重难点；离散型随机变量（4知识点+30题型+好题必刷）（解析版）-2024-2025学年高二数学（人教A版选择性必修第三册）

离散型随机变量（4知识点+30题型+好题必刷）

。思维构建•理清脉络。,

e题型一：求离散型随机变量的分布列①

。一题型二：离散型随机变量的均值求参数②

题型三：由随机变量的分布求概率

题型四：离散型随机变量的方差与标准差

题型五：离散型随机变量方差的期望表示

题型六：离散型随机变量在医疗中的应用

题型七：离散型随机变量在摸球中的应用

题型八：离散型随机变量在体育比赛中的应用

题型九：离散型随机变量在知识竞赛中的应用

题型十：离散型随机变量在游戏中的应用

题型十一：联系随机变量和古知识相融合

题型十二：离散型随机变量在学校生活实际中的应用

题型十三：离散型随机变量在抽奖摸奖中的应用

题型十四：用离散型随机变量判断游戏规则是否公平

题型十五：离散型随机变量在考试中的应用

题型十六：离散型随机变量和相关政策相融合

题型十七：离散型随机变量在检测工序中的应用

题型十八：离散型随机变量在文旅中的应用

题型十九：离散型随机变量在新定义中的应用

题型二十：离散型随机变量在规律中的应用

题型二十一：离散型随机变量在药品检测中的应用

题型二十二：离散型随机变量在旅游门票购买中的应用

题型二十三：离散型随机变量在学习调研中的应用

题型二十四：离散型随机变量在数列中的应用

题型二十五：离散型随机变量在盲盒中的应用

题型二十六：离散型随机变量在AI中的应用

题型二十七：离散型随机变量在集合中的应用

题型二十八：离散型随机变量在农业中的应用

题型二十九：离散型随机变量在移动质点中的应用

题型三十：离散型随机变量在生活中的应用

。知识盘点•查漏补缺。,

»离散型随机变量

1.离散型随机变量定义

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列及性质

(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为xi，M，…，xr…,xn,X取每一个值双i=l,2,…,

")的概率尸(X=%)="，则表

.・・・・・

X修匹%

••••••

PPTP2PiPn

称为离散型随机变量X的概率分布列.

⑵离散型随机变量的分布列的性质：

①“20(7=1,2,…，n)；②"i+p2H-----bp“=l.

3.离散型随机变量均值

(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为：

・・・

X修X2Xi

・・・…

PPTP2PiPn

则称卯2H-----Hx必----Hx/”为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值

的平均水平.

(2)若y=aX+6,其中a,b为常数，则Y也是随机变量，且+

(3)①若X服从两点分布，则E(X)=p；

②若X〜2(",p),则E(X)=〃0.

4.离散型随机变量方差

(1)设离散型随机变量X的分布列为

・・・

XXi・・・Xi

PPlP2・・・PiPn

则8—£(切2描述了即(i=1,2,“、")相对于均值E(X)的偏离程度.而。⑶=£E(X))2口为这些偏离程

Z=1

度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值a况的平均偏离程度，称。⑶为随机变量X的方差，并称其算

术平方根田石为随机变量X的标准差.

(2)D(aX+b)=a2D(X).

(3)若X服从两点分布，则。(A)=p(l—p).

(4)若X〜8(",p),则。⑶=帆(1一0).

。题型突围•精准提分。

题型一：求离散型随机变量的分布列

【例题1-11.（2025高三•全国•专题练习）某种儿童游戏每局的规则是：儿童先在标记有1,2,3,4,5

的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其资金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，

将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量刍和刍分别表示儿童在一

局游戏中的资金和奖金，贝|尸（$23）-P（&23）=.

3

【答案】--/-0.3

【难度】0.65

【知识点】由随机变量的分布列求概率、写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率

【分析】由已知分别得出资金和奖金的分布列，得出所需概率求解即可.

【详解】资金的分布列为

012345

11111

P

55555

奖金的分布列为

421.42.84.25.6

42332111

PC1-5cf-10cf-5c|-io

则尸（$23）-尸+=

、②B751055510

..3

故答案为：-记.

【变式1-1】.（2024高三•全国•专题练习）某次乒乓球比赛的规则为：双方轮流发球，每人发一个球后交

换发球权，先得11分的一方获胜，同时规定，双方比分达到10:10（未达到20:20时）后，先多得2分的

一方获胜，双方比分达到20:20后，先多得1分的一方获胜.甲、乙两人进行比赛，比分达到18:18,下一次

2

由甲发球，用X表示结束比赛还需要发球的次数，已知甲、乙两人比赛时发球方得分的概率均为则

尸（X=5）=.

【答案】胃25

ol

【难度】0.65

【知识点】写出简单离散型随机变量分布列

【分析】根据题意先列出X的所有可能取值，再分析各个取值的情况，求得尸（X=2）和P（X=4）的值，由

随机变量的分布列的概率和为1求得尸（X=5）.

【详解】由题意知X的所有可能取值为2,4,5.

21124

当X=2时，甲的胜负情况为〃胜胜〃或〃负负〃，故「（工=2）=,；+彳*彳=:

当X=4时，甲的胜负情况为〃胜负胜胜〃〃胜负负负〃〃负胜胜胜〃或〃负胜负负〃，

4n/女八212221111222121120

故F（X=4）=—x—x—x—+—x—x—x—+—x—x—x一■F—x—x—x—=——.

',333333333333333381

25

则尸（丫=5）=1_尸（丫=2）_尸（丫=4）二打.

故答案为：言25.

O1

【变式1-2].（24-25高三下•天津•开学考试）大学生甲去某企业应聘，需要进行英语和专业技能两个项目

的考核，先进行英语考核.每个项目有一次补考机会，补考不合格者被淘汰，不能进入下一个项目的考

核.若每个学生英语考核合格和补考合格的概率都是：，专业技能考核合格和补考合格的概率都是每

一次考试是否合格互不影响.则大学生甲不被淘汰的概率是;若大学生甲不放弃每次考试的机会,

X表示他参加补考的次数，则X的数学期望是.

【答案】§213/0.75

【难度】0.65

【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值

【分析】首先分别求两个项目合格的概率，再求整体不被淘汰的概率；根据随机变量的意义，求概率，再

求期望.

11□11Q

【详解】英语合格概率为=专业技能考核合格的概率为

12Q9

所以大学生甲不被淘汰的概率尸

由题意可知，X=0,1,2,

P（X=0）=-x-=-,P（X=l）=-xl+-x-x-+-x-=—,

'"233'‘222232312'

、

P（X=2C）=—1x—1x—1=——1,

'722312

1713

所以£（X）=0x§+lx而+2*石=^

故答案为：213

【变式1-3].（24-25高二下•全国•课后作业）在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1

张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此

10张奖券中任抽2张，求:

⑴该顾客中奖的概率；

（2）该顾客获得的奖品总价值X的分布列，并求出P（54X425）的值.

2

【答案】⑴屋

7

（2）分布列见解析，

【难度】0.65

【知识点】实际问题中的组合计数问题、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、写

出简单离散型随机变量分布列

【分析】（1）应用组合数及古典概型的概率、对立事件的概率求法求顾客中奖的概率；

（2）由已知有X的可能取值为0,10,20,50,60并求出对应概率，即得分布列，进而由

P（5<X<25）=P（X=10）+尸（X=20）求值.

（1）该顾客中奖的概率尸=1-圣=1-；2

【详解】

jo33

（2）X的可能取值为0,10,20,50,60.

cL-i（）令2r21

尸（x=o）=PX=10尸"2。）=高飞

3Jo5

尸（X=50）=晋CRi2P（X=60）=皆=2

Jo15Jo

故随

机变量X的分布列为

X010205060

2121

P

3151515

217

所以尸（54X425）=P（X=10）+P（X=20）=1+x=记.

【变式1-4].（2025・贵州毕节•一模）甲，乙两名射击运动员进行射击训练，无论之前射击命中情况如何,

21

甲每次射击命中目标的概率都为1,乙每次射击命中目标的概率都为§.

（1）甲先射击，若未命中目标则甲继续射击，若命中目标则换乙射击，直至乙命中目标就结束训练.求第三

次射击就结束训练的概率；

（2）如果甲，乙两名射击运动员轮流射击，有人命中目标就结束训练.若甲先射击，求：

①甲射击一次就结束训练的概率；

②求结束训练时甲射击次数的分布列.

【答案】（哧

7

⑵①②答案见解析.

【难度】0.65

【知识点】互斥事件的概率加法公式、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式

【分析】（1）利用独立事件和互斥事件的概率公式求解；

（2）①利用独立事件和互斥事件的概率公式求解；②由题意可知，X的可能取值为1,2,,3,利用

独立事件和互斥事件的概率公式求出相应的概率，进而得到X的分布列.

【详解】（1）设事件4="甲第i次射击命中目标"，设事件B.="乙第i次射击命中目标”,设事件C="第三

次射击就结束训练"，

71

则尸⑷=§,尸（用）="

所以尸（C）=P（4）尸（幻尸（8J+P（4）P（瓦）尸（82）=；xgx；+gxgx；J,

所以第三次射击就结束训练的概率为1；

（2）①设事件。="甲射击一次就结束训练”

则尸尸（4）+尸（4）尸（A）=g+（i_g]x；=W，

7

所以甲射击运动员射击一次的概率X,

9

②设结束训练时，甲射击运动员射击次数为X,则X的可能取值为1,2,…，左，…

尸(X=1)=尸(4)+尸(4)P(4)=|+(I-|)X；=T，

尸(x=2)=尸闾尸闯尸⑷+尸闾尸闯尸闾尸⑻=；x|x滑x*x；卷…,

尸(X")=[尸闾尸(4)…尸(诟)]尸闻尸(瓦)…尸(％)]尸(4)

+[p(4)尸(4)…可二)],(瓦)P(瓦)…尸(麻巾(4年(%)

故甲射击运动员射击次数的分布列为:

X123k

22

P

9Ktr

题型二：离散型随机变量的均值求参数

【例题2-1].(20-21高二下•广东珠海•期末)已知随机变量X的分布列为尸(X=，)=t«=l,2,3,4),则

尸(2VX<4)=()

1379

A.-B.-C.—D.—

251010

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率

【分析】运用概率分布列的性质求出。=10,再求尸(2WX<4)即可.

1234

【详解】依题意，分布列概率之和为1,则—+—+—+—=1,解得。=10.

aaaa

即尸(X=i)=A«=l,2,3,4),所以尸(24X<4)=P(X=2)+P(X=3)=t+'=g.

故选：A.

【变式】.(23-24高二下•福建宁德・期末)一校园公用电话在某时刻恰有左(左eN)个学生正在使用或等待使

/、7------77------〈左<4

用该电话的概率为尸㈤，根据统计得到尸（左）=（左+1乂左+2）,其中。为常数，则在该时刻没有学

0,左24

生正在使用或等待使用该电话的概率为（）

153

A.~B.-C.一

284

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】利用随机变量分布列的性质解题

【分析】利用概率之和为1求出。，然后令4=0,即可求解.

【详解】之尸（左）+。=9+:+白+京=1（左eN）,

k=oL01/ZU

428

故选：B.

【变式2-1].（23-24高二下•河北沧州•期中）已知离散型随机变量X的分布列为尸0而可

"=1,2,3）,则〃=（）

3423

A.—B.-C.—D.一

4332

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】利用随机变量分布列的性质解题

【分析】利用离散型随机变量X的分布列的概率之和为1,代入计算即可.

【详解】因为尸（X=l）+尸（X=2）+尸（X=3）=l,

所以。=（4

故选：B.

【变式2-2】.（2018高二•全国•竞赛）若离散型随机变量X的分布列为

尸（X=左）=（*二、1）"""八"I则P&<X<£|的值为（）•

31

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率

m,2k

【分析】由离散型随机变量X的分布列为「（丫=左）=（l<k<5,keZ）,求出冽=包，由此

62

能求出P-<X<-=P(X=2)的值.

22

m，2k11

【详解】因为P（X=^）=2k-l~2k+i~1f

所以由尸。）+尸（2）+…+尸⑸=1,

可得:Lu'-i-&+…+3」]卜1

即加上=i，63

m=一

62

所以尸=尸(X=2)=口X226

[22)62(23-1)(22-1)31

故选:B.

【变式2-3].（24-25高二上・江西南昌・期末）若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3

次,一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为。5*0）,制作次数为

7

X,若X的数学期望E（x）>：,则夕的取值范围是（

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】求离散型随机变量的均值、由离散型随机变量的均值求参数

【分析】根据题意计算X的概率，再由期望列出不等式求解即可.

【详解】由题意，X的取值可能为1,2,3,

则尸(x=l)=,,尸(X=2)=0_p),,p(x=3)=(l_p)2p+0_p『

则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(l_p)p+3(l_p『=p1-3P+

解得P>|或P<；,又0e(0,1],所以

故选：c

题型三：由随机变量的分布求概率

【例题3-1].（23-24高二下•重庆•阶段练习）围棋棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵，被列为“琴

棋书画"四大文化之一，是中华文化与文明的体现.在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进行最后的决赛,

比赛采取五场三胜制，即先胜三场的一方获得冠军，比赛结束.假设每场比赛甲胜乙的概率都为;，且没

有和棋，每场比赛的结果互不影响，记决赛的比赛总场数为X,则下列结论正确的是（）

A.XW4且甲获得冠军的概率是、

Q

B.有连续三场比赛都是乙胜的概率是无

C.P（X=4）=£

D.若甲赢了第一场，则乙仍有超过50%的可能性获得冠军

【答案】CD

【难度】0.65

【知识点】由随机变量的分布列求概率、独立事件的乘法公式

【分析】对ABCD,分析出满足各自选项的所有情况，再利用独立事件的乘法公式一一判断即可.

【详解】对于A,X44且甲获得冠军有两种情况:X=3且甲获得冠军，X=4且甲获得冠军，

X=3且甲获得冠军表示甲连胜三场，X=4且甲获得冠军表示第四场甲获胜且前三场中有两场甲获胜，

所以XW4且甲获得冠军的概率为尸=g]+C；xg]2x|x；=（,故A错误；

对于B,有连续三场比赛都是乙胜包含三种情况：前三场比赛都是乙获胜，

第一场比赛甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜，前两场比赛甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜，

所以有连续三场比赛都是乙胜的概率为尸O+卜（£|x[|]=翳故B错误;

对于C,X=4包含两种情况:比赛四场甲获得冠军，比赛四场乙获得冠军,

]_jx泊+C；义24J

所以P（X=4）=C；x故C正确;

313327

对于D,甲赢了第一场，乙获得冠军包含两种情况:

第二至第四场都是乙获胜，第五场乙获胜且第二至第四场中有两场乙获胜,

所以甲赢了第一场，乙获得冠军的概率为P=+C3[g]x|x|=l|,

因为为所以若甲赢了第一场，则乙仍有超过50%的可能性获得冠军，故D正确.

故选：CD.

【变式3-1].（22-23高二下•河南郑州•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.若随机变量X~N（2,〃），则P（X»2）=；

B.若随机变量丫服从两点分布，且£（丫）=；,则。（2丫）=1

C.若随机变量Z的分布列为尸（Z=i）=9「=-1,0,1,2,则a=10

a

D.若随机变量T~B[8,£|,则T的分布列中最大的只有尸（7=3）

【答案】ABC

【难度】0.65

【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率

【分析】A选项,根据正态分布的对称性得到P（X22）=；,A正确；B选项，根据¥服从两点分布，且£（丫）=；

得到分布列，求出27的分布列，求出期望值和方差；C选项，根据概率之和为1列出方程，求出a=10；D

伊（7=左）"（7"+1）

选项，根据＜P（T=k）＞P[T=k-\）^a^'

【详解】A选项，X〜N（2,吟,由正态分布的对称性可知尸（X22）=g,A正确;

B选项，若随机变量丫服从两点分布，且E（Y）=g,

即分布列为:

所以

1111

故E（2y）=0x]+2x]=l,则。（2¥）=（0-1）9X/+（2-7=B正确;

C选项，分布列中概率之和为I,即士工+上2+尸工+2=1,解得。=10,C正确;

aaaa

D选项,随机变量一（凶，令\P许（T=Jk\>"P（T"=k"+\\，

k>2

，解得

k<3

因为左cN,所以左=2或3,

则T的分布列中最大的有尸（7=2）或P（T=3）,D错误.

故选：ABC

题型四：离散型随机变量的方差与标准差

【例题4-1].（2024高三•全国•专题练习）某公司计划派员工到甲、乙、丙、丁、戊这5个领头企业中的

两个企业进行考察学习，记该公司员工所学习的企业中含甲、乙、丙的个数为X,记X的所有取值的平均

数为灭，方差为s2,则（）

A.£（*）=；B.D（X）=|C.X>E（X）D.?<D（2X）

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、求离散型随机变量的均值、方差的性质

【分析】根据方差的计算即可求解s?,结合排列组合求解概率，即可根据期望和方差，结合选项即可逐一

求解.

17

2

【详解】由题知X的所有可能取值为0,1,2,则了=1，5=1（1+0+1）=|,

且尸(X=0)=|b£，P(X=1)=肾=|,尸(X=2)=||3

10

所以£（X）=0xA+lx]+2x5=g,故A错误;

由于又=1<[=£（X）,故C错误；

故B错误;

D（2X）=4£）（X）=||,则/=：<||=。（2幻，故D正确.

故选：D

【变式4-1].（23-24高二下•内蒙古通辽•阶段练习）一个课外兴趣小组共有5名成员，其中有3名女性成

员，2名男性成员，现从中随机选取3名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X,则下列结论正确

的是（）

3

A.尸（"）=而B.P(X<2)=-

C.E（X）19

D.。(才)=石

【答案】ACD

【难度】0.65

【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值、离散

型随机变量的方差与标准差

【分析】根据给定条件，求出X的分布列，再结合期望、方差的定义逐项计算判断即得.

【详解】女性成员人数X的可能值为1,2,3,

CY3C2cl3c3C01

则尸(X=1)=WF=而P(X=2)^1=士，尸(X=3)=^^=L

C；5C；10

3

对于A,P（y=l）=—,A正确；

9

对于B,尸（X42）=l-尸（X=3）=而，B错误；

3319

对于C,£（X）=lx—+2x-+3x—=C正确；

293Q199

对于D,79（X）=-x（l--）2+-x（2--）2+—x（3--）2=—,D正确.

L\JJJJIJ乙J

故选：ACD

【变式4-2].（24-25高二下•全国•课后作业）阿尔法围棋（AlphaGo）是第一个击败人类职业围棋选手的

机器人，这是人工智能算法的重要突破.现某公司研发出了一款。级3段围棋机器人，并开展了一项比赛,

比赛规则为一人与机器人对弈三次，若获胜一次，则可以获得2千元奖金，若获胜两次，则可以获得5千

元奖金，若获胜三次，则可以获得1万元奖金，若三次均未获胜，则无奖金，已知某围棋手每场比赛获胜

的概率均为/，记此人可获得的奖金为X千元，则。（X）=,

【答案】罢535

64

【难度】0.65

【知识点】独立重复试验的概率问题、离散型随机变量的方差与标准差

【分析】根据条件，可知X的可能取值为0,2,5,10,进而求出相应的概率,从而得到£（工）=募，£（丫2）=黑,

即可求出结果.

【详解】依题意可知，X的可能取值为。,2,5,10,

则尸(X=0)=*"，P(X=2)=m=|,尸(X=5)=CR[=|,尸(X=10)=C；

31

所以E（X）=0x-+2x-+5x-+10x-

8888

X1+22X-+52X-+1021187

又E(X2)=()2x—=----

88888

所以。（X）=E-（E（X））2=,

故答案为：姿535.

题型五：离散型随机变量方差的期望表示

【例题5-1】•（22-23高二下•福建厦门・期末）某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得A

等级相互独立，记X为"该学生取得A等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则。（X）的最大值是

()

X012

J_

Pab

9

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】求二次函数的值域或最值、基本不等式求和的最小值、利用随机变量分布列的性质解题、方差

的期望表示

【分析】利用方差的期望表示可得出。(X)=-62+16+?,设该生物理、历史学考获得等级A的概率分别

为四、2,则有百2=^，利用基本不等式可求得6的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求得。(X)

的最大值.

【详解】由题意可得犬2、X的分布列如下表所示：

X012

X1014

£

Pab

9

1OO

由分布列的性质可得。+6=1-^=工，所以，一方，

999

所以，E（X）=Q+b+2x-=b+-,E（X2）=0+b+4x-=b+~,

9999

所以，D[X）=E[X2]-\E[X^=b+--\b+^\=-b2+-b+^,

设该生物理、历史学考获得等级A的概率分别为巧、p2,则有PiP2=:，

9

2,-----24

则6=P(1—P2)+02(1-四)=P1+_2Plp2=口+P2_A22JnPz_A=X，

7yy

148

当且仅当Pi=2=丁时取等号，所以，

399

sa?48、

因为函数〃6)=-廿+、+"在看盘上单调递减，

9ol9y)

S

254324

所以,D（X}=-b+-b+—<+—x—H-------=—

v798199819

故选：B.

【变式5-11.(2023高二・安徽•竞赛)一离散型随机变量X的分布列为:

X0123

P0.1Qbc

其中a,6为变数，c为正常数，且当。=6中0时方差。（X）有最大值，则c的值为.

【答案】0.1/^

【难度】0.65

【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、方差的性质、方差的期望表示

【分析】由题意得a+6+c=0.9再利用期望、方差的性质计算可得答案.

【详解】由题意得，a+6+c=0.9,E（X）=a+26+3c=0.9+6+2c£（X2）=a+46+9c=0.9+36+8c,

Z）（X）=E（X2）一=0.9+36+8C-（0.9+6+2C/

=-〃+（1.2-4c）6+0.09+4.4c-4c2,

.•.当8=0.6-2c时有最大值，此时1.2-4c+c=0.9,解得c=0.1.

故答案为：0.1.

题型六：离散型随机变量在医疗中的应用

【例题6-1].（2025・湖北•模拟预测）某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，

该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队.

⑴小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率；

（2）设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.

3

【答案】⑴]

⑵分布列见解析，3

【难度】0.65

【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率、实际

问题中的组合计数问题

【分析】（1）利用组合数求得总情况数与符合题意的情况数，根据古典概型，可得答案；

（2）利用离散型随机变量的计算步骤求得分布列，根据期望的计算公式，可得答案.

【详解】（1）解：设事件/为“小张被选入医疗救援队"，

则尸⑷爷

Jojo,

（2）X的所有取值可能为1,2,3,4,5,

55.1c、_5

P(X=)1=一4C，P(X=2)=-^

Go4221

10八cfc?_5

_55一1，P(X=4)=-^

Jo21jo21

C5cl1

P(X=5)=^p-=—

c：。42

X的分布列为

X12345

151051

r

4221212142

故E(X)=lx《+2x』+3xW+4x』+5x-'-=3

2121

【变式6-1].(22-23高三上•广东潮州•期末)核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或

咽拭子的样本，再提取唾液或咽扰子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.

根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为P(O<P<D,现有4例疑似病例，分别对其取样、检测,

多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混

合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性,

则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验.现有以下三种方案：

方案一：逐个化验；

方案二：四个样本混合在一起化验；

方案三：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验.

在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越"优

(1)若P=g，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最"优"？

⑵若对4例疑似病例样本进行化验，且想让"方案二"比"方案一"更"优"，求p的取值范围.

【答案】①方案一最优

(2)0<p<l"

【难度】0.65

【知识点】求离散型随机变量的均值、由离散型随机变量的均值求参数

【分析】(1)求得三个方案的检测次数的期望值，由此判断出最优的方案;

（2）记方案二的检测次数为X,求出对于随机变量的概率，从而求出数学期望，由方案二检测次数的期望

值E（X）<4,即可求得。的取值范围.

【详解】（1）方案二：记检测次数为X,则随机变量X的可能取值为1,5,

所以尸==

所以方案二检测次数X的数学期望为E（X）=lxt+5x1|=等;

ololo1

方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为1次，其概率为，-=g,

45

若呈阳性则检测次数为3次，其概率为=

设方案三的检测次数为随机变量y,则丫的可能取值为2,4,6,

所以叩=2）=/卷，P（[4）=C；KW，P（X=6）=图=||,

16409S34?

所以方案三检测次数y的期望为E（y）=2x7T+4x7T+6x77=^r，

olo1o1o1

因为4<E（x）<E（y）,

所以方案一最优；

（2）方案二：记检测次数为X,则随机变量X的可能取值为1,5,

所以尸（X=l）=（l-p）4,P（X=5）=1-（1一p）4,

所以随机变量X的数学期望为E（x）=（l+5x[l-（1-01=5_4（1_0）4,

由于"方案二"比"方案一"更"优"，则E