【阵列信号处理的数学模型和DOA估计算法分析3200字】

阵列信号处理的数学模型和DOA估计算法分析综述目录TOC\o"1-3"\h\u83131.1数学模型 1181251.1.1接收信号 1153421.1.2窄带信号 298901.1.3相干信号模型 4166271.1.4噪声模型 4308891.1.5阵列信号模型 5152891.2常规波束形成算法的研究 9310741.1.1CBF算法基础理论 970541.1.2CBF算法仿真和图形分析 1252521.3MVDR算法 13308191.3.1MVDR算法基础 13227641.3.2MVDR算法仿真和图形分析 14270241.4多重信号分类算法 15237691.4.1MUSIC算法基础知识介绍 1580801.4.2MUSIC算法仿真 171.1数学模型1.1.1接收信号N元均匀等间隔直线阵REF_Ref26232\w\h[18]（ULA），如下图所示：图1.1N元等间距直线阵模型图为阵元,水听器产生的信号为加权值。d是两个相邻的阵元间的距离。期望信号的角度，是干扰的角度。1.1.2窄带信号窄带信号REF_Ref27170\w\h[19]条件 窄带要满足阵元的最大时间差，即。窄带信号的复包络可以表示为 信号幅度，包含了测量目标的距离，速度、方位等信息。是第个阵元接收信号的相位，是接收信号的频率，满足。是延迟时间，窄带远场条件下 由上式我们可以得到 从上面的推导能够得出，窄带信号的时延较小时，近似为原信号加一个时延为的值，相当于是信号复包络的相移，但是它的幅度可以近似认为是没有变化或变化为零。相当于改变了信号的相位，也就可以忽略和的延时，与之对应的，宽带信号是各阵元的复包络有变化时的信号。假设：接收阵元间隔远大于自身尺寸，则可忽略各阵元的影响。接收信号是平面波，则得到均匀直线（ULA）阵的模型为：图1.2M个阵元的ULA结构图若平稳信号为S(t)，则第一个水听器接收到的信号为 ，第二个阵元接收到的信号为 若接收天线数为N,S(t)表示信源信号，则第个阵元接收到的数据就为: 是窄带信号波达角为θ的函数，是第个阵元和参考阵元的波程差，表示光速。则所有接收信号的矩阵为：若有N个信号，入射角度，表示基阵输出信号矩阵，则（2-10）变为:则将以上写成矢量形式为 1.1.3相干信号模型假设和这两个平稳信号的相关系数为： 接收阵列收到的入射信号为窄带信号，在施瓦茨不等式中，恒成立，即 根据上面可以发现，相干信源REF_Ref28652\w\h[20]间差一个复常数，以为基准，则参考源可表示为： 为生成信源，产生相干信源入射到阵列上，x(t)可表示为 是归一化幅度。1.1.4噪声模型设接收到的均为加性噪声，而且噪声均是高斯白噪声时，各阵元和目标源之间没有联系，阵元和噪声也是彼此独立。因此，加性噪声向量n(t)可以表示为： 1.1.5阵列信号模型以离信号最近的阵元作为参考，相邻的阵元可以表示为: 而以最邻近目标源的传感器作为第1个阵元，那么第i个阵元相对于第一个阵元所接收到的信号可以表示为： 假设有M个间隔距离为的阵元，k(k<M)个远场窄带信号，则第i个阵元的信号为： 用阵列入射角向量和信号源向量点乘表达第i个阵元接收信号 很显然第一个i=1的阵元入射信号就是N个远场信号的直接相加 如果定义噪声N×1维阵列接收噪声向量：阵列信号的矩阵表达：输出矢量X(t)为N×1维列向量：信号源矢量：阵列方向矩阵REF_Ref31278\w\h[21]： 阵列方向矩阵：则第K个干扰信号的为： 是相位差。阵列接收的快拍数据可以表示为 式子中X(t)为N×1维列向量，。阵元间距d，又因为，则变化后的相位为 把式左右两边同时展开则为 接收阵元信号含期望信号、干扰、噪声。定义阵列的协方差矩阵为 E表示统计期望；表示信号协方差矩阵；是噪声的协方差矩阵，I是单位矩阵。为了更好的对比阵列输入信号中的、和的功率关系，定义SNR和INR。 第k个信号的干扰噪声比 阵列方向图REF_Ref26855\w\h[22]定义为： 方向增益是指对上式先取模的平方，再归一化后取对数。 ULA权矢量，方向图增益为: ，为推导过程：，由于，，即在单位圆内，所以，因此，根据式可得出增益最高的主瓣位于方向。计算波束宽度的方法REF_Ref152\w\h[23]设定： 处于主瓣附近，，将其代入则分母扩展为带入到G(θ)中得到 左边为sinc函数的形式，则有，解得 则主波束宽度： 即：由λ与阵列孔径L的比值决定。图1.3不同阵元数的波束宽度图1.2常规波束形成算法的研究1.1.1CBF算法基础理论CBF算法的本质是：多个传感器的数据（发射/接收）经过一系列运算或延时、加权等处理，得到增益加权相加使得某个方向的输出增大，相当于指向了该方向使指定方向的信号通过，对其他一些空间方向来的噪声和干扰有所抑制，也称为空域滤波REF_Ref655\w\h[24]。在水声环境中，接收阵元接收信号的信噪比低，不利于水声定位精度的提升，采用波束成形技术，就可抵消干扰，从而提高接收信号的信噪比。假设阵列接收信号只含和，没有干扰信号，这一项就没有了，和二者不相关，阵元噪声为独立白噪声，阵列接收信号为 是期望方向角的大小，是期望导向矢量，。一个阵元上的期望信号功率为，是噪声功率，噪声协方差矩阵为。对于空间独立的白噪声，满足和 在相加前各阵元信号要想具有相同的相位，就必须找到合适的权矢量，然后就能让阵列在期望方向同相相加，即 将的值代到有 N是阵元个数，则常规波束形成算法的方向图增益可以表示为： 如果阵列接收，那么阵列输出为 噪声为。是期望信号的输出功率：那么噪声的输出功率就为： 因为，所以。所以阵列输出信噪比为： 单个阵元的输入信噪比为，阵列增益为两个的比值，即为 则CBF常规波束的增益为 在相位进行扫描时受到带宽的限制，利用工作频率计算权矢量，可得到 1.1.2CBF算法仿真和图形分析图1.4和图1.5是波达方向分别为0°和45°的仿真图，其中有8个阵元，从归一化阵列响应图可以看出，当波达方向的角度变大时，CBF算法的分辨性能下降。图1.40°的归一化阵列响应图（N=8）图1.545°的归一化阵列响应图（N=8）1.3MVDR算法1.3.1MVDR算法基础我们发现常规波束形成算法实际应用中存在局限性，只能处理带有噪声的接收信号，然后采用MVDR算法来改进REF_Ref1811\w\h[25]。自适应波束形成算法，就是得到我们想要的方向的信号，然后抑制其他方向的信号。MVDR算法遵循MMSE准则、MSINR和MNV准则REF_Ref2161\w\h[26]。自适应阵列原理图，如图1.5所示。图1.6自适应阵列原理图 使输出功率最小则 在W=0时取得极小值，但这样无意义。所以要加上约束，即 C为常数，通常设C=1，则有 输出功率为 通过拉格朗日乘数法，则为 波束形成器的最小输出功率为 那么它的输出的信干噪比为 1.3.2MVDR算法仿真和图形分析MVDR算法仿真步骤步骤一：由接收到的快拍信号x(n)估计自相关矩阵R；步骤二：计算自相关矩阵R的逆矩阵；步骤三：构造对应的导向矢量；步骤四：使θ按一定步进，在想观察的角度扫描，逐次计算输出功率然后对其谱峰搜索步骤五：找出峰值点对应的值下面是MVDR算法和CBF算法仿真的增益对比图。图1.78阵元MVDR算法的增益仿真图设置信号源角度为23°，干扰方向信号角度分别为0°和30°方向，根据图MVDR算法的增益仿真图，以及图CBF算法的增益仿真图。可以观察发现，MVDR算法可以对入射的干扰信号的方位估计有抑制作用，但是CBF算法它对干扰信号的抑制能力弱，干扰信号对方位估计影响大。图1.88阵元CBF算法的增益仿真图1.4多重信号分类算法1.4.1MUSIC算法基础知识介绍1、阵列协方差矩阵求特征值设一个阵列协方差矩阵为 和分别代表信号和噪声，将它们代入则有下面的式子： 分解的特征值得到 U表示的是R的特征矢量矩阵，对角阵为： 对角阵的特征值为 定义信号的对角矩阵和噪声的对角矩阵： 当空间噪声是白噪声时 信号子空间，噪声子空间。则特征矢量矩阵为: 2、多重信号分类算法的推导过程和分析设一个远场窄带信号X(t)可表示为 那么该阵列的协方差矩阵就替换为下式 代表信号的量，代表噪声的大小。对R进行特征分解有 信号和噪声子空间分别为、。和相互正交，也就是说和也是相互正交的关系 由于接收矩阵长度有限，此时MUSIC算法REF_Ref14000\w\h[27]协方差矩阵为 因为有噪声，对特征值分解能得到。与就没有正交，最后得到估计角度 因此得到算法的伪谱函数 1.4.2MUSIC算法仿真1、MUSIC算法仿真步骤第一步：先求出协方差矩阵，。第二步：求出和，利用它们二者的正交性，构造空间谱函数第三步：根据来谱峰搜索。第四步：找到的最大峰值，就能得到信号波达方向的估计值。2、仿真结果图设置信噪比SNR为0dB、10dB、30dB、60dB依次对应下面的四个图，这些图都是多重信号分类算法的输出功率仿真图。通过对