甘肃省武威市天祝一中民勤一中2023-2024学年高一下学期第一次考试（3月联考）数学试题

2023~2024第二学期第一次月考试卷高一数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：湘教版必修第二册第一章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（）A.相同的向量 B.模相等的向量C.共线向量 D.共起点的向量【答案】B【解析】【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解【详解】是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量.故选：B2.已知，在上的投影为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的数量积的几何意义，即可求解.【详解】因为，在上的投影为，可得，所以.故选：C.3.已知是两个不共线的向量，且，则（

）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线【答案】A【解析】【分析】借助向量运算与共线定理即可得.【详解】，故，则，又因为两向量有公共点，故三点共线.故选：A.4.在中，内角所对的边分别为，若，则其最大角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角形大边对大角原则和余弦定理直接求解即可.【详解】设，则，，，最大，，，.故选：C.5.已知向量，它们的夹角为，则（）A.4 B.12 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】先根据已知条件求出，再由化简计算即可【详解】因为向量，它们的夹角为，所以，所以.故选：C.6.在中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知利用余弦定理可求的值，根据正弦定理可求的值．【详解】∵，∴由余弦定理可得：∴解得：，或（舍去），∴由正弦定理可得：．故选:B7.如图，在中，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】运用平面向量线性运算及共线向量关系即可求解.【详解】由题意知.故选：C.8.在平行四边形中，，，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以为基底表示出，根据向量数量积的定义和运算律可求得结果.【详解】，，.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列关于平面向量的说法中，错误的是（）A.B.若，则C.D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】利用向量的坐标表示，判断A；赋值法，判断B、D；由数量积公式结合数乘运算判断C；【详解】设，则，，，，所以，故正确；若，则不能推出错误；表示与共线的向量，表示与共线的向量，而与关系不定，且与大小不定，所以C错误；若，且，则与是任意向量，故D错.故选：BCD10.在中，，则的面积可以是（）A. B.1 C. D.【答案】AD【解析】【分析】由余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可求出答案．【详解】解：∵，由余弦定理得，∴，∴，或，∴由的面积公式得或，故选：AD．【点睛】本题主要考查三角形的面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，属于基础题．11.若是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（）A.可以表示平面内的所有向量B.对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对C.均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使D.若存在实数，使，则【答案】BC【解析】【分析】运用平面向量基本定理可判断A项、B项、D项，通过举反例可判断C项.【详解】由题意可知：可以看成一组基底向量，根据平面向量基本定理可知：A项、D项正确，B项不正确；对于C项，当时，则，此时任意实数均有，故C项不正确.故选：BC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，则与向量平行的单位向量为__________.【答案】或【解析】【分析】利用与向量平行的单位向量为，求解即可【详解】因为，所以，所以与向量平行的单位向量为或.故答案为：或13.在中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则的外接圆的面积为__________.【答案】##【解析】【分析】利用三角形面积公式平方关系公式、正弦定理计算可得答案.【详解】因为的面积为，所以，根据余弦定理得即，即，又，所以，设的外接圆的半径为，所以，解得，所以的外接圆的面积为.故答案为：.14.在平行四边形中，是直线上的一点，且，若，则__________.【答案】3【解析】【分析】将向量进行转化得，从而得解.【详解】记，又，所以，所以，解得.故答案为：3四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证㫜试秷及演算步骤.15.已知向量，且.（1）求的值；（2）求向量与的夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）运用平面向量垂直的坐标公式计算即可.（2）运用平面向量夹角公式计算即可.【小问1详解】因为，，所以，解得故的值为3.【小问2详解】由（1）知，，所以，所以，所以.故与的夹角的余弦值为.16.在中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，的面积为，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互化得，进而得，在求解即可得答案；（2）由面积公式得，进而根据题意得，，再根据余弦定理求解即可.【小问1详解】因为，所以，因，则，所以，即，因为，所以.【小问2详解】因为的面积为，，所以，即，因为，所以，所以，解得.所以.17.在中，内角的对边分别为，向量且.（1）求角；（2）若，求内切圆半径.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，结合正弦定理边角互化，求得，即可求得；（2）利用余弦定理求得，利用等面积法，结合三角形面积公式，即可求得内切圆半径.【小问1详解】因为向量与平行，所以，由正弦定理得，又，所以，所以，又，所以.【小问2详解】由余弦定理得，所以，解得或（舍），所以的面积，设内切圆的半径为，所以，解得.18.如图，在等腰三角形中，是线段上的动点（异于端点），.（1）若是边的中点，求的值；（2）当时，请确定点的位置.【答案】（1）（2）是线段靠近处的四等分点【解析】【分析】（1）用、作为基底分别表示、，结合数量积运算即可.（2）设，则，结合数量积运算即可.【小问1详解】由题意知，由于是边的中点，因此，因此.【小问2详解】不妨设，因此，又，所以解得，即，故是线段靠近处的四等分点.19.在平面四边形中（在的两侧），.（1）若，求；（2）若，求四边形的面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中用余弦定理求出，再由角度之间的