山东省郓城2024-2025学年高二年级下册期中考试数学模拟题（四）附答案

山东省郸城2024-2025学年高二下学期期中考试数学模拟试题

考试范围：人教A版(2019)选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册第六章

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.设〃久)是定义在R上的可导函数，若〃"；­)=2a(a为常数),则，(%0)=()

A.-2aB.—aC.aD.2a

2.曲线f(x)=-e在x=1处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为()

A.eB.-C.—D.—

222

3.已知函数f(x)满足/(久)=2/⑴"工+簧尸(尤)为/(X)的导函数)，则f(e)=()

22

A.e-1B.-+1C.1D.1

ee

4.下列求导计算正确的是()

A(1九%),_lnx+1B.［伍(2x+l)Y=高

C.(2"iy=2x+1上D.(2xsin^cos^Y=cosx

5.设函数/(%)在R上可导，其导函数为/'(%),且函数y=(l-%)/'(%)的图象如图所示，则下列结

论中一定成立的是()

A.函数/(%)有极大值/(2)和极小值/(I)

B.函数f(%)有极大值/(2)和极小值/(-2)

C.函数/(%)有极大值/(-2)和极小值/(I)

D.函数/(%)有极大值/(-2)和极小值/(2)

6.设函数尸(%)是奇函数/(%)(%ER)的导函数，且满足/(2)=0,当%>0时，%/'(%)+/(%)<0,

则使得/(%)>。成立的工的取值范围是().

A.(2,+oo)B.(—oo,—2)U(2,+oo)

C.(一2,0)U(2,+oo)D.(—8,—2)U(0,2)

BC

7.如图，用四种不同的颜色给图中的4B,C,D,E,F,G七个点涂色，要求每个点涂一种颜

色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有()

A.192B.336

C.600D.以上答案均不对

8.(x+y-1)8的展开式中，含孙4的项的系数为()

A.240B.—280C.560D.360

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数/'(久)=xs讥x+cosx,下列关于/'(久)的结论中，正确的有()

A./(乂)是R上的奇函数B.f(x)是R上的偶函数

C.f(x)在区间(—另)是增函数D./在区间(—]0)是减函数

10.对于三次函数/'(%)=+。久2+c%+d(aK0),给出定义：设/''(x)是函数y=/(久)的导数,

「是函数1(%)的导数，若方程/有实数解出,则称Oo/Qo)为函数y=/O)的“拐点”.某同学

经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就

是对称中心,若函数/'(久)=]炉一+%+eR),贝(]()

A./(X)一定有两个极值点

B.函数y=f(x)在R上单调递增

C.过点(0力)可以作曲线y=f(x)的2条切线

D•当力=制，D')+八嬴)+/(急)+•••+”-)=2。22

11.有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是()

A.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有34种

B.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有43种

C.每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种

D.每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有33种

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

121已知函数/(%),g(x)的定义域为R,g'(x)为g(x)的导函数，且/(x)+“(久)一1=0,f(x-2)-

或4一支)一1=0,若以比)为偶函数，则片誉/⑺=

13.设实数m>0,若对VK6(0,+8),不等式-呵20恒成立，则小的取值范围

m

为

14.在(2久+l)5(y—1)3的展开式中，久3y2的系数为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

(1)计算：3亨；

仆一“9

(2)解不等式:专一a

GxcxGx

16.(本小题15分)

在二项式(版+9n的展开式中.

(I)若第4项的系数与第6项的系数比为5:6,求展开式中的有理项；

(II)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数最大的项.

17.(本小题15分)

已知二项式(久+专产(＞€可*)的展开式中，.给出下列条件：①第二项与第三项的二项式系

数之比是1：4；②各项二项式系数之和为512；③第7项为常数项；从上面三个条件中选择一

个合适的条件补充在上面的横线上，并完成下列问题.

(1)求实数n的值；

(2)展开式中二项式系数最大的项；

(3)求-2)(%+招产的展开式中的常数项.

18.(本小题17分)

已知函数/(x)=ax2+(2a—l)x—Inx.

(1)当(1=决寸，求函数/(x)在x=1处的切线方程；

(2)讨论函数/(%)的单调性.

19.(本小题17分)

己知函数/(久)=警.

(1)比较/'(%)与1一=的大小；

(2)求证：当0＜久W1.1时，/(%)＞她过.

参考数据：2.14=19.4481,2.73=19.683.

数学答案和解析

1.【正确答案】C

fOo+ZQ-fCvo-h)

由biro=2a,

h

得斗智/(%0+九)一/(%0一%)=2a,

2h

,

•••2/(%0)=2a,

•••/'(%o)=ci-

故选C.

2.【正确答案】A

由f(%)=xqX—e，得/'(%)=e*+xex,

"(l)=2e,又f(1)=0,

・•・曲线/(x)=xex—e在％=1处的切线方程为y—2e(x—1),即y=2ex—2e.

取久=0,得y=-2e,取y=0,得％=1.

・•・曲线/（x）=xex-e在％=1处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为S=[x2exl=e.

故选：A.

3.【正确答案】D

因为/"（X）=2尸（1））X+：,所以/（久）=手+%

所以广(1)=2/'(1)+%所以尸(1)=—

故/（久）=-|/nx+

因此f（e）=-|+l.

4.【正确答案】B

因为（等）'=空，故选项A错误；

因为（2比+1）]'=高，故选项B正确；

因为（2抖1）'=2，+1/2,故选项C错误；

因为（2%si7i]cos]）‘=（xsinx）'=sinx+xcosx,故选项D错误.

故选：B.

5.【正确答案】D

由函数的图象可知，f(—2)=0,尸(2)=0,

并且当久<一2时，/(%)>0,

当-2<久<1,/(x)<0,函数/(%)有极大值/"(一2).

又当1<久<2时，/(%)<0,

当久>2时，/(x)>0,故函数“%)有极小值/(2).

故选D.

6.【正确答案】D

因为当x>0时，xf(x)+/(%)<0,所以0f(x)'<0,

令尸(x)=xf(x),则F'(x)<0,尸(%)单调递减,

因为“久)是奇函数，所以/(%)=-/(-X),

所以产(一%)=(-%)/(-x)=-x[-/(%)]=xf(x)=F(x),

所以F(x)为偶函数，图象关于y轴对称，

因为/'(2)=0,所以F(2)=2f(2)=0,所以F(—2)=0,

所以在(一8,—2)时，F(K)<0,f(x)>0,

在(一2,0)时，F(x)>0,/(x)<0,

在(0,2)时，F(x)>0,/(x)>0,

在(2,+oo)时，F(x)<0,/(x)<0,

所以/(%)>0成立的x的取值范围是(一8,—2)U(0,2).

故选：D.

7.【正确答案】C

E,F,G分别有4,3,2种方法，

①当力与尸相同时，力有1种方法，此时B有2种，

(1)C若与F相同有C有1种方法，同时。有3种方法，

(2)若C与尸不同，则此时。有2种方法，

故此时共有：4x3x2x1x2x(1x34-1x2)=240种方法；

②当力与G相同时，4有1种方法，此时B有3种方法，

(1)若C与尸相同，C有1种方法，同时。有2种方法，

(2)若C与尸不同，则。有1种方法，

故此时共有：4x3x2xlx3x(lx2+lxl)=216种方法;

③当A既不同于F又不同于G时，A有1种方法，

(1)若B与尸相同，则C必须与4相同，同时。有2种方法；

(2)若B不同于F,则B有1种方法，

(I)若C与F相同则C有1种方法同时。有2种方法；

(II)若C与F不同则必与A相同，C有1种方法，同时。有2种方法；

故此时共有：4x3x2xlx[lxlx2+lx(lx2+lx2)]=144种方法;

综上共有240+216+144=600种方法.

故选：C.

8.【正确答案】B

(x+y-1)8的通项为(-1)8T隽(比+=(—1)8-14或必-3『，

且r<fc,r,fc£{0,1,2,3,4,5,6,7,8},

故孙4的项的系数为(_1)8-5C5C4=—56X5=—280.

故选：B.

9.【正确答案】BD

函数/(x)=xsinx+cosx,定义域为R,

所以f(—x)=—xsin(—x)+cos(—x)=x-sinx+cosx=/(x),所以/(久)是R上的偶函数

B正确，A错误；

当xe(—H)时，/'(x)=sinx+xcosx—sinx—xcosx,

由余弦函数性质，当xe(-K)时，cosx>0,

所以当无6(-],0)时，f'(x)-xcosx<0,函数y0)是减函数，

当xe(0,5)时，f'(x)-xcosx>0,函数，(x)是增函数，C错误，D正确；

故选BD.

10.【正确答案】BCD

由题意知f'(x)=x2-x+1,△=1一4=一3<0,/''(%)>0恒成立，

所以/(%)在R上单调递增，没有极值点，A错误，B正确；

2

设切点为一]爪2+7n+力),贝Ufc-=m-m+1,

切线方程为y—Qm3—1m2+m+b)=(m2—m+1)(%—m),代入

点(0力)得—1m3+|m2—m=—m3+m2—m,

即|TH3=|m2,解得m=0或m=1,

所以切线方程为y=x+b或y=||x+h,C正确；

易知/〃(%)=2x-1，令/〃(%)=0，贝I」%=1.

当by时，r@=o，/©=i，所以点(1,1)是/(%)的对称中心，

所以有/0黑+4=2，即/«+/(l-x)=2・令S”岛)+/(£)+

/岛)+…+/第)，

又5”(黑)+/(第|)+/(黑)+…+/(盛)，所

以2s=[/(/)+f(第|)]+[/(盛)+/(黑)]+…+上(黯)+/(寂)]=2022X2=

4044,所以5=2022,D正确.

故选：BCD.

11.【正确答案】AC

因为每个人有3种报名方法，所以不同的报名方法共有34种，故A正确，B错误；

若每个社团限报一个人，则不同的报名方法有4x3x2=24种，故C正确，D错误.

12.【正确答案】2024

因为9(久)是偶函数，

则g(-％)=g。)，两边求导得一g'(-％)=g'O)，

所以g'O)是奇函数，故g'(0)=0,由/Q)+g'(x)-1=0①，

则/(%-2)=1-g'[x-2),代入f(x-2)-7(4-x)-1=0②，

可得1一g'(x—2)—g'(4—x)—1=0,即g'(4—x)=—g'(x—2),

即g'(2+x)=-g'(-x),

又因为g'O)是奇函数,所以g'(2+久)=g'(x),

所以g'O)是周期为2的周期函数，

又f(久)+9'(久)-1=0，可知/(X)也是周期为2的周期函数，

令x=4代入②，得/(2)=g'(0)+1=1,

令x=l代入①，得f(l)+g'(l)-1=0,

令x=3代入②，得f(l)—“(1)—1=0,

联立修⑴一。⑴一八°,

1/(1)+g(1)-1=o

解得/"(1)=L

所以E誉4/⑺=/⑴+〃2)+…+/(2024)

=1012[/(1)+/(2)]=1012x2=2024.

故2024.

13.【正确答案】[3,+8)

由6加——>0mxe1^>xlnx=Inx-elnx,

m

构造函数/(%)=xex(x>0)=>/'(%)=(%+l)ex>0,

所以/(%)在(0,+8)为增函数，则mx-emx>lnx-elnx=mx>Inx,

即对V%G(0,+oo),不等式mx>Inx恒成立，

则V%E(0,+8),m>

构造函数g(%)=3=g'(x)=与篝

令g'(%)>0，得0<%Ve；令g，(x)<0,得x>e；

所以gO)=笥在(0,e)上单调递增，在(e,+oo)上单调递减，

-1-1

所以g(x)max=g(e)=]即机

故&+8).

14.【正确答案】-240

因为(2x+1)5的展开式的通项为几+1=C其2X)5T=25-fccfcx5-fc(0<fc<5j/cGN),

(y—1)3的展开式的通项为Tr+1=Gy3-r(-1/=(-1)793T(0《y3/£N),

所以取k=2,r=1.得/y2的系数为23玛,(-1)己=-240.

故一240.

15.【正确答案】解：（1）原式=4x8x7x6x54-2x8x7x6x5x4

81-9x8x7x6x5

8x7x6x5x(4+8)

8x7x6X5x(4!-9)

_4

-5,

(2)原不等式可化为——------------------<---------------,

vJx(x-l)(x-2)x(x-l)(x-2)(x-3)x(x-l)(x-2)(x-3)(x-4)

化简得/一11%一12<0,.1<X<12.

y."xeN*Kx>5,5,6,7,8,9,10,11.

二原不等式的解集是{5,6,7,8,9,10,11}.

本题考查了排列数公式及组合数公式，解一元二次不等式，属于基础题.

(1)利用排列数公式化简计算即可；

(2)根据组合数公式化简可得/—11%—12<0,再解一元二次不等式即可.

16.【正确答案】解：(I)由题意可知，展开式第四项系数为髭•23,第六项系数为猿•25,

满足鬣•23：琮-25=5:6,

••.6髭=20此，即践2-7n+6=0,解得n=6或九=1(舍去)，

••・展开式通项几+1=。其莎丁一鼠:尸=隽2乜丁，k=o,1,2,-6,

当k=0,3,6时，F为整数，

所以当k=0,3,6时为有理项，

即展开式中的有理项为：加=X2,q=矍，77=果

(II)因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以n=8,

此时展开式通项7计1=%（波）8T（：）,=%2rXM,T=0,1,2,…8,

设第r+1项的展开式系数最大,

q2r>%T2『T

则

q2r>C^+12r+r

解得5<r<6,

所以展开式中系数最大项为：76=C1(V^)3(|)5=1792%-4和G=C1(Vx)2(|)6=1792x-T.

本题考查二项展开式的通项公式，指定项的系数与二项式系数最大的项，属于中档题.

(I)由题意可得髭<3：馥<5=5:6,从而得到n的值，再结合展开式通项即可求出有理项;

(II)根据第5项的二项式系数最大可得n=8,设第r+1项的展开式系数最大，则

r

>%T2『T

r从而得到r的值，再求出对应的项即可.

17.【正确答案】解：(1)因为二项式0+；)以几6N*)展开式的通项公式为7r+1=

VX

5勺-1)『=V3，

其中04厂<n,rGN,

选①，由题知为=；,解得n=9,

选②，令久=1,得到(1+l)n=2八=512,解得ri=9,

选③，由题知n—gx6=0,解得n=9；

(2)由(1)知n=9,

所以二项式系数最大的项为第5项或第6项，

又二项式0+专1)9展开式的通项公式为7计1=C^x9n~23r(0<r<9,re/V),

所以展开式中二项式系数最大的项为75=《炉=126好或76=席J=126x1；

(3)由(1)知n=9,

又。依-2)。+*户

=皿。+专)9-2。+专)9,

因为(久+三)9展开式的通项公式为"+1=C；x9-lr(0<r<9,rGW),

■yX

由9—aO=一；D,得至ljr=7,

由9一)=0,得到r'=6,

所以(久口一2)(x+：产的展开式中的常数项为《一2琦=-132.

vX

本题考查二项式系数或系数最大(小)的项，指定项的系数与二项式系数，二项展开式项的系数和

与二项式系数的和，属于中档题.

(1)先看条件①②③分别可以得到什么结果，然后分别选取求解即可；

(2)由(1)知71=9,利用二项式系数的性质，即可求解；

(3)根据(1)知n=9,然后将前面括号打开，利用二项式(x++)9展开式的通项公式为工+1=

vX

c3

4丁-尹(0<r<9,reN)分别求常数项计算即可.

18.【正确答案】解：⑴当a=决寸，/(%)=|x2-Inx,其中久>0,

得f⑴制，

求导数得/。)=%-[=。+*)，

所以切线的斜率k=「(l)=0,

所以切线方程为y=

(2)由/(%)=ax2+(2a—l)x—Inx,

可得,(%)=2a/+(2;l)I

(x+l)(2ax-1)

=-----------,

x

①当aW0时，f'(x)<0,

即f(久)在(0,+8)为减函数；

②当a>0时,xe(0,/时,/(%)<0,

故/(久)在(0,用为减函数；

%eg,+8)时，f'(x)>0,

故fO)在弓,+8)为增函数.

综上，aWO时,与%)在(0,+8)为减函数;

a>0时,/(x)在(0,7为减函数，在弓,+8)为增函数.

本题考查求曲线上一点的切线方程，利用导数求函数的单调区间，属于中档题.

(1)把a=夕弋入函数解析式可得”1)=p求导数可得斜率k=/(I),可得切线方程;

(2)可得,(x)=(X+I)(;XT),对a进行分类讨论可得单调性.

19.【正确答案】解：—=等一。一=：(s讥x—x+0),

132

令9(%)=in%—%+--(%6/?),贝g'(%)=cosx—1+x—，

62

、X2

设九(%)=cosx_1+万,则〃(%)=x—sinx,

令(p(x)=h'(x)=x—sinxf则q'(%)=1—cosx>0,?(%)在(—8,+8)上为增函数,

•••0（0）=九'（。）=0,

・・・当%e(-8,0)时,h'(x)<为减函数；

当％6(0,+8)时，/;'(%)>为增函