天津市河东区20242025学年高三年级下册质量检测（二）数学试题（含答案）

天津市河东区2024-2025学年高三下学期质量检测（二）

数学试题

一、单选题（本大题共9小题）

I.已知集合。={-2,-1,0,1,2},A={-2,1},5={x|-2<x<2,xeN},则@/)口3为

()

A.网B.{052}C.{-1,0,2}D.{2}

2.已知xeR,命题0：X，W1,命题Q：|工隹1,则,是0的（)

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

3.如图所示，图象对应的函数解析式为（）

A-冷B.")2X+2-X

c.…聋D.

-0.6,,2

4.已知a=b=bgiG，c=4b则。,6,c的大小关系是（)

2'

A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

5.2024年12月26日，DeepSeek—V3首个版本正式上线，截至2025年2月9

日，DeepSeekAPP的累计下载量已超L1亿次，AI成为当下的热门话题.立德中

学高中数学社团以16至40岁人群使用DeepSeek频率为课题，分小组自主选题进

行调查研究，下列说法正确的是（)

A.甲小组开展了DeepSeek每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相

关系数r=0.97,可以推断两个变量正线性相关，但相关程度很弱

B.乙小组利用最小二乘法得到DeepSeek每周使用频次y关于年龄x的经验回

归方程为_P=0.3x+8,可以推断年龄为30岁的群体每周使用频次一定为17次

C.丙小组用决定系数々来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的心分

别约为0.733和0.998,因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好

很多

D.丁小组研究性别因素是否影响DeepSeek使用频次，根据小概率值a=0.1的

*独立性检验，计算得到力2=3.837>2.706=%,可以认为不同性别的Deep

Seek使用频次没有差异

6.已知正方体的边长为。，其外接球体积与内切球表面积的比值为3:，则。的值为

()

1/14

A.GB.2C.V5D.3

7.关于函数/（x）=sinox-cosox,下列结论不正确的为（）

7

A.④=2时，/（x）的图象关于'=三兀对称

O

B.。=2时，“X）的最小正周期为兀

C.。=3时，〃X）在区间（0,兀）内有两个零点

D.。=3时，“X）在区间上的最大值为近

8.我们知道，任何一个正实数N可以表示成N=axl0"（lWa<10,〃eZ）,此时

lg^=n+lga（0<lga<l）,当〃>0时，"是"+1位数，小明利用上述方法，根据

lg2=0.301判断2i°°是R位数，贝Um为（）

A.36B.33C.32D.31

22

2

9.已知双曲线£:♦一2=1（。>0,6>0）的右焦点尸与抛物线C2:y^2px（p>Q）的焦

ab

点重合，过下的直线与双曲线C1的一条渐近线垂直且交于点A,E4的延长线与抛

—•1—•「

物线G的准线交于点8,FA=-FB,V/08的面积为2亚，。为原点，双曲线C1的

方程为（）

22

B.土-匕=1

24

D.—~y2=l

2

二、填空题（本大题共6小题）

10.i是复数单位，化简'（］；02的结果为.

11.在的二项展开式中，含/的项的系数是.（用数字作答）

12.x轴，了轴上的截距分别为-2,3的直线与圆。:/+/一6》-2夕-15=0交于45两

点，则的值为.

13.哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母、四大龙王共8个人物手办，小

明随机购买3个盲盒（3个盲盒内人物一定不同），求其中包含哪吒和至少一位龙

王的概率；在包含哪吒且不包含敖丙的条件下，则恰有哪吒父母中的一

位的概率为.

14.《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内

饰充满了中国文化符号.树人中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结

合向量知识进行主题探究活动.如图，正八边形4BCDEFGH,边长为2,

3—►.1-►

=:兀，点尸在线段C“上且4尸=切/〃+74。，则方•方的值为__________；

43

若点。为线段CD上的动点，则而•班的最小值为.

2/14

FE

15.设函数/(x)=x+lnx,g(x)=x+e、,若存在三,乙，使得g(xj=/(马)，则

的最小值为.

三、解答题(本大题共5小题)

16.在三角形48c中，角4?,C所对的边分别为a,6,c.已知asinB=2sin/,

3

a=2c,cosB=—.

4

(1)求边。的大小；

⑵求tag的值；

⑶求边COSQB-EJ的值.

17.在多面体"C-DE尸中(如图所示)，底面正三角形/6C边长为2,底面

ABC,AE//BF//CD,CD=3,AE=2,BF=1.

⑴求与平面。跖所成角的正弦值；

⑵求点/到平面皈的距离；

(3)力6的中点为。线段切上是否存在点尸使得PG与平面。颜平行，若存在求PC

长度，若不存在说明理由.

18.设｛。“｝是公差d为的等差数列，｛"｝是公比为q的等比数列，deN*,qwN*,

2a3+a2=b3,a3-a2=bt,%="+1.

(1)求数列｛%｝与依｝的通项公式及、＞，；

i=b2

(2)也｝落在区间电也+J之内的项的个数为｛Q｝,(eN*.

(i)求G，J及数列£｝的通项公式；

n

(ii)求

i=l

3/14

22

19.已知椭圆+的离心率为e,右焦点尸(1,0),椭圆在第一

ab

3

象限上有一动点P,点尸到直线x=4的距离为d,当d=3时，点P的纵坐标为

(1)求椭圆方程及e；

⑵证明:\PF\^ed.

(3)点。(0,-1),当2］。尸取最大值时，求椭圆上任意点。到直线DP的最大距离.

20.已知函数/'(x)=X?~,g(x)=-x2Inx,a>0.

a

(1)函数〃X)在点(1J⑴)处的切线方程为x-y+2=0,求a,6的值；

⑵求函数g(x)的极值；

⑶函数b(x)=〃x)--+1一驾，若尸(x)VO,证明：ab<-^.

4/14

参考答案

1.【答案】B

【详解】施={-1,0,2},8={0,1,2},;.(/)门3=0,2}.

故选B.

2.【答案】C

【详解】命题P-.即X",

命题Q：|工隹1即XW±1,

所以命题0能推出命题)，而命题?不能推出命题夕，

所以O是q的必要不充分条件.

故选C.

3.【答案】D

【详解】函数图像关于V轴对称，则函数是偶函数，

.十.「(、I1X1ICOSX/M\(c\

对于A,•••/(x)=x,xe(-oo,0)u(0,+oo).

2-2

|-x|cos(-x)_|x|COSX、

・・•/(_%)=-x=-f(x\

2~x-2X

即函数/口)=苧罕是奇函数，故A错，

2—2

对于B,,xe(-oo,0)u(0,+oo),

-XIcos(-x)IXCOSX

=〃x),

2T+2、2X+2-X

是偶函数'

k—cos—

当时,故B错,

22+22

4十"“、xsinx/八\/八\

对于C,,•,/(%)=[IT，XG(-OO,0)U(0,+OO),

|x|sinx,/、

----------=~t(%)，

2x+2-x

9普是奇函数,故C错,

对于D,XG(一oo,0)D(0,+oo),

2-2

|-xIsin(-X)_-IXIsinx|x|sinx

f(-x)=

2r_2"一一(2"-2一、)2X-2-X

5/14

..=学学是偶函数，yM>())符合题意，故D正确.

2-2^2)

故选D.

4.【答案】A

【详解】因为a=]£P=2°6e(l,2),

7[2[2]1c122

^=log^->log^-=log^-=2,c=4=2建(1,2)，且炉>2«6=”

故a<c<6.

故选A.

5.【答案】C

【详解】对于A,由，的绝对值越接近1,相关性越强可得A错误，故A错误；

对于B,回归方程为J=0.3x+8给出的是预测值，实际值会有随机误差，所以年龄

为30岁的群体每周使用频次不一定为17次，故B错误；

对于C,尺2表示模型对因变量的解释比例，尺2大说明经验回归方程②的刻画效果

比经验回归方程①的好很多，故C正确；

对于D,*=3用37>2.706=”「可以认为不同性别的DeepSeek使用频次有差异,

故D错误.

故选C.

6.【答案】A

【详解】易知正方体的外接球半径为其体对角线的一半，即息，

2

内切球半径为棱长的一半，即W，由球体的表面积公式及体积公式可知：

2

故选A.

7.【答案】C

【详解】因为

f(x)=sin(ox-coscox=0sincosox]=A/2fsin(oxcos--coscoxsin—,

I22JI44)

所以/(x)=后sin(ox-3,

当(9=2时，f(x)=A/2sin^2x——,

函数/(x)=£sin(2x-2]的对称轴方程为2苫一工=也+工，keZ,

14)42

所以函数/(x)=7Isin[2x-j的对称轴方程为x=£+|兀，后eZ,

6/14

7

取左=1可得，x=7兀是函数/(x)的图象的一条对称轴，A正确;

O

函数/(x)=7Isin12x-的最小正周期7d=兀，B正确；

当°=3时，f(x)=A/2sin卜x——,

令/(x)=0可得后sin［3x—=0,所以sin'x—=0,

所以3x-&=keZ,所以％=勺^+土，keZ,

4312

所以函数/(x)=AinL在(0㈤内的零点有x哈，x=||,x=^-,C错误;

由0<x<：,可得_：<3》-卜学，

3444

所以一三<sin［3x_：］wl,故一l<Visin(3尤一：］«逝，

所以。=3时，〃x)在区间［ogj上的最大值为及，此时x=:,D正确.

故选C.

8.【答案】D

【详解】Vlg2100=1001g2»100x0.3010=30.10=30+0.10,

...〃=30,二210°是31位数.

故选D.

9.【答案】B

【详解】设双曲线的半焦距为c,设x轴与准线交于点P,

不妨设直线产/与渐近线=垂直,

a

be

则点尸到直线。工的距离|融|==b,

yla2+b2

因或=g丽，则|/同=助，忸尸|=36,

则LOB=；|°蜀N⑶=gxax26=ab=2&②,

7/14

FAPFb2c

因8$/。打=右=转，即2=贝1)3/=2°2③，

OFBFc3b

22

联立①②③得，a=&b=2,c=屈,则双曲线G的方程为工-匕=1.

24

故选B.

io.【答案】(

2

r*铲】(2+i)(l+2i)2+5i-25

【详解】-—=---=不

(1+1)212

11.【答案】84

【详解】根据二项式定理，金］的通项为:

M=C；.(一厂(-2丫1=项.(一2广》…，

当14-5厂=4时，即厂=2时，可得月=C；・(-2)，4=84/.

即/项的系数为84.

12.【答案】473

【详解】由题知直线方程为自尸,即3x3+6=。,

又圆。：一+廿一6戈-2^-15=0的标准方程为C:(尤-3『+(y-l)2=25,

所以圆C的圆心为C(3,l),半径为厂=5,

贝i］C(3,l)至I］直线3x-2y+6=0的距离为d=快驾=平==而，

V32+22<13

所以|/*=2,厂2一d?=2加5-13=46.

98

"•【答案】诋I?

【详解】从8个人物手办中，随机购买3个盲盒，共有C；=56种买法,

又3个盲盒中，包含哪吒和至少一位龙王有C；C；+C；=18种买法，

1R0

所以小明随机购买3个盲盒，其中包含哪吒和至少一位龙王的概率为尸=玄=云,

记事件A：随机购买3个盲盒，含哪吒且不包含敖丙，事件8：随机购买3个盲

盒，恰有哪吒父母中的一位，

8

则尸⑷有竺，尸J,所以尸（团/）=¥=烝」

56、/C；56v7尸⑷1515

56

4-2收

14.【答案】

3­

【详解】因为多边形/3CDEFG”为正八边形,

8/14

所以跖，BC//GF,CD//GH,DE//HA,AB//CH,

3兀

ZABC=/BCD=ZCDE=ZDEF=NEFG=FGH=ZGHA=AHAB=—,

4

由正八边形性质可得/BLN尸，

由已知4B=BC=CD=DE=EF=FG=GH=H4=2,

过点。作/，四，垂足为

JTTT

贝!]NCW=彳，又NCBM「,CB=2,故BM=CM=6,

24

如图，以点A为原点，冠，万^为招了轴正方向，建立平面直角坐标系,

则/(0,0),5(2,0),C(2+V2,>/2),£>(2+A/2,2+V2),£(2,2+272),

H卜也网,

所以屈=卜后,3),/=(2+亚,收)，方=(2,0),

—►——►1―►

因为AP=mAH+—AC,

所以万=上也机,"》)+上建，①]=[+后一&，行+3后加]

(33)[33)

又点尸在线段C段上，所以收+3"”=上,所以机=],

33

所以不，生产,行],

I7

所以9.在="1x2+收x0=上逆，

33

因为点。为线段CD上的动点，故可设点。的坐标为(2+逝,。，

则应VW2+行，而=(2+旦"，QE=(-42,2+141-t],

所以而.萌=-2亚-2+(2+2收2,且也W2+VL

因为二次函数＞=-2&-2+(2+2夜)”产的图象为开口向下，对称轴为=1+贬的抛

物线，

所以当/=后或t=2+四时，海•班取最小值，最小值为0,

即当点。为线段CD的端点C或端点。时，而•装取最小值，最小值为0.

15.【答案】1

9/14

【详解】因为g(x)=x+ex,所以g<x)=l+ex>0恒成立，

所以g(x)=x+e”在R上单调递增，

又因为/(x)=x+Inx=elnx+Inx=g(inx),

且存在再,3，使得g(xj=/(x2)=g(lnx2)，所以再uln%，

所以N-%FM%-引，令〃(%)=lnx-x+l(x>0),

11—y

贝Uh'(x)=——1=----,

XX

当0<%<1时,〃'(x)〉0,M%)单调递增;

当x>l时，/?"(%)<0,单调递减，

所以A(x)</i(l)=O,所以InxWx-l,即lnx-x21,当x=l时取等号.

所以|西一工2|=|卜工2-工2|二民一111工2|二工2-111工221(当％2=1时取等号，止匕时

石=0,g(石)=/(%2)=1满足题意)，

所以|西-々I的最小值为1.

16.【答案】⑴0

⑵-S

⑶6+3>/^

-16

【详解】(1)由已知osinB=2sin4,

ab—2a，b=2,

a+c2-b234C2+C2-22

cosB=——----------—，解为c=V2;

2ac42x2cxc4

(2)cosA=b〈°———=—,又sin4=Jl-cos24=

2bc4

,sin^4口

所以tanZ=-----=-V7；

cosA

(3)sinB=V1-cos25=.11--=,sin2B=2sinBcosB=2xx—=,

V164448

97j

cos2B=cos2B-sin?B=------=一,

16168

cos2。B□—兀=cos2onBcos——兀I-,s.m2onBsi•n兀—=-7-"--川---1-.

I6J6616

17.【答案】⑴叵

13

⑵V2

⑶存在，43

2

【详解】(1)弱，底面48C,底面正三角形/8C边长为2,

以/为原点，建立如图所示的空间直角坐标系幺-乎，则40,0,0),5(73,1,0),

10/14

C(0,2,0),C(0,2,3),£(0,0,2),尸(百,1,1).

设平面施广的法向量为元=(x/,z),

n-DE=Q\-2y-z=0

一,故厂,,

n-DF=0[<3x-y-2z=0

令y=-l,贝!Jz=2,x=也,故元=(G,-1,2),

又ZS=(0,2,3),设/〃与平面庞1b所成角为e,

-A1H西|(6,-1,2).(0,2,3)|4而

sin9=cos</z,AD)\=J-j---7=——,=—j=———=------

1\a\-\AD\J3+1+4.70+4+9V8xV1313

(2)平面呀的法向量为]=(X]，M，Z1),

其中无=(0,-2,2),CF=(V3,-1,1)>

ncCE=0J-2/+2Z]=

令必=1，则4=1,西=0,

??!"CF—0[Jiri一%+4=

故点=(0,1,1),就=(0,2,0)*

\AC-nA|(0,2,0)-(0,1,1)|^

所以点力到平面期的距离

阿VT+1'-

(3)由(1)知，平面"r的法向量为万=(G,-1,2b

其中G^,-,0,设尸(0,2,4)，PG=

V22Jk227

R;与平面庞尸平行，故的。，

PGn=^,-|,-AI(A-1,2)=^XV3+(-1)X^-1^-2/Z=0,

即

解得〃=3:，此时巾=匕3

22

18.【答案】⑴。“=4+(〃-l)d,“=4q"T,1045

-1+n+

(2)(i)q=2,c2=6,Q=2x3*；(ii)\\~2

【详解】(1)设%=>+(l)d,b”=b4T,deN*，«eN*,

由已知d—ci^—a2=b],%=4+1,

11/14

所以为=%+(〃_1”=4+l+(w-l)Z?1=nb}+\,

2

所以2%+a2=2(36[+l)+2Z)i+1=84+3,4=bxq,

所以跖+3=4/,4=d£N*=6：l>0,所以/=8+7，

"i

又因为d=4EN*,qGN*,

所以4=3,所以q=3,

n

所以4=3〃+l,bn=3,

所以£4=[^^119=190=19x55=1045；

i=b2i=9、Z)

(2)(i)由已知(A也)=(3,9),%=4,%=7在此区间内，/.q=2,

因为(阳4)=(9,27),

所以仇<&即为9<3〃+1<27=8<3"<26=9V3〃V24=3V〃W>,

c2=8—3+1=6.

功也一=⑶,3"i),

所以4<bM即为31<3〃+1<3"|=3：-1<3”<3川一103£43〃43加1一3，

k

所以<n<3-l,所以,=3-一1一3*—+1=3*-3"|=2x31,

所以数列{q}的通项公式为4=2x3"，

(ii)记4=%q=£2(3i+1)3‘T,

1=1Z=1

/“=8x3°+14x31+…+(6〃-4)x3L2+(6"+2)x3"T①，

34“=8x31+14x3?+…+(6〃-4)x3"“+(6〃+2)x3"②，

①-②为-2/“=8+66+3?+…+3"T)-(6〃+2)x3",

3"T-1

-24,=8+6x3x-^—--(6〃+2)x3",

A=1-1x3-+1+(3«+l)xr=1+^-1j3".

22

19.【答案】⑴土r+匕v=1,e=1：

432

⑵证明见解析

⑶V14+V2

【详解】(1)由已知c=l,{I：1设椭圆左焦点4(T，0)，则|尸耳|=}

35

因为|咫|+户口=5+5=4=2*a=2,

由人2=02—/,得〃=3,

所以椭圆方程为C：E+且=1,e=L