微专题 6　切线与公切线问题

微专题6切线与公切线问题高考定位曲线的切线与公切线问题是高考考查的热点，一般单独考查，难度较小，也可与函数的单调性、极值、最值综合考查，难度较大.【真题体验】1.(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝eq\f(ex＋2sinx,1＋x2)，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)2.(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________.3.(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________.4.(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________.【热点突破】热点一曲线的切线导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.例1(1)过坐标原点作曲线y＝ex－2＋1的切线，则切线方程为()A.y＝x B.y＝2xC.y＝eq\f(1,e2)x D.y＝ex(2)(2024·兰州调研)已知过点(0，－1)且与曲线f(x)＝－x3＋eq\f(3a,2)x2－6x(x>0)相切的直线有且仅有两条，则实数a的取值范围是()A.(2，＋∞) B.(0，＋∞)C.(－∞，2) D.(－∞，0)________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________规律方法求过某点的切线方程时(不论这个点在不在曲线上，这个点都不一定是切点)，应先设切点的坐标，再根据切点的“一拖三”(切点的横坐标与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上)求切线方程.训练1(1)已知曲线y＝xlnx＋ae－x在点x＝1处的切线方程为2x－y＋b＝0，则b＝()A.－1 B.－2C.－3 D.0(2)(2024·泸州模拟)曲线f(x)＝eq\f(x－cosx,ex)在x＝0处的切线方程为________.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________热点二曲线的公切线导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养.考向1切点相同的公切线问题例2(1)(2024·济南质检)已知曲线y＝lnx与曲线y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))在交点(1，0)处有相同的切线，则a＝()A.1 B.eq\f(1,2)C.－eq\f(1,2) D.－1(2)已知曲线f(x)＝x2－2m，g(x)＝3lnx－x，若y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则m＝()A.－3 B.1C.2 D.5________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考向2切点不同的公切线问题例3(1)已知函数f(x)＝lnx与g(x)的图象关于直线y＝x对称，直线l与g(x)，h(x)＝ex＋1－1的图象均相切，则l的倾斜角为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(3π,4)________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2024·湖北名校联考)若直线x＋y＋m＝0是曲线f(x)＝x3＋nx－52与曲线g(x)＝x2－3lnx的公切线，则m－n＝()A.－30 B.－25C.26 D.28________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________规律方法求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.训练2(1)已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x－1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为()A.3 B.2C.1 D.0(2)已知曲线y＝alnx和曲线y＝x2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则直线l的方程为____________________.___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________