2025初三升高一数学暑假衔接讲义25讲含答案（必修一内容）3.4 幂函数-(必修第一册)

2025初三升高一数学暑假衔接讲义25讲含答案（必修一内容）3.4幂函数-(必修第一册)幂函数1定义一般地，形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，2常见幂函数图像3性质①所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)；②α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数变化快，图象下凹；当0<α<1时，幂函数变化慢，图象上凸；③α<0时，幂函数的图象在(0,+∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．【典题1】已知幂函数f(x)过点(2,2A．f(x)=x−12，且在(0,+∞)上单调递减C．f(x)=x12且在(0,+∞)上单调递减 D．f(x)=【典题2】下列命题中：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③当n=0时，幂函数y=x④当n>0时，幂函数y=x⑤当n<0时，幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小．其中正确的是()A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤【典题3】如图所示是函数y=xmnA．m、n是奇数且mn<1 B．m是偶数，nC．m是偶数，n是奇数，且mn<1 D．m、n巩固练习1(★)已知幂函数f(x)的图象经过点(2,22)，则f(4)的值为2(★)已知α∈{−2,−1,−12,12,1,2,3}，若幂函数f(x)=3(★)图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2,±12四个值，则相应于曲线C1A．−2,−12,12,2B．2,14(★★)已知幂函数y=xpqA．p,q均为奇数，且pq>0 B．q为偶数，p为奇数，且C．q为奇数，p为偶数，且pq>0 D．q为奇数，p为偶数，且5(★★)已知幂函数f(x)=xm2−2m−3(m∈Z)A．0 B．0或2 C．0 D．2幂函数1定义一般地，形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，2常见幂函数图像3性质①所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)；②α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数变化快，图象下凹；当0<α<1时，幂函数变化慢，图象上凸；③α<0时，幂函数的图象在(0,+∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．【典题1】已知幂函数f(x)过点(2,2A．f(x)=x−12，且在(0,+∞)上单调递减C．f(x)=x12且在(0,+∞)上单调递减 D．f(x)=【解析】∵幂函数f(x)=xa过点(2,22)∴f(x)=x−1故选：A．【点拨】利用待定系数法求解函数解析式.【典题2】下列命题中：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③当n=0时，幂函数y=x④当n>0时，幂函数y=x⑤当n<0时，幂函数在第一象限内的函数值随x的值增大而减小．其中正确的是()A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤【解析】①幂函数的图象都经过点(1,1)，但不一定经过点(0,0)，比如y=1②幂函数的图象不可能在第四象限，故正确；③当n=0时，幂函数y=xn的图象是一条直线去除④当n>0时，如y=x2，幂函数y=x⑤当n<0时，幂函数y=xn在(0,+∞)上是减函数，即幂函数在第一象限内的函数值随故选：D．【典题3】如图所示是函数y=xmnA．m、n是奇数且mn<1 B．m是偶数，nC．m是偶数，n是奇数，且mn<1 D．m、n【解析】∵函数y=xmn的图象的图象关于y轴对称，故n在第一象限内，函数是凸函数，故mn<1，故选：巩固练习1(★)已知幂函数f(x)的图象经过点(2,22)，则f(4)【答案】12【解析】∵幂函数f(x)=xa∴f(2)=2a=∴f(x)=x−12(★)已知α∈{−2,−1,−12,12,1,2,3}，若幂函数f(x)=【答案】−1【解析】∵α∈{−2，−1，−幂函数f(x)=xα为奇函数，且在∴a是奇数，且a∴a=−13(★)图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2,±12四个值，则相应于曲线C1A．−2,−12,12,2B．2,1【答案】D【解析】根据指数函数的单调性，x>1时，x2∴相应于曲线C1，C2，C3，C4的故选：D．4(★★)已知幂函数y=xpqA．p,q均为奇数，且pq>0 B．q为偶数，p为奇数，且C．q为奇数，p为偶数，且pq>0 D．q为奇数，p为偶数，且【答案】D【解析】因为函数为偶函数，所以p为偶数，且由图象形状判定pq又因p、q互质，所以q为奇数．所以选D．5(★★)已知幂函数f(x)=xm2−2m−3(m