江苏省某中学2024-2025学年高二年级下册期中考试 数学试卷（含解析）

江苏省祁江中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学

试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1.90x91x……xlOO可表示为（）

；：。

A.AB.A]Q0C.A[Q0D.A]OO

2.如图，四棱锥尸-ABCD的底面是平行四边形，若赤=N，DC=bDP=cE

是PC的中点，则屉=()

4B

-1Z：1-

A.--a--b+-cB.-a——b+—c

22222

1^11-1r1-

C.-QH—bH—cD.——a——b——c

22222

则与所成角为

3.直三棱柱ABC—4AG中，AB=AC=AAi9AB1AC,Ag

()

A.30°B.45°C.60°D.120°

4.如图是函数y=/(%)的导函数y=/'(x)的图象，下列结论正确的是（）

八人

-2/-1012x

A.y=在x=-l处取得极大值B.X=1是函数y=/（x）的极值点

C.x=-2是函数y=的极小值点D.函数y=在区间（-M）上单调递减

5.高一(1)班某组有5人，组长安排值日生,其中1人负责擦黑板，2人负责教

室内地面卫生，2人负责卫生区卫生，则不同的安排方法有()

A.20种B.30种C.90种D.120种

6.若函数/（x）=女-依?+（2。2-4b-3在x=2处取得极小值，则实数。=()

A.-2B.2C.2或0D.0

7.己知卜-京J的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（）

A.展开式所有项的系数和为严B.展开式二项式系数最大为CA

C.展开式中没有常数项D.展开式中有理项共有5项

8.若过点。,加）可以作y=的三条切线，则实数机的取值范围是（）

A.（Ye：。）B.（-5e-2,0）C.（一5/同D.（0,e）

二、多选题（本大题共3小题）

9.已知如“eN*且〃之〃?，则下列结论正确的是（）

A.A；=C：A；B.若C：；：=21,则”=6

C.C：+1=€：-■+€：D.C"（〃+l）C：

10.已知正方体ABC。-ABCQ的棱长为1,点E,尸分别为B用，CO的中点，则

下列说法正确的是（）

A.2尸，平面ADE

B.8。与平面所成角的余弦值为走

3

C.二面角的正弦值为:

D.点5到平面4c2的距离为且

3

11.己知函数/（x）=e2-a/（。为常数），则下列结论正确的是（）

A.当。=1时，小）在（0）（0））处的切线方程为2x-y+l=0

B.若了⑺有3个零点，则。的取值范围为（乙+8）

C.当a=/时，尤=1是/（尤）的极大值点

D.当4=5时，/（%）有唯一零点工0，且—1<%（）<—5

三、填空题（本大题共3小题）

12.已知空间中有三点A（3,2,0）,3（3,2,2）,C（3,0,1）,则A到直线5c的距离为

13.已知（6+与厂的展开式的二项式系数和为64,各项系数和为729,则实数。的

值为.

2

14.己知函数/(Malnx+0-l,若g(x)=gflnifS。)有三个零点

占二2，鼻，其中玉＜%＜当，则实数。的取值范围为

四、解答题(本大题共5小题)

15.已知C：=C：(“eN),(2x—1)"=a。+'(x—l)+。式*_1)-H--na“(x—1)",求：

(1)/+%+&+…+a”的值；

(2)%+2a2+3a3+L+nan的值.

16.为庆祝党的二十大胜利闭幕，某校高二级部组织全体同学进行了主题为“二十

大精神进校园，培根铸魂育新人”的二十大知识竞赛，并选出了4名女生和3名男

生共7名优胜者.赛后，7名同学站成一排，照相留念.

(1)女生必须站在一起的站队方式有多少种？(用数字作答)

(2)现在要求这7名同学分成三个宣讲小组分别去给高一、高二、高三三个年级的

同学做二十大学习成果汇报，要求每个小组必须既有男生又有女生，问有多少种安

排方案？(用数字作答)

(3)男生甲不与其他男生相邻的站队方式有多少种？(用数字作答)

17.已知函数/(x)=lnex+@,aeR.

(1)若a=2e,求在x=e处的切线方程；

⑵当ae(-8足]时，函数在口,岛上的最小值为3,求实数。的值.

18.如图，在VABC中，AC_L3C,AC=BC=2,O是AC中点，区厂分别是3ABe边

上的动点，且E尸〃AC,将与所沿EF折起，将点8折至点尸的位置，得到四棱

锥P-ACFE.

⑵若BE=2AE,二面角尸-跖-C是直二面角，求线段AP中点M到平面PEC的距

离；

(3)当阳，AE时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围.

19.已知a,6eR,函数/'(无)=e*-a石一法，%e[0,+co).

⑴当a=0时，求〃尤)的极值；

(2)若存在零点.

(i)当。=0时，求。的取值范围;

(ii)求证：a1+b2>2.

参考答案

1.【答案】B

【分析】根据排列数公式判断.

【详解】90x91x……xlOO=A；g0.

故选B.

2.【答案】B

【详解】E是PC的中点，

BE=BA+AD+DP+PE=-DC-DA+DP+-(DC-DP}=--DC-DA+-DP

2、'22

-1丁1-

=-a——b+—c.

22

故选B.

3.【答案】C

【详解】根据题意，以A为原点，以A3为x轴，以AC为了轴，以AA为z轴，建立

空间直角坐标系，如图所示，令A3=AC=AA]=2,

则4(0,0,0),4(2,0,2),5(2,0,0),C(0,2,0),所以鬲=(2,0,2),BC=(-2,2,0),

ABiBC

设A片与3c所成角为凡贝I]HI所以A片与所成角为

ABA-\BC瓜.瓜2

60°.

故选C.

4.【答案】C

【详解】由图象可知：当x<-2时，/'(x)<0J(x)单调递减，当X2-2时,

⑺单调递增,

故x=-2是函数、=〃尤)的极小值点，y=〃x)无极大值.

故选C.

5.【答案】B

【详解】由题意，从5人中选出1人擦黑板，有C=5种选法，

从剩余的4人中选出2人负责教室内地面卫生，有C：=6种选法，

从剩余的2人中选出2人负责卫生区卫生，有C；=l种选法，

由分步计数原理，可得不同的安排方法有5x6x1=30种安排方法.

故选B.

6.【答案】D

【详解］由尸(力=9_2依+2。2_4,贝U-(2)=2/_44=0,得。=0或2,

a=2时，/(X)=X2-4X+4=(X-2)2>0,/(无)在R上单调递增，不满足；

a=0时，/r(%)=%2—4,在(―co,—2),(2,+8)上/>'(x)>0,在(-2⑵上尸(x)<0,

所以了(尤)在(-8,-2),(2,—)上单调递增，在(-2,2)上单调递减，满足题设，

所以a=0.

故选D.

7.【答案】D

【详解】因为〃+1=13,所以〃=12,令x=l,得所有项的系数和为0,故A错误.

由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项的二项式系数为C1故B

错误.

因为［一展开式的通项为j=C.(尤广Jr］=(T)'-C,x*)

4

当12-丁=0时，r=9,故C错误.

4

当12-4厂为整数时，r=0,3,6,9,12,共有5项，故D正确.

故选D.

8.【答案】B

【详解】依题意，设切点坐标为。,汨)，由广北，求导得y，=(尤+l)e)

则函数y=xe、的图象在点小汨)处的切线方程为y-汨=(t+1)e'(x-).

由切线过点(1,根)，得m=tet+(r+l)e,(l-t)=(-r+f+l)et.

令g⑺=(-产+/+1)巴依题意，直线y=〃?与函数y=g⑺的图象有3个公共点.

g'(f)=(_产T+2)e，=-(/+2)(/-l)e，,

当t<-2或r>l时，g'«)<0,函数g⑺在(-8,-2),(1,+力)上单调递减；

当-2<f<I时,g'⑺>0,则函数g(。在(-2,1)上单调递增；

当f=-2时，函数g⑺取得极小值g(-2)=-5e-2,

当f=l时,函数g⑺取得极大值g(l)=e,

且当/<—2时，恒有g⑺<0.又rfg⑺一―孙

如图，作出函数g⑺的大致图象，

由形可知，当-5e-z<〃2<0时，直线丁=加与函数y=g（。的图象有3个公共点,

所以实数力的取值范围是（-5e-2,0）.

故选B.

9.【答案】ABC

【详解】因为相，“eN*且〃、〃?，

对于选项A：由排列与组合的含义可以推出，故A正确；

“1+n（n+l）

对于选项B：因为

整理得+〃-42=0,解得〃=6或〃=—7（舍去），故B正确；

.rjInI

对于选项c：因为C；+C：=GE迹+菽记研

一_____11_____（根+〃一机+1）__5+1）!__cm

—/\Ifillfl1I-/,一.

机!x（"-“？+l）!〃z!x（"—机+1）!

即cti=c;i+c;,故C正确；

对于选项D：例如〃?=72=1,贝I]C：[=C；=1，5+1）C；=2C：=2,

可知C方N（“+1）C；,故D错误；

故选ABC.

10.【答案】ABD

【分析】建立空间直角坐标系，利用数量积为0得线线垂直，根据线面垂直的判定

定理证明，判断A正确；求出平面AGD的法向量，利用线面角的向量公式求解，

判断B正确；利用二面角的定义作出二面角的平面角，利用余弦定理及同角三角

函数关系求解，判断C错误；利用等体积法求点面距离，判断D正确.

【详解】对于AB,以ZM,£>C,OR为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图：

正方体的边长为i,r»(o,o,o),o(o,o,i),q(0,1,1),B(I,I,O),

A(I,O,O),

所以*=DA=(l,0,0),DE=h,l,1

因为麻•次=0xl+；x0+(-l)x0=0,所以即，次，即。FLOA,

因为麻•历=0xl+；xl+(-l)x；=0,所以印上丽,即0月，。E,

又DAcDE=D,ZM,£»Eu平面ADE,所以口/，平面ADE,故A正确；

设平面ACQ的一个法向量为为=(x,y,z),因=(0,1,1),西=(1,0,1),

则｛—.,即｛_,不妨令光=1,得y=l,z=-1,故为=(1』,一1),

\n-D\=0[x+z=0

又因为丽=(1,1,0),

设直线应＞与平面AG。所成角为，，则

./小一丽"L2_76

\/\DB\-\H\73X723

所以3D与平面4G。所成角的余弦值为J1-当=*,故B正确;

对于C,如图:

连接AC,80交于。，连接A。,G。,AG,AAGA\B,C}B,

因为怛。|=|4£|=|4。同。倒=|4却=《却=血，。为5。的中点,

所以AO，a),Cfl^BD,4Ou平面A]BD,C0u平面C#。，

所以N&9G是二面角A-5。-G的平面角，

又|AO|=|GO|二

+CZ4OC」AO『+|CQ2TAC|23-21

2x-3,

2

所以二面角A-BO-G的正弦值为，一J：=乎，故c错误;

对于D,如图:

设点8到平面BXCD,的距离为d,因为|4R|=国。==&,

所以Ssoc=-xV2xV2x^=^,5B„c=lxlxl=l,

△的c222422

因为%—B1coi=VDBB1c，所以LXXd=—x—xl,

3232

所以d=且，即点8到平面旦CR的距离为走，D正确.

33

故选ABD.

11.【答案】ABD

【详解】对于A中，当。=1时，可得/(x)=e2=/,则

/(0)=1,/'(x)=2e21-2x,/'(0)=2,所以切线为2x-y+1=0,A正确：

对于B中，若函数/(x)=e2，_/有3个零点，即e2，=加有三个解,

其中x=0时，显然不是方程的根，

当xwO时，转化为g(尤)=彳与>的图像有3个交点，

又由g'(尤)=2~产，无=2e2%/),

令g'(无)>。，解得x<0或无>1；令g'(x)<0,解得Ovx<l,

所以函数g(x)在(-叫0),(1,+«>)上单调递增，在(0,1)上单调递减；

所以当x=l时，函数g(尤)取得极小值，极小值为g(l)=e2,

又由x.0时，g(x)f+8,当X--00时，g(x)-0且g(x)>0,

所以a>e2,即实数。的取值范围为伫,+e),所以B正确：

对于C中，当a=e?时，/(x)=e2l-eV,可得((司=2+-23=2卜2。62.，

令g(x)=e?xTx,g，(x)=2e2r-e2在R上单调递增，

且短(0)=2-62〈0送［1)=62)0,所以存在与«0,1)使得/(%)=0,

所以在(ro,%)上g'(x)<。，g(x)单调递减，

在(七,小)上g<x)>0,g(x)单调递增,又g(l)=O,

所以在(%1)上g(x)<0,即［(无)<0,〃尤)单调递减，

在。,+8)上g(x)>o,即ra)>o,单调递增,

所以x=l是"X)的极小值点，所以C错误.

对于D中，当a=g时，r(x)=2e2A-x=2p^-1x^

设以无)=e2x--x,可得h'(x)=2e2x--,

22

当x<lng时，砥尤)<0,%(尤)在，单调递减；当x>ln；时，砥尤)>0,//(尤)在

［in；,单调递增，

所以当x=ln；时,=Ing21/1111

h(x\.=e2——In—=—+—ln2>0,所以/i(x)>0,

\/min2242

所以/'(x)>0,所以函数〃x)在R上单调递增,

又因为/(-I)=e-2-1/o,/U|ke-'-Mo,即0,

所以•/'(尤)有唯一零点%且T<x()<-g,所以D正确；

故选：ABD.

1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求

解；

2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范

围；

3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很

少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离

不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区

别.

【详解】由题设荏=(0,0,2),函=(0,2,1),则A到直线的距离

ABCB.L,2475

研t22

J\CB\VV55

13.【答案】T或2

【详解】由(依+±)"的展开式的二项式系数和为64,得2"=64,解得〃=6,

由(以+勺)6的展开式的各项系数和为729,得(“+1)6=729,解得。=-4或。=2,

X

所以实数a的值为-4或2.

14.【答案】(0,1)

【详解】函数〃尤)=alnx-±4定义域为(0,+到，

X+1

g(x)=(%2-l)(4zlnx-^^)=(x2-l)f(x),

x+1

由gW有三个零点，而g⑴=0,/(1)=0,得/(X)除1外还有两个零点，

求导得了‘(X)--------7=+Q"+",令力(%)=ax2+(2a-2)x+tz,x>0,

x(x+1)x(x+1)

当。<0时，〃(x)<0,f'(x)<0,函数/(无)在(0,+8)上单调递减，“X)最多1个零

点，不符合题意；

当a>0时，要/(无)除1外还有两个零点，则“X)不单调，

函数/z(x)存在两个变号零点，则A=(2a-2)2-4a2>0,解得

12

当0<。<一时，令加»的两个零点为加，n(m<n),贝|帆+几=一一2>0,mn=l,

2a

0<m<l<n,当％w(0,机)u(〃,+oo)时，h(x)>0,f\x)>0,

则/(x)在(0,㈤,(〃,收)上单调递增；

当%£(%,〃)时，/?(%)<0,f\x)<0,则/(九)在(丸〃)上单调递减；

-Apa—iopa

由/(D=。，得/(M)>0,/W<0,而/(ea)=—1—=—^^<o,

e°ea+1

\_

.-ea-12_1i

fl

/(e")=lj=—；>0,因此存在王£(e机)，x3G(n,e)»

e"+lea+1

使得/a)=/a)=。，

从而函数g(x)=。(兀2—l)lnx-(x—l)2(a。0)有3个零点/，刈=1，W，

所以实数。的取值范围为(。,;).

15.【答案】(1)31

(2)2-310.

【详解】(1)由C：=C：,得"=9,则

(2x_1)9=a。+a[(x—1)+%(x—+,,，+%(尤—1)9，

9

取x=2,BPx—1-l,得4+4+%---Ha9=3.

(2)对(2x—I)9=%+a](x—1)+%(x—1)-+…+。式无一1)9两导，

得9(2x—I)'•2=a】+2a。(x—1)+3a3(尤—1)~+…+9a式彳—I)8,

取x=2,a[+2a2+3a3+L+9a9=18,3*=2,3'°.

16.【答案】⑴576

(2)216

(3)2400

【详解】(1)女生必须站在一起，先将四个女生看成一个整体，再与其他三个男

生排列，

则有A：A：=576种站队方式.

(2)先将4名女生分到三个年级，有C：A；种，再将3个男生分到三个年级，有A；

种，

所以共有C；A；A；=216种.

(3)若甲站在两端，则甲有2种站法，再选一名女生与甲相邻，有4种选法，

再排其他人，有A；排法，则甲站在两端有2x4A；=960种；

若甲不站两端，则可先在甲两边分别安排一名女生，有A：种选法，

再将这三个人看成一个整体与其他人排列，有A；种排法，则甲不站两端有

A；A；=1440种,

所以男生甲不与其他男生相邻的站队方式有960+1440=2400种.

17.【答案】(l)x+ey-5e=0；

(2)a=e.

2eI2e1

【详解】(1)当a=2e时，/(x)=l+lnx+—,求导得((x)=±-今，贝〃，(e)=」,

尤xxe

而/(e)=4,

所以函数/(x)在点(e,4)处切线方程为y-4=(x-e),即x+ey-5e=0.

e

(2)函数/(x)=lnex+@,aeR,求导得了'(元)=,g=三_，口口看］,

x尤尤x

当时，/V)>0,函数/(x)在口］］上单调递增，(1)=1+。=3,解得

。=2,矛盾，

当leave?时，由尸鱼)<0,得函数/⑺递减，由广。)>0,得

«<x<e2,函数/(元)递增，

因此/1(x)mM=/(a)=l+lna+l=3,解得a=e,从而a=e,

当a=e2时，/(x)<0,函数/(尤)在［Id］上单调递减，

/Wmin=/(e2)=lne3+4-=3+4-=3,解得。=0,矛盾，

ee

所以〃二e.

18.【答案】(1)证明见解析

⑵¥6

⑶(°山

【详解】(1)在四棱锥P-AEFC中，EF//AC,而ACu平面PAC,EF<z平面尸AC,

所以跳7/平面PAC

(2)由AC_L3C,EF//AC,得EFJ.BC,折叠后，在四棱锥尸—AEFC中，

EF±FC,EF±PF,

由二面角P-EF-C是直二面角，即平面PEF_L平面跖C,

平面PEPA平面片网鼻石尸，尸尸JLEEP尸u平面尸印，尸尸_L平面所C,

•/bu平面EFC,：.PF±CF

以FE*C,EP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

{2,|,0),心,。3，(。,副合,。,0"包,|),

定=卜»函=件等4两

24c

m-PC二—y——z=0

33

设平面PC石法向量为沅=(x,yz),则<

42c

m-CE=—x——y=0

33

令z=l,得身=(1,2,1),

PMx沆1ia

所求点面距为d=

|m|V66

(3)以直线C4和CB分别为羽丁轴，过。作平面ACFE的垂线为z轴，建立空间直

设尸(O,s,〃),尸(0/,0),。(一1,0,。),4(—2,0,。),石“一2工。),显然〃>0,

AE-PD=(―1,—s,—〃)，

AEPD=-t-st=09得出s=-1,则尸

则PE=(t-2,t+l,9

点尸与其在直线尸C上射影点及点尸围成以线段尸产为斜边的直角三角形,

则+。+1)2=(2_。2,即“2=3—6%,且2—%>/+1且t>0jBP0</<—,

平面A5C的法向量为为=(O,(M),设直线PE与平面ABC所成角为P,

,MH屉小/=一2二+]),'

则

sin2a=_______3-6/_______=3-6/=6(1-2/)=6(1_2。=_______6_______

(27)2+(/+1)2+3-6/2t2-8t+8(2?-4)2