苏科版九年级数学下册 第7章《锐角三角函数》专项复习（学生版）

苏科版数学九年级下册章节知识讲练

第7章《机信三信函翻》

夏泓iR互惭阑

已知类型己件修丽法

两亘角边由，求L4；ZB=W-ZA；

M4J，的对边J

正弦00«.»)

斜边e

/西边

斜边,一直角边EBsin.4=-.3U--I；Z.4；

余弦c

斜边

c/

一4的对边，税角，触NB=9O°-N4；ItaiU；

um.正切

乙I的砌。

b

边一直角边c=-------

coi-4

：；

sin300=~K1T»角锐角，对边ZB=9V-ZAb=-^—

2taM

a

角(MkA.a)e=-------

>inJ

sin45°=—正弦

斜边.一»!!(«0,4)ZS=900-Z14；o=cin4；

sin60°解

锐

直

角

角

三

cos30°=—

三

角

特殊角的三角

角

函

形

cos45°=^^余弦函数值数

2

cos600=—4ib

tan30°=b方向角

常见视角

正切

tan45°二1ABDC

tan60°=V5

岛屿尸在船8的北偏东45。方向上

$In4=cosjB,sinB=co$4~~▲\

sin'A+cox'.4=1

三角函数之间的关系/=*:/

,sin.4

tan.4=--------坡度与坡角

cos.4

京泓IH导An

知识点01：锐角三角函数

1.正弦、余弦、正切的定义

如右图、在Rt^ABC中，ZC=90°,如果锐角A确定:

(l)sinA-S=-＞这个比叫做/A的正弦.

斜c

这个比叫做NA的余弦.

对_a

(3)tanA=,这个比叫做NA的正切.

邻=不

要点诠释:

(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，

其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.

(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示/A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号

但不能写成sin-A,对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号不能省略，应

写成sin/BAC,而不能写出sinBAC.

(3)sin2A表示(sinA)：而不能写成sinA：

(4)三角函数有时还可以表示成sina,cos尸等.

2.锐角三角函数的定义

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做NA的锐角三角函数.

要点诠释：

1.函数值的取值范围

对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是/A的函数.同样，

cosA、tanA也是/A的函数，其中/A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量/A

的取值范围是0°<ZA<90°,函数值的取值范围是0<sinA<l,0<cosA<l,tanA>0.

2.锐角三角函数之间的关系：

余角三角函数关系：“正余互化公式”如NA+NB=90

那么：sinA=cosB；cosA=sinB；

wmA

同角三角函数关系：sin2A+cos2A=l；tanA=-----

COS工

3.30。、45°、60°角的三角函数值

ZA30°45°60°

sinA正正

222

J

cosA在诋

2~22

tanA苴1出

3

30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之

重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.

知识点02：解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.

解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：

角角关系：两锐角互余，即/A+/B=90°；

边边关系：勾股定理，即/+/=C2.

边角关系：锐角三角函数，即

.a.b.a

sin=,cosA=—,tanA=—

ccb

_b_a-b

sin5=—,cosB=-JanB=—

cca

要点诠释：

解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：

(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；

(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角).这两种情形的共同之处：有一条

边.因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边.

知识点03：解直角三角形的应用

解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数

量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.

1.解这类问题的一般过程

(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几

何图形，建立数学模型.

(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问

题.

(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.

2.常见应用问题

(2)方位角:

(3)仰角与俯角:

要点诠释：

1.解直角三角形的常见类型及解法

和解法

已知条件解法步骤

三角形类0

tanJ4=-

由力求NA,

两

两直角边(a,b)

边ZB=90°-ZA,

c=+b2

a

sin/d=一

由c求NA,

斜边，一直角边（如C,a）

ZB=90°-ZA,

b=Ji

RtAABC

ZB=90°-ZA,

B锐角、邻边

b

（如NA,b）c=____

以

一直角边=B-tan<,cosA

和一锐角

月”---------------边NB=90°-ZA,

b锐角、对边

a.a

（如NA,a）c=-----b=------

sinJ4,tan

角

ZB=90°-ZA,

斜边、锐角（如c,ZA）

a=csmA9b=ccosA

2.用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是:

把实际问题抽象成数学问题（解直角三角形），就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系

转化为图形（点、线、角等）以及图形之间的大小或位置关系.

借助生活常识以及课本中一些概念（如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等）的意义，也有助于把实际

问题抽象为数学问题.

当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解.

3.锐角三角函数的应用

用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角

形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。

如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单:

S3吼si些

BCAB

：.BC2=BDAB

sinZ2=—=sinZ5=—

ACAB

：,AC2=ADAB

tan/『也生

CDAD

2

:,CD=ADBD

新题通面板高台

选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1.（2分）（2023•梁溪区校级二模）小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安

装在离地面高度160厘米的/处，花洒的长度为20厘米.已知花洒与墙面所成的角/期Q120°,

当花洒喷射出的水流切与花洒/。成90°的角时，水流喷射到地面的位置点C与墙面的距离为（）

2.（2分）（2023•武进区一模）10个全等的小正方形拼成如图所示的图形，点RTKS是小正方形的顶

点，。是边打上一点.7是匐与SF的交点，若线段匐恰好将这个图形分成面积相等的两个部分，则

A-iB-ic-iD-f

3.（2分）（2023•仪征市模拟）如图,点/坐标为（-2,1）,点6坐标为（0,4）,将线段46绕点。按顺

时针方向旋转得到对应线段/B',若点©恰好落在x轴上，则。的正弦值为（

A--|V5B.-|V5C.D.-^V65

4.（2分）（2023•宜兴市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点/在x轴正半轴上，点户（-a,a）（a

>0）,连接的交y轴于点氏若AB：郎=2：1.则sin/用。的值是（）

~5~C・笔D・噜

5.（2分）（2023•涟水县一模）如图，A,B,C是正方形网格的格点，连接/C,AB,则tanN的C的值是

6.（2分）（2023•姑苏区校级二模）如图，小明在点/处仰头45°看到一架直升机正从点8处沿水平充方

向飞行，此刻望向楼顶，处的仰角为60。，于是他立即在原地用时2秒拿出手机开始录像.已知录制

开始时直升机已驶至小明正上方点。处，若直升机继续在同一水平高度上匀速飞行，那么它被大楼遮住

之前，能录像的时长为（）

BC

U/

、、、；/

XI/

、I/

'\：2G

、I/

\1/

、I/

XI/

\'/

、、!’

________________45。、舟入0。__________

A.2秒B.蓊秒

c.g巨秒D.条件不足，无法计算

3

7.（2分）（2023•惠山区校级模拟）如图，在点户处，看建筑物顶端2的仰角为32°,向前走了6米到达

点£即妒=6米，在点后处看点，的仰角为64°,则。的长用三角函数表示为（）

A.6sin32°B.6tan64°C.6tan32°D.6sin64°

8.（2分）（2023•宿城区校级模拟）如图，点4B、。均在4x4的正方形网格的格点上，贝!JtanN84C=

A.2B.AC.aD.近

3455

9.（2分）（2023吁B江区校级模拟）如图，在Rt△/⑦中，NC=90°,2是4C的中点，AC=8,tanZCAB^|

则sin/DBA等于（）

D

A

B

A.1B.垣C.娓-近D.近

31023

10.（2分）（2023•宿城区一模）如图，在Rt△/回中，tan/A6c=2.分别以点G/为圆心,

以2和3为半径作弧，两弧交于点。（点，在AC的左侧），连接劭，则劭的最大值为（）

A.V5+1B.2V5+IC.遍普0.275-（^-

二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11.（2分）（2023•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.点

/、B、C三点都在格点上，则sinZ^C=.

12.（2分）（2023•建邺区一模）如图①，有一个圆柱形的玻璃杯，底面直径是20c出高30cm,杯内装

有一些溶液.如图2,将玻璃杯绕点6倾斜，液面恰好到达容器顶端时，力6与水平线1的夹角为30°.则

图①中液面距离容器顶端cm.

寿------BB

①②

13.（2分）（2023•祁江区校级模拟）如图，在中，ZC=90°,AC=BC=6,点D、E、/分别在4C、

BC、边上，鱼DELEF,tan/E9c=2,则△应F的面积最大值

B

14.（2分）（2023•南通二模）图1为放在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2为其示意图，支撑杆/方

垂直于地面1,活动杆力固定在支撑杆上的点£处，若,BE=l10cm,DE=BQcm,则活动

杆端点，离地面的高度"?=（结果精确到1C0,参考数据：sin48°-0.74,cos48°”

0.67,tan48°—1.11）

15.（2分）（2023•惠山区三模）北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画

“飞天”元素.如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段力氏已知坡的长为30如坡角/ABH约为

37°,则坡/方的铅直高度约为m.（参考数据：sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°

-0.75）

16.（2分）（2023•盐都区二模）如图是某高铁站扶梯的示意图，扶梯的坡度下=5：12.李老师乘扶梯

从底端A以0.5Ms的速度用时40s到达顶端B,则李老师上升的垂直高度BC

为

17.（2分）（2022秋•桐柏县期末）如图，在RtZV18C中，ZACB=90°,〃是48的中点，连接切，过点8

作切的垂线，交切延长线于点£.已知/C=30，COSA=2.贝1Jsin/顺的值为______________________.

5

18.（2分）（2023•崇川区校级三模）如图，某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度

的活动，此时无人机在高地面30米的点，处，操控者站在点力处，无人机测得点力的俯角为30°.测

得教学楼楼顶点C处的俯角为45°,操控者和教学楼BC的距离为60米，则教学楼BC的高度是

米.

D

30J'F'E。

AB

19.（2分）（2023•海安市模拟）如图，一艘轮船在4处测得灯塔。在北偏西15。的方向上，该轮船又从4

处向正东方向行驶100海里到达方处，测得灯塔。在北偏西60°的方向上，则轮船在6处时与灯塔C

之间的距离（即6c的长）为海里.

20.（2分）（2020•鼓楼区校级开学）如图，△Z6C是等边三角形，AB=6,过点C的。。分别交AC、BC于

点久E,&CD=BE,则%的最小值为

c

21.（6分）（2023春•兴化市月考）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空

测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量4?,驾两座楼之间的距离，他们借助无

人机设计了如下

测量方案：无人机在46,切两楼之间上方的点。处，点。距地面〃'的高度为660，此时观测到楼43底

部点4处的俯角为70°,楼切上点£处的俯角为30°,沿水平方向由点。飞行240到达点凡测得点

£处俯角为60°,其中点4B,C,D,E,F,。均在同一竖直平面内.

（1）求砂的长；

（2）求楼相与切之间的距离北的长.

（参考数据：sin70°-0.94,cos70°心0.34,tan70°-2.75,6处1.73）.

22.（6分）（2023•沛县三模）科技改变生活，科技服务生活.如图为一新型可调节洗手装置侧面示意图,

可满足不同人的洗手习惯，为竖直的连接水管，当出水装置在/处且水流4C与水平面夹角为63。

时，水流落点正好为水盆的边缘C处；将出水装置水平移动10腐至8处且水流与水平面夹角为30。

时，水流落点正好为水盆的边缘，处，MC=AB.

（1）求连接水管粉的长.（结果保留整数）

（2）求水盆两边缘C,〃之间的距离.（结果保留一位小数）

（参考数据：sin63°七0.9,cos63°-0.5,tan63°-2.0,我-1.73）

AB

MC

23.（8分）（2023•海陵区校级二模）某次科学实验中，小王将某个棱长为10c以正方体木块固定于水平木

板M上，OB=50cm,将木板做绕一端点。旋转40°至OM1（即/仞的=40°）（如图为该操作的截

面示意图）.

（1）求点，到竖直方向上升高度（即过点GC水平线之间的距离）；

（2）求点，到少竖直方向上升高度（即过点〃D'水平线之间的距离）.

（参考数据:sin40°-0.64,cos40°-0.77,tan40°-0.84,（1）（2）题中结果精确到个位）