在数量上有何关系，请写出你的理由；

(3)在N移动的过程中，是否有最小值，如果有，请写出理由.

19.(2022秋•辽宁营口•九年级校联考期中)如图1,ABC与△AEF都是等边三角形，边长分别为4和石,

⑴求证：ACFmABE；

(2)将尸绕点A旋转，当点E在AD上时，如图2,所与AC交于点G,连接NG,求线段NG的长;

(3)连接3N,在△AEF绕点A旋转过程中，求BN的最大值.

20.(2022春・吉林松原•八年级统考期中)教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内

容.

如图1925,在菱形W3C。中，NB3

2N3试求出NB的大小，并说明赍等边

三角形.

图③

⑴问题解决：请结合图①，写出例1的完整解答过程.

(2)问题探究：在菱形ABC。中，对角线AC、比＞相交于点O,AB=4,ZBAD=2ZABC.过点D作D£〃AC

交BC的延长线于点E.如图②，连结OE,则OE的长为.

(3)如图③，若点尸是对角线8。上的一个动点，连结尸C、PE,则PC+PE的最小值为.

=45°,/ECH=90°,连接AE.

图1图2图3

(1)如图1,若点E在CB延长线