苏教版高二寒假作业：圆与方程（一）

苏教版高二寒假作业2：圆与方程

【基础巩固】

1.（2024•全国•月考试卷）过点4L—1）,B（-1,D,且圆心在直线x+y—2=0上的圆的方程是（）

A.（x-3）2+（y+l）2=4B.（尤+3）2+（y—l）2=4

C.（x-1）2+（y-l）2=4D.（x+1）2+（y+l）2=4

2.（2024•河南省郑州市•期中考试）已知圆%2+丫2+轨_2ay+3a2—a+1=0的圆心在第二象限，则实数

a的取值范围为（）

A.（-1,|）B.（-1,0]C.（0弓）D.（-|,1）

3.（2024•山东省蒲泽市•期末考试）已知圆C：/+6x=0与直线/：2x+y=l,则圆C上到直线/的

距离为1的点的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2024•江苏省镇江市•期中考试）已知圆（％—1尸+（y+2）2=6内有一点P,48为过点P（—1,—1）的弦，当

弦2B被点P平分时，直线4B的方程为（）

A.%—2y—1=0B.2%—y+1=0C.%+2y+3=0D.2%+y+3=0

5.（2024糊北省武汉市•期末考试）直线x+y+2=0分别与％轴，y轴交于A,B两点,点P在圆

（x—2>+y2=2上，则AABP面积的取值范围是（）

A.[2,6]B.[4,8]C.[>/2,3A/2]D.[2应,30]

6.（多选）（2023•江苏省南通市•单元测试）在同一直角坐标系中，直线y=依+6与圆（x+a>+;/=/

的位置不可能是（）

7.（多选）（2024•福建省泉州市•期中考试）已知直角坐标系中4（—1,0）,5（2,0）,满足|P4|=2|PB|的点P

的轨迹为C,则下列结论正确的是（）

A.C上的点到直线久一y+1=0的最小距离为2心-2

B.若点（x,y）在C上，贝h+Cy的最小值是一1

C.若点0,y）在C上，贝？的最小值是一2

D.圆/+⑶—ay=4与C有且只有两条公切线，贝b的取值范围是（一，7,，7）

8.（多选）（2024•河南省郑州市•期中考试）已知△力8P的顶点P在圆C:/+y2—6x-8y-56=0上,顶

点4B在圆。：久2=4上.若|AB|=2门，贝|（）

A.AaBP的面积的最大值为15dz

B.直线PA被圆C截得的弦长的最小值为8/1

C.有且仅有一个点P,使得N4PB为9

D.有且仅有一个点P,使得直线PA,PB都是圆。的切线

9.（2024•浙江省丽水市•模拟题）圆心在直线，：x-y-2=0上，且与直线小x-y=0相切的一个圆的

方程为.

10.（2024•福建省莆田市•期中考试）平面直角坐标系xOy中，已知点A（0,3）,圆

。:（犬-。）2+（丫-2。+4）2=1.若圆（7上存在点"，使|M4|=2|MO|,则a的取值范围是.

11.（2024•山西省•月考试卷）已知圆。：x2+y2=l,点、「（厄,厄）,过点P向圆。引两条切线PA,PB,

A,2为切点，记C为圆。上到点P距离最远的点，则四边形PACB的面积为.

12.（2024•福建省•单元测试）已知圆C：（x—2）2+（y—1）2=9,直线/：（m+2）x+（l-2m）y-10=0,直线

/与圆C相交于P,。两点.

（1）求1尸。1的最小值;

（2）当CPQ的面积最大时，求直线/的方程.

13.（2023•江苏省盐城市•月考试卷）如图，在平面直角坐标系尤Oy中，已知点玖-2,-4）,圆

。：犬+9=4与x轴的负半轴的交点是Q,过点P的直线/与圆。交于不同的两点A,B.

⑴设直线。4,的斜率分别是匕，左2,求尢+右的值；

（2）设AB的中点为点N（—1,0）,若MN=LOM,求QAB的面积.

【拓展提升】

14.（2024•全国•月考试卷）已知跖是圆C：一+9―2x—4y+3=0的一条弦，且CELCF,P是跖的

JT

中点，当弦所在圆C上运动时，直线/：X—y—3=。上存在两点A,B,使得NAPB..L恒成立，则线

2

段A2长度的最小值是（）

A.472-2B.4A/2+2C.272-1D.2&+1

15.（多选）（2024•浙江省衢州市・单元测试）已知曲线C的方程是（x-忖了+（y-W）2=2,则下列结论正

xy

确的是（）

A.曲线C与两坐标轴有公共点

B.曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形

C.若点尸，。在曲线C上，则怛。|的最大值是4点

D.曲线C围成的面积为8+4万

16.（2024•河北省•期末考试）已知函数〃元）=J1一（无-2）2+2的图象上有且仅有两个不同的点关于直线

y=i的对称点在y=-丘+1的图象上，则实数k的取值范围是.

17.(2024•安徽省淮南市•期中考试)已知圆C的圆心为C(a,力(a>0且b>0),ab=l,圆C与x轴、y轴

分别交于A,8两点(与坐标原点。不重合)，且线段为圆C的一条直径.

(1)求证：AOB的面积为定值；

(〃)若直线x—y=0经过圆C的圆心，求圆C的方程；

(III)在(II)的条件下，设P是直线/：龙+2丁+2=0上的一个动点，过点尸作圆C的切线PG,PH,切点

为G,H,求线段G8长度的最小值.

答案和解析

I.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查圆的标准方程的求法，属于基础题.

【解答】

解：法一设点C为圆心.点C在直线x+y—2=。上，.•.可设点C的坐标为(a,2—a).

又一该圆经过A,B两点，.[C4|=|C5|.

y/(a-l)2+(2-a+l)2=7(«+1)2+(2-«-1)2，解得a=L

圆心坐标为C(1,D，半径长r=|CA|=2.故所求圆的标准方程为(x-+(y—=4.

法二排除法.根据圆心在直线x+y-2=0上，排除bD根据点3(—1.1)在圆上，排除A.

2.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查圆的方程以及一元二次不等式求解，属于基础题.

先将圆化为标准形式，然后根据圆心坐标满足的条件以及圆满足的条件得到关于a的方程组并进行求解即

可.

【解答】

解：将圆％2+y2+轨―2ay+3a2—a+1=0配方得，(%+2)2+(y—a)2=—2a2+a+3,

所以圆心为(—2,a),

由题意得，，2、门解得0<。<*

(―2a/+a+3>0,2

故选C.

3.【答案】B

【解析】【分析】

求出圆心到直线的距离，得到直线与圆相交，且R-d=3-6<1，进而即可求解.

本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，求出圆心到直线的距离是解决本题的关键，属基础题.

【解答】

解:圆的标准方程为(x-3)?+V=9,则圆心坐标为C(3,0),半径R=3,

2x3-1厂l

所以圆心到直线的距离d1,——1=V5<3,所以直线和圆相交，则R—d=3—逐<1，

6+4

所以圆C上到直线/的距离等于1的点的个数为2个.

故选：B.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查圆的中点弦问题，属于中档题.

求出圆心Q(l,-2),由垂径定理得PQ1AB,从而得到题B=2,写出直线方程.

【解答】

解：。一1)2+(y+2)2=6的圆心为Q(l,—2),

4B为过点P(-l,-l)的弦，当弦4B被点P平分，

由垂径定理得PQLAB,

其中kpQ=J1——2)故=2,

所以直线的方程为y+1=2(%+1),即2久-y+1=0.

故选：B.

5.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查与圆有关的最值问题，考查直线与圆的方程及点到直线距离公式，属于中档题.

由题意，IA3I为，A5P的底边长，点P到直线x+y+2=0的距离为的高力，利用圆上点到直线

距离的最大值与最小值即可求出.

【解答】

解：「直线x+y+2=0分别与X轴，y轴交于A,B两点，

，令x=0,得V=—2,令y=0,得x=-2,

A(—2,0),B(0,—2),|AB|=J4+4=2^/2,

点P到直线x+y+2=0的距离为,ABP的高h,

圆(x—2)一+丁=2的圆心为(2,0),半径为后，圆心到直线的距离为：d=^==^=2^2,

所以点尸到直线的距离〃的最大值为20+应=3应，最小值为2应-&=应，

则,ABP面积为S=1-X|AB|X/Z,

最大值为工x2忘x3行=6,最小值为』x2行xji=2,

22

所以ABF面积的取值范围为[2,6].

故选A.

6.【答案】ABD

【解析】【分析】

本题考查曲线与方程的应用，直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查，是基础题.

求出圆的圆心与半径，确定出直线的斜率以及纵截距，即可得出选项.

【解答】

解：由圆(x+a)?+；/=/可知。/0,

圆的圆心为(一凡。)半径为|a|,直线丁=公+〃2的斜率为a,在y轴上的截距为/>o,

所以在同一直角坐标系中，直线y=ax+"与圆(x+a)2+y2=/的位置不可能是ABD

故选：ABD.

7.【答案】ABD

【解析】【分析】

本题考查圆的方程，点与圆、圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题.

设PQ,y),由条件可求得轨迹为C是C(3,0)为圆心，半径r=2的圆，对于4求出C(3,0)到直线％-y+

1=0的距离d,可知d-r为所求；对于B,令b=x+,求出C(3,0)到直线x+V%7-6=0的距离

由求解即可；对于C,令k=(,求出C(3,0)到直线for-y=0的距离42，由求解即可；

对于D,记圆P:久2+(y-a>=4,由条件可知两圆相交，所以0<|PC]<4,求解即可.

【解答】

解：设点PQy),・••4(-1,0),5(2,0),且|P4|=2|PB|,

•••J(X+1)2+y2=2J(久-2)2+y2,

化简得久2+y2—6%+5=0,(%—3)2+y?=4,

.•・轨迹为C是C(3,0)为圆心，半径r=2的圆，

对于4C(3,0)到直线无一y+1=0的距离为d=邑击」=2<2,

所以C上的点到直线x-y+l=0的最小距离为d-r=2^2-2,故A正确；

对于令Z?=%+V3y,即x+—b=0,

C(3,0)到直线%+/3y-h=0的距离为心=

由题意di《r,即与到42,解得一l<b47,

.•・X+V3y的最小值是一1,故5正确；

对于C,令々=4即々％—y=0,

C(3,0)到直线k久-y=0的距离为d2=粤=,

由题意dz《r»即「中।=<2,解得―马普4k4—,

"55

・•.k的最小值是—平，故C错误；

对于D,记圆P:/+(y—a)2=4,其圆心为P(O,a),半径为2,

••,圆/+(y-a)2=4与C有且只有两条公切线，.•.两圆相交，

所以0<|PC|<4,即0<V9+a2<4,解得一<a<Y7,故。正确.

故选：ABD.

8.【答案】ABD

【解析】【分析】

本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，直线与圆的交点坐标、弦长，圆的切线方程，属于较难

题.

设点P到直线4B的距离为八,由拉<\PD\<\P0\+\0D\<\PC\+\0C\+|0。|求得h的最大值判断4,利用

直线和圆的位置关系判断B,若=分析回4BP的外接圆与圆C的交点个数，判断C,利用射影定

理可得|P0|=4进而判断D.

【解答】

解：圆C:/+y2—6x—8y—56=0,BP(x-3)2+(y-4)2=92,

所以圆心为C(3,4),半径4=9,

0|O:x2+y2=4,圆心为。(0,0),半径上=2.

\OC\=5<q—上=7,所以圆。内含于圆C

设线段AB的中点为。，

因为|4B|=2，I,则|OD|=J22-(质)2=1,且|OQ=5,

对于选项A：设点P到直线4B的距离为九，

则h<\PD\<\P0\+\0D\<\PC\+\0C\+\0D\=9+5+1=15,

所以当且仅当P,D,O,C四点共线时，点P到直线力B距离的最大值为15,

所以回4BP的面积的最大值为15质，故A正确；

对于选项8：点C到直线PA的距离小于等于|C4|,当P41CA时，等号成立，

且|C川的最大值为7,

所以点C到直线P4的距离的最大值为7,

此时直线P4被圆C截得的弦长的最小值为2V81-72=872,故B正确；

对于选项C：设回4BP的外接圆的圆心为E,半径为r,

若N&PB=贝忏=而普丽=券=混，|DE|=J（司—（司=V3,

可知iPDlmax=1。用+<6=/3+<6,

因为P在圆C上，|PD|min=3，当且仅当P,D,O,C四点共线时成立，

且3<6+，£可知此时圆E与圆C相交，

此时有2个点P,使得N/1PB=%故C错误；

对于选项。，若直线P4PB都是圆。的切线，贝加41。4

\0D\=1,\AD\=由于AOa。〜AaPD,所以黑=器，

即得射影定理=OD-PD,3=1-PD,PD=3,所以|PO|=1+3=4,

当且仅当P,O,C三点共线时，|P0|min=4,因此有且仅有一个点P,

使得直线PA,PB都是圆。的切线，故。正确；

故选：ABD

9【答案】（x-1>+。+。=2（答案不唯一）

【解析】【分析】

本题考查圆的切线，点到直线的距离公式，属于简单题.

根据题意即可得到答案.

【解答】

解:设圆心坐标为2）,因为圆心到直线4的距离等于圆的半径厂

\（2-Q+t—

所以r=J_1=0,

取。=1,则圆的方程为(x—l)2+(y+l)2=2.

故答案为(尤-1>+(丫+1)2=2(答案不唯一)

"I?"

10.【答案】O,y

【解析】【分析】

本题考查圆与圆的位置关系，与圆相关的轨迹问题，属于中档题.

设点M(x,y),由1KAi=2|MO|化简得M的轨迹方程，再由两圆的位置关系，求得a的范围.

【解答】

解:设点”(x,y),因为|MA|=2阿且A(0,3),

所以Jd+(y_3)2=2^777,

化简得了2+丁2+2>-3=0,即无2+(y+i)2=4,

所以"在以。(0,-1)为圆心，2为半径的圆上.

所以M既在圆C上，又在圆。上，即圆C和圆。有公共点，

所以|2-1圜C。2+1,即啜0片+[(24一4)+1了3,

代二解得网U.所以°的取值范围是「追.

故答案为0,9.

11.【答案】更

2

【解析】【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题.

根据题意，由P的坐标计算可得IPOI的值，进而可得1尸。1的值，过点A作AELO尸，垂足为应求

出IAEI的值，据此计算可得答案.

【解答】

解:根据题意，连接PO,如图，,贝力尸。|=乒5=2,

C为圆。上到点P距离最远的点，则IPCRPOI+1=3,

过点A作AELO尸，垂足为E,

RtAOP中，10Pl=2,贝=

则ig=Q冈却=走,

\OP\2

故S四边切ACB=2S心=2x(gx|AE|x|PC|)=¥，

故答案为：述.

2

12.【答案】解：⑴由直线/：(〃z+2)尤+(l_2〃z)y_10=0,得加(x_2y)+2x+y_10=0,

x-2y=0fx=4

二直线/过定点。(4,2),

2x+y-10=0,"[y=2

(4-2)2+(2-1)2=5<9,.•.点。(4,2)在圆C内部，，直线/与圆C相交，

,当CDJU时，IPQI最小，又|。。|=逐，|尸。|=2^/^=4.

(2).S0Q=gICP|.|CQ|.sinNPCQ,

当NPCQ=90°时，.CPQ的面积最大，

此时CPQ为等腰直角三角形，故圆心到直线/的距离为』=走厂=速，。为圆C的半径),

22

12(/71+2)+1—2/??—10|3A/21

/,,=~T~,解得加=±-，

{("7+2)2+(1-2m)223

，止匕时/的方程为：7x+y—30=0或x+y—6=0.

【解析】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题.

⑴由当CD_L/时，1尸。1最小，通过勾股定理求出1尸!21的最小值;

(2)当NPCQ=90°时，CP。的面积最大，此时有圆心到直线/的距离为〃=?厂二芈，通过点到直

线的距离公式求解出加，可得当“CPQ的面积最大时，直线/的方程.

13.【答案】解：⑴当直线垂直于无轴时，不合题意；

故设直线方程为y+4=网工+2),

y+4=无(十+2)

联立得(1+左2)/+4k(k-2)x+(2k-4)2-4=0.

x2+y2=4

设4(%,%),B(x2,y2),

-4k(k-2)(2左―守―4

贝西+%=

l|干二，%“Fp

%k(%+2)—4k(x?+2)—4

k、+k?=———I—■

玉+2x2+2石+2x2+2

./-44(左一2)八

4x(——v--+4)

=2k――火…+韦=2k-1+k2

——二—

21,

玉%+2(玉+x2)+4(2fe-4)-4।2^-4k(k-2)

1+左2+.1+F+4

即4+£,=—1；

%%一2k(k—2)

(2)设中点"(为,%),由⑴知，毛=，①

21+左2

代入直线/的方程得先=*3,②

1十K

又由MN=；OM,得®+1)2+33+嫡,

化简得：15年+154+32%+16=0,

7|4|4

将①②代入上式，可得々=4,.••圆心到直线/的距离”=求£=相,

.'.|AB|=2J4-^|=2,52

17

一|-8+4|

。到直线,的距图

...S2=g|AB|x〃=；x2,[5244底

AB—X,__=--------

17历17

【解析】本题考查直线与圆位置关系的综合，考查数形结合、化归与转化思想，考查逻辑思维能力与运

算求解能力，属于中档题.

⑴由已知可得直线的斜率存在，设出直线方程，与圆的方程联立，由斜率公式结合根与系数的关系即可

求得勺+匕的值;

⑵设中点”(七,%),由⑴知求得M的坐标，再由=得15片+15y；+32x0+16=0,把M

的坐标代入，即可求得人值，然后利用垂径定理求弦长，再求出。到直线的距离，则S3的面积可

求.

14.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力，属较

难题.

求出圆的圆心与半径，得出产的轨迹方程，利用已知条件说明以为直径的圆要包括圆

(x-1)2+(y-2>=1,然后转化为点到直线的距离求解即可.

【解答】

解：由题可知：圆C的标准方程为：

(1)2+—2)2=2,所以圆心C(l,2),半径厂=0,

又CELCF,P是的中点，所以CP=2±r=l,

2

所以点P的轨迹方程(xT)2+0—2)2=1,

圆心为点C(l,2),半径为7?=1,

7T

若直线/：尤-y-3=。上存在两点A,B,使得NAPA..一恒成立,

2

则以AB为直径的圆要包括圆(x—I)2+(y—2)-=1,

二-3|

圆心C(l,2)到直线I的距离为d==2后,

所以A2长度的最小值为2(d+1)=4A/2+2,

故选：B.

15.【答案】BCD

【解析】【分析】

本题考查曲线与方程，属于中档题.

对绝对值里面的正负分类讨论求出方程，作出图象，即可判定A错误，8正确，结合对称性判断C选

项，根据图形特征计算面积.

【解答】

解：当x>0,y>o时，方程(x—1)+(j—1)=2,

当X>0,y<0时，方程(x—l)2+(y+l)2=2,

当x<0,y>0时，方程(x+iy+(y_l)2=2,

当x<0,y<0时，方程(x+iy+(y+l)2=2,

作出图象：

由于xwO,ywo,所以A错误.

曲线C既是中心对称，又是轴对称图形，

对称中心为（0,0）,对称轴为x，y轴，2正确.

点P,。在曲线C上，当且仅当尸，。与圆弧所在的圆心共线时取得最大值，

I尸。1的最大值为圆心距加两个半径即472，C正确.

在当尤>0,y>0时,"-1『+（尸1）2=2与坐标轴的交点M（2,0）和N（0,2）平分圆，

故第一象限的面积为万+2,故总的面积为8+4%

16.【答案】1,。）

【解析】【分析】

本题考查了直线与圆的位置关系，也考查了转化思想、数形结合思想，属于较难题.

将f（x）变形后得到y=J1-（X-2）2+2表示的图象为以M（2,2）为圆心,1为半径的上半圆，则

y=Jl-（无一2）2+2关于直线y=i的对称图象也是一个半圆,圆心为N（2,0）,半径为1,画出图象，数

形结合得到当直线y=-丘+1位于直线A8与直线AC之间（含A8,不含AC）时，满足要求，求出

,得到不等式，求出实数上的取值范围.

【解答】

解：将y=f(x)=71-(X-2)2+2..2变形得到(X-2)2+(y-2)2=l(y..2),

故丁=/一"一2)2+2表示的图象为以加(2,2)为圆心,1为半径的上半圆，

则y=J1-(x-2)2+2关于直线3=1的对称图象也是一