山东省烟台市2023-2024学年高二年级下册期中学业水平诊断数学试卷（解析版）

山东省烟台市2023-2024学年高二下学期

期中学业水平诊断数学试卷

注意事项：

1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.

2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.

3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰;超出答题

区书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求.

1.由1,2,3,4可以组成无重复数字三位数的个数为（）

A.4B.24C.64D.81

【答案】B

【解析】由题意，4个不同数字中取出3个，排成一列，共有A：=24个不同数字，

故选：B

2.如图，在某城市中两地之间有整齐的方格形道路网，A是道路网中的一个交汇处，

小明要从道路网的河处出发，途经A处到达N处，则小明可以选择的最短路径条数为（）

【答案】B

【解析】依题意，从M到A的最短路径是共行3段，向右2段向上1段，有C；种方法,

同理从A处到达N处有C；种方法，

由分步乘法计数原理得小明可以选择的最短路径条数为C；C；=9.

故选：B

3.若随机变量4〜N（3,9）,P（l<^<3）=0.35,则尸《>5）=（）

A.0.15B.0.3C.0.35D.0.7

【答案】A

【解析】由随机变量4〜N（3,9）,P（l<^<3）=0.35,

可知产（J>5）=0.5—尸（3<J<5）=0.5-0.35=0.15,

故选：A

4.甲、乙两人各自独立射击，甲射击两次，乙射击一次.若甲每次射击命中目标的概率为

42

一，乙每次射击命中目标的概率为一，甲、乙两人每次射击是否命中目标互不影响.则在两

53

人三次射击中至少命中目标两次的条件下，甲恰好命中目标两次的概率为（）

，1316

A!B.-C.一D.—

2425

【答案】C

【解析】设甲、乙两人三次射击中至少命中目标两次为事件A,甲恰好命中目标两次为事件

42444264

B,则P(A)=《x3X]二+3X—x2+c；x

5355355375

4244216

P(AB)=-xM1二+3x—x—=——

5355325

P(AB)483

所以P(B|A)=-^~~二—=—

P(A)644

故选：C

5.若32°+a能被8整除，则。的值可能为（)

A.1B.2C.4D.7

【答案】D

【解析】因为32°+a=9i°+a=(8+l)i0+a=C、x8i°+C：o><89++C；°x=+C；；+a,

所以1+。能被8整除，故四个选项中只有D符合.故选：D

6.已知随机变量X〜5(5,0(0<p<1),若尸(X=2)+P(X=3)=*,且y=2X+1，

8

则。（丫）=（)

57

A.-B.-C.5D.6

22

【答案】C

【解析】因为P(X=2)+P(X=3)=C；p2(l_p)3+C；p3(l—p)2=]

8

99111

所以"(1-p)=记，即M1-P)=“解得P=3'

所以。(X)=5xg5

4

5

又y=2X+l,所以。£）=229。（乂）=4又一=5.故选：C

4

7.依次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6的正六面体骰子两次，设事件

A="第一次出现的点数是奇数"，3="第一次出现的点数是1"，V="两次的点数之和为

奇数”，N="两次的点数之和为7"，则下列结论错误的是()

A.A与N相互独立B.3与M相互独立

C.3与N相互独立D.M与N相互独立

【答案】D

【解析】由题意

26-222

当两次分别为3,4或1,6或2,5时，两次的点数之和为7,

所以P(N)=3XC；X』X』=L

666

对A,P(AN)=-x-+-x-+-x-=—,所以P(A)P(N)=LX^=L=P(AAO，

666666122612

即A与N相互独立，故A正确；

对B,P(BM)=-x-=—,p(B)P(M)=-x-=—,所以P(BAf)=P(B)P(〃)，

62126212

故B正确；

对C,P(BN)=-x-=—,P(B)P(N)=-x-=—,

176636vJ7v76636

所以P(BN)=P(B)P(N),故C正确；

对D,P(MN)=P(N)=LP(M)P(N)=-X-=—,

62612

所以尸(脑V)wP(M)尸(N),故D错误.

故选：D

8.排球比赛一般采用五局三胜制，第一局比赛用抽签的方式，等可能地决定首先发球的球

队，在每局比赛中，发球方赢得此球后可获得下一球的发球权，否则交换发球权.甲、乙两

队进行排球比赛，若甲队发球，则甲队赢得此球的概率为:，若乙队发球，则甲队赢得此球

的概率为工.则在第一局比赛中，甲队获得第三个球的发球权的概率为()

2

17313143

A.—B.—C.—D.—

36367272

【答案】C

【解析】甲乙获得发第一个球的概率均为工，由甲获得第三个球的发球权，得第二球甲必胜,

2

当甲发第一个球时，有甲胜甲胜和乙胜甲胜两种情况，概率为

6—」）二,

1233329

当乙发第一个球时，有甲胜甲胜和乙胜甲胜两种情况,概率为

0-=9

22232224

2531

所以甲队获得第三个球的发球权的概率为4+£+—=—.

故选：C

二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列结论正确的有（）

A.离散型随机变量的方差越大，随机变量取值越集中

B.经验回归方程的决定系数&越大，该模型的拟合效果越好

C.回归分析中，两个变量的相关系数的绝对值越大，它们的线性相关程度越强

D.正态曲线是单峰的，其与无轴围成的面积是随参数〃,b的变化而变化的

【答案】BC

【解析】离散型随机变量的方差越大，随机变量取值越分散，故A错误；

经验回归方程的决定系数尺2越大，模型的拟合效果越好，故B正确；

回归分析中，两个变量的相关系数的绝对值越大，则线性相关程度越强，故C正确；

正态曲线是单峰的，其与工轴围成的面积不随参数■的变化而变化，始终为1,故D错

误.故选：BC

10.一个袋子中装有N（N=5%〃eN*）个除颜色外完全相同的小球，其中黄球占比

40%.现从袋子中随机摸出3个球，用X,F分别表示采用不放回和有放回摸球方式取出的

黄球个数.则（）

A.E（X）=E（y）

B.若N=20,贝UP（X=2）=女

C.若N=20,则P（Y=2）=很

D.VN=5〃,〃eN*,P（X=2）＞P（F=2）

【答案】ABD

2

【解析】对于A,x,y分别服从超几何分布和二项分布，而摸到黄球的概率为

则E(X)=E(y)=3x|=g,A正确;

28

对于B,N=20,B正确;

95

对于C,N=20,P(y=2)=C^(-)2C错误;

55125

VN=5〃,〃eN*,P(y=2)=W，P(X=2)=

对于D,

C5(5〃-1)(5〃-2)

P(X=2)-P(Y=2)=—18“(2"T)-----=史]——2/7~n----------―]

5(5“-1)(5"2)1255(5〃-1)(5〃-2)25

185〃一4

25(5〃-1)(5-2)〉。因此VN=5/"N*,P(X=2)>P(y=2),D正确.

故选：ABD

11.甲、乙两人进行趣味篮球对抗赛，约定比赛规则如下：每局比赛获胜的一方积1分，负

者积0分，无平局，积分首先达到3分的一方获得最终胜利，比赛结束.若甲每局比赛获胜

的概率为2,且每局比赛相互独立，X表示比赛结束时两人的积分之和，则()

3

A.X服从二项分布

B.尸(X=3)=；

Q

C.比赛结束时，甲、乙的积分之比为3:1的概率为一

27

107

D.随机变量X的数学期望为二

27

【答案】BCD

【解析】对于A,X的可能取值为3,4,5,而二项分布的随机变量取值是从0开始的连续自

然数，

因此X不服从二项分布，A错误；

对于B,X=3表示比赛结束时，赛了3局，要么是甲胜3局，要么是乙胜3局，

因此P(X=3)=(|)3+(；)3=g,B正确；

对于C,比赛结束时，甲、乙的积分之比为3:1,则甲乙共赛4局，第4局甲胜，前3局

甲输1局，

2128

概率为c；(一)2x—X—=一，C正确;

333327

对于D,…4P(X=4)=C(|Jx|x|+CtgJx|x|=^,

P(X=5)=C4|)然出吟,E(X)=3x；+4x祟54=署,D正确.

故选：BCD

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知(2+ox)(l—x)7的展开式中/的系数为21,则实数。的值为.

【答案】3

7rrr

［解析】二项式(1-x)展开式的通项公式为Tr+1=C；(-x)=(-l)C；x,reN,r<7,

因此(2+公)(1—x)7展开式中/项为2X(-l)2C^x2+ax-(―l)C；x=(42-7Gxi,

则42—7a=21,解得a=3,

所以实数。的值为3.

故答案为：3

13.甲、乙、丙、丁等6名同学站成一排照相，若要求甲与乙、丙均相邻，丁不站在两端,

则不同的站法种数为.(用数字作答)

【答案】24

【解析】甲、乙、丙均相邻，则甲在乙、丙之间，

乙丙的排列有A；种，把甲、乙、丙视为一个整体，与余下3个人共4个位置，

丁只能在中间两个位置之一，不同的排法种数是A；A；A；=24种，

故答案：24.

14.如果X,y是离散型随机变量，则X在y=y条件下的期望满足£(X|r=y)=

m

£%p(x=x/y=y),其中｛4%，…/｝是X所有可能取值的集合.现甲、乙两选手进

i=l

行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为工，乙获胜的概率为2.若x表示“甲第一次获

33

胜时已进行的比赛局数”，y表示“甲恰好第二次获胜时已进行的比赛局数”，则尸“=5)=

；E(X|y=5)=.(两空均用数字作答.)

325

【答案】--

2432

【解析】由题意，y=5时甲恰好第二次获胜时已进行的比赛局数为5,即前4局甲获胜1

局，

所以。任=5)=/不(号3小言

当y=5时，X的可能取值为1,2,3,4,

122218

所以P(X=l,y=5)=—又一义一X—X—=——

33333243

212218

p(X=2,K=5)=-x-x-x-x-

33333243

221218

p(X=3,y=5)=-x-x-x-x-=—

33333243

222118

p(X=4,y=5)=-x-x-x-x-=一

33333243

所以E(X|y=5)=£x/(X=x,Iy=5)=£七•二二5

1=1i=\s="

P(X=IJ=5)”、，p(x=2,y=5)”/(x=3,y=5)।,p(x=4,y=5)

p(y=5)p(y=5)P(Y=5)p(r=5)

8888

…贷+2*+3浮+4x卷

4442

243243243243

325

故答案为:

2432

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知二项式(l+2x)”的展开式中第6项与第7项的系数相等.

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)若(1+2%)“=%+q(x+2)+%(x+2)-H-----\-an(%+2)",求q+a2H----1的

值.

解：⑴二项式(l+2x)”的展开式中的第厂+1项为(+i=C；(2xy,

由题得2'C：=26(2＞解得〃=8,

所以展开式中共9项，第5项二项式系数最大，

第5项公=4(2x)4=1120/.

(2)由(1)知，n=S,

所以(l+2x)=[—3+2(x+2)]=a。+q(x+2)+a,(尤+2)~++t/g(^x+2)1,

令x=—1得〃0+q++/=(—1)=19

令％=-2得%=(-3)8=6561,

所以%+生+/++/=1—6561——6560.

16.乒乓球是我国的国球，是一种世界流行的球类体育项目.某学校为了解学生是否喜欢“乒

乓球运动”，从全校学生中随机抽取100名学生进行问卷调查.统计数据整理如下：男生喜

欢乒乓球运动的人数比女生喜欢乒乓球运动的人数多20人，设事件A="喜欢乒乓球运动”,

3=“学生为男生，，，P(A|B)=|,P(B|A)=|.

(1)完成如图2x2列联表;

喜欢乒乓球运动不喜欢乒乓球运动合计

男生

女生

合计100

(2)依据小概率值tz=0.005的%?独立性检验，能否认为喜欢乒乓球运动与性别有关

联？

n(ad-bc『

参考公式：％2=其中〃=a+b+c+d.玉)005=7・879.

(〃+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

解：(1)设抽取100名学生中男生有x人，则女生100—工人,

4

所以女生中喜欢乒乓球运动的有§(100-%)人,

2

又因为P(3|A)=§,

所以P(耳|A)=；,

44

所以喜欢乒乓球运动的共有3义§(100-x)=§(100-X)人,

4?4

所以§(10。_力><3—§(10。_,=20,

解得x=55,

所以抽取100名学生中男生55人，女生45人，其中喜欢乒乓球运动女生为20人，不喜

欢乒乓球运动的女生为25人，喜欢乒乓球运动的男生为40人，不喜欢乒乓球运动的男生

为15人，所以2x2列联表为：

喜欢乒乓球运动不喜欢乒乓球运动合计

男生401555

女生202545

合计6040100

（2）零假设为是否喜欢乒乓球运动与性别无关联.

根据列联表中数据，计算得到力2=l0°（25x40-20x15）=4900土&249>7879，

60x40x55x45594

依据小概率值a=0.005的z2独立性检验，可以推断H。不成立，

即认为是否喜欢乒乓球运动与性别有关联.

17.某小微企业对其产品研发的年投入金额x（单位：万元）与其年销售量V（单位：万件）

的数据进行统计，整理后得到如下的数据统计表：

X15789

y236811

z=Iny0.71.11.82.12.4

（1）公司拟分别用①y=以+a和②y=e,tt+m两种模型作为年销售量V关于年投入金额

x的回归分析模型，根据上表数据，分别求出两种模型的经验回归方程；

（2）统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果，若模型①和②的残差的平方

和分别为9.9和4.2,请在①和②中选择拟合效果更好的模型，并估计当年投入金额为10

万元时的年销售量.

参考公式：对于一组数据（七,y=1,2,3,…其回归直线9=+d的斜率和截距的最

小二乘估计分别为：b=上—-------------,a=y-bx.

之（x,-可,

55

参考数据：X（%-元）（%-歹）=42,元）（4一比）=8.6,e248ali.94.

1=1i=l

1+5+7+8+92+3+6+8+11,

解：（1）由题知，x=---------------------------------二6

55

_0.7+1.1+1.8+2.1+2.4,c

z=-------------------------------=1.62

5

5

所以「无I=（1—6）2+（5-6）2+（7-6）2+（8-6）2+（9-6）2=40,

i=l

,£（一）（%-歹）42

所以6=-----------------=芯=L°5，a=6—1.05x6=-0.3，

Z（—）240

i=l

所以模型①的经验回归方程为j=1.05%-0.3,

由丁=6网+成，两边取自然对数可得Iny=nx+m，即z=nx+7篦，

J（x.-x）（z,.-z）86

所以〃=------------=而=0.215，,71=1.62-0.215x6=0.33，

E（x,-x）240

i=l

所以模型②的经验回归方程为y=e°215x+033

（2）因为9.9>4.2,即②的残差平方和较小，所以，模型②的拟合效果更好.

所以当x=10时，y=e°-215xl0+0-33=e2-48«11.94,

即当年投入金额为10万元时的年销售量的估计值为11.94万件.

18.某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘

制了如下的频率分布直方图：

（I）估计这100名学生的平均体育活动时间；

（2）从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于［40,60］和［60,80］的两

组学生中抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，用X表示这3人中属于

［40,60］的人数，求X的分布列和数学期望；

（3）以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，若从该校学

生中随机抽取且“©N*）名学生，求当〃为何值时，“抽取的〃名学生中恰有5人

每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大?

解：(1)这100名学生的平均活动时间元=20x(10x0.004+30x0.011+50x0.014

+70x0.010+90x0.008+110x0.003)=56.4分钟,

(2)因为体育活动时间位于［40,60］和［60,80］的频率分别为0.28和0.2,

n92

所以抽取的12名学生中位于［40,60］的有12"£+%2=7人,

位于［60,80］的有12-7=5人,

所以随机变量X所有可能取值为0,1,2,3,且X服从超几何分布,

故P(X=°)/小P(X=1)=胃$小=2)=胃=£

PS)/5

所以X的分布列为：

X0123

17217

P

22224444

172177

所以石(X)=0x—+lx——+2x—+3x—=—

v7222244444

(3)由频率分布直方图可知，每天的运动时间不低于40分钟的频率为:

20x(0.014+0.010+0.008+0.003)=0.7.

设“抽取的，名学生中每天的运动时间不低于40分钟的人数”为y,则y5(”,0.7),

p(y=5)=c：(0.7)5(0.3)"巧,

设/⑺=C：(0.7)5(0.3片,

则当“抽取的〃名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大时,

6

有ff(n)>/(n-l)即(0.7)5仅叶(07y(o.3f

［/(〃)》f(n+1)，(0,7)5(0.3)7之c"(07J(03广，，

0.3n〉］

n-543SO

化简得八”小，解得kV九《二

+77

、n-4

因为〃26且〃EN*，所以〃=7.

19.已知编号为1,2,3的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中1号袋子内装有两

个1号球，一个2号球和一个3号球；2号袋子内装有两个1号球，一个3号球；3号袋子

内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球.现按照如下规则连续摸球两次；第一次先从

1号袋子中随机摸出1个球，并将摸出的球放入与球编号相同的袋子中，第二次从刚放入球

的袋子中再随机摸出1个球.

（1）若第二次摸到的是3号球，计算此3号球在第二次摸球过程中分别来自L2,3号袋子

的概率；

（2）设x,y是样本空间Q上的两个离散型随机变量，则称（X,V）是。上的二维离散型

随机变量.设（X,Y）的一切可能取值为（z,j）（z,j=1,2,3,…）,记■表示（z,力