数列的通项公式及数列求和大题综合（解析） 2015-2024年高考数学试题分项汇编（全国）

当家20照利的通项公式及照列求和大泉除含

十年考情­探规律

考点十年考情（2015-2024）命题趋势

考点1等差数1.掌握数列的有关概念和表示方

列的通项公式2023•全国乙卷、2023•全国新I卷、2021•全国新II法，能利用与的关系以及递推关系

及前n项和卷、2019•全国卷、2018•全国卷、2016•全国卷求数列的通项公式，理解数列是一

（10年5考）种特殊的函数，能利用数列的周期

考点2等比数性、单调性解决简单的问题

列的通项公式2020•全国卷、2019•全国卷该内容是新高考卷的必考内容，常

及前n项和2018•全国卷、2017•全国卷考查利用与关系求通项或项及通

（10年4考）项公式构造的相关应用，需综合复

考点3等差等2022•全国新n卷、2020•全国卷、2019•北京卷习

比综合2017•北京卷、2017•全国卷、2016•北京卷

（10年6考）2015•天津卷2.理解等差数列的概念，掌握等差

2024•全国甲卷、2024•全国甲卷、2023•全国甲卷数列的通项公式与前n项和公式，

2022•全国甲卷、2022•全国新I卷、2021•天津卷能在具体的问题情境中识别数列

考点4数列通2021•浙江卷、2021•全国乙卷、2021•全国卷的等差关系并能用等差数列的有

项公式的构造2020•全国卷、2019•全国卷、2018•全国卷关知识解决相应的问题，熟练掌握

（10年9考）2016•山东卷、2016•天津卷、2016•天津卷等差数列通项公式与前n项和的性

2016•全国卷、2016•全国卷、2016•全国卷质，该内容是新高考卷的必考内

2015•重庆卷、2015•全国卷容，一般给出数列为等差数列，或

2024•天津卷、2024•全国甲卷、2024•全国甲卷通过构造为等差数列，求通项公式

2023•全国甲卷、2023•全国新II卷、2022•天津卷及前n项和，需综合复习

考点5数列求2020•天津卷、2020•全国卷、2020•全国卷

和2019•天津卷、2019•天津卷、2018•天津卷3.掌握等比数列的通项公式与前n

（10年10考）2017•天津卷、2017•山东卷、2016•浙江卷项和公式，能在具体的问题情境中

2016•山东卷、2016•天津卷、2016•北京卷识别数列的等比关系并能用等比

2015•浙江卷、2015•全国卷、2015•天津卷数列的有关知识解决相应的问题，

2015•天津卷、2015•山东卷、2015•山东卷熟练掌握等比数列通项公式与前n

2015•湖北卷、2015•安徽卷项和的性质，该内容是新高考卷的

2023•全国新n卷、2022•全国新I卷、2021•浙江卷必考内容，一般给出数列为等比数

考点6数列中

2021•全国乙卷、2020•浙江卷、2019•浙江卷歹!J,或通过构造为等比数列，求通

的不等式、最

2017•北京卷、2016•浙江卷、2016•天津卷项公式及前n项和。需综合复习

值及范围问题

2015•重庆卷、2015•浙江卷、2015•四川卷

(10年几考)

2015•上海卷、2015•安徽卷4.熟练掌握裂项相消求和和、错位

考点7数列与相减求和、分组及并项求和，该内

2024•上海卷、2024•全国新II卷、2023•全国新I

其他知识点的容是新高考卷的常考内容，常考结

卷、2019•全国卷、2017•浙江卷、2015•陕西卷

关联问题合不等式、最值及范围考查，需重

2015•湖南卷

(10年5考)点综合复习

分考点二精准练工

考点01等差数列的通项公式及前n项和

1.(2023・全国乙卷•高考真题)记S”为等差数列｛%｝的前〃项和，已知。2=11再o=4O.

(1)求｛g｝的通项公式；

(2)求数列｛|。“|｝的前〃项和1.

【答案】⑴"=15-2”

e[14〃-"2,"47

(2)T=S2

H2-14«+98,H>8

【分析】(1)根据题意列式求解卬"，进而可得结果；

(2)先求S“，讨论。”的符号去绝对值，结合S”运算求解.

【详解】(1)设等差数列的公差为d,

a2-ax+dfa+(/=11[%=13

由题意可得°10x9^/c，即；…q，解得二,，

S10=10%+------d=40[2%+9d=8[d=-2

、2

所以a,,=13-2(〃-1)=15-2〃，

(2)因为5“="13+152〃)=]劭_〃2,

"2

令%=15-2〃>0,解得且“eN*,

当〃47时,则。“>0,可得毒=同+同---=ax+a2-\-------\-an=Sn=14n—n~；

1

当〃28时，贝!J0”<0,可得4=laJ+1%1"---i-|an|=(flj+a2H--1-a7)-(a8H----Ha„)

=S7一母"一$7)=2S*7-S“=2(14x7-7?)-^-n^n2-14w+98；

14n-n2,n<7

综上所述：T『

n2-14〃+98,〃>8

“2

2.(2023•全国新I卷•高考真题)设等差数列｛%｝的公差为d,且4>1.令,记分别为数列

｛%｝,｛4｝的前〃项和.

(1)若3a2=3%+%,£+3=21,求｛。”｝的通项公式；

(2)若出｝为等差数列,且S9s-4=99,求d.

【答案】⑴。“=3«

【分析】(1)根据等差数列的通项公式建立方程求解即可;

(2)由也｝为等差数列得出4=d或q=",再由等差数列的性质可得%。-%)=,分类讨论即可得解.

【详解[(1)32=3%+%,3d=q+2d,解得q=d,

/.S3=3a2=3(〃]+d)=6d,

又方=b,+b+仇=-+—+—=-

31223d2d3dd

9一

S+T=6d—=21,

33d

即2/-7d+3=。，解得心3或右(舍去),

/.an=%+(〃-1)•d=3〃.

(2)•「色｝为等差数列，

,12212

/.2b72=4+47，即—=—1—,

6(------)=---=—,即。；一3ct[d+2d2=0,解得q=d或q=2d,

1

a2a3a2a3ax

'：d>\,「.%>0,

又S99—7；9=99,由等差数列性质知，99%—99%=99,即％—%=1，

「•"50=1,即a*-%)-2550=0,解得知=51或〃50=-50(舍去)

。50

当q=27时，〃50=。1+49d=51d=51,解得d=l,与d>l矛盾，无解；

当q二d时，/0=+49d=50d=51,解得d=*.

综上，t7=—.

50

3.(2021•全国新n卷•高考真题)记S"是公差不为0的等差数列｛%｝的前"项和，若生=55，出,=邑.

(1)求数列｛4｝的通项公式。“；

(2)求使成立的〃的最小值.

【答案】(1)。“=2〃-6；(2)7.

【分析】⑴由题意首先求得见的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；

(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.

【详解】(1)由等差数列的性质可得：S5=5a3,贝!］：4=5%,，的=0，

2

设等差数列的公差为d,从而有：a2a4=(%-4)(。3+")=-"，

邑=%+仇+%+%=(%—2d)+(%一1)+%+(%+d)=-2d,

从而：-/=-2d，由于公差不为零，故：1=2,

数列的通项公式为：a”=%+("-3”=2〃-6.

⑵由数列的通项公式可得：％=2-6=-4,贝ij：S“=〃x(-4)+"T)x2=〃2-5〃,

2

则不等式即：n-5n>2n-6,整理可得：(«-1)(«-6)>0,

解得：〃<1或力>6,又〃为正整数，故〃的最小值为7.

【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数

列的有关公式并能灵活运用.

4.(2019•全国•高考真题)记S〃为等差数列｛劭｝的前〃项和，已知Sg=—。5.

(1)若的=4,求｛劭｝的通项公式;

(2)若曲>0,求使得S位由的几的取值范围.

【答案】(1)。“=-2〃+10；

(2)1<«<10(HGN*).

【分析】(1)首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于々和"的方程组，求得4和d的值,

利用等差数列的通项公式求得结果；

(2)根据题意有。5=。，根据％〉0,可知d<0,根据得到关于〃的不等式，从而求得结果.

【详解】(1)设等差数列｛“"｝的首项为％,公差为d,

9x8

,9。］H----d——(u,+4d)

根据题意有121,

%+2d=4

［q=8

解答।所以4,=8+(“一1"(-2)=-2〃+10,

［a=-2

所以等差数列｛6｝的通项公式为。"=-2〃+10；

(2)由条件S9--a5,得9a5--a5,即生=0，

因为%>0,所以d<0,并且有%=q+41=0,所以有％=-44,

由S"Aa”得"%+Dd>%+(〃T)d,整理得(7?-9”)d>(2n-10)d,

因为d<0,所以有“2-9”42〃-10,即"2-11〃+］0mo,

解得1V〃V1O,

所以〃的取值范围是：14〃W10(〃eN*)

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式,

在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.

5.(2018・全国•高考真题)记S“为等差数列｛*｝的前〃项和，已知%=-7,£=-15.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)求S”,并求S”的最小值.

【答案】(1)见=2〃-9；(2)S,=n2-8«,最小值为-16.

【分析】(1)方法一：根据等差数列前力项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；

(2)方法二：根据等差数列前〃项和公式得S.，根据二次函数的性质即可求出.

【详解】(1)［方法一］:【通性通法】【最优解】公式法

设等差数列｛%｝的公差为d,由$3=-15得，3x(-7)+号4=-15,解得：d=2,所以%=2〃-9.

［方法二］:函数+待定系数法

设等差数列｛%｝通项公式为。“=筋+6,易得左+。=一7,由$3=T5,即3a2=75,即2左+6=-5,解得：

k=2,b=-9,所以a“=2〃-9.

(2)［方法1］：邻项变号法

由S“=叫+"("；)"可得s”-8".当。“<0,即2〃一9<0,解得所以5“的最小值为

$4=4%+64=-16,

所以S”的最小值为-16.

［方法2］：函数法

由题意知Sa=5/+，即S"="2-8〃=（〃-4）2_16,

所以S,的最小值为邑=42-4乂8=-16，所以s”的最小值为-16.

【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前〃项和公式求出公差，即可得到通项

公式，是该题的通性通法，也是最优解；

方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前〃项和的性质，用待定系数法解方程

组求解；

（2）方法一：利用等差数列前〃项和公式求S,，再利用邻项变号法求最值；

方法二：利用等差数列前〃项和公式求S,,再根据二次函数性质求最值.

6.（2016■全国・高考真题）等差数列｛%｝中,%+%=4,/+%=6.

（I）求｛。,｝的通项公式；

（II）设6“="」，求数列也,｝的前10项和，其中国表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.

.2〃+3仃、

【答案】（IT）。“=--—;（II）24.

【详解】试题分析：（I）根据等差数列的通项公式及已知条件求为,d,从而求得（II）由（I）求

”,再求数列也｝的前10项和.

试题解析：（I）设数列｛%｝的公差为d,由题意有2%+5d=4吗+5d=3.

2

解得a1=l,d=—.

所以｛%｝的通项公式为an=3产.

（II）由（I）知，=.

当n=l,2,3时，1《今虫<2也=1：

当n=4,5时，2（^1<3立,=2；

当n=6,7,8时，3（&F<4,，=3；

当n=9,10时，44^1<5,6"=4.

所以数列｛〃｝的前10项和为1x3+2x2+3x3+4x2=24.

【考点】等差数列的通项公式，数列的求和

【名师点睛】求解本题时常出现以下错误：对"[x]表示不超过x的最大整数”理解出错.

考点02等比数列的通项公式及前n项和

1.（2020•全国•高考真题）设等比数列｛an｝满足％+电=4,%=8.

（1）求｛an｝的通项公式；

（2）记S.为数歹！J｛log3an｝的前。项和.若§„,+黑+i=，求m.

n

【答案】（1）an=3~'；（2）m=6.

【分析】（1）设等比数列｛4｝的公比为9,根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式;

（2）由（1）求出｛log?4｝的通项公式，利用等差数列求和公式求得S.，根据已知列出关于〃7的等量关系

式，求得结果.

【详解】（1）设等比数列｛%｝的公比为0,

a+aq=44—1

根据题意,xx，解得

—Q]=84=3

所以q,=3"T；

(2)令"=log3an=logs3'i="-1,

所以S"/（0；T）n(n-\)

2

炬短。工caHT汨机(加一1),机(w+1)(m+2)(m+3)

根据Sm+Sm+1='+3,可得-------+-------=------------，

整理得7M2-5m-6=0；因为机＞0,所以"?=6,

【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力,

属于基础题目.

2.（2019・全国•高考真题）已知｛%｝是各项均为正数的等比数列，%=2,%=2g+16.

（1）求｛%｝的通项公式;

（2）设a=log2an,求数列也,｝的前〃项和.

【答案】（1）a“=22"T；（2）S„=«2.

【分析】⑴本题首先可以根据数列｛4｝是等比数列将的转化为生k，出转化为再然后将其带入

%=2g+16中，并根据数列｛%｝是各项均为正数以及%=2即可通过运算得出结果;

⑵本题可以通过数列｛%｝的通项公式以及对数的相关性质计算出数列也,｝的通项公式，再通过数列也｝的

通项公式得知数列｛"｝是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果.

【详解】⑴因为数列｛6｝是各项均为正数的等比数列，a3=2a2+16,%=2,

22

所以令数列｛%｝的公比为0,a3=atq=2q,a2=a1q=2q,

所以2q2=4q+16,解得4=-2(舍去)或4,

I21

所以数列｛%｝是首项为2、公比为4的等比数列，a„=2x4"-=2--

（2）因为。=log2。”,所以，=2〃-1,bn+l=2n+l,bn+l-bn=2,

所以数列｛a｝是首项为1、公差为2的等差数列，s"=坞

【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求

和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题.

3.（2018•全国•高考真题）等比数列｛a/中，＜71=1,a5=4o3.

（工）求｛aj的通项公式；

（2）记，为｛。〃｝的前〃项和.若乂=63,求利.

【答案】（&）（=（一2片或4=2"T.

(2)m=6.

【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m.

详解：（1）设｛%｝的公比为0,由题设得a“=/i.

由已知得炉=4/,解得4=0（舍去），q=-2或q=2.

故an=（-2）"”或an=2"一.

（2）若%=（-2）i,则S“J,）”.由'=63得（-2『=-188,此方程没有正整数解.

若%=2-i,则S,=2"-1.由何=63得2”=64,解得〃7=6.

综上，m=6.

点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题.

4.（2017•全国•高考真题）记Sn为等比数列｛%｝的前"项和，已知52=2,S3=-6.

（1）求｛0“｝的通项公式；

（2）求S",并判断Sn+i,Sn,So+2是否成等差数列.

【答案】⑴4=（-2）"；（2）见解析.

【详解】试题分析：（1）由等比数列通项公式解得4=-2,%=-2即可求解；（2）利用等差中项

证明5佗，Sn,Sn+2成等差数列.

%(l+q)=2

试题解析：（1）设S“｝的公比为/由题设可得解得q=-2,4=-2.故｛%｝的通项公

(1+q+/)=—6

ax

式为%=(-2)〃.

a,(1一叫二2〃2用

(2)由(1)可得S=—1-q3()3

由于Sm+S角=_gA+（T）"r\n^+3—y+2=2]-1Q+（_l）"yt+[1=2S,

故S"+i，SQS“+2成等差数列.

考点03等差等比综合

1.（2022•全国新n卷•高考真题）已知｛叫为等差数列，也｝是公比为2的等比数列，且。2-8=%-4="-%.

（1）证明：q=4；

（2）求集合｛左也=am+a1,l</M<500|中元素个数.

【答案】⑴证明见解析；

（2）9.

【分析】（1）设数列｛%｝的公差为d,根据题意列出方程组即可证出;

（2）根据题意化简可得加=2^2,即可解出.

q+d-2&=劣+2d-40，

【详解】（1）设数列｛%｝的公差为d,所以，<%+/2=跖-（%+3力,即可解得，…心’所以原

命题得证.

(2)由(1)知，4=6■，所以4=am+%o"x2i=%+侬-1"+%,即2%口=2加，亦即m=e[1,500],

解得2"W10,所以满足等式的解左=2,3,4,…,10,故集合｛幻为=%+%,1三加4500｝中的元素个数为

10-2+1=9.

2.（2020•全国•高考真题）设｛%｝是公比不为1的等比数列，生为。2，%的等差中项.

（1）求｛%｝的公比；

（2）若％=1,求数列｛〃4"｝的前”项和.

【答案】（1）-2；（2）S=1一（1+3“）（一2）”.

"9

【分析】（工）由已知结合等差中项关系，建立公比夕的方程，求解即可得出结论；

（2）由（1）结合条件得出｛q,｝的通项，根据｛”《,｝的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.

【详解】（1）设｛4｝的公比为/%为％，%的等差中项，

•/2〃1=a2+。3，〃1w0,「.q2+^—2=0,

,/qwT,：.q=-2；

（2）设｛〃初的前"项和为%%=1,%=（-2）1,

S"=lxl+2x(—2)+3x(-2y+…+〃(一2)"1,①

-2S„=1x(-2)+2x(-2)2+3x(-2)3+…-1)(-2)"一+«(-2)",②

①-②得,3S,=1+(-2)+(力+…+(-2)"-1-«(-2)"

1(1+3现-2)”

3-…3

.S」-(1+3〃)(-2)"

9

【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求

解能力，属于基础题.

3.（2019,北京•局考真题）设｛。〃｝是等差数列，ai=-10,且°2+10,的+8,。“+6成等比数歹！J.

（I）求｛m｝的通项公式;

（II）记｛的｝的前n项和为Sn,求Sn的最小值.

【答案】(I)a„=2n-12.(II)-30.

【分析】（I）由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得｛应｝的通项公式;

（II）首先求得，的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.

【详解】（I）设等差数列｛对｝的公差为d,

因为。2+10,%+8，%+6成等比数列，所以（%+8）2=（2+10）（&+6），

HP(2d-2)2=d(3d—4),解得d=2,所以％=—10+2(〃—1)=2"-12.

(II)由(I)知氏=2〃-12,

二匚I、Ic—10+2〃—122—11＞，2121

所以Sn=-----------xn=n-lln=(zn---)----

224

当"=5或者〃=6时，，取到最小值一30.

【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数

列的有关公式并能灵活运用.

4.（2017•北京•高考真题）已知等差数列m｝和等比数列｛b,,｝满足处=①=1,。2+。4=10乃2b4=。5.

（I）求｛%｝的通项公式;

(II)求和：bi+b3+b5+---+b2n_i.

3"—1

【答案】(1)an=2n-l.(2)

2

【详解】试题分析：（I）设等差数列的公差为d，代入建立方程进行求解；（II）由抄“｝是等比数列，知｛勾-｝

依然是等比数列，并且公比是才，再利用等比数列求和公式求解.

试题解析：（I）设等差数列｛。。｝的公差为“

因1J。2+。4二］。，月f以2C7I+4C/=1O.

解得d=2.

所以an=2n-l.

(II)设等比数列的公比为q.

因为b2b4=。5,所以biqbiq3=9.

解得q2=3.

所以&产2=3”、

21

AMZ>1+63+65+•••+=1+3+3+---+T-=^-.

【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：(1)分组转化法，一般适用于等差数列+等比数

列的形式；⑵裂项相消法求和，一般适用于q,=〃.〃!=(〃+0_〃!£=一产等

的形式；(3)错位相减法求和，一般适用于等差数列x等比数列的形式；(4)倒序相加法求和，一般适用于

首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和.

5.(2017•全国•高考真题)已知等差数列｛对｝的前〃项和为S”，等比数列也｝的前九项和为4,且%=1,4=1,

。2+=4.

(1)若。3+63=7,求也｝的通项公式；

(2)若4=13,求

【答案】(1)b-2)5或75.

【分析】(1)设等差数列｛4｝公差为d,等比数列｛，｝公比为q(qNO),由已知条件求出外再写出通项公

式；(2)由％=13,求出夕的值，再求出d的值，求出

【详解】设等差数列｛叫公差为d，等比数列也｝公比为q(qwO)有(1+4)+4=4,即d+g=3.

(1):(1+21)+，=7,结合"+q=3得q=2,

•••—

2

(2)-：r3=l+q+q=13,解得q=-4或3,

5x4

当g=_4时，［=7,止匕时邑=5+——x7=75；

2

当q=3时，d=0,此时&=5%=5.

【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前"项和公式，属于中档题.等差数

列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量%,一般可以"知二求三"，通过

列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质4+4=册+%=2%

(p+q=m+n=2r)与前"项和的关系.

6.(2016・北京•高考真题)已知同｝是等差数列，他｝是等比数列，且b2=3,b3=9,ai=bi,ai4=b*

（1）求｛an｝的通项公式；

（2）设Cn=an+bn,求数列｛g｝的通项公式.

【答案】（1）。"=2"-1；（2）2/7-1+3"-1

【详解】试题分析：（1）求出等比数列｛"｝的公比，再求出ahai4的值，根据等差数列的通项公式求解;

（2）根据等差数列和等比数列的前n项和公式求数列｛Q｝的前n项和.

b9

试题解析：⑴等比数列低｝的公比"=消=1=3,

所以4=%=1,b4=b3q=27.

q

设等差数列｛叫的公差为d.

因为%=4=1,°]4="=27,

所以l+13d=27,即1=2.

所以（〃=1,2,3,…）.

（2）由（1）知，an=2H-1,4=3"T.

因此c“=。“+6“=2〃-l+3"T.

从而数列｛g｝的前〃项和

S“=1+3+…+（2”-1）+1+3+…+3”T

_«（1+2«-1）1-3"

-21-3

【考点】等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查运算能力.

【名师点睛】L数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数

列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和和可视为数列｛S。｝的通项.

通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一；2.数列的综合问题涉及的数学思想：函数与方程思想（如:

求最值或基本量）、转化与化归思想（如：求和或应用）、特殊到一般思想（如：求通项公式）、分类讨论思

想（如：等比数列求和，《=1或《工1）等.

7.（2015•天津•高考真题）已知｛%｝是各项均为正数的等比数列，低｝是等差数列，且4=1,&+&=2%，

%-34=7.

（I）求｛%｝和低｝的通项公式；

（II）设c“=a/"，”eN*,求数列｛g｝的前"项和.

/,

【答案】（I）=2"T,"wN*，a=2〃-l,”eN*;（II）Sn=（2w-3）2+3

【详解】试题分析：（I）设出数列｛。“｝的公比和数列｛，｝的公差，由题意列出关于见]的方程组，求解方

程组得到%d的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（II）由题意得C"=（2〃-1）2"T,然后利用错

位相减法注得数列上“｝的前〃项和.

试题解析：（I）设｛七｝的公比为q,｛4｝的公差为d,由题意“0，由已知，有《彳-消去d得

q—3d=10,

q4-2q2-8=0,解得q=2,d=2，所以｛%｝的通项公式为a“=2"工〃eN*,也｝的通项公式为

bn=2〃一1,〃£N*.

（II）由（I）有c,=（2〃一1）2"T,设匕｝的前n项和为，，则

Sn=1x2°+3x21+5x2?+…+（21）X2"T,

2s“=1x2^+3x2?+5x2、…+（2〃-1）x2",

两式相减得-S“=1+2?+2?+…+2"-（21）x2"=-（2〃-3）x2"-3,

所以S"=（2〃-3）2"+3.

考点：等差数列与等比数列的综合.

【易错点睛】用错位相减法求和应注意的问题：（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的

情形.（2）在写出"SJ与"染」的表达式时应特别注意将两式“错项对齐"以便下一步准确写出"S“-恭」的表

达式.（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

考点04数列通项公式的构造

1.（2024•全国甲卷•高考真题）记S”为数列｛为｝的前〃项和，已知4s“=36+4.

（1）求｛a“｝的通项公式；

（2）设，=（一1严叫,，求数列｛bn｝的前n项和Tn.

【答案】⑴%=4・（-3严

（2）7；=（21）3+1

【分析】（1）利用退位法可求｛%｝的通项公式.

（2）利用错位相减法可求

【详解】（1）当77=1时，4S]=4%=3%+4,解得q=4.

当〃22时,4sI=3%+4，所以4S"-4S"-i=4%=3%-3%即％，

而。i=4w0,故。“40,故&=-3,

an-l

/.数列｛%｝是以4为首项，-3为公比的等比数列,

所以=4-(-3)"

(2)bn=(一1尸•”4(一3产=4«,3"T,

所以7；=6]+%+/+…+2=4-3°+8-31+12-32+---+4W3"-1

故37；=4-31+8-32+12-33+---+4«-3,,

所以-27；=4+4-3'+4-32+---+4-3n-1-4n-3"

=4+4.3(T”')_4〃.3"=4+23(37_1)_4“.3"

1-3

-(2-477)-3"-2,

.-.7；=(2n-l)-3"+l.

2.(2024・全国甲卷•高考真题)已知等比数列｛%｝的前〃项和为S“，且2s“=3《用-3.

⑴求｛。“｝的通项公式；

(2)求数列｛SJ的前〃项和.

【答案】⑴见

【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；

（2）利用分组求和法即可求S”.

【详解】（1）因为2s“=3。向-3,故2S“T=3%-3,

所以2an=3。用一3%（〃之2）即5%=3°科故等比数列的公比为q=g,

故2%=3a2—3=3%x——3=5%-3,故4=],故a,=[g）•

（2）由等比数列求和公式得s“=

所以数列｛5｝的前〃项和

3©Kl]]315pY315

2JR24⑺24

3.（2023・全国甲卷•高考真题）设E,为数列｛为｝的前〃项和，已知。2=l，2S“=，q.

（1）求｛。”｝的通项公式；

⑵求数列｛毅，的前〃项和

【答案】⑴

（2）7；,=2-（2+n）

5,,«=1

【分析】（1）根据%=。。、.即可求出；

（2）根据错位相减法即可解出.

【详解】（1）因为2S“=〃％,

当〃=1时，2%=ax,即1=0；

当〃=3时，2（1+〃3）=3〃3,即%=2,

当〃22时，2s1-,所以2（S〃—S〃_J=%=,

化简得：（〃—2）%=（〃—当〃23时，人===-="=1,即%=〃—1,

n-1n-22

当〃=1,2时都满足上式，所以0“="-1（"eN"）.

⑵因为铲号,所以小1，2d3d...+

H---F（W-l）xl门—丫I+nxlG—I

两式相减得,

口4+m；+-UY-＞七"

=1~f1+|Y|j'即T,=2-（2+"）&,”eN*.

4.（2022•全国甲卷考真题）记S”为数列｛。”｝的前〃项和.已知—-+n—2an+1.

n

（1）证明：｛%｝是等差数列；

⑵若应，%，%成等比数列，求E,的最小值.

【答案】（1）证明见解析；

（2）-78.

,区,力=1

【分析】（1）依题意可得2s“+/=2加“+〃，根据。“=c、。,作差即可得至U。”一见t=1,从而得

\Sn-Sn_x,n>2

证；

（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出％,即可得到｛%｝的通项公式与前〃项和，再根据二次函数的性

质计算可得.

2s

【详解】（1）因为—-+n=2a+1,BP2S+n2=2na+n（1）,

nnnn

当〃22时，2sl—

①）一6）得，2s〃+〃2_2S〃_］-（〃-1）=2nan+H—2—1）an_x—（w—1）,

即2%+2H-1=2nan—2-1）+1,

即2（〃一1）%—=2（H-1）,所以=1,且〃EN*,

所以｛4｝是以1为公差的等差数列.

（2）［方法一］:二次函数的性质

由（1）可得“4=%+3,%=%+6,%=〃1+8,

又包，%，〃9成等比数列，所以。72=。4，。9，

即（4+6『=（4+3>（4+8）,解得％=-12,

所以%=〃一13,所以y=一12〃+史丁^=夕2一也1(25?625

—\n--------

2(2J8

所以，当〃=12或〃=13时，⑹/面广―78.

［方法二］:【最优解】邻项变号法

由（1）可得知=%+3,g=4+6,“9=%+8,

又应，。7,〃9成等比数列，所以为之二为，为，

即(q+6『=(4+3>(q+8),解得q=-12,

所以4"二〃-13,即有％<.一<〃12<°，。13=0・

则当〃=12或〃=13时，(S〃)min=-78.

【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出S,,的最小值，适用于可以求出，的表达式;

法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解.

5.（2022•全国新I卷•高考真题）记5.为数列｛2｝的前〃项和，已知%=1,，］1是公差为〈的等差数歹U.

⑴求｛&｝的通项公式；

111c

（2）证明：一+—+…+—<2.

%an

・小生、,、（

【答案】⑴%=差nn+」\\

⑵见解析

【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得2=1+=得到5'=（”+2）%,利用和与项的关

系得到当〃22时，a,=S,—Si=（〃+2）%—（"+1）”"T,进而得:'，利用累乘法求得见=也土D,

a

33n-\几—12

检验对于〃=1也成立，得到｛〃〃｝的通项公式%=及学；

（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到,+,+…+，~=2（11］，进而证得.

【详解】⑴••…〃□，•••卜,

又：是公差为:的等差数列，

S1I/n〃+2

nn+2)an

Ct”J-J3

拉+l)%.l

，当〃22时，S〃T

3

n+2)a

an=Sn-Sn-\n

33

整理得：(〃―l"〃=(〃+l)%_i,

an=axx—x-x...x-^-x-^-

a\a2an-2an-\

134n77+1〃(几+1)

=lx—X—X...X-------X-------=--------

12n—2n—12

显然对于"=1也成立，

｛6｝的通项公式。”=当D；

=2。-篇＜2

6.(2021•天津•高考真题)已知｛。“｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.｛4｝是公比大于0的等比数

列，bt=4,b3-b2=48.

(I)求｛与｝和也｝的通项公式；

(II)记的=%“+了/eN,

bn

(i)证明归-qj是等比数歹!];

⑺证吨百＜

2丘(nGTV*)

【答案】(I)c1n=2n—l,nsN*,或=4〃,〃EN*；(II)(i)证明见解析；(ii)证明见解析.

【分析】(I)由等差数列的求和公式运算可得｛“〃｝的通项，由等比数列的通项公式运算可得｛"｝的通项公式;

(ID(i)运算可得C；-C2〃=2.4〃，结合等比数列的定义即可得证；

(ii)放缩得罟;＜是，进而可得胃思三＜昼胃击，结合错位相减法即可得证.

【详解】(I)因为｛%｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.

8x7

以4+4+,,,+/—8〃]H———x2—64,以q=1,

所以%=4+2-1)=2〃-1,〃£N*；

设等比数列也｝的公比为夕,(夕＞0),

所以&-4=4/一如/一夕)=48,解得g=4(负值舍去)，

所以4=贴1=4〃/3；

11

(II)(i)由题意，。"=&+丁=49"+不，

所以c；.C2“=(42"+(j-(4.+，=2.4",

所以c；-Q“R0,且各丁=三*=4，

CnC2nI-

所以数列归“”｝是等比数歹小

伽-1）（2〃+1）2

(")由题意知，言4/—14n

2^'2,222-22n

«k123n

设北=方尹=------1-------1-----+•,•H--------

12T

k=lN2°222〃

mi1.123n

则—7=-T+F+F+・・・+——，

2212223T

两式相减得g1=1+；+]+…+=

2

LLt、Ie〃+2

所以q=44_干

k

所以Z尸=2g\

k=\

【点睛】关键点点睛:

最后一问考查数列不等式的证明，因为£公无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可

k=l

得证.

7.(2021•浙江•高考真题)已知数列｛%｝的前"项和为，，/=-\,M4S„+1=35„-9.

(1)求数列｛6｝的通项;

(2)设数列他,｝满足她+(〃-4)%=0(weN*),记也｝的前〃项和为看,若14劝”对任意〃eN*恒成立,

求实数2的取值范围.

【答案】(1)-3-(!)"；(2)-3<2<L

【分析】(1)由4s用=3S.-9,结合S“与a”的关系，分〃=1,〃22讨论，得到数列｛%｝为等比数列，即可

得出结论；

(2)由34+(〃-4)%=0结合⑴的结论，利用错位相减法求出1，7；W劝“对任意〃eN*恒成立，分类讨

论分离参数％,转化为%与关于〃的函数的范围关系，即可求解.

【详解】(1)当〃=1时，4(%+〃2)=3%-9,

2-9=-2727

4。2

44