圆的基本性质-2025年中考数学基础知识分点练

第十九讲圆的基本性质

命题点1圆周角定理及其推论有关的计算（41考）

1.（2024湖南省卷）如图,AB,AC为。。的两条弦，连接OB,OC,若/A=45。,则NBOC的度数为

（）

A.60°B.75°C.90°D.135°

2.（2024云南）如图,CD是。。的直径，点A,B在。。上.若AC^BC,乙4OC=36。厕ND=

（）

A.9°B.18°C.36°D.45°

3.（2024宜宾）如图,△ABC内接于。O,BC为OO的直径,AD平分/BAC交。O于D,则甯£的值为

（）

X.V2B.V3C.2V2D.2V3

4.（2024陕西）如图,BC是。0的弦，连接OB,OC,/A是能所对的圆周角，则/A与N08C的和的度数是.

5.（2024山东省卷）如图,A4BC是。O的内接三角形.若OA\\CB,乙4cB=25。,则4CAB=_.

第5题图第6题图第7题图

6.（2024连云港）如图,AB是圆的直径，N1、42、43、N4的顶点均在AB上方的圆弧上，Nl、N4的一边分别

经过点A,B,贝Nl+42+Z3+Z4=

7.（2024眉山）如图,△ABC内接于。O,点O在AB上,AD平分/BAC交。O于D,连接BD若AB=10,BD=2.

遍厕BC的长为.

命题点2圆内接四边形（58考）

8.（2024吉林省卷）如图,四边形ABCD内接于0O,过点B作BE〃AD,交CD于点E.若/BEC=50。厕/ABC的

度数是（）

9.(2024武汉)如图,四边形ABCD内接于OO,NABC=6(T,/BAC=NCAD=45o,AB+AD=2jI!!］。。的半径是

)

B当D.四

若消2

10.（2024牡丹江）如图,四边形ABCD是。O的内接四边形,AB是。。的直径，若NBEC=20。,则/ADC的度数

为)

A.100°B.110°C.120°D.130°

11.（2024滨州）如图,四边形ABCD内接于。O,若四边形OABC是菱形，则ND=

命题点3垂径定理及其推论

类型一垂径定理及其推论有关的计算（47考）

12.（2024长沙）如图，在0O中，弦AB的长为8.圆心O到AB的距离OE=4,则。O的半径长为

)

A.4B.4V2C.5D.5V2

第13题图

13.（2024新疆）如图"AB是。O的直径,CD是OO的弦,ABLCD.垂足为E.若CD=8,OD=5,则BE的长为

)

A.1B.2C.3D.4

14.（2024重庆B卷）如图,AB是。O的弦QCLAB交。O于点C,点D是0O上一点，连接BD,CD.若/D=28。,

则/OAB的度数为（）

A.28°B.34°C.56°D.62°

15.（2024赤峰）如图,AD是。O的直径,AB是。O的弦，半径（。。回4B,连接CD,交OB于点E,乙BOC=42。,则

NOED的度数是（）

0.67°

第16题图

16.（2024北京）如图,。O的直径AB平分弦CD（不是直径）.若/D=35。,则AC=；

类型二垂径定理的实际应用（11考）

17.（2024凉山州）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件

圆弧上任取两点A,B连接AB作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交屈于点C测出AB=40cm,CD=10cm

,,则圆形工件的半径为（）

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

18.（2024通辽）如图，圆形拱门最下面AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所

在圆的圆心，若48=lm,CD=2.5犯，则拱门所在圆的半径为（）

A.1.25mB.1.3mC.1.4mD.1.45m

命题点4圆的基本性质综合题（80考）重难

19.I—题多设问（2024新疆）如图在。O中,AB是。O的直径，弦CD交AB于点E,AD=BD

（1）求证：4ACDS&ECB

（2）若AC=3,BC=1,求CE的长.

新考法开放性设问⑶在⑵的基础上，下面有两位同学的看法：

&J由的目的已知条件,若过点C作CF,

卷118于点八可求出CFfl勺长].

小疝[而题目的L1知条件.若过点Of乍

AB如C于点G,可求出4曲长「IQ

小红

请你选择一位同学的说法，并进行计算.

20.(2024安徽)如图,。O是△4BC的外接圆，D是直径AB上一点，N4CD的平分线交AB于点E,交。0于

另一点F,FA=FE.

(1)求证：(CDEL4B;

⑵设FM团4B,垂足为M,若(0M=0E=1,求AC的长.

第20题图

21.（2024苏州）如图，△4BC中，AB=4^/2,D为AB中点，ABAC=4BCD,cos乙ADC=—,OO是△4CD的

4-

外接圆.

⑴求BC的长；

(2)求。O的半径.

第21题图

新考法开放性设问(3)下面关于tan/CBD有三个结论：tanzCBD=，,tanZ_CBD=9,tan乙CBD=?,你认为

哪个正确?请说明理由.

22.（2024包头）如图AB是。。的直径,BC,BD是。。的两条弦，点C与点D在AB的两侧㈤是OB上一点（（OE）

BE）,连接OC,CE,且ABOC=2乙BCE.

⑴如图①，若BE=1,CE=小，求。O的半径；

⑵如图②，若BD=2。&求证：BD〃OC.（请用两种证法解答）

第22题图

23.新考法结论开放（2023贵州）如图,已知。O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D,交

OO于点E,连接EA,EB.

（1）写出图中一个度数为：30。的角：,图中与Aac。全等的三角形是.

（2）求证：AAEDACEB;

⑶连接OAQB判断四边形OAEB的形状，并说明理由.

第23因困

24.I—题多设问（2024成都）如图，在Rt△4BC中，ZC=90°,D为斜边AB上一点，以BD为直径作OO,

交AC于E,F两点，连接BE,BF,DF.

(1)求证：BC-DF=BF-CE;

(2)若乙4=zCBF,tanzBFC=®AF=4强,求CF的长和。O的直径.

新考法用两种方法解答⑶若点F是弧BD的中点，求证：乙4+乙CBF=45。.（请用两种方法解答）

第十九讲圆的基本性质

1.C【解析】ZBOC=2ZA=2x45°=90°.

2.B【解析】如解图，连接OB,：AC=BC,；.NBOC=^AOC=36。,；.ND=g乙BOC=18°.

3.A【解析】如解图，连接BD,CD,；BC是。O的直径,ZBAC=ZBDC90°,VAD平分NBAC,；./B

AD=NCAD=45o,；.BD=CD,；.BD=CD,在四边形ABDC中,NBAC=ZBDC=90。,；.NACD+NABD=180。,将△A

DC绕点D逆时针旋转到△ADB,使BD与CD重合,ZA'BD=ZACD,.\NABD+NABD=180。,；.A,B,A，三点

共线,/.AB+AC=AB+A'B=AA',由旋转可知ZA'DB=ZADC,A'D=AD,/.ZA'DA=ZA'DB+ZBDA=ZADC+ZBDA=

NBDC=9。。,；.AA'DA为等腰直角三角形，.sin"=•45。=篙=%鬻=祟

第3题解图

解题技巧

连接BD,CD构造出圆0的内接四边形，可得/ACD+/ABD=180。,由AD平分/BAC,可知/8人口=45。,将4ADC

绕点D逆时针旋转90。，构造出4A'DB,推出△ADA为等腰直角三角形狷出AB+AC=AA是解题的关键.

4.90°【解析】如解图，延长BO交。O于点A；连接A'C,：.N4=乙4,「AB是。O的直径,NBCA占90。,，.

NOBC+NA=90°,乙OBC+z/1=90°.

第4题解图

5.400【解析】如解图,连接。B,^.^/ACB=25°,OA〃CB,.^.NAOB=2/ACB=50°,/OAC=NACB=25°.^・^OA=

OB,40AB=^OBA==65°,；.ZCAB=ZOAB-ZOAC=40°.

第5题解图

6.90【解析】VAB是圆的直径,...AB所对的弧是半圆,所对圆心角的度数为180。,：/I、N2、/3、/4所对

的弧的和为半圆,.zl+z2+z3+Z4=|x180°=90。.

7.8【解析】如解图，延长AC,BD交于点E//AB是OO

CE=90°,•/ADSp^-ZBAC,ZBAD=ZEAD,•/AD=AD,AABAD^AEAD(ASA),ED=BD=2V5BE=4s.*

在RtAABD中,AB=10,BD=2V5,.\AD=J102-(2班『=4西,•••/.DAC=ABAD=ZCBE,ZBCE=ZADB=90°,

8.C【解析】•.•BE〃AD,/BEC=5(T,，/D=/BEC=50。,：四边形ABCD内接于。O,；./ABC+/D=180。,；.

^ABC=180°-50°=130°.

9.A【解析】如解图①，延长AB至点E,使BE=AD,连接CE,BD,连接CO并延长交。。于点F,连接AF,V四边

形ABCD内接于。0,；.ZADC+ZABC=ZABC+ZCBE=180°,.\ZADC=ZEBC,VZBAC=ZCAD=45°,.\ZCBD=

ZCDB=45°,ZDAB=90°,ABD是。0的直径，：.ZDCB=90°,.\ADCB是等腰直角三角形,...DC=BC,；AD=EB,；2

ADCHEBC(SAS),；.NACD=/ECB,AC=EC,：AB+AD=2,；.AB+BE=AE=2,：ZDCB=90°,.\ZACE=90°,.\AACE

是等腰直角三角形,AC=AE-cos45°=V2,v乙ABC=60°,AAFC=60。,：CF是。O的直径,，^FAC=90。,二

CF=OF=0C=-CF=渔，即0O的半径是—.

sin60°3233

c

如解图②，连接BD,根据题意，得/DAB=90。,BD为。O的直径,，ZDCB=90°,VZDAC=ZBAC=45°,ZD

BC=NBDC=45。,；.DC=BC,.\RtADCB是等腰直角三角形，过点C分别作CE±AD交AD的延长线于点E,CF

±AB于点F,：AC是/DAB的角平分线CE=CF,.\RtADEC^RtABFC(HL),.*.DE=BF,VAD+AB=AD+AF+B

F=2,即AD+DE+AF=AE+AF=2,易得四边形AFCE是正方形,AE=AF=CF=1,在RtACFB中,：ZFBC=60°,FB=

10.B【解析】如解图，连接AC,：AB是OO的直径,...NACB=90°,VZBEC=20°,.\ZCAB=ZBEC=20°,

...NABC=90O-/BAC=70。,：四边形ABCD是。O的内接四边形,，ZADC=180°-ZABC=l10°.

11.60【解析】：四边形ABCD内接于。0,；./：6+/口=：180。,：四边形OABC是菱形,二/AOC=/B,由圆周

角定理，得“=2。C,=2,.•./D+2/D=18。。,解得"=6。。.

12.B【解析】•圆心O到AB的距离OE=4,；.OE_L2B,.•.力E==4,...在RtAOAE中，OA=

y/AE2+OE2=4V2.

13.B【解析】：AB_LCD,AB是。O的直径，<DE=|CD=4/OED=90。,.•.在RtAOED中油勾股定理

得OE=yj0D2-DE2=V52-42=3,vOB=OD=5,BE=OB-OE=5-3=2.

14.B【解析】•.,ZD=28°,.".ZBOC=2ZD=56O,VOC±AB,OA=OB,.*.ZAOB=2ZBOC=112°,ZOAB=NOB力

AOAB=I(180°-N力。B)=34°.

15.B【解析】•/半径OC_LAB,；.AC=BC,；./AOC=NBOC=42。,；.ZAOB=84°,VAC=AC,.\ZD=f^AOC

=21ZOED=ZAOB-ZD=63°.

16.55【解析】•.,直径AB平分弦CD(不是直径),.,.AB_LCD,；.NB=90c>-ND=55o,；.NC=/B=55。.

17.C【解析】如解图，在CD的延长线上取一点O，使OA=OC则O为圆心，连接OA歌!UOAD为直角三角

形，。寿=AD2+OD2,,结合OA=OC=OD+CD=OD+10,AB=40可得AD=20,OD=OA-10,|BPOA2=202+(OA-10)2,

解得OA=25,即圆形工件的半径为25cm.

\C

第17题解图

18.B【解析】如解图，连接OA,：D为AB的中点,C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，AB=1

m,，CD_LAB,AD=BD=0.5m,设拱门所在圆的半径为rm,OA=OC=rm,CD=2.5m,.,.OD=(2.5-r)m,r2=0

,52+(2.5-疗解得r=L3,.••拱门所在圆的半径为1.3m.

19.(1)证明:：AD=BD,

：.ZACD=ZECB,

又；NADC=/EBC,

AACD^AECB;

⑵

解题思路

第一步：由直径所对的圆周角等于90。知/ACB=NADB=90。,结合AD=皿,利用勾股定理计算出AB,AD;解:

VAB是。。的直径，

ZACB=ZADB=90°,

：AC=3,BC=1,

•••AB=y/AC2+BC2=V10,

AD=BD,

；.AD=BD,

•••AD2+BD2=AB2=10,

AD=V5.

第二步由NBCD=/ACD推出E到AC,BC的距离相等,则可利用高相等表示出SAACE与SABCE的比，计

算出BE长；

ZACD=ZBCD,

••.E到AC,BC的距离相等,

设E到AC,BC的距离为h,C到AB的距离为m,

.S“CE__i.—771

S^BCE^BE-m

AEAC仁

•••——=—=3.

BEBC

14nV10

44

第三步:由⑴证明的△ACDS/\ECB,可求出CE的长

AACD^AECB,

ACAD3V5

...___—___I___—____

…EC-EBrEC-叵'

4

6厂3V2

4

(3)解：选择小星提出的说法：

如解图①，

ZACB=90°,ZCFA=90°,AC=3,BC=l,

11

S-BC=^AC-BC=-AB-CF,

即jx3x1=:AB-CF,

由(2)知AB=

厂厂333V10

CF=—=-p==-----.

ABV1010

选择小红提出的说法：

如解图②，

ZACB=90°,ZAOG=90°,AC=3,BC=1,

.,.tanZBAC=tanZGAO,BP器=器，

□(厂

—BC=——GO=一1,即-1GO6=-1A4Oc,

ACAO33

由(2)知AB=V10,

•••O是AB的中点，

人八VioVio

•••AO=—,GO=—,

26

___2___2

222

在RtAAOG中,由勾股定理得AO+OG=心,即(钓+(钓=AGf

解得4G=/负值已舍去).

20.(1)证明:〈FA二FE,

ZFAE=ZFEA.

ZFAE=ZBCE,ZFEA=ZCEB,

・•・ZCEB=ZBCE,

•・•CE平分NACD,

JZACE=ZDCE.

VAB是。O的直径，

JZACB=90°,

・•・ZACB=ZBCE+ZACE=ZCEB+ZDCE=90°,

JZCDE=180°-ZCEB-ZDCE=180o-90°=90°,BPCD±AB;

解题技巧

利用FA=FE,求得/FAE=NFEA再利用同弧所对的圆周角相等求得NFAE=/BCE进而求出ZCEB=ZBCE，再

利用角平分线的性质以及三角形内角和的关系求出/CDE才隹出CDXAB.

⑵解:由⑴知NBEC=NBCE,

；.BE=BC,

OM=OE=1,AF=EF,FM_LAB,

.*.MA=ME=MO+OE=2,

.\AE=4,

.*.OA=OB=AE-OE=3,

AB=2OA=6,BC=BE=OB-OE=2.

在小ABC中,AB=6,BC=2,NACB=90。，

AC=7AB2—Be?=V62-22=4V2,

即AC的长为4V2

21.解:(1)：NBAC=/BCD,NB=/B,

/.ABAC^ABCD,

.BC_BA

,,BD_BC'

■-AB=4/,D为AB中点，

BD=AD=2V2,

；.BC=4;

(2)解题思路

第一步已知cos/ADC的值构造/ADC所在的直角三角形，再利用三角函数求出三角形的边长；

如解图①，过点A作AELCD于点E,连接CO并延长交。。于点F,连接AF,

•.•在RSAED中,cosN/WC=案=手，

由⑴知.AD=2V2,

•喘T解得DE=1，

AE=<AD2-DE2=V7.

第21题解图①

第二步:由⑴证明ABACs^BCD,可列比例式表示出CDAC之间的关系然后在第一步构造的直角三角形中,

利用勾股定理即可求出CD,AC的值；

VABAC^ABCD,

设CD=x,Ji!!!AC=V2x,CE=x-l.

•.•在RSACE中，AC2-CE2=AE2,

22

(V2x)一(久一I)=(77)2,即久2+2久―8=0,解得久1=2,X2=一4(舍去).

CD—2,AC—2V2.

第三步：构造与AC同弧的圆周角，且圆周角经过直径，利用等角的三角函数值相等以及第一，二步求出的长

度即可求出半径.

：CF为。。的直径，

ZCAF=90°.

,/NAFC=NADC,

厂ACAE旧

•••.si,n4Zy46FC=—=.s,x4nZ"-ADC=—=——,

CFAD4

厂「8夕

・••CF=—,

7

OC=OF=挈即。。的半径为孚

(3)解：我认为tanzCBD=9正确.理由如下：

由(1),(2)可知(CD=2,BC=4,BD=2V2

第21题解图②

如解图②，过点D作DGLBC于点G,设BG=x，则CG=4-x,

在RtADBG中，由勾股定理可知DG=VBD2-BG2,

在RtADCG中，由勾股定理可知DG=VCR2-S,

DG=J(2V2)2-x2=02-(4-1)2,

解得%=|,

DG=J(2V2)2-(j)=^,BG=\,

■■■tanz.CBD———5

BGI

22.⑴解:•.•OC=OB,

•••乙OBC=4OCB=j(180°-ZBOC),

,/ZBOC=2ZBCE.

.­./.OBC=|(180°-2乙BCE)=90°-NBCE,即NOBC+/BCE=90。,

ZOEC=90°,

OC2=OE2+CE2,

2

OC2=(OC-I)2+(Vs),

解得OC=3,

即。O的半径为3；

(2)证明:方法一:如解图①，过点O作OF_LBD于点F,

BF=^BD,

".,BD=2OE,

；.OE=BF,

又VOC=OB,ZOEC=ZBFO=90°,

/.RtACEORtAOFB(HL),

ZCOE=ZOBF,

；.BD〃OC;

方法二：如解图②，连接AD,

VAB是。O的直径，

ZADB=90°,

AD=>/AB2-BD2=7(2OC)2-(2OF)2=2VOC2-OF2=2CE,

.OC_CE_OE_1

"BA~AD~BD~2"

AACEO^AADB,

JZCOE=ZABD,

・・・BD〃OC.

图①图②

第22题解图

23.(1)解:/1(或/2或N3或/4),ABCD;

【解法提示】：CE是。O的直径，△ABC为等边三角形,.\CE垂直且平分线段AB,Nl=/2=|zXCB=3

0°,又：AE=AE,BE=BE,；.Z4=Z1=3O°,Z3=Z2=3O°;VZCAD=ZCBD=60O,Z1=Z2,CD=CD,.*.AACD^ABCD(A

AS).

(2)证明:：。0是等边三角形ABC的外接圆,CE是。。的直径，

.,.CE±AB,ZCBE=90°,

/.ZADE=ZCBE=90°,

N3=N2,

AAED^ACEB;

⑶解:四边形OAEB是菱形，理由如下：

,.•Z1=30°,.*.ZAOE=60°,

,•,OA=OE,.\AOAE是等边三角形，

同理可得^OBE是等边三角形，

.\OA=AE=EB=OB,

四边形OAEB是菱形.

24.⑴证明:：BD为。O的直径，

•••乙DFB=90°=ZC.

ZCEB=ZBDF,

.,.△BCE^ABFD,

BCDF=BFCE;

解题技巧

当题干中出现求证乘积的等式，一般情况会将乘积的等式化为分式，求证对应的三角形相似.

(2)

解题思路

第一步:由NA=NCBF才隹出△ABCs△BFC,得到/ABC=NBFC;

解：：ZA=ZCBF,ZC=ZC,

AABC^ABFC,

ZABC=ZBFC.

第二步:由tan/ABC=tan/BFC,求出AF,BC,CF的值；

vtanzBFC=g=V5,tanZ/lBC=^

1_CF

tanz.BFC-BC'

‘4"