用锐角三角函数解决问题-苏科版九年级数学下册

用锐角三角函数解决问题

知识点一、与仰角、俯角相关的应用

在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做

俯角，如下图所示：

例：如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF,国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角

为37。，小明向前走4米到达点E,经过坡度为1的坡面。£,坡面的水平距离是1米，到达点。，测得

此时旗杆顶端的仰角为53°,则旗杆的高度约为（）米,（参考数据：s加37°-0.6,cosZV-0.8,

力”37°^0.75）

BEC

A.6.29B.4.71C.4D.5.33

【解答】A

【解析】过点。作。,垂足为由题意得，

BEM°

ZB=37",ZADF=53°,BE=4,EM=1,

•.•坡面DE的坡度为1,

.3=1,

EM

：・DM=EM=T=FC,

在放ZkAD/中，ZDAF=9Q'3-ZADF=90°-53°=37°,

DF

9：tanZDAF=—^0.75,

设Ab=x,则。尸=0.75;c=MC,

在RrZXABC中，

•••337。=品后丸75,

解得0=5^6.29（米）,

故选4.

知识点二、与“坡”相关的应用

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母a表示;

坡度（坡比）定义：坡面的铅直高度h和水平距离/的比叫做坡度，用字母i表示，贝版="=tana,

b

例：如图，将一个装有水的杯子斜放在水平的桌面上，其截面可看作一个宽8C=6厘米的矩形.当水面触

到杯口边缘时，水面宽度BE=12厘米，此时杯子的倾斜角a等于度.

【解答】30.

【解析】由题意得：2E〃桌面,

Za=/ABE,

•..四边形ABC。是矩形，

.\ZC=90°,AB//CD,

：.ZBEC=NABE,

"：BC=6,BE=12,

:.BC=[BE,

：.ZBEC=30°,

：.Za=ZABE=ZBEC=30°,

故答案为30.

知识点三、与方位角、方向角有关的应用

方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA,

PB,PC的方位角分别为是40°,135°,245°.

方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90。的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方

向线OB,OC,的方向角分别表示北偏东30°,南偏东45°,南偏西80°,北偏西60°.特别如：

东南方向指的是南偏东45°,东北方向指的是北偏东45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的

是北偏西45°

例：如图，海中有一小岛A,它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行.在B点测得小岛A

在北偏东60°方向上，航行12海里到达。点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上.如果渔船不改变航

线继续向东航行，那么渔船还需航行—海里就开始有触礁的危险.

【解析】只要求出A到80的最短距离是否在以A为圆心，以10.5海里的圆内或圆上即可,

如图，过A作于点C,则AC的长是A到的最短距离，

VZCAD=30°,ZCAB=60°,

：.ZBAD=60°-30°=30°,ZABD=90a-60°=30°,

ZABD=ZBAD,

二2。=4。=12海里，

'：ZCAD=30°,ZACD=90°,

海里，

由勾股定理得：AC=V122-62=6V3(海里)，

如图，设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点。'时有触礁的危险,

在直角△AD'C中，由勾股定理得：(6-尤)2+(6V3)2=10.52.

解得x=4.5.

渔船还需航行4.5海里就开始有触礁的危险.

故答案是4.5.

巩固练习

选择题

1.如图，A8是斜靠在墙上的长梯，与地面夹角为a,当梯顶A下滑1加到一时，梯脚8滑到距，

A*与地面的夹角为8,若相wa=*BB'=lm,则cosB=()

【解答】A

【解析】如图在直角△ABC中，ZACB=90°,tana^^,

，可设AC=4x,那么BC=3x,

：.AB==\IAC2+BC2=5x,

.".A1B'=AB=5x.

:在直角B'C中，NA'CB'=90°,A'C=4x-1,B'C=3x+1,

(4x-1)2+(3x+l)2=(5x)2,

解得x=l,

：.A'C=3,B'C=4,A,B'=5,

・oB，C4

••COSP==

A®5

故选A.

2.如图，一个小球由地面沿着坡度i=l：2的坡面向上前进了2Wn,此时小球距离地面的高度为()

777777777777777777777777

A.5mB.2y[SmC.2mD.—m

3

【解答】C

【解析】AB=2y/5m,tanA==|-

.•.设BC=JC,AC=2x,

由勾股定理得，AB^AC+BC1,

即(2V5)-=x+4x,

解得：x=2,

故小球距离地面的高度为2m.

故选C

3.如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角ZADE

为55°,测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，

则下列关系式正确的是（）

A

A.勿〃55°=-^―B.tan55°——

x-l6

•。x-l

C.sm55=——D.00555°

66

【解答】B

【解析】•・•在放ZXAOE中，DE=6,AE=AB-BE=AB-CD=x-1,NAOE=55°,

••匚匚。4E匚匚。DEr-r-o4EX—1

・・s/〃55=—,cos55=—,tan55=—=----,

ADADDE6

故选8.

4.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：V3,坝高2C=3/w,则43的长度为（）

A,6mB.3V3mC.9mD.6V3m

【解答】A

【解析】•••迎水坡AB的坡比为1：V3,

•••=再'即就=后

解得，AC=3V3,

由勾股定理得，AB=y/BC2+AC2=6（m）,

故选A.

5.如图，小明在一条东西走向公路的。处,测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200%

则图书馆A到公路的距离为（

八200V3

A,100mB.10042mC.100V3mD,-------m

3

【解答】A

【解析】由题意得，ZA0B=9Q°-60°=30°,

-1

：.AB=-OA=100(m),

2

故选4.

6.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（0C_L02,点A,B,C,D,。在同一平面内），已知

AD=b,ZBCO=x,则点。到QB的距离等于（）

C.asinx+bcosxD.acosx+bsinx

【解答】c

【解析】如图，过点。作OEJ-OC于点E,

则点D到OB的距离等于OE的长.

：.ZBCD^0°,CD=AB=a,AD=BC=b,

：.ZCDE=ZBCO=x,

/.OC=BC*cosx=bcosx,

CE=CD'sinx=asmx,

OE—OC+CE—bcosx+asinx.

则点D到OB的距离等于bcosx+asinx.

故选C.

7.如图，某大楼OE楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高度CD,小

江从楼底点E向前行走30米到达点A,在A处测得宣传牌下端。的仰角为60°.小江再沿斜坡A8行走

26米到达点8,在点8测得宣传牌的上端C的仰角为43°,已知斜坡的坡度i=l：2.4,点A、8、C、

D、E在同一平面内，CD1AE,宣传牌CD的高度约为（参考数据：sin43°仁0.68,cos43°心0.73,ton43°

^0.93,V3«1.73)()

A.8.3米2.8.5米C.8.7米Z）.8.9米

【解答】A

【解析】过2作交丛的延长线于尸，作BGLOE于G.

上△AB/中，i=fa"NBAF=第=/，48=26米，

：.BF=10（米）,A/=24（米），

：.BG=AF+AE=54（米），

4△8GC中，ZCBG=43°,

：.CG^BG-tan43°七54X0.93=50.22（米），

用△ADE中,ZDAE=60°,AE=30米，

：.DE^V3AE=30V3（米），

ACD=CG+GE-£>E=50.22+10-30V3«8.3（米）.

故选A.

8.如图是一个儿童奇妙屋的主视图，奇妙屋的一个入口是圆的一部分，点。为圆心，该入口的最高点E

与圆心的连线的延长线恰好过弦CD的中点M,连接OD.若CD=0.6m,ZMOD^3Q°,嘉嘉身高1.05〃z,

琪琪身高1.2优，若两者都想直着身从这个入口进入奇妙屋，则下列说法正确的是（参考数据：,~1.732）

A.嘉嘉、琪琪都能进入

B.嘉嘉能进入，琪琪不能进入

C.嘉嘉不能进入，琪琪能进入

D.嘉嘉、琪琪都不能进入

【解答】B

【解析】V该入口的最高点£与圆心的连线的延长线恰好过弦CZ）的中点M,

11

：.DM=-CD=-xO.6=0.3m,EMLCD.

22

在放中，NOMZ）=90°,ZMOD=30°,

.八八DM八彳八

..OD=------=-r0-.3=0.6rm,OM=----O-M--=-f0=.-3«0.5196m,

Sinz-MOD-tanz.MODV3

2T

：.OE=OD=0.&m,

：.EM=OE+OM=0.6+0.5196—1.12机.

V1.O5<1.12<1.2,

二嘉嘉能进入，琪琪不能进入.

故选艮

9.如图，小明为了测量照母山上“览星塔”AB的高度，先从与塔底中心8在同一水平面上的点。出发，

沿着坡度为1:0.75的斜坡行走10米至坡顶E处，再从E处沿水平方向继续前行若干米后至点尸处，

在尸点测得塔顶A的仰角为63°,塔底C的俯角为45°,B与C的水平距离为4米（图中A、B、C、D、

E、产在同一平面内，E、尸和。、C、B分别在同一水平线上），根据小明的测量数据，计算出“览星塔”

的高度约为（计算结果精确到0.1米，参考数据：s历63。q0.89,cos63°七0.45"即63°"1.96）（）

DCB

A.17.8米B.23.7米C.31.5米D.37.4米

【解答】C

【解析】过/作EGLAB于G,过C作CHLFG于H,如图所示：

贝ljPE=CH=2G,GH=BC=4,

•.,斜坡DE的坡度为1：0.75,

.PE_1_4

.・PD10.75-3’

设尸。=3口则PE=4x,

在RtAPDE中,由勾股定理得：DE=7（3x）2+（4x）2=5x,

5x=10,

/•x=2,

:.CH=BG=PE=8,

・・・NCT”=45°,

・・・ACFH是等腰直角三角形，

：.FH=CH=8f

：.FG=FH+GH=12,

在放中，

/XAFGtanZAFG=—FG,

：.AG=FGXtan63a^12X1.96=23.52,

.,.AB=AG+BG=23.52+8=31.5（:米），

即“览星塔”AB的高度约为31.5米，

故选C.

10.如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端8出发，先沿水平方向向右行走20米到

达点C,再经过一段坡度为i=l：2.4,坡长为26米的斜坡CD到达点。，然后再沿水平方向向右行走40

米到达点E（A,B,C,D,E均在同一平面内）.在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物

的高度约为（）米（结果精确到1米）（参考数据：s%24°^0.41,cos24°^0.91,tan24°=0.45）

A.27B.28C.29D.30

【解答】B

【解析】如图，延长AB交即的延长线于凡作CGLEF于G,

由题意得：BG=BC=20米，。£=40米，BF=CG,

在放/XCDG中，i=l：2.4,CD=26米，

mCG=10米，GO=24米，

在中，ZAFE=90°,FE=FG+GO+OE=84米，ZE=24°,

：.AF=FE-tan2.4°七84X0.45=37.8（米），

：.AB=AF-8尸=37.8-10-28（米）；

即建筑物AB的高度为28米；

故选8.

11.数学兴趣小组的同学们要测量某大桥主架顶端离水面的高CD在桥外一点A测得大桥主架与水面的

交汇点C的俯角为a,大桥主架的顶端D的仰角为45°,测得与大桥主架的水平距离为100米.则

大桥主架顶端离水面的高8为（）

A.(100+100»«na)米B.(100+100-fa«a)米

C.(100+—)米D.(100+—)米

sinatana

【解答】B

【解析】在R/ZXABC中，tana=—

AB

.,.BC=AB'tana,

在中，3I45°=—

AB

：.BD^AB-tan450=AB,

ACD=a=BC+BD=AB-tana+AB=(100+100*ta«a)米,

故选B.

12.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.英国佩里加（H.Perigal,1801-1898）用“水

车翼轮法”（图1）证明了勾股定理.该证法是用线段。X,ST,将正方形B/JC分割成四个全等的四边形,

再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）.若AD=同，tan/AON,则正方形

MNUV的周长为（

图1

A.5V13D.8V3

【解答】C

【解析】延长QN交AE于

o

由题意AO=AD=OE=VH,A£=2V13,

在RtZ\AOH中,,：tan/AOH=黑=|，

：'AH=.

••0H=如2+市=DH^AH=AD^^

.DN_HN_DH

"OA-AH-OH'

3

:.DN=\,HN=~,

2

：.ON=OH-HN=5,

•：OM=DN=\,

：.MN=5-1=4,

正方形MNUV的周长为16,

故选C.

二.填空题

13.如图，点、P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，S.PCLAC,在点A处测得点尸

在北偏东60°方向上，在点8处测得点P在北偏东30°方向上，若AP=12千米，则A,8两点的距离为

千米.

【解答】4百千米.

【解析】-：PC±AC,在点A处测得点P在北偏东60°方向上,

.*.ZPCA=90°，ZPAC=3Q°,

'：AP=12千米，

；.PC=6千米，AC=6百千米，

•.,在点8处测得点P在北偏东30°方向上，NPCB=90°,PC=6千米，

：.ZPBC=GQ°,

:.BC==4=2百千米，

tan60°V3

：.AB=AC-BC=6V3-2>/3=4V3（千米），

故答案为4百千米.

14.如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70。方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西

50°方向匀速航行，1小时后到达码头8处，此时，观测灯塔C位于北偏西25。方向上，则灯塔C与码

头B的距离是海里.

【解答】10匹.

【解析】作2DLAC于点

由题意得，ZCBA=25°+50°=75°,AB=20,

则NCAB=(90°-70°)+(90°-50°)=20°+40°=60°,

AZAB£>=30°,

:.NCBD=15°-30°=45°,

在RABD中,BD=AB•sinZCAB=20X5/7/60°=20x亨=10V3,

在放△BCD中，ZCJ3D=45°,

则BC=V2B£)=10V3xV2=10①，

故答案为10V6.

北

15.如图，斜面AC的坡度（CO与4。的比）为1：2,坡顶有一旗杆BC,顶端8点与A点有一条彩带相

连，己知8=3米，48=10米，则旗杆BC的高度为米.

B

【解答】5.

【解析】••,斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2,8=3米，

；.AD=6米，

：AB=10米，AD=6米，

/.BD=V102—62=8（米），

：.BC=8-3=5（米），

旗杆BC的高度为5米.

故答案为5.

16.如图，在一次测绘活动中，在港口A的位置观测停放于8、C两处的小船，测得船8在港口A北偏东

75°方向12海里处，船C在港口A南偏东15°方向9海里处，则船2与船C之间的距离为海里.

北

南

【解答】15.

【解析】根据题意得：ZBAC=90°,A8=12海里，AC=9海里，

在Rt^ABC中,BC=y/AB2+AC2=15海里，

故答案为15.

17.如图，为了测量矗立在高速公路上水平地面上的交通警示牌的高度在与M相距4米的A处，测

得警示牌下端。的仰角为45。，再笔直往前走8米到达8处，在8处测得警示牌上端C的仰角为30。，

则警示牌的高度为米（结果保留根号）.

C

多雾路段''、、、

谨慎驾驻D、''、、

、'、、、、、

________'、30。/、.

MAB

【解答】（4V3-4）米.

【解析】在放中，

VAA/=4,ZMAD=45°,

.\DM^AM=4,

'：AB=8,

：.MB^AM+AB^12,

在•△BCM中，VZMBC=30°,

：.MC=MBtan30°=4后

：.DC=MC-DM=（4V3-4）（米）

答：警示牌的高度C。为（4V3-4）米，

故答案为（4V3-4）.

C

多春路段

置g驾驶D

一\

'、

____________30°〉、

WAB

18.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°,测得底部2的俯角是60°,此时无

人机与该建筑物的水平距离AQ是9米，那么该建筑物的高度为12V3米（结果保留根号）.

□

□

□

□

|5|/_____

【解答】12/

【解析】根据题意可知：

在•△ADC中，ZCAD=30°,AD=9,

：.CD=AD'tan30°=9x曰=3小

在放△AD2中，ZBA£>=60°,A£>=9,

：.BD=AD'tan600=9痔

：.BC^CD+BD^3y/3+973=12A/3（米）.

答；该建筑物的高度BC为12百米.

故答案为12b.

19.如图，某河堤迎水坡的坡比i=l：V3,堤高BC=5:w,则坡面AB的长是m.

【解答】10.

【解析】「坡比/=口"/。18=些=2=旦ZACB=90°,

ACy/33

.\ZBAC=30°,

：.AB^2BC,

y.'：BC=5m,

：.AB=2BC=10m,

故答案为10.

20.如图，小明为测量大树MN的高度，在点A处测得大树顶端M的仰角是30°,沿M4的方向后退50

米到达点8,测得大树顶端〃的仰角是15°,A,B,N在同一水平线上，若小明的身高忽略不计，则大

树高约为米.

M

【解析】/MAN是的一个外角，

：.ZAMB=ZMAN-ZABM=30°-15°=15°,

・•・ZAMB=ZABM,

.\AM=AB=50米，

在放△AMN中，ZMAN=30°，

：.MN=3AM=25米；

2

故答案为25.

21.如图，某商场大厅自动扶梯AB的长为12根，它与水平面AC的夹角N3AC=30°,则大厅两层之间的

【解答】6.

【解析】解；在放ZkABC中，ZBAC=30°,AB=12.m,

BC=-AB=6m,

2

故答案为6.

22.如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯AB的倾斜角为30°,在自动扶梯下方地面C处测

得扶梯顶端2的仰角为60°,A、C之间的距离为4九则自动扶梯的垂直高度九（结果保

留根号）

【解答】见试题解答内容

【解析】VZBCD=ZBAC+ZABC,ZBAC=30°,NBCD=60°,

ZABC=ZBCD-ZBAC=30°,

ZBAC=ZABC,

：.BC=AC=4,

在放△2£>C中，sinZBCD=

:.BD=2g(w),

故答案为2A/3.

23.在一次美术课堂的剪纸活动中，小刚把一张菱形ABC。的纸片沿着各边的中点，剪取四边形EFG”,

纸片所G8分别沿MN、PQ折叠使得点E落在E',点G落在G'处，且直线NE'与直线PG'重合，满

足PN〃EF,若阴影部分的周长之和等于16,SAA£H+SAFCG=16,求的值是.

A

E1H

【解答】竽

【解析】由题意可以设AN=PC=x,EN=HN=PF=PG=y.

h［士(2x-x2yx%=16

炳2，,

14y+4(2%—y)=16

在放中，*：AN=2,HN=4,

：.AH=V22+42=2V5,

9：HG//AC,

：.ZDHG=/HAN,

/.sinZDHG=sinZHAN=—=-4==

AH2V55

故答案为学.

24.如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱8c的高为10.8米，灯杆AB的长为2.4米，灯柱BC与灯

杆48的夹角为120。.路灯采用锥形灯罩，灯亮时其投射角a满足cosa=|,灯罩上装有自动控制旋钮

用以调整灯罩方位，初始状态下，灯的投射区域为。E,。处测得路灯A的仰角为B,且加“8=6,若调

整灯罩旋钮使点。沿。E方向移动2米，则点E移动的距离为米.

【解答】g

【解析】如上图所示，灯罩调整后，灯光在地面的落点E移动到E,的位置,

过A点做A。'_LCE,过2点做，易求出=1.2,则A。'=10.8+1.2=12（米），

DD'=AD'+勿"6=12+6=2,有题意得点。沿DE方向移动2米，即A。'±CE,同时。'点也是。

点移动后的位置，

贝！JAD2=A。'2=122+22=148,AD=2,y[37,

在△A£>E中，过E点做EH_LA。，设。E的长度为尤，

贝U：x・cosB6+幻〃a=&£）（由勿〃6=6,可得cosB=^^,sinP=^=；由cosa=：知s"a=1）

解得：x=誓=DE,

11

灯罩移动后，投射角a=/D'AE',在RTAAD'E'中，D'E'=AD'a=12«1=16,

EE'=DE'-DE=DD'+D'E-DE=2+16-竺=2（米），

1111

故答案是当

三.解答题

25.如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的

夹角，使其由45°改为30°.已知原传送带48长为4&加.

（1）求新传送带AC的长度；

（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出5m的通道，试判断距离B点4旧机的货物MNQP是否需要挪

走，并说明理由.

【解答】（1）AC=8m；（2）货物MNQP需要挪走.

【解析】（1）在KfZvlBI）中，ZABD^45°,

：.AD=—AB=i,

2

在放△AC。中，ZAC£>=30°,

：.AC=2AD=8,

答：新传送带AC的长度为8%；

（2）在放△ACD中，ZACZ>=30°,

:.CD=AB・cosNACD=4®

在放△AB。中，ZABD=45°,

：.BD=AD=4,

:.BC=CD-BD=46-4,

：.PC=BP-BC=4V3-（4V3-4）=4<5,

货物MNQP需要挪走.

26.如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角

为60°,热气球A处与高楼的水平距离为1207”.

（1）求/ABC的角度；

（2）这栋高楼有多高？（结果保留根号）

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【解答】（1）60°；（2）160V3/??.

【解析】（1）过点A作垂足为D

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9：ZBAD=30°,

AZABC=90°-30°=60°

(2)在Rt^ABD中，

'：ZBAD=30°,AD=120mf

：.BD^ADUan^=120x^=40^,

在放△ACO中，

VZCAD=60°,AD^120m,

：.CD=ADUan60°=120x百=120倔w,

：.BC=BD+CD=40y[3+12073-160A/3(m).

27.如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆E。，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角

a是45°,旗杆底端。到大楼前梯坎底边的距离。。是10米，梯坎坡长2c是10米，梯坎坡度加c=l：

[解析】如图，过点“作EFLAB于点尸，作BG±CD于点G,

•；ED_LCD,

・•・四边形OEbG是矩形，

：.EF=DG,ED=FG,

根据题意可知：ZAEF=a=45°

：.AF=EF,

•.•坡度Mc=l：/

CG=3：4,

设2G=3x,CG=4尤，则2C=5x,

5x=10,

解得x=2,

・・・CG=8,BG=6,

：.EF=DG=CG+CD=8+10=18f

：.AF=EF=18f

・・•尸G=EZ)=15,

；・FB=FG-BG=15-6=9,

：.AB=AF+FB=18+9=27（米）.

答：大楼A3的高为27米.

28.为了测量建筑物的高