苏教版高一暑假作业：三角函数（二）

苏教版高一暑假作业5：三角函数（2）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.（2024•北京市・期中考试）cos72°cos12°+sin72°sin12°=（）

A—B.|C「苧D手

2.（2024•浙江省温州市.合格性考试）已知tan（x+y）=2,tan（x—y）=3,则黑含=（）

11

A.7B.-7C.~D.——

3.（2024•江苏省南京市•期中考试）化简就去-2cos20。所得的结果是（）

11

AB

4-2-

4.（2024•广东省广州市・期末考试）函数/（X）=2x+44—*2的最大值是（）

A.<5B.2<5C.2+<3D.4

5.（2024•新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市・期末考试）tan25。+tan350+，Itan250tan35。结果为（）

A.B.AA3C.D.76

m2a

6.（2024•湖北省荆州市・单元测试）已知ae（0,兀），且sina+cosa=：,则一^2-（）.

5cosza—sina

2424

A.yB.12C.-yD.-12

7.（2023•北星市・月考试卷）若sin2a=sin（S—a）='等，且E[TC,,则a+S的值是

b1U4Z

（）

.7n

A.—B.3C片或与或空

44

8.（2023•河南省郑州市•合格性考试）已知函数/（%）=sinoox（sincox+V3cos3%）（3>0）,若函数/（%）的图

象与直线y=1在（0,兀）上有3个不同的交点，则3的取值范围是（）

人，731n,74-.「，631C，64-.

7B9

A.（力U方乙］-（7U/d。C.。乙D,DD

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.（2024•江苏省宿迁市•期中考试）下列化简结果正确的是（）

A.cosl5°=虫詈口tanl0°+tan50°

l—tanl0°tan50°

1

C.sinl5"-<3cosl5°=-<3D-sinl5»sin30»sin75",

10.(2024•云南省昆明市•月考试卷)关于函数f(%)=3sinxcosx+3V_3sin2x-+1,下列命题正确的是

()

A.由/(%1)=/(%2)=1可得%1-％2是江的整数倍

B.y=/(%)的表达式可改写成/(%)=3cos(2%-^)+1

C.y=/(%)的图像关于点(1,1)对称

D.y=/(%)的图像关于直线久=一"对称

11.(2023•浙江省・联考)定义：4=cos2(eLg)+cos232T0)+…+cos2(eio)为集合a=｛%，&，•••，%｝相对常数

期的“余弦方差”.若焉e[0,刍，则集合a=修。｝相对册的“余弦方差”的取值可能为().

3134

A-8B2C4D5

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(2023•福建省福州市・单元测试)如果tana,tan£是方程/一3久-3=0两根，则郎笔=.

13.(2024•广东省江门市•月考试卷)coscosysinycosy=.

14.(2024・广东省・假期作业)如图所示，圆。与x正半轴的交点为4点B,C在圆。上，且点C位于第一象限，

B(g,—|),AA0C=a.若a=3贝Utan/BOC=；若BC=1,则Ceos?与一singcos5—f的值

什ZZZZ

为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(2023•江苏省・单元测试)(本小题13分)

已知cos(a+0)=cos(a—£)=—1,|兀<戊+£<2兀，]<a—0<兀，求cos20.

16.(2024•上海市市辖区•期中考试)(本小题15分)

已知0—^</?<0,tana=7,sin0=一号.

(1)求cos(a-S)的值；

(2)求tan(a-2£)的值,并确定a-20的大小.

17.(2023•浙江省杭州市・期末考试)(本小题15分)

已知函数/(%)=cos(^—2a)%)—zVScos2^%+V-3(0<<4)

(I)求/(0)的值;

(II)若f(%0)=目,且%0w宿再从下面①②③中选取一个作为条件,求fOo+4)的值•

DJ.乙D.乙

①函数的一个对称中心为(，0);②函数图象过点(-令2);③两条相邻对称轴间的距离为最

(注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.)

18.(2024•江苏省南通市•阶段测试)(本小题17分)

设函数/(x)=cos(2x+今+2sin2x.

(I)求函数/(久)的最大值及取得最大值时久的取值集合;

(II)若ae(%今，且f(a)=I，求sin2a.

19.(2023•江西省•模拟题)(本小题17分)

已知向量沅=(sin3%,JZcos2a)x),n—cosa)x,,其中3>0,/(x)—m-n,且函数y=/Q)周期

为兀.

(1)若?<8<兀,且sin”,求/⑻的值；

(2)方程/(X)-t=0在［0,碧］上有且仅有两个不同的实数解，求实数t的取值范围.

L【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题.

熟练运用公式和特殊角的值即可求解.

【解答】

解：cos72°cos120+sin72°sin12°

=cos(72°-12°)=cos60°=

故选&

2.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查两角和差的正切公式，属于基础题.

利用两角和差的正切公式计算得出结论.

【解答】

解：因为tan(x+y)=2,tan(x-y)=3,

2+32-3]

所以=tan[(x+y)+(%—y)]=1…--1,tartly=tan[(%+y)-(%-y)]=—T-T=

1—ZXoH-ZXD/

3.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查利用三角恒等变换求函数值，考查运算求解能力，属于中档题.

根据切化弦整理得缶-2cos2。°=?篇泮。。,再根据.4。。=sin(60-2。。)化简整理即可

求解.

【解答】

V-3cos20°V-3cos20°—4sin20°cos20°

解:—2cos20°=—2cos20°=

2tan20°2sin20°2sin20°

_73COS20°-2sin40°_73cos20°-2sin(60°-20°)

=2sin20°=2sin20°

V3cos20°-2(sin60°cos20°—cos60°sin20°)

=2sin20°

_V3cos20°-V-3cos20°+sin20°_sin20°_1

―2sin20°-2sin20°-2*

故本题选B.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了函数的最值，正弦函数的性质，属于中档题.

设x=2sina,ae根据辅助角公式，结合三角函数的性质求解.

【解答】

解：由4一%2?。，解得一2三比工2,

故/(久)的定义域为1-2,2].

设x=2sina,a£

贝Uy=4sina+V4—4sin2tx=4sina+2coscr=2V_5sin(a+9),

其中，cosR=争,sing=暮，8e(0,9，

7T7T71

■■+cp<a+cp<-+cp<n,

•,.当a+0=1，即sina=sin一W)=coscp—cosa=cos(f-(p)=sin。=g时,

y=2V_5sin(a+9)取最大值2VT,

即函数f(x)的最大值是2".

故选：B.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查两角和的正切公式，属于基础题目.

根据tan600=tan(250+35。)利用两角和的正切公式化简，从而可得出答案.

【解答】

解:因为tan60°=tan(25°+35°)

_tan2504-tan350_pz

=1-tan25°tan35°='''

所以tan25°+tan35°=<3(1-tan25°tan35°),

所以tan25°+tan35°+V_3tan25°tan35o=V-3.

故选：B.

6.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查三角函数的化简求值，考查三角恒等变换，考查学生的运算能力.属于中等题.

根据同角三角函数的平方关系，求出2sinacosa,再求出sina-cosa,由三角恒等变换化简后代入求

解即可.

【解答】

解：sina+cosct=•••1+2sinacosa=yr,即2sinacosa=一带，

由aG(0,江)可知，aE6,加),即sina>0,cosa<0.

2sinacosa

cos2a-sin2a(cosa+sina)(cosa-sina)

故选：A.

7.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查给值求角问题，要注意角度的取值范围.

利用复合角可得a+0=2a+(£-a),再利用两角和与差的正弦求值，最后得到a+0的值

【解答】

解：•••sin2a=2sinacosa>0,

•••sina,cosa符号相同，

又aG[p7r],---aG[p1],2aG

由sin2a=?可得cos2a=一4

又0e\n,sin(^—a)=*>0,-aeI,兀)，

•••cos(a+S)=cos[2a+(/?—a)]=cos2acos(/?—a)—sin2asin(S—a)

2/5sz3/10<5\z_A_A_T_O—_<_2

5____105X10-2

由a，0e[n,引,得a+06洋,2兀],

故选A.

8.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了三角函数的图象和性质、二倍角公式、辅助角公式，是中档题.

利用二倍角公式、辅助角公式进行化简，利用数形结合法，并由正弦函数的图像及性质进行求解即可.

【解答】

角星：/(x)=sin2d)x+\3sin(joxcos(jox

1/3

=2(1—cos2a%)+sin2a)x

1/31

=2+sin2a)x—cos2a)x

=1+sin(2o)x—,

由f(x)-1得:+sin(2a%——1,得sin(2a%—

_

当0<%V7T时，0V<2a)7i7<2(JL)X—7<2o)7r—g,

f000

由sin%=:，得％=2Mr+*或久=2Mr+邺，左是整数，

266

则右侧第一个根为第二个根为乂=葛,第三个为％=写，第四个根为％=黑,

若〃久）与y=1在（0,兀）上有3个不同的交点,

773

得

<23<3得<3<

则噜＜23兀一g3--6--2-

666

即”的取值范围是q,|],

故选：A.

9.【答案】AB

【解析】【分析】

本题考查了三角恒等变换的综合应用，属于中档题.

利用三角恒等变换对选项逐个判断即可.

【解答】

解：对于选项A,cosl5°=cos（45°—30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°=故选项A正确;

4

对于选项B,管吗=tan(10。+50°)=tan60°=G故选项B正确；

1—tan10tan50'」

对于选项c,sinl5--<3cosl5°=2sin(15°-60°)=-2sin45°=-y[2,故选项C错误；

11

对于选项D,sinl5-sin30osin75o=sinl50sin300cosl5°=^sin30°sin30°=，故选项。错误.

故选：AB.

10.【答案】BD

【解析】【分析】

本题主要考查辅助角公式、诱导公式，正弦函数的图象和性质应用，属于中等题.

由条件先对/⑶降累，辅助角公式化简为/⑴=3s讥(2x-g)+l(xeR),再利用诱导公式，正弦函数的

图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论.

【解答】

解：/(%)=3sinxcosx+3-\Z-3sin2x—+1

33^3,

—2sin2xH——一(2sin2x—1)+1

=|sin2x—cos2%+1=3sin(2x—g)+1,

对于函数f(%)=3sin(2x一与)+1(%€R)，

x

由/(%i)=f(2)=1可得sin(2x1-今=sin(2x2*)=0，

2%1-2%2是加的整数，即%1-％2是5的整数倍，故A不正确.

函数/(%)=3sin(2x一与)+1

nn

=3cos[——(2%—可)]+1

5TT

—3cos—2%)+1

=3cos(2.x——)+1,故B正确.

对于函数/(%)=3s寸(2%-1+1(%€R)，

令％="，可得f(当=3s讥等+1=-'+1W1,故C不正确.

446Z

令x=_务求得函数/(%)=-2,是函数的最值，故。正确，

故选

11.【答案】ABC

【解析】【分析】

本题考查三角恒等变换的综合应用，考查正弦型函数的值域，属于中档题.

根据所给定义及三角恒等变换公式将函数化简，再根据为的取值范围，求出2拆+营的取值范围，再根据

正弦函数的性质计算可得.

【解答】

解：依题意〃=一（也）广2（。-斯）

2

（cos^cosBo+sin^sin0o）+cos0o

二2

2

（；cos6o+^^sin6o）+cos0o

:2

1°2V~33?°2

^cos0o+^2^cos0osin0o+^sin0O+cos0o

二2

2

2cos0o+-^cos0osin0o+,

二2

^cos20o+苧sin29（）+1

二2

1/1<3,\1

=4（2cos20o+sin20o）+

1/1

26

-n(++-

4si\O2

6

7-r，所以2。（）+G玲胡，所以sin（26+€[—p1]

20

所以AG[-,-].

故选ABC.

12.【答案】一5

【解析】【分析】

本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题.

由题意，得tcma+tan^=3,tana-tan^=—3,原式"弦"化"切"，代入计算即可.

【解答】

解：:tana,tan/?是方程——3%—3=0两根，

•••tana+tan^=3,tana-tariff=—3

.sm(a+/?)_sinacosp+cosasinp_tana+tanp_3_3

cos(a—/7)cosacosS+sinasinS1+tanatanP1—32,

故答案为一宗

13.【答案】今

1O

【解析】【分析】

本题考查二倍角公式以及诱导公式的灵活运用，属于基础题.

将S讥署化为苧，再利用二倍角的正弦公式以及诱导公式进行化简.

【解答】

Ajj—py/~37i27r47r

斛：原式=-^-COS§COSwCOSg

广于■TT7T2TT47r

V3singcosgcos-g-cos-Q-

•-)TC

zsirig

V~3.2TT2TT4TT

2sin-g-COS-g-COS-g-

一.7T

o2sing

V~3.47r47rV_3.8TTE.TT,—

_不smqcosq_石sm©_73sm@_/3

zsirigzsiRglosing16

故答案为今.

lo

14.【答案】7；|

【解析】【分析】

本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题.

设N40B=e,由条件利用任意角的三角函数的定义求得sin0=1，cos0=ttan。=/由图形将NBOC

554

表示出来，再由两角差的正切公式及三角恒等变换从而求得所给式子的值.

【解答】

解：,•,点B的坐标为G，—1),设乙4。8=氏

34

•••sin(2;r—0)=-COS(2TT—3)=-,

即sin0=|,cos0=1,则tan。=|,

n1+tan01*34+4

•••tan乙BOC=tan(-r+6)=-------=------=7,

471—tan0x3

1-4

•••^AOC=a,BC=1,8+a=?贝！|a二一8,

G2a.aaV-3V-371

•••V3cosy—sinycos5———=—cosa—|sin<z=cos(a+.

乙乙乙乙乙6.

=COS^-0)=sin0=|.

故答案为7;|.

15.【答案】解：•・,cos(a+£)=，<cr+/?<2TT,

3

••・sin(a+/?)=--

cos(a_/?)=一$<cr—/?<7T,

3

•••sin(cr-/?)=-,

・•・cos2s=cos[(a+/?)—(a—/?)]

4/4、3/3、v

=5><(-5)+5><(--)=-1.

【解析】本题考查同角三角函数之间的关系及两角和与差的三角函数.

根据题意利用同角三角函数之间的关系可得sin(a+。)及sin(a-0)的值，进而利用两角和与差的三角函

数即可求得结果.

_sina__p-e

an。―cosa—,解得sina=—r-,cosa--,

{.o7y1U1U

sin^a+cos乙a=1

又,••一，<S<0,sinS=-?,

•••cos/?=J1-sin2s=^5,

,c、n-n2A/2/57AA2VJO

••・cos(a—p)=cosacosp+tsmasmp——^―x————x=———；

⑵由⑴可知，tan0=|5=+，，tan20=普4

4

tana—tan2/?_7+可_1

tan(a—2/?)

l+tanatan2/?i—7x|

7T7T

,•*0<cz<—,—2<S<0,

.•・0<仇一26<斗，解得a-2£二斗.

L4

【解析】本题考查两角和与差公式，二倍角的正切公式，同角三角函数的基本关系，属于中档题.

(1)由题意解得sina,cosa,由sin/?求出cos^,再利用两角差的余弦公式求解cos(a-S)的值即可；

(2)由sin/7,cos/?求出tan/?,再求出tan2/7,利用两角差的正切公式计算tan(a-2/7)的值，并得到a-2/7

的大小即可.

17.【答案】解：(I)/(x)=sin2cox—V-3(2cos2tox—1)

=sin2d)x—y/~3cos2a)x=2sin(2cox—》

/(O)=2sin(-1)=-<3；

(II)选①：2.(3_(=/兀,则3=l+3k(kWZ),因为OV3V4,则3=1.

选②:sin(-?3一勺=一1,因为0V3V4,则一？3一J2(一匹一3)，

63633

44r717171

^--60--=0)=41.

632

选③：《=.故T=争="，则3=1.

^222a)

综上，不论选①②③，均可得f(%)=2s讥(2%-9

因为f(%o)=2sin(2x0-所以sin(2&-^)=

因为X。e砥，拳，所以2%o一得6&兀)，故cos3。冶)=一等

71nnn

f(%o+运)—2sin(2%0一石)=2sin(2%0一可+g)

71717T7T

=2[sin(2x0——)cos—+cos(2x0一可)，也石]

”1/32/21、/3-2/2

=ZI---------------------1=--------------

,3232J3

【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦型函数的性质、由一个三角函数值求其它三角函数值，属于

中档题.

(I)利用倍角公式及辅助角公式将三角函数式化为最简形式，再代值求解即可；

(II)若选①，由对称中心结合3的范围可求得3=1；若选②，由图象过的点结合3的范围可得3=1;若

选③，由对称轴间距离可得周期r=n,可得3=1,均可得f(久)解析式，代入f(久0)=|可得sin(2x0-

金=全由同角三角函数关系结合无。的范围可得cos(2xo-9=-等，再由两角和差公式求解即可.

18.【答案】解：(I)/(%)=cos(2x+号)+2sin2x

=T：COS2X—^-sin2x+2x1。俨"=—los2x—^-sinlx+1=—sin(2x+7)+1,

LLLLCL6

当2%+'=2/OT+岑(keZ)时,即久=Er+:(keZ),

函数/'(x)=-sin(2x++1取得最大值2,

综上：函数f(x)最大值为2,取得最大值时x的取值集合为但久=/C7T+y,fceZ}.

(II)因为ae(：,1),所以2a+,€(或高)，

又/⑷=-sin(2a+g)+1=|,所以sin(2a+g)=|>0,

6565

所以2a+E(学,兀),所以cos(2a+专)=~/1—sin2(2a+弓)=—$