山西省运城市2024-2025学年高二数学下学期开学考试试题（含解析）

山西省运城市2024-2025学年高二数学下学期开学考试试题

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填

写在答题卡上.

2.回答第n卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

第倦

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是

符合题目要求的.

1.己知数列｛%｝的前，项和S"=/,则5m”5）"的值为（）

A.135B.145C.155D.165

5

2.中心在坐标原点，离心率为§的双曲线的焦点在了轴上，则它的渐近线方程为（）

444,3

y=+-xy=--xy=±-x

A.3B.3C.3D.4

3.等差数列｛%｝中，m,n,s,tGN*则/+〃=s+/是％;+%=4+%的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.直线x-yT=°将圆卜―2）+&-3）=8分成两段，这两段圆弧的弧长之比为（）

A.1：2B.1：3C.1：5D.3：5

a

5,已知数列｛“"｝中,%=2,当〃22时,%=2%+(〃-1)2〃，设“Fn,则数列也｝的通项公

式为（）

n2-n+2n2+n-l几2—2〃+3“2+2〃-2

A.2B.2C.2D.2

.设

6a=ln3,=V3In2,c=V^ln3,则。、b、。的大小关系是（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

1/28

2

Q：__py-J22

7.点尸在椭圆「2上，G的右焦点为尸，点。在圆c2：x+了+10x-8y+39=0上，则

|尸0H尸司的最小值为（）

A.2GB.C.CD.④

,y2

8.设双曲线0'/〃一"",°'>°）的左、右焦点分别为过坐标原点的直线与C交于48两点,

2

|J]B|=2\FrJ\,F2AF2B=4a则C的离心率为（）

A,血B.2C.出DN

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

~兀[[3兀）

0,1D-----,71

A.直线xsin&+y+2=0的倾斜角，的取值范围是14」[4；

B,“a=-1，，是“直线«2x-v+l=0与直线x-ay-2=0互相垂直，，的充要条件

C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

D.已知向量“=（9,4,-4）,'=（1,2,2）则£在B上的投影向量为022）

10.己知抛物线0：（P>0）的焦点尸到准线的距离为2,过尸的直线/交抛物线0于两点

A,B,贝U（）

A.0的准线方程为》=一2

B.若网=4,则网=收

C,若则/的斜率为一3

D.过点A作准线的垂线，垂足为"，若x轴平分/印/，则以四=4

11.如图，在直四棱柱4sC°—44G。]中，底面age。为菱形，/氏4°=60°,48=441=2,0为

CDQ=ADC+uDD,（2GTo,11,//£[0,11^

r°rG的中点，点Q满足上"'L，"L，〃则下列结论正确的是（）

2/28

A.若'+"3,则四面体&BPQ的体积为定值

B.若△480的外心为°,则4小4。为定值2

后兀

c.若4°=6，则点2的轨迹长度为4

_j_________

若4=1且"5,则存在点衣4%使得4E+EQ的最小值为79+2所

D.

第n卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

/（x）=lnx+-+x2

12.函数<2；的极大值点为.

13.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高

阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差会成等差数

列.在杨辉之后，对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”"，现有高阶等差数列，其前5项分别为

b4,10,20,35,则该数列的第6项为.

14.定义在R上的偶函数/（X）满足/（2—x）+/（x）=°,且当时，f（x）=8-l,则曲线

安/⑶在点I4（4刀处的切线方程为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/（"）=1nx+一+办+2在点（0（2））处的切线与直线2》+3y=（）垂直.

（1）求。；

（2）求/（X）的单调区间和极值.

16.如图，四棱柱ABCDCIA1B1C1D1中，侧棱AlA1底面ABCD,AB||DC,AB1AD,AD=CD=1,

3/28

AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.

(1)证明B1C11CE；

(2)求二面角BlJCEnCl的正弦值.

(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为6,求线段AM的长.

112〃eN*)

17.已知数列｛4｝的首项为2,前及项和为A

且anan+\^,,-1

(1)求“2的值;

(2)设"%+「%,求数列｛"｝的通项公式;

(3)求数列｛%)的通项公式.

18.已知'HE),8(2,0)为椭圆已/+/-1(”〉/?〉())的左、右顶点，且椭圆c过点I"

(1)求C的方程；

V

口AAEF

(2)过左焦点F的直线1交椭圆C于D,E两点(其中点D在x轴上方)，求$△8〃的取值范围.

f(x)=\wc-a\x--|((2eR)

19.已知函数I^

(1)讨论函数/(X)的单调性；

ex+m\x------lux>-----mmm

(2)当时，若I、J加恒成立，求实数加的取值范围.

4/28

高二年级（开学考试）数学试题答案

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填

写在答题卡上.

2.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

第倦

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是

符合题目要求的.

1,已知数列也J的前“项和3则的值为（）

A.135B.145C.155D.165

【答案】C

【解析】

【分析】利用凡与S"之间的关系即可求解.

33

【详解】由题意可知，ai=S|=F=l,a5=S5-S4=5-4=125-64=61；

—（＜2]+a5）x5=—（1+61）X5=155

所以22

故选：C.

5

2.中心在坐标原点，离心率为§的双曲线的焦点在〉轴上，则它的渐近线方程为（）

4443

尸士Ly=--^y=±^

A.3B.3C.3D.4

【答案】D

【解析】

「IA4

-------1b———a

【分析】设双曲线方程/b-，根据己知得到3，即可得到渐近线的方程.

《_二=1

【详解】由已知可设双曲线的标准方程为“b2（。〉0）〉0）,

C55入2_八2c2_1627_4

e=—=—c=—ab—c-a——ab——a

由己知可得a3,所以3,则9,所以3.

y=+—x=+—x

所以，双曲线的渐近线方程为‘b4.

故选：D.

3.等差数列｛""｝中，则阳+〃=s+/是4“+%=%+%的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据等差数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】由等差数列的性质知：机，〃，型eN*,加+〃=s+/时，成立，即充分性成立,

反之：等差数列｛""｝为常数列，册+""=4+"，对任意成立，即必要性不成立.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，判断〃是a的什么条件，需要从两方面分析：一是

由条件P能否推得条件九二是由条件0能否推得条件P.

4.直线x—y—l=。将圆（X—2）+"—3）=8分成两段，这两段圆弧的弧长之比为（）

A.1：2B.1：3C.1：5D.3：5

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知条件作出图形，利用圆的性质及点到直线的距离公式，结合弧长公式即可求解.

【详解】设直线与圆的两个交点为48,圆心为C,过点C作CD,48交于

如图所示

、几ZACD=a（0＜a＜兀）,

设v乙则ni

d—\CD\=

所以圆心到直线的距离为

\CD\_42_1

cosa=

\AC\~2^2~2

在Rt^ZCD中,

因为0＜。＜兀，

71

a--

所以3,

2兀

/ACB=2a=——

由圆的性质知，3,

当2兀271

=1:2

3I

所以两段圆弧的弧长之比等于两段弧所对圆心角的弧度数之比，等于

故选：A.

5.己知数列｛"/中,当时,%=2%T+(〃T>2"b,,则数列也｝的通项公

4=2,设~r

式为（）

+2+〃一1/-2〃+3“2+2〃-2

A,2B.22D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根据递推关系式得到"―进而利用累加法可求得结果.

【详解】：数列｛%｝中，/=2,当"22时,

aa1

^=T+〃一i

2"2"T

•・,b=-

n2〃

•,也_bz=n_l日4=1

3=(bn-bn_x)+(6„_I-b,”2)+L+(b2-b^+bx

=(">(〃―2)+...+1+1=(1纥("5+1=/72

故选：A.

6.设a=ln3,b=Gln2,c=V21n3,则0、b、c的大小关系是()

\a>b>cgb>c>a

Cc>a>b£)c>b>a

【答案】D

【解析】

/(x)-21nx

【分析】利用函数*X在(°'e)上的单调性可得到6、C的大小关系，利用对数函数的单调性

可得出。、的大小关系，即可得出结论.

/（X）=21nxf'（x）=2（lTnx）

【详解】构造函数％，其中x>0,贝|x2

当0<x<e时，/安）〉。，所以，函数/（x）在（°述）上单调递增,

21n正<21n百

因为0（应<G<e,则/~2卜/13）即小〈百，gpV31n2<V21n3；

所以，b〈c,

$«,_…ln3<-ln2<V31n2

因为3=243<256=2,故51n3<81n2,即5,即"6,

因此，c>b>a

故选：D.

丫2

2

C：y=122

7.点P在椭圆「2上，G的右焦点为尸，点。在圆G：x+J+10x-8j+39=0±；则

归。|-1尸盟的最小值为（）

A.2GB,2^2C.6D.6

【答案】D

【解析】

【分析】首先根据椭圆的定义转化为忸°卜陷卜2亚，即求P0+附I的最小值，即为圆心与耳的

距离减半径即可.

【详解】设椭圆的左焦点为&T。），则俨°H仍引尸9一（2百—附1）=|「。|+1尸周一2行

求|尸。1-|班1的最小值即求闿㈤呐的最小值，圆。2的半径为力圆心为（-5,4）

所以闻+圈的最小值为修卜尾卜+卢（4—0广夜=3企

所以1尸。卜附的最小值为3V2-2V2=V2

故选：D.

【点睛】本题考查了椭圆的定义，以及圆上一动点与圆外一定点的距离的最值问题，解决问题时需要对

题中的目标进行转化，将多个动点转化为少（单）动点的问题，从而解决问题.

Jy2

8.设双曲线0'/〃一"",。''"的左、右焦点分别为公，鸟，过坐标原点的直线与°交于48两点,

比同=2阳H取取=4/,则C的离心率为（）

A.血B'/2C.也DN

【答案】D

【解析】

【分析】由双曲线的对称性可得I2II1II2I且四边形“片8g为平行四边形，由题意可

得出/鸟8片，结合余弦定理表示出与。、。有关齐次式即可得离心率.

由双曲线的对称性可知闺闻=因'［电=曰，有四边形/公和为平行四边形,

令闺旬=|工3=",则由用=优』=2机，

由双曲线定义可知恒/卜阳旬=2。，故有2切一加=2°,即加=2a,

即阳4|=旧理=加=2。，闺邳=|与，|=4a,

2

F2A-F2B=.归qCOSZAF2B=2ax4acosNAF?B=4a

12兀

cosZAFB=-NAF,B=4^BFI=—

则一22,即一3，故3

闺川+叵环—山闾2(而7+伽丫―(Ze?

cosAFBF=

2X2\FB\-\FB\~2x4ax2q2

则有X2

20a2-4c2_1204e2_1

即16a22,即16162,则e?=7,由e>l,故e=V7.

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于。、6、c之间的等量关系，本题中

结合题意与双曲线的定义得出⑶4人同与。的具体关系及/乙8片的大小，借助余弦定理表示出与0、

c有关齐次式，即可得解.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是()

~兀［［3兀)

0,1D,71

A.直线xsin&+y+2=0的倾斜角，的取值范围是14」［4)

B.“a=T”是“直线—V+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直，，的充要条件

C,两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

D.已知向量“=(9,4,—4),%=(1,2,2),则£在B上的投影向量为(122)

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系及三角函数的性质即可判断A选项，利用两直线的垂直及充要

条件的定义即可判断B选项，利用空间向量的基本定理可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选

项.

【详解］对于A选项，直线xsine+y+2=0的倾斜角为，，则tan8=_sina,因为一iWsinaWl

Ac兀3兀1

0€0,lU,71

所以—lWtan"l,所以L4」14人故A正确；

对于B选项，因为直线。葭―>+1=。与直线x—分一2=。互相垂直，所以“xl+(-1)x(-a)=0,即

a2+a=0,解得q=0或q=T,所以“a=T”是“a=0或a=T”的充分不必要条件，所以“a=T”是

2

“直线ax-y+l=0与直线x-ay-2=0互相垂直，，的充分不必要条件，故B错误;

对于C选项，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，不妨设这两个非零向量不共

—*_»

线，设这两个非零向量为或6,由空间向量的基本定理可知，在空间中必存在非零向量入使得

①为空间的一个基底，假设不成立，故这两个非零向量共线，故C正确；

对于D选项,因为向量”(94-4),3=(1,2,2),所以Z在B上的投影向量为

a-bba-b一9

团cos5,3-=|5|-|---丁=一^^•『(122)=(122)

11例」咿州⑸|2

，故D正确.

故选：ACD.

10.己知抛物线0：/=2/(2>0)的焦点户到准线的距离为2,过尸的直线/交抛物线0于两点

A,B,贝U()

A.0的准线方程为》=一2

B.若网=4,则网=收

+且

C.^\AF0BF^P2,则/的斜率为一3

D.过点A作准线的垂线，垂足为X,若x轴平分/印宝，则H8=4

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据抛物线°的几何意义求出?,即可得到抛物线的方程，再根据抛物线的定义判断

A、B、D,设“(网，乂)，Bg,力)，直线48的方程为x=WV+l,联立直线与抛物线方程，消元列

出韦达定理，根据焦半径公式计算即可判断C；

【详解】解：因为抛物线0：y2=2Px（夕＞°）的焦点/到准线的距离为2,所以2=2,

所以抛物线方程为必=4x,则焦点E（l，°）,准线为x=-1,故A错误；

若叫=4,则储=3,所以y/=4xw=12,所以3|==同,

故B正确;

可设《（演，乂），8（X2,%）,

直线Z5的方程为"=叼+1,与抛物线『=4x联立，

消去x,可得卜2_4叼—4=0,

可得%+为=4加，九^2=-4,

由抛物线的定义可得I""川'尸》（再+1）（%+1）=（町+2）（叼2+2）=16

即/％%+2机（必+%）+4=16,即一4疗+8/+4=16,

±且

解得加=±G,则直线48的斜率为-3,故c正确；

对于D,若x轴平分则N0E8=N°F8,又4f77/x轴，

所以ZAHF=ZOFH=ZOFB=ZAFH,所以止=AF=AH,

XA+XH_.

所以2%,即5=3,所以网=x“+l=4,故D正确；

故选：BCD

11.如图，在直四棱柱"BCO-'RIG。］中，底面/BCD为菱形，/氏4£>=60°,“8=44］=2,尸为

CG的中点，点。满足£）。='℃+〃即（2，［°，1］〃平,1］）,则下列结论正确的是（）

A.若3,则四面体4Ap。的体积为定值

B.若△"RO的外心为°,则404°为定值2

后兀

c.若4。=逐,则点Q的轨迹长度为4

_j_________

D.若2=1且“一5,则存在点八4%使得AE+EQ的最小值为的+2.

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项，作出辅助线，结合空间向量基本定理得到沙，°，尸三点共线，得到河”平面048,

故点。为平面048的距离为定值，四面体480°的体积为定值，人正确；B选项，作出辅助线，结合

M而=|福团|=4

空间向量数量积的几何意义得到11I1门।I；c选项，建立空间直角坐标系，设

0（0,22,2〃），表达出（2'+1）2+（2〃-2）2=2,故。点的轨迹为以5（-1，2）为圆心，血为半径的圆,

落在正方形82G内的部分，结合弧长公式求出答案；D选项，求出Egl-2a,2a）.

AE+EQ=2V2+；+,"+■!

I'J,画出图形，数形结合得到其最小值.

得到

口wDF^-DCDW=-DD

【详解】A选项，在r上n分nn别取七力,使得33}

因为双=九反+〃西，所以质=34而+3〃加

几+〃=；,所以3彳+3,=1,即而=32万+(1—3X)加,

故质_方谛=3/1而一3九丽，即迎=32标

所以少,。，尸三点共线，

因为西//cn,A\BIICD\,所以印F//同

故饰//平面048,故点。为平面048的距离为定值,

又S*4B为定值，故四面体4Ap。的体积为定值，A正确;

B选项，取的中点T,因为△48°的外心为°,所以0Tl48

又题意得48="IF=20

福•而=1祠・困卜2回血=4

则B错误;

C选项，取48的中点尺，因为底面48C。为菱形,NBAD=60°

故DR[DC,

以。为坐标原点，以DR,分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系,

故4（&一1,2）,设。（0,242〃）

则4。=13+（2几+1）2+（2〃-2）2=后

化简得（2'+1）2+（2〃—2）2=2,

点。满足O-匹6却0,1],〃平,1]）

即点0在正方形CDDg内，包括边界,

故。点的轨迹为以,JL2）为圆心，行为半径的圆，落在正方形山）〃。]内的部分,

如图所不：

因为s”=后，s〃=i,故RH=G口=i.

故△S2”为等腰直角三角形，4,

巴立=叵

故点。的轨迹长度为44,c正确；

//=-DQ=DC+-DD.

D选项，若"=1且2,2,

即加=（0,2,0）+10,0,2）=（0,2,1）,即0（0,2』），

又4伊,-1,2）,5伊,1,0）,设£（“/）,

设EB=aAxB=（0,2Q,—2Q）,Qe[0,1]即（^3-xv\-yv-zx（0,2a.-2a）

解得X]=后凹=1-2a,2|=2a,即E（^』-2a,2a）

_、

25

—N8a2—8a+4++5—2-\/2QH---

8

KJ=LGV=叵,JG=L“r

设242,且K7±JG,JG1GL

LJ=--a

在线段先上取一点1,设GL=a,贝u2

显然，直接连接K「，此时KZ+也取得最小值，最小值即为K%,

AE+EQ=2V2+-+卜+小2伍R+画=19+2而

故V1的最小值为%4

D正确.

故选：ACD

【点睛】空间向量解决几何最值问题，通常有两种思路：

①形化，即用空间向量的几何意义将问题转化为空间几何中的最值或取值范围问题，然后根据图形的特

征直接进行求解；

②数化，即利用空间向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有

解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.

第II卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

f(x)=ln[x+—]+x2

12.函数I2>的极大值点为.

[答案]x=.l

【解析】

【分析】利用导数可求得/(X)的单调性，根据单调性可得极大值点.

【详解】由题意知：/("J定义域为I2A

、1c2%-+3x+1(2x+l)(x+l)

j(x)=----—+2x=-------------=-----------------

7v7333

XH—XHXH

万'十刃时，3)>。；当汽T'S时，/«)<°；

3'+”上单调递增，在“1

上单调递减,

・"=-1是/(X)的极大值点.

故答案为：》二一1.

13.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高

阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差会成等差数

列.在杨辉之后，对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”"，现有高阶等差数列，其前5项分别为

1,4,10,20,35,则该数列的第6项为.

【答案】56

【解析】

【分析】利用高阶等差数列的定义，分别计算出前后两项的差，再由等差数列定义即可求得第6项的值

为56.

【详解】由题意可知，所给数列为高阶等差数列，

设数列的第6项为了，

根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，

再利用新数列的后一项减去前一项也得到一个新数列，即可得到一个首相为3公差为1的等差数列，

计算规律如下所示:

x-15=6fx=21

<<

则需满足口—35=x,解得口=56.

该数列的第6项为56.

故答案为：56

14.定义在R上的偶函数/(X)满足/(2一x)+/(x)=°,且当xe[°])时，/(x)=Vx-l；则曲线

>=/(x)在点I4(4〃处的切线方程为.

【答案】4X-4^+11=0

【解析】

【分析】明确函数的周期性，结合导数的几何意义求函数在某点出的切线方程.

【详解】因为/G)是R上的偶函数，且“2-x)+/(x)=O,

所以"x)=-"2-x)=-/(x-2)=/(x-2)=-“X),

所以/(x-4)=-/(x-2)=/(x),即〃x)为周期函数，且周期为4.

设xe(l，2),则2-xe(O,l),由/(x)=-/(2-x)=-1)=1-；

设xe(—3,—2),则x+4e(l,2),由/(x)=/(x+4)=1—/―(x+4)=1—J—2—x

f，

当xe(—3,—2)时，I)=-WVZ^<T)=2/-x-2

=>4x-4y+ll=0

故答案为：4x-4y+ll=0

【点睛】方法点睛：该问题的解决方法可以有两种思路:

(1)求出函数在区间J二-2)上的解析式，可得

和,进而求出所求的切线方程;

得到切点，再根据/(X)的图象关于

(2)利用函数的对称性和周期性，先求

°,°)点对称，则/'(X)关于"1轴对称，所以

得切线斜率，可得所求切线

方程.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/⑺=1nx*/*6+2在点⑹°))处的切线与直线2x+。垂直.

(1)求。；

(2)求/(“)的单调区间和极值.

【答案】(1)。=—3

(2)单调递增区间为。'+8),单调递减区间为12』；极大值Wln2,极小值o

【解析】

【分析】(1)结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得;

(2)借助导数可讨论单调性，即可得极值.

【小问1详解】

1o

/（2）=-+2x2+tz=|+a

则

由题意可得12)\,解得a=—3；

【小问2详解】

由口=一3,故/（》）=欣+/一3X+2,

/3」+2尸3="2―3升1=（21）（1）

贝Ixxx,x>0,

111

故当。时，*M>。，当5<X<1时，/,3<0,当X>1时，丑）>。,

故/(x)的单调递增区间为、(1,+°°),/(X)的单调递减区间为

213

=ln-+-3x-+2=——In2

故/(“)有极大值I2I24

“1)-2-3xl+2=0

有极小值

16.如图，四棱柱ABCDUA1B1C1D1中，侧棱A1A_L底面ABCD,AB||DC,AB1AD,AD=CD=1,

AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.

(1)证明B1CUCE；

(2)求二面角BlZICECZCl的正弦值.

也

(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为6,求线段AM的长.

y/21

【答案】(1)见解析(2)7(3)V2

【解析】

【详解】解：本题可通过建立空间坐标系求解.

如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,O,1)-Bl(0,2,2),Cl(l,2,l),

E(0,l,0).

BICI.CE=Q,...B1C11CE.

⑵'C=(l,-2,-1).

设平面BICE的法向量〃?=(x,y,z),

ByC-m=0x-2y-z=0

则CE-m=0，即-x+y-z=0

消去x,得y+2z=0,不妨令z=l,可得一个法向量为加=(一3,—2,1).

由(1),B1CUCE,又CCUB1C1,可得B1C11平面CEC1,故］】=(1,0,—1)为平面CEC1的一个法

向量.

_4

714^/2而〉=亍

于是cos〈根，4G〉7，从而sin(m

V21

故二面角B1-CE-C1的正弦值为7

⑶左=(0,1,0),EC1=(1,1,1).

没EM=dC\=&,九，X),0<A,<l,有4W=左+及〃=(入，入+1,A,).可取标=(0,0,2)为平面

ADD1A1的一个法向量.

设9为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则

\AM-AB\

sme=|cos〈加，刀〉,=M-R

2'_2

=J%+('+1)2+^x2=7322+22+l

2V2£]_

于是V322+22+l=6，解得九=3Q=-5舍去)，

••.AM=6.

11_2za、

r1--------------QiEN)

17.已知数列刈J的首项为2,前〃项和为S”，且%4+14s“-1'

(1)求出的值；

b“=%

(2)设"%+「《，，求数列｛a｝的通项公式;

(3)求数列｛“〃｝的通项公式.

14

。2=--

【答案】(1)3.

74〃一1

b”=--r-

(2)4

8zz-2

%

(3)3

【解析】

【分析】(1)根据递推关系可得求得生.

4s“_1=2""%+i4sl-1=2a2。"

(2)由条件可得可得“4+1一%,于是“°"一％1,以上两式相减变形可得

%%一1

%+「4%-%,即〃-限1=1(〃22),于是可得数列也｝为等差数列，并可求得其通项.

a”_4〃-14+1_4」+3

(3)由⑵可得%+1一%4,可得%4〃-1,根据累乘法可得数列｛%｝的通项公式.

【小问1详解】

1__1_2

•.・%=2,且%%4S]-1

11_2_2

,2a?4x2-17

14

%——

解得-3.

【小问2详解】

J___1_2G£N*)

由％%+14s“-1

4s0—1=24%

可得a„+\~an

2aa

4S“「1=I"

a,一a,in>2

(4S,—1)—(4s「1)=442a,4+i

l%-%《产°

a〃+i%]_2

aa

.n+l-n%—Qi,

aaaa

.n+l-nn-n-X

化为：%+i-""'一限,

即〃-如=1(〃22),

7a1!23

b,=———=-......二—

«2-«iH_24

又3

3

•'•数列｛'｝是首项为W,公差为1的等差数列.

34〃一1

.，+(〃T)=—

【小问3详解】

a”=4〃-1

由⑵可得：%+「%4,

%+i=4〃+3

...册4〃-1,

2=生上史2=网匚

,«„_14（〃—1）—14〃—5'

Q“a,a,a,4〃一1An-5117c8〃一2

ci-......x----------x...XXXQ]=--------------X-------------X...XX-X2